Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :02

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Cuprins. 2. Modele intrare-stare-iesire :02"

Michela Verde
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Modelare si control predictiv - proiect - Controlul predictiv bazat pe modele intrare-stare-iesire Asist. ing. Constantin Florin Caruntu

2 23:02 Cuprins Controlul predictiv bazat pe modele intare-stare-iesire. Introducere 2. Modele intrare-stare-iesire 3. Control predictiv fara restrictii 4. Control predictiv cu restrictii 5. Analiza stabilitatii 6. Analiza robustetii

3 Modelare si control predictiv - proiect - Controlul predictiv bazat pe modele intrare-stare-iesire Curs 4 Control predictiv cu restrictii

4 Restrictii asupra variabilelor In practica, variabilele sistemului sunt intotdeauna restrictionte de: Limitari fizice Restrictii ale intrarilor (limitari ale elementelor de executie) de obicei sunt active in regimul tranzitoriu Restrictii ale starilor (capacitati ale rezervoarelor) pot fi active atat in regimul tranzitoriu, cat si in cel permanent Consideratii de siguranta (presiuni/temperaturi critice) Specificatii de performanta (suprareglare limita)

5 Restrictii asupra variabilelor Clasificarea restrictiilor (hard sau soft): y 4.5 y y y y 3 Restrictiile de tip hard trebuie satisfacute la fiecare moment de timp, altfel problema devine infezabila Restrictiile de tip soft pot fi incalcate pentru a evita infezabilitatea 5

6 Sisteme cu intrare saturata O neliniaritate des intalnita este reprezentata de saturarea intrarii. x k + = Ax k + B sat u k nonlinear ( ) ( ) ( ) y k = Cx k ( ) ( ) ( ) ( ) Aceasta saturare poate fi usor transformata intr-o restrictie asupra unui sistem liniar: th Componenta i ( i,..., m) a saturatiei sat( u) este: u {} daca u < u i {} i {} i sat ( u) : = u daca u u u i u{} daca u{} > u i i {} i ( ) {} {} i {} i {} i {} i {} {} {} {} {}

7 Constraint handling Metode sub-optimale de considerare a saturarii Saturarea legii de control nerestrictionate (restrictiile sunt ignorate in faza de proiectare a regulatorului) Re-acordarea unei legi de control nerestrictionate (cresterea ponderii pe u in obiectivul de performanta in controlul optimal) Strategii anti-windup (limitarea starii regulatorului dinamic -> componenta I)

8 Problema LQR cu restrictii Problema: Dandu-se starea initiala x(0) la momentul k=0, sa se calculeze si implementeze o secventa de comenzi ( ) u ( ) { u 0,,..., } care minimizeaza functia de cost cu orizont infinit T T x( k) Qx( k) + u( k) Ru( k) k=0 ( ) garantand satisfacerea restrictiilor la fiecare moment de timp de obicei este imposibil de rezolvat controlul predictiv propune o solutie aproximativa legile de control predictiv cu restrictii sunt neliniare

9 23:02 Control predictiv cu restrictii Control optimal cu orizont finit cu restrictii Problema: Dandu-se starea initiala x = x(k), sa se calculeze o secventa de comenzi pe un orizont finit N { u u } 0,,..., u N care minimizeaza functia de cost cu orizont finit T N T T N N + i i+ i i i= ( ) x Px x Qx u Ru 0 unde x = x 0 x = Ax + Bu, i = 0,,..., N i+ i i garantand satisfacerea tuturor restrictiilor la fiecare moment de timp i = 0,,..., N

10 Principiul orizontului alunecator. Obtine valorile starilor/iesirilor curente. 2. Calculeaza secventa optima de control cu orizont finit t.c.d. restrictii 3. Implementeaza prima valoare din secventa optima de comenzi. 4. Reia de la pasul.

11 Principiul orizontului alunecator. Obtine valorile starilor/iesirilor curente. 2. Calculeaza secventa optima de control cu orizont finit t.c.d. restrictii 3. Implementeaza prima valoare din secventa optima de comenzi. 4. Reia de la pasul.

12 Principiul orizontului alunecator. Obtine valorile starilor/iesirilor curente. 2. Calculeaza secventa optima de control cu orizont finit t.c.d. restrictii 3. Implementeaza prima valoare din secventa optima de comenzi. 4. Reia de la pasul.

13 Principiul orizontului alunecator. Obtine valorile starilor/iesirilor curente. 2. Calculeaza secventa optima de control cu orizont finit t.c.d. restrictii 3. Implementeaza prima valoare din secventa optima de comenzi. 4. Reia de la pasul.

14 Matricile de predictie S-a calculat anterior secventa de stari predictate X in functie de intrarile U x A B 0 0 u0 2 x 2 A AB B 0 u = x 0 + N N N 2 x N A A B A B B u N sau definind x : = x 0, X =Φ x +Γ U. Matricile Φ si Γ sunt matricile de predictie.

