k=0 2 k cos(3 k πx) º½µ

Transcript

1

2 Ò Ð ÐÓ Ð ÒØÓØ Á Ð Ñ Ø Ð Ö Ú Ø Ó Ø ØÙ ÓÒÓ ÐÓ ØÖÙÑ ÒØÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð³ Ò Ð ÐÓ Ð Ó Ò Ðг ÒØÓÖÒÓ ÙÒ ÔÙÒØÓµ ÐÓ Ð Ó Ò ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓµ Ð Óѹ ÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð Ö Ó ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ º Ë Ð ÙÒÞ ÓÒ Ò Ø Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ Ðг Ò Ò ØÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ò Ø ÚÓµ Ô ÖÐ Ò Ð ÒØÓØ º Æ Ð ÓÒ ÙÖÖ ÕÙ Ø Ò Ð ÐÓ ØÖÙÑ ÒØÓ Ø ÓÖ Ó ÙÒ ÒÓÖÑ Ú ÒØ Ó Ù ÕÙ ÐÐÓ Óѹ ÔÙØ Þ ÓÒ Ð ÑÔÖ ÔÖ Ö Ö º ÁÒ ØØ Ò ÙØ Ð ÙÒ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð ÓÖ Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ò Ö Ó Ö ÔÔÖ ÒØ Ö Ð Ö Ó ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ô Ö ÕÙ ÒØÓ ÓÑÔÐ Ø ÔÓ Ö Ð Ù ÓÖÑ ÓÑ Óѹ Ò Þ ÓÒ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ØÙØØ Ú ÙÒ Ð ØÓ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ð Ö Ó ÔÙ Ö Ø Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö ØÖ ØØ ÙÒ ÓÑ Ò Ó Ð Ñ Ø ØÓ ÚÙÓÐ ÔÐÓÖ Ö ÙÒ ÐØÖÓ ÓÑ Ò Ó Ó Ò ØÖÙ Ö Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ÒÙÑ Ö Ó Ò ÔÖÓÔÓ ØÓº ÁÒ Ó Ò Ó Ò ÙÒ ÐÓÐ ØÓÖ Ò Ö Ó ÑÔ Ó ØÖ ØØ Ö ÒÙÑ Ö ÖÖ Þ ÓÒ Ð Ó ØÖ Ò ÒØ ÒÓÒ ÔÔÖÓ Ñ Ò ÓÐ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ö Þ Ó¹ Ò Ð ÒØÖÓ ÙÒ ÖØÓ Ñ ØÓ ÔÖ ÓÒ º Ê ÙÐØ Ò ÑÔÓ Ð ÕÙ Ð ÐÓÐ ØÓÖ Ú Ù Ð ÞÞ Ö ÙÒ ÓÑ Ò Ó Ò Ò ØÓ ÓÔÔÙÖ Ð³ ÔÐÓÖ Þ ÓÒ ÐÓ Ð ÙÒ Ö Ó ÙÑ ÒØ Ò Ó Ð ØØÓÖ Ò Ö Ò Ñ ÒØÓ Ò Ò Ø ÚÓÐØ º Ä ÙÖ º½ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ø ØÙ Þ ÓÒ Ô Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ sin(/x) Ðг ÔÔ Ö ÒÞ ÒÒÓÙ º ÍÒ ÐØÖÓ ÑÔ Ó Ò Ù ÙÒ Ö Ó ØØÓ Ð ÐÓÐ ØÓÖ ÖÚ ÔÓÓ ÕÙ ÐÐÓ ÑÓ ØÖ ØÓ Ò ÐÐ ÙÖ º¾º Ä ÙÒÞ ÓÒ ÓÒ Ö Ø 6 k= k cos(3 k πx) º½µ Ô Ö ÕÙ ÒØÓ ÔÓ ÔÔ Ö Ö ØÖ Ò ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÓØ Ø Ö Ú Ø ÕÙ Ð ÓÖ Ò º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð ÙÓ Ö Ó ÔÓ Ö ØØ Ø Ò ÒØ Ò Ó Ò ÔÙÒØÓ ½ Ð ÓÚ Ð Ú Ù Ð ÞÞ Þ ÓÒ Ö Ò Ð ÑÓÐØÓ Ô ÓÐ µ ÙÒ ÑÔÖ ÓÒ Ð ØÙØØÓ Ú Ö º ÉÙ ØÓ ÒÓÒ Ù Ô Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ Ø + k= [ k cos(3 k πx)] ÒÓØ ÓÑ

3 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ ¼ ÙÖ º½º Ò Ñ ÒØÓ sin(/x) Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ ÐгÓÖ Ò º Ö Ð ÔÖ Ñ ÙÖ Ò ÐØÓ Ò ØÖ µ гÙÐØ Ñ Ò Ó ØÖ µ ³ ÙÒ Ö ÔÔÓÖØÓ Ò Ö Ò Ñ ÒØÓ Ô Ö 6 º x.. ÙÖ º¾º Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ º½µ Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ ÐгÓÖ Ò º Ö Ð ÔÖ Ñ ÙÖ Ò ÐØÓ Ò ØÖ µ гÙÐØ Ñ Ò Ó ØÖ µ ³ ÙÒ Ö ÔÔÓÖØÓ Ò Ö Ò ¹ Ñ ÒØÓ Ô Ö º Ë Ó ÖÚ ÓÑ Ö ÔÖ Ø Ñ ÒØ ÑÔÓ Ð ÒÓÒ Ó Ò ØÓ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ÙØ Ð ÞÞ ØÓ Ø Ò Ù Ö Ù Ö º ÄÓ ÓÔÓ ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ Ö Ú Ö ÓÑ ÐÓ ØÖÙÑ ÒØÓ Ø ÓÖ Ó ÙÒ ÙÓ ÓÖÖ ØØÓ ÙØ Ð ÞÞÓµ ÙÒÓ ØÖÙÑ ÒØÓ Ö Ò ÐÙÒ Ô ÔÓØ ÒØ Ö Ô ØØÓ ÙÒ ÑÔÐ Ö ÓÐÙÞ ÓÒ Ô Ö ÔÙÒØ µ Ò Ð ÓÖÒ Ö Ò ÓÖÑ Þ ÓÒ ÕÙ Ð Ø Ø Ú ÙØ Ð ÐÐ ÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ Ðг Ò Ñ ÒØÓ Ö Ó ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÐÑ ÒÓ ÒÓ ÕÙ Ò Ó ØØ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ ÖÑ ÒØ ÔÖ Ñ Ð ¾ º ÙÒÞ ÓÒ Ï Ö ØÖ Ã ÖÐ Ì Ó ÓÖ Ï Ð ÐÑ Ï Ö ØÖ ½ ½ ¹ ½ µ ÔÙÖ Ö ÙÐØ Ò Ó ÓÒØ ÒÙ Ô Ö Ó Ò x IR Ô Ö ÔÖ Ú Ø Ò ÒØ Ð Ö Ó Ò Ó Ò ÔÙÒØÓº Ë ÓÒÓ Ø Ð ÕÙ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒÓ ÔÖ Ó ÔÖ Ñ Ð µ ØÖ Ñ Ø ÓÔ Ö Þ ÓÒ

4 Ôº ½ ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ÍÒ ÔÙÒØÓ x Ð ÓÑ Ò Ó f Ñ ÑÓ ÐÓ Ð Ó Ö Ð Ø ÚÓµ Ø ÙÒ ÒØÓÖÒÓ U x Ø Ð f(x) f(x ), x U ÁÐ Ñ ÑÓ ØÖ ØØÓ Ð ÒÓ Ù Ù Ð ÒÞ Ú Ð ÓÐÓ Ô Ö x = x º ÁÐ ÔÙÒØÓ x ÒÚ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Ú Ð Ð Ù Ù Ð ÒÞ ÓÒØÖ Ö º ÁÐ ÓÒ ØØÓ Ñ ÑÓ Ñ Ò ÑÓµ ÐÓ Ð ÒÓÒ Ú ÓÒ Ù Ó ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Ñ ÑÓ Ñ Ò ÑÓµ ÓÐÙØÓ º Æ Ð ÔÖ ÑÓ Ó Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ú Ð Ö Ô ØØÓ ÔÙÒØ ÙÒ ÒØÓÖÒÓ ÕÙ Ò ÔÓ ÓÒÓ Ö Ú Ö ÔÙÒØ Ñ ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Ö ÐÓÖÓ Ø ÒØ Ò Ù Ð ÙÒÞ ÓÒ ÙÑ Ú ÐÓÖ Ú Ö Ö ÐÓÖÓº Æ Ð ÓÒ Ó Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ú Ð Ö Ô ØØÓ ØÙØØ ÔÙÒØ Ðг Ò Ñ Ò Þ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÕÙ Ò Ð Ú ÐÓÖ Ñ ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓµ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÙÑ ÙÒ Ó Ò ÔÓ ÓÒÓ Ø Ö Ú Ö ÔÙÒØ Ò Ù Ø Ð Ñ ÑÓ Ó Ñ Ò ÑÓµ Ú Ò ÙÒØÓº ÑÔ Ó sinx cosx ÒÒÓ Ñ ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÓÐÙØ Ô Ö ½ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ø Ð Ú ÐÓÖ Ú Ò ÓÒÓ ÙÒØ Ò Ò Ò Ø ÔÙÒØ º Ð Ø ÔÙÒØ ÓÒÓ Ò Ñ ÑÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Ò ÒØÓÖÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÓÐ ÔÙÒØ Ø º Ä ÙÒÞ ÓÒ ÑÓ ØÖ Ø Ò ÙÖ º ÒÚ ÙÒ ÑÔ Ó Ö Ó ÓÒ ÙÒ ÙÒ Ó Ñ ÑÓ ÓÐÙØÓ Ù Ñ Ò Ñ ÓÐÙØ Ú Ö Ñ Ò Ñ Ñ Ñ ÐÓ Ð ÓÒ Ú ÐÓÖ Ú Ö º ÙÖ º º Ö Ó sinx/xº ÁÐ ÒÓ ÐÐ Ö Ú Ø f ØÖ ØØ Ñ ÒØ ÓÐÐ ØÓ ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ö ØÑ Ø Ó ÓÑÔÓ Þ ÓÒ Ò Ø µ Ó ÒÚÓÐ ÓÒÓ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö º ÙÒÞ ÓÒ ÒÓÒ Ð Ñ ÒØ ÖÑ ÒØ ÔÖ Ñ Ð ÒÓÒØÖ ÒÓ Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ø Ò ÐÐÓ ØÙ Ó ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð º ÁÒ ÕÙ Ø Ð ÐÓÐÓ ÒÙÑ Ö Ó Ú ÒØ ÙÒÓ ØÖÙÑ ÒØÓ ÕÙ Ò Ó Ø ØÙ Ð º

5 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ ¾ fº ËÙ Ø Ò ØØ Ð Ù ÒØ Ö Ø Ö Ó ÑÓÒÓØÓÒ º Ë f ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò [a,b] Ö Ú Ð Ò (a,b)º ÐÐÓÖ f Ö ÒØ Ò [a,b] ÓÐÓ f (x) x (a,b) f Ö ÒØ Ò [a,b] ÓÐÓ f (x) x (a,b)º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö f (x) = Ô Ö Ó Ò x (a,b) ÐÐÓÖ f Ó Ø ÒØ Ò [a,b]º ÇÓÖÖ ÔÖ Ø Ö Ð Ñ Ñ ØØ ÒÞ ÓÒ Ò ÐÐ³Ù Ó ÕÙ ØÓ Ø ÓÖ Ñ º ij ÔÓØ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ö Ú Ð Ù ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ÒÓÒ Ù ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ µ ÒÞ Ð º Ë ÓÒ Ö Ò ØØ Ð ÙÒÞ ÓÒ f(x) = arctanx+arctan(/x) Ò Ø Ò (,) (,+ ) ÐÓÐ Ò ÓÒ Ð Ö Ú Ø ØÖÓÚ Ô Ö Ó Ò x º f (x) = +x + + ( x ) ( x ) = È ÖØ ÒØÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ö Ú Ø ÒÙÐÐ ÓÚÙÒÕÙ Ò Ð ÙÓ Ò Ñ Ò Þ ÓÒ Ð³ÙÒ ÓÒ Ù ÒØ ÖÚ ÐÐ Ô ÖØ µº ÌÙØØ Ú f() = arctan = π > > π = arctan( ) = f( ), ÕÙ Ò f ÒÓÒ Ó Ø ÒØ º Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ Ò Ù ØÓ Ð Ù ÒØ º Ö Ø Ö Ó Ñ Ò ÑÓ Ñ ÑÓ ÐÓ Ð º Ë f ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò [a,b] Ö Ú Ð Ò (a,b) x ÙÒ ÔÙÒØÓ (a,b)º ÐÐÓÖ x ÙÒ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð f (x) < Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ Ò ØÖÓ x f (x) > Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ ØÖÓ x x ÙÒ Ñ ÑÓ ÐÓ Ð f (x) > Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ Ò ØÖÓ x f (x) < Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ ØÖÓ x Ë f Ò ÓÒØ ÒÙ Ò (a,b) Ð Ñ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÓÑÔÓÖØ Ò Ö ¹ Ñ ÒØ Ö ÑÑ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ø ÒÞ Ð Þ Ö Ô Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ µ

6 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Π Π Π Π ÙÖ º º ÁÐ Ö Ó ÑÓ ØÖ arctanx Ò Ú Ö µ arctan(/x) Ò ÖÓ Óµ Ð ÓÑÑ ÐÐ Ù ÙÒÞ ÓÒ ÔÖÓ Ù ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ò ÐÙ µ Ñ Ø Ð Ó Ø ÒØ Ú Ö Ù Ù ÒØ ÖÚ ÐÐ º ÐÓ ÐÑ ÒØ ÕÙ Ò Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒÓÒ Ó Ø ÒØ ÔÙÖ Ú Ò Ó Ö Ú Ø ÒÙÐÐ Ð ÓÚ Ò Ø f (x ) = ÓÚÚ ÖÓ Ð Ö Ó f Ò x ÙÒ Ø Ò ÒØ Ò Ò Ø ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð º Ë f ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ö Ú Ð Ò [a,b]º Ë f ÓÒÚ Ò [a,b] ÓÐÓ Ö ÙÐØ f(x) f(x )+f (x )(x x ) Ô Ö Ó Ò x,x [a,b]º Ë ÒÚ f ÓÒ Ú Ò [a,b] ÓÐÓ Ö ÙÐØ Ô Ö Ó Ò x,x [a,b]º f(x) f(x )+f (x )(x x ) Ò ÓØØÓÐ Ò Ö Ð Ò Þ ÓÒ ÓÒÚ Ø ÓÒ Ú Ø ÒÒÓ Ò ØÙÖ ÐÓ Ð Ú Ö ÙÖ º º µº Ö Ø Ö Ó ÓÒÚ Øº Ë f ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ö Ú Ð Ò [a,b] ÑÑ ØØ Ö Ú Ø ÓÒ Ò (a,b)º ÐÐÓÖ Ð Ù ÒØ ÓÒ Þ ÓÒ ÓÒÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ f ÓÒÚ Ò [a,b]º

7 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ ÙÖ º º Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒÚ f(x) = x +x+4 Ð Ö Ó ÑÔÖ Ð ÓÔÖ ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø Ò ÒØ Ò Ó Ò ÔÙÒØÓº ÙÖ º º Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒ Ú f(x) = x x+4 Ð Ö Ó ÑÔÖ Ð ÓØØÓ ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø Ò ÒØ Ò Ó Ò ÔÙÒØÓº f Ö ÒØ Ò [a,b]º f (x) x (a,b)º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ØÓ Ô Ö Ö Ó ÓÒ Ð Ù ÒØ Ò Þ ÓÒ º Ë f ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ò Ø ÙÐг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ð Ñ Ø ØÓ I a ÙÒ ØÖ ÑÓ I Ö ÙÐØ f(x) = ± x a