15 Incorporarea restrictiilor Sa se incorporeze un set de restrictii liniare de tip inegalitate asupra starilor x si intrarilor u M x + E u b, pentru toti i = 0,,..., N i i i i i M x b. N N N Multe restrictii iau forma: M = 0 restrictii doar asupra intrarilor s E = 0 restrictii doar asupra starilor s Se pot include restrictii asupra iesirilor/marimilor controlabile Pentru simplitate se noteaza E = E, M = M si b = b, pentru toti i= 0,,..., N i i i i i

16 Incorporarea restrictiilor Sa presupunem ca avem urmatoarele restrictii asupra intrarilor si iesirilor: ulow ui u, high i = 0,,..., N ylow yi yhigh, i = 0,,..., N Stiind ca y i = Cx i, se obtine ca: 0 I uu low 0 u I high x u i+ i, i= 0,,..., N C 0 y low C 0 y high ( x ) O expresie similara poate fi scrisa pentru restrictia terminala. x N

17 Incorporarea restrictiilor Din exemplul anterior, se pot scrie restrictiile sub forma: M x + E u b, pentru toti i = 0,,..., N i i i i i M x b. N N N definind: 0 I uu low 0 I u high M : =, E :, b :, i 0,,..., N i C = i 0 = i y = low C 0 y high C y y low si M : = N, bn : C = y high

18 Incorporarea restrictiilor Punand toate restrictiile impreuna: M E0 0 b0 x u0 0 M 0 b x E N x u N N 0 0 M N 0 0 b N Definind in mod adecvat ( x ), ϒ, ε si c x : = 0 se obtine: x +ϒ X + ε U c.. In cele ce urmeaza se va elimina termenul X utilizand matricile de predictie.

19 Incorporarea restrictiilor Se inlocuieste X =Φ x +Γ U in x +ϒ X + ε U c si se colecteaza termenii. Restrictiile pot fi scrise: unde si JU c+ Wx J : =ϒΓ+ ε W : = ϒΦ Restrictiile sunt scrise acum in functie de secventa de intrare U si de starea initiala x = x = x ( k). ) 0.

20 Incorporarea restrictiilor Pe scurt, procedura are urmatorii pasi: Se definesc inecuatiile liniare in u, x, y si Se scriu restrictiile sub forma: z i i i i M x + E u b, pentru toti i = 0,,..., N i i i i i M x b. N N N Se grupeaza pentru a obtine forma: Se inlocuieste x +ϒ X + ε U c.. X =Φ x +Γ U JU c + Wx.. si se rearanjeaza in forma:

21 Functia de cost Functia de cost N T T T N N i i i i i=00 ( ) V ( x, U ) : = x Px + x Qx + u Ru tinand cont ca x : x, poate fi rescrisa ca = 0 ( ) T T T ( T V x, U = U GU+ U Fx+ x Q +Φ ΩΦ) x 2 pentru matricile F, G si Ω definite in cursul anterior. Matricea G 0 daca P = 0, Q = 0 si R 0.

22 Proleme patratice (QP) Definitie (problema patratica - QP): Dandu-se matricile Q si A si vectorii c si b, problema de optimizare T T min θ Q θ + c θ θ 2 tinand cont de A θ b se numeste problema patratica. Propozitie Daca Q 0 atunci: in problema patratica de mai sus,. Problema de optimizare este convexa strict. 2. Un minim global poate fi gasit intotdeauna. 3. Minimul global este unic.

23 Solutiile prolemelor patratice

24 Scrierea problemelelor ca QP Multe probleme pot fi puse sub forma unor probleme patratice Exemplu: Restrictii neliniare. T T min θ Qθ + c θ T T min θ Qθ + c θ θ 2 θ 2 { T T } T T tinand cont de max e θ, f θ tinand cont de e θ b, f θ b Exemplu: Functie de cost neliniara. min c T θ min δ θ θ, δ tinand cont de A θ b tinand cont de A θ b T c θ δ 0 T c θ δ 0

25 Control optimal restrictionat ca QP Problema optimala de control restrictionata este U T GU+ T U 2 min T T U Fx tinand cont de JU c + Wx Aceasta este o problema patratica in forma standard. θ U Q G c Fx A J b ( c + Wx ) Solutia optima este:. Un minim global (cand G = 0). 2. Unic (cand G 0 ).

26 Solutia prin QP Unii parametri QP sunt functii de starea curenta x ( ) ( x ) * Fara restrictii, U x este o functie liniara de x. * Cu restrictii, U este o functie neliniara. ( ) * Trebuie calculat U x prin rezolvarea unei probleme patratice online pentru fiecare x. In Matlab, problema patratica poate fi rezolvata utilizand ( ) U=quadprogG,F*x,J,C+Wx

27 Implementarea MPC Legea predictiva de control este data de prima comanda din secventa * * K MPC : = u 0 x = I m 0 0 U x ( ) ( ) ( ) ( ) KMPC Din moment ce este neliniara, este o lege de reglare neliniara. U x : R R * n m MPC Dinamica sistemului de control in bucla inchisa este neliniara x k + = Ax k + BK x MPC ( ) ( ) ( )

28 Complexitatea solutiilor Exemplu: Dublu integrator Solutie: Regulator cu 57 de regiuni. Fiecare regiune 0 x k + = x k + u k 0 * ( ) ( ) ( ) i are ( ) Restrictii: u x = v + K x 0 i i u, y 2 y Orizont predictie=2. Cost patratic: 0 Q =,, R = P = 0

Documenti analoghi

STIINTA SI INGINERIA MATERIALELOR. CURS 5 DIAGRAME BINARE DE ECHILIBRU DIAGRAMA FE-C. CRISTALIZAREA ALIAJELOR IN SISTEMUL Fe Fe 3 C.

STIINTA SI INGINERIA MATERIALELOR CURS 5 DIAGRAME BINARE DE ECHILIBRU DIAGRAMA FE-C. CRISTALIZAREA ALIAJELOR IN SISTEMUL Fe Fe 3 C. Diagrama cu solubilitata limitata si formare de eutectic Exista o solubilitate