8 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ÐÐÓÖ Ð Ö ØØ ÕÙ Þ ÓÒ x = a ÒØÓØÓ Ú ÖØ Ð fº Ë ÓÖ I ÐÐ Ñ Ø ØÓ ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ë Ø Ò ØÓ Ð f(x) = l x + ÐÐÓÖ Ð Ö ØØ ÕÙ Þ ÓÒ y = l ÒØÓØÓ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð f Ò ÐÐ Ö Þ ÓÒ ÐÐ x Ö ÒØ µº Ò ÐÓ Ñ ÒØ I ÐÐ Ñ Ø ØÓ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ Ø Ò ØÓ Ð f(x) = l x ÐÐÓÖ Ð Ö ØØ ÕÙ Þ ÓÒ y = l ÒØÓØÓ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð f Ò ÐÐ Ö Þ ÓÒ ÐÐ x Ö ÒØ µº ÁÒ Ò I ÐÐ Ñ Ø ØÓ ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ð Ö ØØ ÕÙ Þ ÓÒ y = mx+q (m ) ÒØÓØÓ Ó Ð ÕÙÓ Ò ÐÐ Ö Þ ÓÒ ÐÐ x Ö ÒØ µ [f(x) mx q] = ; º¾µ x + Ñ ÐÑ ÒØ I ÐÐ Ñ Ø ØÓ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ Ð Ö ØØ ÕÙ Þ ÓÒ y = mx+q (m ) ÒØÓØÓ Ó Ð ÕÙÓ Ò ÐÐ Ö Þ ÓÒ ÐÐ x Ö ÒØ µ [f(x) mx q] =. º µ x Ë Ó ÖÚ ÙÒ ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ º¾µ º µ Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ù Ô Ö Ñ ØÖ m q Ðг ÒØÓØÓ Ó Ð ÕÙÓº ÁÒ ØØ Ö ÙÐØ ÑÔ Ó x + [f(x) m x q ] =, º µ Ô Ö ÓØØÖ Þ ÓÒ Ù x + [(m m )x+q q ] = º µ Ð ÑÔÐ m = m q = q º ÁÒÓÐØÖ ØÓ Ó f(x) x + x = m, º µ f(x) mx q = º µ x + x [ f(x) x + x m q ] = º µ x ÓÚÚ ÖÓ Ð º µº ÁÐ Ó Ðг ÒØÓØÓ Ò ÐÐ Ö Þ ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ x ØÙ Ò ÐÓ Ñ ÒØ º

9 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ È Ö ØÖÓÚ Ö Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÙÒ Ú ÒØÙ Ð ÒØÓØÓ Ó Ð ÕÙÓ Ó Ò ÔÖ Ñ Ú Ö ¹ Ö Ö ÙÐØ Ó ØØ Ð º µ Ô Ö ÙÒ m ÔÓ Ú ÐÙØ Ö Ø Ò ØÓ Ð [f(x) mx] = q º µ x ± ÔÔÙÒØÓ ÓÖÒ Ð ÕÙÓØ qº Ë ÔÙ ÔÓ ÔÖÓÚ Ö ÐÑ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ m q ÕÙ Ò Ó ØÓÒÓ Ò Ø ÓÒÓ ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ø º ÑÔ Ó º½º Ä ÙÒÞ ÓÒ f(x) = x = ÓÑ ÒØÓØÓ Ú ÖØ Ð y = x ÓÑ ÒØÓØÓ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð Ò ÐÐ Ö Þ ÓÒ ÐÐ x Ö ÒØ Ò ÕÙ ÐÐ ÐÐ x Ö ÒØ º ÁÒ ØØ x ± x = ±, x ± x =. ÑÔ Ó º¾º Ä ÙÒÞ ÓÒ f(x) = x x = ÓÑ ÒØÓØÓ Ú ÖØ Ð x+ y = x ÓÑ ÒØÓØÓ Ó Ð ÕÙÓ Ò ÐÐ Ö Þ ÓÒ ÐÐ x Ö ÒØ Ò ÕÙ ÐÐ ÐÐ x Ö ÒØ º ÁÒ ØØ f(x) m = x ± x = x ± x x ± x+ = ± ; x x+ = x ± +/x = q = f(x) mx = x x ± x ± x+ = x ± +/x =. Î ØÙØØ Ú Ó ÖÚ ØÓ Ð º µ ÙÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ò Ö Ñ ÒÓÒ Ù ÒØ Ô Ö Ð º¾µ ÓÑ ÑÓ ØÖ Ö Ñ ÒØ Ð Ù ÒØ ÑÔ Óº ÑÔ Ó º º Ë ÓÒ Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ f(x) = xcos Ò Ø Ô Ö x (,) Ô Ö x > º Ê ÙÐØ ( ) logx

10 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ÙÖ º º Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f(x) = x º ËÓÒÓ Ú ÒÞ Ø Ð³ ÒØÓØÓ x+ Ú ÖØ Ð Ò x = ÕÙ ÐÐÓ Ó Ð ÕÙÓ y = x ( ) f(x) x + x = cos =. x + logx Ê ÙÐØ Ô ÖØ ÒØÓ Ú Ö Ø Ð º µ ØÙØØ Ú ÔÓ Ð ÔÖÓÚ Ö ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó ÓÔÔÓÖØÙÒ Ø Ò Ú Ö ÑÓ Ò Ù ØÓµ ( ( ) ) [f(x) x] = x cos = x + x + logx ÙÒÕÙ ÒÓÒ Ó ØØ Ð º¾µº ÍÒ ÙÒÞ ÓÒ f ÔÙ Ú Ö Ð Ô Ù ÒØÓØ Ø ÔÓ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð Ó Ó Ð ÕÙÓ Ø ÒØ ÙÒÓ Ô Ö x + ÙÒÓ Ô Ö x º Ë Ø ÙÒ ÙÐØ Ö ÓÖ ÒØÓØÓ Ö ÙÐØ Ö Ú ÓÐ ØÓ Ð Ø ÓÖ Ñ ÙÒ Ø Ð Ð Ñ Ø º º½ Ô ØØ ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ð Ö Ó Î ÑÓ ÓÖ ÓÑ Ð ÓÒÓ ÒÞ ÐÐ Ö Ú Ø Ô ÖÑ ØØ ÓØØ Ò Ö Ö Ô ¹ Ñ ÒØ ÔÖ Þ Ó Ò ÓÖÑ Þ ÓÒ ÙÐг Ò Ñ ÒØÓ ÕÙ Ð Ø Ø ÚÓ Ð Ö Ó ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ º

11 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ Ë f ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ö Ú Ð Ò x Ø Ð Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ x f(x) f(x )+f (x )(x x ), x x f(x) f(x )+f (x )(x x ), x x º ÓÔÔÙÖ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú f(x) f(x )+f (x )(x x ), x x ÐÐÓÖ x ÔÙÒØÓ Ó Ô Ö fº f(x) f(x )+f (x )(x x ), x x º Ä ÔÖ ÒØ Ò Þ ÓÒ ÙÒ ÑÑ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ ÓÑ ØÖ x Ó Ô Ö f Ð Ö Ó f ØØÖ Ú Ö Ò (x,f(x )) Ð Ö ØØ Ø Ò ÒØ Ð Ö Ó Ñ ÑÓ Ò Ø Ð ÔÙÒØÓ Ò Ð Ò Ó ÕÙ Ò Ó x ØÖ Ò Ø Ô Ö x Ò ¹ ØÖ Ú Ö Ó ØÖ µ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ô ÓÒ Ú ÓÒÚ Ó Ò ÒØ µ ÓÔÔÙÖ ÓÒÚ ÓÒ Ú Ó Ò ÒØ µº Ä Ø Ò ÒØ Ð Ö Ó Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó ÔÙ ÓÖÑ Ö Ò ÓÐ ÕÙ Ð ÓÒ Ð³ ÐÐ ÓÑ ÑÓ ØÖ ÒÓ Ð ÙÖ º º º Ä ÙÖ º Ô Ò ½ ÑÓ ØÖ Ò Ð Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó Ø Ò ÒØ Ú ÖØ Ð º ÙÖ º º ÙÒÞ ÓÒ ÓÒ ÙÒ Ó Ò ÒØ Ò Ú Ö µ ÙÒ³ ÐØÖ ÓÒ ÙÒ Ó Ò ÒØ Ò ÐÙ µº ÁÒ ÒØÖ Ñ Ð Ø Ò ÒØ Ð Ö Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ Ó ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð ÅÓÐØÓ Ô Ó Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ð Ó ÒØÓØ Ó ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ö Ø Ò ¹ ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ó ØÓ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÔÓ / ÓÔÔÙÖ / º ÍÒÓ ØÖÙÑ ÒØÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð ÐÓÖÓ Ö ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ù ÒØ ÑÓ Ó Ö ÙÐØ ØÓ

12 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ a a a a ÙÖ º º ÙÒÞ ÓÒ ÓÒ ÙÒ Ó Ø Ò ÒØ Ó Ð ÕÙ Ò Ð ÔÙÒØÓ a Ð Ñ Ö Ä³ÀÔ Ø Ð Ì ÓÖ Ñ Ä³ÀÔ Ø Ðº Ë ÒÓ f g Ù ÙÒÞ ÓÒ Ö Ú Ð Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ x ÓÒ Ð Ú ÒØÙ Ð Þ ÓÒ x µ Ø Ð f(x) = g(x) =. x x x x Ë g (x) Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ x Ø Ð f (x) x x g (x) ÐÐÓÖ Ø Ò Ð Ð Ñ Ø Ô Ö x x Ð Ö ÔÔÓÖØÓ f(x)/g(x) ÁÒÓÐØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ú Ð Ò f (x) x x g (x) = f(x) x x g(x). ÓÒ Ö ÒÓ Ð Ñ Ø ØÖ Ó Ò ØÖ Ö ÙÐØ f(x) = g(x) = ± ; x x x x f g ÓÒÓ Ö Ú Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ ÐÐ Ñ Ø Ø x = ± º Ò ØÖ ØØ ÙÒÓ ØÖÙÑ ÒØÓ ÔÓØ ÒØ ÕÙ ØÓ Ø ÓÖ Ñ Ô Ó Ù ØÓ Ò ÑÓ Ó ÓÖÖ ØØÓº ÍÒ ÖÖÓÖ ÓÑÙÒ ÓÒ Ø Ò Ð ØÖ ÙÖ Ö Ð ØØÓ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ð³ Ø ÒÞ Ð Ð Ñ Ø Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ÐÐ Ö Ú Ø Ù ÒØ 3 Ù ÐÐ ÙÑ Ö Ò Ó ÒØÓ Ò Å ÖÕ٠ijÀÔ Ø Ð ½ ½ ½ ¼ º

13 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ ¼ Ñ ÒÓÒ Ò Ö Ô Ö Ð³ Ø ÒÞ Ð Ð Ñ Ø Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ º È Ö Ö Ò Ö Ò ÓÒØÓ ÔÖÓÚ ÔÔÐ ÖÐÓ Ð Ù ÒØ ÐÓÐÓ f(x) x x º½¼µ ÕÙ Ò Ó Ð f Ó Ò Ø x sin x ; f(x) = x x =. ÍÒ³ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÑÔÖÓÚÚ ÐÐ Ê ÓРijÀÔ Ø Ð ÔÓÖØ Ö ÐÓ¹ Ð Ö Ð ( xsin x x cos ) x Ó ÖÚ Ò Ó Ø Ð Ð Ñ Ø ÒÓÒ Ø ÓÒÐÙ Ö ÒÓÒ Ø Ò ÑÑ ÒÓ Ð Ð Ñ Ø º½¼µº Ì Ð ÓÒÐÙ ÓÒ Ð Ø º ÁÒ ØØ ÖÓ Ô Ö x f(x) x = xsin x Ò Ó sin Ð Ñ Ø ØÓ ÓÒÐÙ ÓÖÖ ØØ Ñ ÒØ µ Ð Ð Ñ Ø Ö ØÓ x Ø Ù Ù Ð º ÍÒ³ ÐØÖÓ ÖÖÓÖ ÓÑÙÒ ÕÙ ÐÐÓ Ù Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ö Ô Ø Þ ÓÒ ÒÞ ÙÖ Ö Ó Ò Ô Ó Ð ÔÓØ ÒÓ Ö Ô ØØ Ø º ÉÙ Ø ÔÖÓ ÙÖ ÚÓÐØ Ú Ò Ú ÒÞ Ø ÓÐ Ñ ÓÐÓ... =... ÓÒ Ð ÕÙ Ð ÒØ Ò Ð³Ù Ù Ð ÒÞ Ö ØÖÓÚ Ò ØÖ Ð Ñ ÓÐÓ ØÖÓÚ ØÖ ÓÒ Þ ÓÒ Ø Ð Ö Ô ØØÓ ÐÐ ÔÓØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ð³ÀÔ Ø Ðº ÑÔ Ó Ö Ú Ò Ó x 3 x + x (x ) 3 ÓÑÑ ØØ ÙÒ ÖÖÓÖ ÖÓ ÓÐ ÒÓ ØÓ 3x 4x 6x 4 6 = = x 3(x ) = x 6(x ) x 6 = 3x 4x x 3(x ) ÒÓÒ Ô ÙÒ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ð Ð Ñ Ø Ú Ð µ ÕÙ Ò ÓÖÖ ØØÓ ÔÖÓ Ù Ö ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð Ö ÓÐ º ÅÓ ØÖ ÑÓ Ò Ò ÙÒ Ó Ò Ù Ú ÓÐ Ø Ð ÓÒ Þ ÓÒ g (x) Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ Ð ÔÙÒØÓ Ð Ñ Ø º

14 Ôº ½ ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ÑÔ Ó º º Ë ÓÒ Ö Ð Ù ÒØ x + x+sinx+ (x+sinx)e sinx ÄÓ ØÙ ÒØ ÔÖÓÚ Ú Ö Ö ÔÓ ØÓ f(x) = x + sinx + g(x) = (x+sinx)e sinx f (x) x + g (x) = ÌÙØØ Ú ÓÒÐÙ Ö Ø Ð Ò Ð Ð Ñ Ø f/g Ð ØÓº ÁÒ ØØ Ú Ö Ù ØÓ f(x) x + g(x) = x + e sinx Ø Ð Ð Ñ Ø ÒÓÒ Ø º ÁÐ Ø ÓÖ Ñ Ð³ÀÔ Ø Ð ÒÓÒ ÔÔÐ Ð Ô Ö ÒÓÒ Ø ÐÙÒ ÒØÓÖÒÓ x = + Ò Ù ÒÓÒ Þ Ö º g (x) = e sinx (4cos x+cosx(x+sinx)) º¾ Ì Ò ØÙ Ó ÕÙ Ð Ø Ø ÚÓ Ð Ö Ó f ÁÒ Ò Ö Ð³ Ô Þ ÓÒ Ú Ú Ð Ö Ó ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÙÒ³ Ø ÒÞ ÔÖ Ð ÙÓ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÕÙ Ð Ø Ø ÚÓ ØÖ Ù ÐÑ ÒØ ÐÓ ØÙ Ó Ñ ¹ Ø Ñ Ø Óº ÌÙØØ Ú ÓÑ ÑÓ Ô Ö ÐØÖÓ ÒÒ ØÓ Ðг Ò Þ Ó ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÒÓÒ ÑÔÖ Ð Ó Ú ÒÒÓ Ò ÕÙ ØÓ ÑÓ Ó ÔÙ Ô Ø Ö Ñ¹ Ô Ó Ð ÙÒÞ ÓÒ ÙÒ Ú Ö Þ ÓÒ ÑÓÐØÓ Ô ÓÐ Ù ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ÑÓÐØÓ Ö Ò ÓÒ ÖÓÒØ ØÓ ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Ö Ú Ð Ú Ö Þ ÓÒ Ú ÐÓÖ ÐÐ ÙÒ¹ Þ ÓÒ µº ÁÒ Ø Ð Ó ÑÓÐØÓ Ð ÒÓÒ ÑÔÓ Ð ÔÔÖ ÞÞ Ö Ð³ Ø ÒÞ ÐØ Ö Þ ÓÒ ÑÔÓÖØ ÒØ Ðг Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ ÑÔÐ Ô Þ ÓÒ Ú Ú º ÉÙ ¹ Ø ÓÐØ Ö ØØÙÖ ÐØ Ø ÐÐ³Ù Ó ÐÓÐ ØÓÖ Ø Ð ÓÒ ÖÑÓ Ö Ó Ò ØØ Ð ÐÓÖÓ Ñ Ò ÓÒ Ò Ö ÐÑ ÒØ ÔÓ Ñ µ ÓÒÓ Ð ØÙØØÓ Ò Ù Ø ÐÐÓ ÓÔÓº ÁÒ Ø Ð Ú Ö Þ ÓÒ Ò Ø Ú Ð Ö Ó Ö ÙÐØ ÒÓ ÔÔÖ ÞÞ Ð Ö Ñ ÒØ ÓÐÓ Ñ ÒØ ÙÒ Ò Ö Ò Ñ ÒØÓ ÓØØ ÒÙØÓ ÓÒ ÙÒ Ñ Ó Ð µ ÐÐ ÞÓÒ ÒØ Ö Ø º ³ ÐØÖ Ô ÖØ ÓÓÖÖ Ô Ö ÔÖ ÓÖ ÓÚ Ù Ö Ö ÕÙ ØÓ Ò Ð ØÖÙÑ ÒØ Ò Ð Ø Ö ØØ Ò ÕÙ ØÓ Ô ¹ ØÓÐÓ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö ÙÒ Ô ÒØ Ù Ó ÐÐ Ö Ú Ø µ ÓÒÓ Ñ ÞÞ Ò ÙÔ Ö Ð 4 Ø ÒÞ ÙÒ Ñ Ò ÑÓ Ó ÙÒ Ñ ÑÓ ÐÓ Ð ÓÔÔÙÖ ÙÒ Ñ Ó ÓÒ Ú Ø º

15 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ ¾ Ô Ö Ò Ð ÞÞ Ö ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ô Ö ÕÙ ÒØÓ ÓÑÔÐ Ø ÕÙ Ø ÔÓ ÔÔ Ö Ö ÙÒ ÔÖ ÑÓ Ù Ö Óº ÁÒ Ò Ö Ð ÙÒÕÙ ÐÓ ÓÔÓ ÐÐÓ ØÙ Ó ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ ÓÖÒ Ö ÙÒ Ö Þ ÓÒ Ðг Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ð ÓÚ Ð Ö Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÚÙÓÐ Ö ÙÑ ÖÒ Ð Ö ØØ Ö Ø ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ð Ò Ø ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ö Ð Ú Ö Ð Ö Ð f Ò Ù Ö Ð Ù ÒØ Ñ Ð ÚÓÖÓ µ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÑ Ò Ó Ñ Ñ Ð A ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f ÕÙ ÐÓÖ ÕÙ ØÓ ÒÓÒ Ô ØÓ ÑÔ Ó º º Ä ÙÒÞ ÓÒ /x Ö ÔÔÖ ÒØ Ð Ö Ú Ø logx ÙÐг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ (,+ ) Ñ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ ÙÒ ÓÑ ÒÓ Ñ Ñ Ð ØÓ IR {}º µ Ú Ö Ö Ú ÒØÙ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ö ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f ÕÙ Ð ÑÔ Ó ÕÙ ÐÐ Ö ÑÑ ØÖ Ö Ô ØØÓ Ðг ÐÐ ÓÖ Ò Ø º ÉÙ Ø ÖÓ¹ Ø ÒÞ Ú Ö Ð ÓÑ Ò Ó Ø ÒÞ A f ÑÑ ÒØÖ Ó Ö Ô ØØÓ ÐгÓÖ Ò Ð f( x) = f(x)º ÁÒ ØØ ÕÙ Ø ÔÖÓÔÖ Ø Ò Ð Ø ØÖ Ù Ö Ñ ÒØ Ò Ð ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ P = (x,f(x)) Ô ÖØ Ð Ö Ó f ÓÐÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ Q = ( x,f( x)) Ò Ô ÖØ º Ë f Ø Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö º ÍÒ³ ÐØÖ ÑÑ ØÖ ÔÓ Ð ÕÙ ÐÐ ØÖ ÓØØ Ò Ð Ø Ñ ÒØ ÐÐ ÔÖÓ¹ ÔÖ Ø f( x) = f(x) Ô Ö ØÙØØ ÔÙÒØ Ð ÙÓ Ò Ñ Ò Þ ÓÒ A ÙÔÔÓ ØÓ ÑÔÖ Õ٠سÙÐØ ÑÓ ÑÑ ØÖ Ó Ö Ô ØØÓ ÐгÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ú Ð Ö f ÙÒ Ö Ó ÑÑ ØÖ Ó Ö Ô Ø¹ ØÓ ÐгÓÖ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ø ÓÚÚ ÖÓ Ð ÔÙÒØÓ P = (x,f(x)) Ô ÖØ Ð Ö Ó f ÓÐÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ Q = ( x, f( x)) Ò Ô ÖØ º Ë f Ø Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö º ÑÔ Ó º º Ä ÙÒÞ ÓÒ x x n cosx ÓÒÓ ÑÔ ÑÓÐØÓ ÑÔÐ ÙÒÞ ÓÒ Ô Ö Ñ ÒØÖ x x n+ sinx ÓÑÔÓÖØ ÒÓ ÓÑ ÙÒÞ ÓÒ Ô Ö º 5 Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ ØÓ ÔÖÓÔÓ ØÓ ÓÒ ÕÙ ØÓ ÒÓÑ ÒØ Ò Ð³ Ò Ñ Ô ÑÔ Ó Ò Ð Ò Ó Ðг ÒÐÙ ÓÒ µ ÙÐ ÕÙ Ð Ð Ð Ò Ð ÙÒÞ ÓÒ Ò Óº

16 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ x x x x ÙÖ º½¼º Ë ÑÑ ØÖ Ô Ö Ò ØÖ µ Ô Ö ØÖ µ µ Î Ö Ö Ð³ Ø ÒÞ Ú ÒØÙ Ð Ô Ö Ó Ø f ÓÚÚ ÖÓ Ø ÐÑ ÒÓ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ T Ô Ö Ù f(x+t) = f(x) x A Ð Ô Ô ÓÐÓ Ö Ø Ð ÒÙÑ Ö Ô Ö Ó Ó fº ÁÒ Ø Ð ÐÓ ØÙ Ó Ð Ö Ó f Ö ÙÐØ Ô ÖØ ÓÐ ÖÑ ÒØ ÑÔÐ ØÓ ÔÓØ Ò Ó Ð Ñ Ø Ö Ø Ð ØÙ Ó ÓÐÓ ÙÒ Ô ÖØ Ðг Ò Ñ A ÑÔ ÞÞ Ô Ö Ð Ô Ö Ó Ó T Ú Ö ÑÔ Ó sin3x Ô Ö Ó ÓÒ Ô Ö Ó Ó π/3 Ñ ÒØÖ ÒÚ sin x ÒÓÒ Ô Ö Ó µº µ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f Ö Ò Ó Ò Ú Ù Ö ØÓÒÓ Ú ÒØÙ Ð Þ Ö º µ ÐÓÐ Ö Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ø f Ð ØÖ Ñ A Ó Ò ÔÙÒØ ÙÑÙÐ Þ ÓÒ A ÒÓÒ ÔÔ ÖØ Ò ÓÒÓ A Ø Óµ ÕÙ Ò Ó A ÐÐ ¹ Ñ Ø ØÓ ØØ ØÖ Ñ ÓÒÓ ÓÚÚ Ñ ÒØ ± Ø ÖÑ Ò Ö ÓÒ Ù ÒÞ Ð Ú ÒØÙ Ð µ ÒØÓØ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð Ú ÖØ Ð Ó Ð ÕÙ fº ÉÙ ÐÓÖ ÔÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö ÓÐ Ö µ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐÐ Ö Ú Ø ÔÖ Ñ ÓÒ f Ð Ò Ò Ú ¹ Ù Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ù f Ö ÒØ Ó Ö ÒØ ÓÒ Ú Ó ÓÒÚ ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú ÒØÙ Ð ÔÙÒØ Ñ Ò ÑÓ Ñ ÑÓ Ö Ð Ø ÚÓ ÔÙÒØ Ó fº ÁÒ ØØ ÙÒ Ñ Ó ÒÓ f ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÖ Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ÑÓ ÐÓ Ð f Ô ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú µ ÓÔÔÙÖ ÙÒ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð f Ô Ò Ø Ú ÔÓ Ø Ú µº ÔÖÓÔÓ ØÓ Ð ÔÙÒØÓ µ ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ ØÙ ÒØ ÑÔÖ Ò Ø ÒØ Ð Ò Þ ÓÒ ÓÖÑ Ð f Ó Ð³ Ò Ñ ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø Ó Ö ÓÐ Ò Ú Ù ÒÓ Ð ÑÓ Ó ÓÔ Ö Ö fµ ÐÐ Ò Þ ÓÒ Ú Ö ÔÖÓÔÖ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÔÖ Ú Ò Ð Ô Ð ÙÓ ÓÑ Ò Óº Ø Ð ÔÖÓÔÓ ØÓ ÑÓ Ú ØÓ Ò ÔÖ ÒÞ Ð ÙÒÞ ÓÒ

17 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ f(x) = x ÔÙ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÑ Ð Ö Ú Ø logx ÓÐÓ x > Ñ Ð³ÓÔ Ö Þ ÓÒ /x Ò Ó ÕÙ ÐÙÒÕÙ x º ÑÔ Ó º º ÈÖÓÚ ÑÓ ÔÔÐ Ö Ð Ø Ò Ò ÕÙ ÔÓ Ø ÐÐÓ ØÙ Ó Ð Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f(x) = 3 x x 3. ÈÓ Ð³ Ò ÐÐ Ö Ô Ö ÔÙ ÔÖÓÐÙÒ Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ f Ò Ð³ Ö ÓÑ ÒØÓ ÙÑ Ú ÐÓÖ Ò Ø Ú Ò Ò Ó ØØÓ ÔÖÓÐÙÒ Ñ ÒØÓ Ñ ÒØ Ð ÙÒÞ ÓÒ f(u(x)), ÕÙ Ò Ó u(x) g(x) = f( u(x)), ÕÙ Ò Ó u(x) <. ØÓ Ð ÒÓ u(x) = x x 3 Ø ÖÑ Ò ØÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØØÓÖ x Ö ÙÐØ Ö g > Ô Ö x < º Ä ÙÒÞ ÓÒ ÙÒÓ Þ ÖÓ ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ò x = ÙÒÓ ÑÔÐ Ò x = º Ë ÒÓØ ÔÓ g(x) = + x g(x)/x = g(x)/x = x x + ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð Ö ÓРijÀÔ Ø Ð ( ) g(x)+x = x + 3 x ± x ± x = x ± = 3. ( /x ) 3( /x ) 3 (/x ) ÙÒÕÙ Ð Ö ØØ y = x+/3 ÙÒ ÒØÓØÓ Ó Ð ÕÙÓ Ô Ö Ð Ö Ó gº È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð Ö Ú Ø ÑÓ ( x x 3) ( /3) (4x 3x ), x <, 3 g (x) = ( x +x 3) ( /3) ( 4x+3x ), x >, 3 ÕÙ Ø Ö Ð Þ ÓÒ Ù Ù ØÓ Ò x = Ò x = Ð Ö Ú Ø Ú ÒØ Ò Ò Ø º ÁÒ ØØ

18 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ù Ù ÐÑ ÒØ g 4 3x (x) = x ± x ± 3 ( x / x 3/) = +, g 4 3x (x) = x ± x ± 3 ( x / x 3/) = +. ÁÐ ÒÓ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÑÔÖ ÔÓ Ø Ú Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ x = Ô ÖÑ ØØ Ö Ù ØÓ g Ú ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù Ô Ð º ÈÓ ÒÚ g Ñ ÒÓ Ò x = Ð ØØÓ Ð Ö Ú Ø Ö ÙÐØ Ú Ò Ò Ø Ô ÖÑ ØØ Ö g Ò ØØÓ ÔÙÒØÓ ÙÒ Ó Ò ÒØ Ø Ò ÒØ Ú ÖØ Ð º Ë ÒÓØ ÔÓ Ð Ö Ú Ø ÒÙÐÐ Ò x = 4/3 ÓÚ ³ Ò Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ñ ÑÓ ÐÓ Ð º ÌÖ Ð ÑÓ ÐÓ ØÙ Ó ÐÐ ÓÒ Ú Ø g Ô Ö ÑÔÐ Ø Ò Ú ÒØ Ð ÓÒ Ú Ø ÔÓØÖ Ñ Ö ÓÐÓ g ØØÖ Ú Ö Ð ÙÓ ÒØÓØÓ Ó Ð ÕÙÓ Ò ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ Ô Ö x > ÓÔÔÙÖ Ô Ö x < º ÄÓ ØÙ Ó Ðг ÒØ Ö Þ ÓÒ Ö g Ð ÙÓ ÒØÓØÓ ÑÓ ØÖ ÒÚ Ð³ÙÒ Ó ÔÙÒØÓ ÓÑÙÒ Ô Ö x = /9º 4 4 ÙÖ º½½º Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f(x) = 3 x x 3.º ËÓÒÓ Ú ÒÞ Ø Ð³ ¹ ÒØÓØÓ Ó Ð ÕÙÓ Ð Ó Ø Ò ÒØ Ú ÖØ Ð º Ë ÔÙ ÒÓØ Ö Ò Ð Ù Ô Ò ÐгÓÖ Ò ÑÔ Ó º º ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ

19 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ f(x) = x arctan x. Ä ÙÒÞ ÓÒ Ò Ø Ù ØÙØØÓ Ð³ Ö Ð ØØÓ Ð³ÓÖ Ò ÓÚ ÒÓÒ Ø Ò Ð Ô Ö ÓÒØ Ò٠ص Ô Ö º Ò Ó f (x) = + ÔÓ Ø Ú Ô Ö Ó Ò x f ÑÓÒÓØÓÒ ØÖ ØØ Ñ ÒØ +x Ö ÒØ ÒÓÒ Ú ÓÒÓ ÕÙ Ò ÔÙÒØ Ñ Ò ÑÓ Ó Ñ ÑÓº Ø ÔÓ ÙÒ ÒØÓØÓ Ó Ð ÕÙÓ ÕÙ Þ ÓÒ y = xº Π Π Π Π ÙÖ º½¾º Ö Ó f(x) = x arctan x ÑÔ Ó º º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ ( ) arctan log, e x/(x ) x, log x x. log( log( logx))), x x+log x 3 3, x x ÄÓ ØÙ ÒØ ÓÚÖ ÓÖÞ Ö Ò Ð ÞÞ Ö Ö ÕÙ Ø ÙÒÞ ÓÒ ÙØ Ð Þ¹ Þ Ò Ó Ð Ô ÔÓ Ð Ð³ ÒØÙ ØÓ ÔÓ Ö Ö ÓÒ ÖÑ Ó Ñ ÒØ Ø µ ÐÐ ÔÖÓÔÖ

20 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ÒØÙ Þ ÓÒ ÔÔÐ Ò Ó Ò ÑÓ Ó Ø Ñ Ø Ó Ð Ø Ò ØÙ Ó ÐÐÙ ØÖ Ø Ò ÔÖ ¹ ÒÞ º Æ ÐÐ ÙÖ º½ ÓÒÓ Ö ÔÓÖØ Ø Ò ÑÓ Ó Ñ Ø Ó ÐÙÒ Ö ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÔÖÓÔÓ Ø º e x x x x+log x e log( log( log x))) Π Π ÙÖ º½ º ÑÔ Ö 3 3 ( arctan log x ) Π Π ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ØÓ Ô Ö Ö Ó Ó ÖÚ Ò Ó Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ ØÙ Ó ÕÙ Ð ¹ Ø Ø ÚÓ Ð Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ÔÙ Ö ÙÐØ Ö Ð ØÙØØÓ ÒÙØ Ð Ò ÐÙÒ ØÙ Þ ÓÒ Ô ØÓÐÓ º ØÓÒÓ Ò ØØ ÑÔ ÙÒÞ ÓÒ Ò Ù Ð Ø Ò ÔÓ Ø ÓÒÓ ÒÙØ Ð ÓÑ Ò Ð Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ï Ö ØÖ Ò ÐÐ Ú Ö ÓÒ Ò Ù Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÙÒ Ö ØØ Ú ÕÙ Ò Ó Ò ÓÒ Ö ÙÒ Ù ÓÑÑ Ô ÖÞ Ð ÓÖ Ò Ø ÒÞ Ð Ú ØÓµ Ó Ö ØØÙÖ ÑÔÓ Ð ÙØ Ð ÞÞ Ö º Ù ÑÔ Ó Ð Ð Ò f Ø Ð Ö Ò Ö ÑÓÐØÓ ¹ Ð Ô Ö Ð Ú Ö ØÖÙØØÙÖ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ò Ø Ð ÔÙ Ô Ö ÒÓ Ö ÙÐØ Ö ÑÔÓ Ð ØÖ Ö Ð Ö Ó f гÙÒ Ó ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÓØØ ÒÙ¹ ØÓ ÑÔ ÓÒ Ò Ó Ð ÙÒÞ ÓÒ Ò ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ð Ú ØÓ ÔÙÒØ Ðг Ò Ñ Ò Þ ÓÒ º Ä ÙÖ º½ ÙÒ ÑÔ Ó Ò Ø Ð Ò Óº Ë ØÖ ØØ ÐÐ Ó ØØ ÙÒÞ ÓÒ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ò ÕÙ ØÓ ÑÓ Ó Ð³ Ò Ñ ¹ Ò Þ ÓÒ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ö Ð Ù Ó [,] Ò Ó ÑÔÖ ÔÓ Ð Ö Ú Ö Ò ÙÒ ÙÒ Ó ÑÓ Ó x [,] Q Ò ÐÐ ÓÖÑ x = p/q ÓÒ p,q ÒÙÑ Ö Ò ØÙÖ Ð Ø Ð Ð ÐÓÖÓ Ñ ÑÓ ÓÑÙÒ Ú ÓÖ Ò ØÓ ÓÒ Åº º º{p,q} Ô Ö Ó Ø Ð p q ÒÓ ÔÖ Ñ Ö ÐÓÖÓµ ÔÓÒ

21 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ, x =, f(x) = /q, x (,] Q,, x (,)\Q. Ôº ½ ÉÙ Ø ÙÒÞ ÓÒ ÙÒÓ Ø ÒØ ÑÔ ÙÒÞ ÓÒ ÖÚÓÒÓ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒÚ ÒÞ ÓÒ Ù Ö Ð ØÙ ÒØ µ Ø ÒÓ ÓÐÓ ÙÒÞ ÓÒ Ø ÒØÓ Ö ÓÐ Ö Ð ÐÓÖÓ Ö Ó ÔÙ Ö ØÖ ØÓ Ø Ò Ó Ð Ô ÒÒ Ð Ó Ð Ó Ö ØØÙÖ Ð Ô ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ò ØÓ ÚÓÐØ º ÁÒ ØØ ÔÙ ÔÖÓÚ Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ Ê Ñ ÒÒ ÓÒØ ÒÙ Ò ØÙØØ ÔÙÒØ Ö Þ ÓÒ Ð Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [,] ÓÒØ ÒÙ Ò ØÙØØ ÔÙÒØ ÖÖ Þ ÓÒ Ð ÐÐÓ Ø Ó ÒØ ÖÚ ÐÐÓº ÓÔÔÓÖØÙÒÓ ÒÓØ Ö Ð ÙÓ Ö Ó ÒÓÒ ÔÙ Ö ØÖ ØÓ ÒÞ Ø Ö Ð Ô ÒÒ Ð Ó Ð Ó ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ò Ò ØÓ ÚÓÐØ ÕÙ Ò ØØÓ ÒÓÒ ÔÙ Ö ØÖ ØÓµº ÙÖ º½ º ÑÔ ÓÒ Ñ ÒØÓ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ê Ñ ÒÒ Ò ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÔÙÒØ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ð Ú ØÓ º ËÚ ÐÙÔÔ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ì ÝÐÓÖ Æ Ð Ô ØÓÐÓ ÑÓ ÒØÖÓ ÓØØÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÑ Ö ÔÓØ ÒÞ Ò ÑÓ Ó ÑÓÐØÓ Ò ÓÖÑ Ð ØØÓ ÑÓ ØÖ Ò ÓÒ ÓÐÓ Ð Ö Ó 6 Î Ö º ÊÓ Ó º ÎÐ Á Ø ØÙÞ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÚÓÐØ Ö Þ Ø Ø È Ø ÓÖ ØÖ ÖÐ ÓÐÓ Ò ½ º 7 ÖÓÓ Ì ÝÐÓÖ ½ ½ ½º

22 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ö ÑÓ ÓÖ ÙÒ Ù Ø Þ ÓÒ ÙÒ ÔÓ³ Ô Ò Ð Ø ÕÙ Ö ØÖ Ñ Ø Ð Ù ÒØ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖº Ë ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ f Ö Ú Ð n+ ÚÓÐØ Ò x ÓÒ Ö Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó nµ ÐÐÓÖ Ð ÙÒÞ ÓÒ T n (x) = n k= f (k) (x ) (x x ) k ; º½½µ k! R n (x) = f(x) T n (x) Ò Ò Ø Ñ Ô Ö x x Ö ÙÐØ Ò Ó Ò x x R n (x) (x x ) n =. º½¾µ Ë ÔÐ Ø Ð º½½µ T n (x) = f(x )+f (x )(x x )+ f (x ) (x x ) f(n ) (x )! n! Ù Ú Ö Ñ ÒØ Ð Ö Ó T n (x) Ô Ô Ö Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö Ó f ÓÓÖ Ò Ø (x,f(x ))º È Ö x x Ð Ö ÒÞ R n (x) = f(x) T n (x) ØØ Ö ØÓ Ì ÝÐÓÖ µ ÒÓÒ Ò Ò Ö ÒÙÐÐ Ú Ö ÓÒ xº Ä º½¾µ R n (x) Ô Ö x x Ô Ö Ô Ñ ÒØ (x x ) n º Ë ÒÓØ Ò T n R n Ô Ò ÓÒÓ ÓÖØ Ñ ÒØ f x º ÁÐ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó T n ÔÖ Ò Ð ÒÓÑ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ì ÝÐÓÖ Ö Ó n ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f Ö Ð Ø ÚÓ Ð ÔÙÒØÓ x º Ë x = Ø Ð ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÒÓ Å Ð ÙÖ Ò Ú Ö Ô Ò Ù Ú µ Ä ÙÒÞ ÓÒ R n (x) ÔÖ Ò Ð ÒÓÑ Ö ØÓ Ì ÝÐÓÖ ÓÖ Ò n ÐÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ f Ö Ð Ø ÚÓ Ð ÔÙÒØÓ x µº Ç ÖÚ ÑÓ ÔÐ Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒ Þ ÓÒ ÒÞ Ð Ô Ö ÔÓØ Ö Ö Ú Ö T n ÓÒ ÙÒ ÖØÓ Ö Ó n г Ø ÒÞ ØÙØØ Ð Ö Ú Ø f ÒÓ ÐгÓÖ Ò n ÒÐÙ Ó Ñ Ô Ö ÔÓ ÔÖÓÚ Ö Ð º½¾µ ÓÓÖÖ f ÓØ Ø Ò ÐÐ Ö Ú Ø n+¹ Ñ º ÈÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÒÓ ÓØ Ø Ö Ú Ø ÕÙ ÐÙÒÕÙ ÓÖ Ò Ö Ô Ö ÐÓÖÓ ÔÓ Ð Ö Ú Ö Ú ÐÙÔÔ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ö Ó Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ð Ú ØÓº ÓÒ Ö ÑÓ ÑÔ Ó Ð ÙÒÞ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ Ö º ÁÒ ØØ ÔÓ ¹ Ð ÙÒÞ ÓÒ sin Ö ÙÐØ Ö Ú Ð Ò Ò Ø ÚÓÐØ ÓÒ Ö Ú Ø n¹ Ñ Ø Ô Ö ÕÙ Ð ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ k 8 Ð ÒÓÑ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó ÓÞÞ ÓÐ Ò Å Ð ÙÖ Ò ½ ¹½ µº

23 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ sinx, n = 4k, cosx, n = 4k +, sin (n) (x) = sinx, n = 4k +, Ôº ½ ¼ º½ µ cosx, n = 4k +3, ÔÔÐ Ò Ó Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ Ô Ö x = Ö Ú ÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ Å Ð ÙÖ Ò ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ sin sin(x) = n p= ( ) n xp+ (p+)! +R n+(x), º½ µ ÓÚ Ð³ ÒÞ ÑÓÒÓÑ Ö Ó Ô Ö Ô Ò Ð ØØÓ Ð Ö Ú Ø Ô Ö sin ÓÒÓ ÑÔÖ ÒÙÐÐ Ò x = º ÒØ Ö ÒØ ÒÓØ Ö R n+ Ö ÙÐØ Ô Ö Ð Ñ ÑÓ ÑÓØ ÚÓµ Ò Ò Ø ÑÓ Ô Ö x ÓÖ Ò ÙÔ Ö ÓÖ x n+ ÒÓÒ ÓÑ Ò Ò Ö Ð x n+ µº ÍÒ ÐÓÐÓ Ò ÐÓ Ó ÓÒ ÒØ Ö Ú Ö ÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ cos cosx = n p= ( ) p xp (p)! +R n(x) º½ µ ÓÚ ÓÑ Ò Ð Ó Ð ÒÓ R n Ö ÙÐØ Ô Ö Ð Ñ ÑÓ ÑÓØ ÚÓµ Ò Ò Ø ÑÓ Ô Ö x ÓÖ Ò ÙÔ Ö ÓÖ x n+ º ÁÒ ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ØÖÓÚ ÐÑ ÒØ ÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Å Ð ÙÖ Ò ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ exp Ö Þ Ð ØØÓ Ð Ö Ú Ø exp (n) x Ù Ù Ð expx Ô Ö ÕÙ Ð ÒØ ÖÓ n exp = expx = n p= x p p! +R n(x). º½ µ Ä ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ ÓÒ ÒØ ÐÓÐ Ö ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ð Ú ÐÙÔÔ ØÙع Ø Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ú Ø Ò ÕÙ º ÁÒ Ò Ö ÕÙ Ø Ú ÐÙÔÔ ÓÒÓ ÐÓÐ Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ x = ØÓ Ò Ø Ð Ó Ó ÒØ ÙÑÓÒÓ ÓÑ Ò Ð Ó Ð ÒÓµ ÙÒ ÓÖÑ Ô ÖØ ÓÐ ÖÑ ÒØ ÑÔÐ º È Ö ÓÑÓ Ø Ð Ð ØØÓÖ ¹ ÑÓ Ö ÔÓÖØ ØÓ Ò ÐÐ Ø ÐÐ º½ Ð Ú ÐÙÔÔ Å Ð ÙÖ Ò ØØ Ò Ú ÐÙÔÔ ÒØÓØ µ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö º

24 Ôº ½ ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ì ÐÐ º½º ËÚ ÐÙÔÔ Å Ð ÙÖ Ò ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö expx n p= x p p! +R n(x) log(x+) n p= ( ) p xp p +R n(x) sinx cosx n p= n p= ( ) n xp+ ( ) p xp (p+)! +R n+(x) (p)! +R p+(x) arcsinx n p= arccosx π n arctanx n p= (p )!! (p)!! p= x p+ (p )!! (p)!! ( ) p xp+ p+ +R p+(x) x p+ p+ +R n+(x) p+ +R n+(x) È Ö Ó Ò ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ m Ð Ñ ÓÐÓ m!! Ø Ò Ö Ð Ñ ØØÓÖ Ð m ÓÚÚ ÖÓ m Ô Ö m!! = m(m )(m 4)...p ÓÚ p = m Ô Ö!! =, ( )!! = Ë ÒÓØ Ò ÐÐ Ø ÐÐ Ö ÔÓÖØ ØÓ ÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ Å Ð ÙÖ Ò log(x +) ÒÓÒ ÕÙ ÐÐÓ logx ØÓ Õ٠سÙÐØ ÑÓ Ò ÓÐ Ö Ò x = º ÆÓÒ ÑÓ Ò Ò Ö ÔÓÖØ ØÓ ÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ tanx ØÓ Ð ÓÖÑÙÐ ÔÐ Ø Óѹ ÔÐ Ø Ð Ñ ÑÓÖ ÞÞ Ö ØØÓ ÔÓÓ Ù Ø Ð Ñ Ø Ò Ó ÔÖ Ñ Ø ÖÑ Ò ÐÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ ØÖÓÚ tanx = x+ 3 x3 + 5 x x x9 +R (x)

25 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ ¾ ÄÓ Ú ÐÙÔÔÓ Å Ð ÙÖ Ò ÔÙ Ö ÙØ Ð ÞÞ ØÓ Ô Ö Ö ØÖÓÚ Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ð ÒÓÑ Ó Æ ÛØÓÒ Ú Ö Ð³ ÔÔ Ò Ø Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ì ÖØ Ð µº ÁÒ ØØ ÔÔÐ ÑÓ Ð Ø ÓÖ Ñ Ì ÝÐÓÖ ÐÐ ÔÓØ ÒÞ ÒØ Ö (+x) n ØÖÓÚ ÑÔÖ Ö Ô ØØÓ Ð ÔÙÒØÓ x = µ ÓÒ Ö ØÓ ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐÓ ØÓ ØÙØØ Ð Ö Ú Ø ÓÖ Ò n+ (+x) n ÓÒÓ ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐ µ (+x) n = +nx+ n(n )!...+ n(n )... x p = n! x + n(n )(n ) x ! n ( ) n x p ; p p= ÐØÓ ÐÐÓÖ x = a/b ØÖÓÚ Ù ØÓ (a+b) n = ( ) n a p=n p b n p. p ÁÒ ØØ ÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ Å Ð ÙÖ Ò ÔÙ ÔÔÐ Ö Ô Ò Ò Ö Ð Ò ÐÐ ÔÓØ ÒÞ (+x) α ÓÚ α IR x > Ú Ù ØÓ Ò ØØ (+x) α = +αx+ α(α ) x α(α )...(α n+) x n +R n (x) n! Ä ÙÖ º½ º½ º½ º½ ÑÓ ØÖ ÒÓ ÐÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÐÓÖÓ ÔÖ Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Å Ð ÙÖ Ò Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ Ö Óµ Ð ÙÖ ÑÓ ØÖ ÒÓ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ØØ Ö ÔÔÖÓ Ñ ÒØ Ø Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ö Ô ØØÓ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ º Í Ò Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ö Ó Ù ÒØ Ñ ÒØ Ð Ú ØÓ ÒÓÒ ÔÖ Ø ¹ Ñ ÒØ ÔÓ Ð Ø Ò Ù Ö Ð Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ù ÕÙ Ð ÚÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ðг Ò Ñ Ò Þ ÓÒ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ º ÒØ Ö ÒØ ÔÖÓÚ Ö ÐÓÐ Ö Ú ÐÓÖ ÕÙ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ ¹ Ö ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Å Ð ÙÖ Ò Ó ÖÚ Ö Ð³ ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÖÖÓÖ Ö ÔÔÖ ÒØ ØÓ Ð Ö ØÓº ÑÔ Ó º½¼º ÓÒ Ö ÑÓf(x) = sinx ÚÓÐ Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÓÒ ÙÒ ÖØÓ Ö Ó ÔÖ ÓÒ sin3º Ò Ø ÒÓ ÓÖÑÙÐ Ô Ö Ø Ñ Ö Ð Ö ØÓ ÔÖ Ó¹ Ö ÒÓÒ Ð ÙØ Ð ÞÞ Ö ÑÓ ÔÖÓ ÑÓ ÖÙØ ÐÑ ÒØ ÐÓÐ Ò Ó ÓÒ ÖÓÒØ Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ ÓÖÒ ØÓ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Å Ð ÙÖ Ò Ö Ón Ò x = 3 ÓÐ Ú ÐÓÖ sin3 ÓÖÒ ØÓ ÙÒ ÓÑÙÒ ÐÓÐ ØÖ Ø Ð Ð ÚÓÖ ÓÒ Ö Ñ Ð º ÁÐ Ú ÐÓÖ ÓÖÒ ØÓ ÐÐ ÐÓÐ ØÖ ÓÑÙÒÕÙ Ù ÙÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÐÓ ÑÓÐØÓ Ñ Ð Ð Ú ÐÙÔÔ Å Ð ÙÖ Òµ.48º Ä Ø ÐÐ º¾ ÓÖÒ Ù Ó Ò Ö Ò ÐгÓÖ Ò Ð Ö Ó Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ù ØÓ Ð Ú ÐÓÖ Ò x = 3 ÓÖ¹ Ò ØÓ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ð Ö ØÓ Ò Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓµº ÁÐ ØØÓ Ú Ö Ó ÒÓ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ½ ¹ ÑÓ Ö Ó Ô Ö ÓØØ Ò Ö ÙÒ ÙÓÒ ÔÖ ÓÒ Ô Ò Ð ØØÓ x = 3 ÒÓÒ ÑÓÐØÓ Ú ÒÓ x = º Ë ÙÒ ÓÒØÓ Ò ÐÓ Ó Ô Ö

26 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ n = n = 4 n = n = ÙÖ º½ º Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ expx ÙÓ ÔÖ Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Å Ð ÙÖ Ò Ð Ú ÐÓÖ n Ò Ð Ö Ó Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö ÔÔÖ ÒØ ØÓ Ò Ð Ö Óµº Ø ÖÑ Ò Ö ÑÔ Ó sin ÓÒ ÒØ ÔÖ ÓÒ Ú Ù ÒØ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó ½½º º ij ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ÁÒ ÑÓÐØ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ó ÙÒ ÖÙÓÐÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ù ÒØ ÔÖÓ Ó ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ f(x) T n (x), Ò Ù Ð³ ÖÖÓÖ Ö ÔÔÖ ÒØ ØÓ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ö ØÓ Ì ÝÐÓÖµ Ø ÒØÓ Ô ØÖ ÙÖ Ð ÕÙ ÒØÓ Ô x Ú ÒÓ x º È ÖØ ÓÐ ÖÑ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ

27 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ n = 3 n = n = 4 n = ÙÖ º½ º Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ log(+x) ÙÓ ÔÖ Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Å Ð ÙÖ Ò Ð Ú ÐÓÖ n Ò Ð Ö Ó Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö ÔÔÖ ÒØ ØÓ Ò Ð Ö Óµº 3 г ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ù n = º ÉÙ Ø ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ú ÐÓÖ f Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ x ÓÒ ÕÙ ÐÐ ÙÒØ ÐÙÒ Ó Ð Ö ØØ Ø Ò ÒØ T (x) = f(x ) +f (x )(x x ) ÓÒÓ ÑÔ Ó ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ x = Ð Ù ÒØ sinx x, tanx x, log(+x) x ÓÔÔÙÖ +x + x, +x x. ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ö Ú Ð f Ò x Ö ÒÞ Ð f Ò x Ð ÙÒÞ ÓÒ df(x) = f (x )(x x ), ÓÒ x ØÓ x IR. º½ µ

28 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ.5 n = n = n = n = ÙÖ º½ º Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ sinx ÙÓ ÔÖ Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Å Ð ÙÖ Òº Ö ÒÞ ÐÐ Ù ÙÖ ÔÖ ÒØ ÓÖ Ô Ö Ó Ò Ú ÐÓÖ n Ò ØÓ Ð Ö Ó Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö ÔÔÖ ÒØ ØÓ n+º Ä ÕÙ ÒØ Ø f df Ñ ÙÖ Ð Ö ÒÞ Ö Ð Ú ÐÓÖ ØØ ÚÓ f Ò x Ð Ú ÐÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ØØÓ ÐÙÒ Ó Ð Ø Ò ÒØ Ð Ö Ó f Ò Ð ÔÙÒØÓ x º ÁÒ ØØ ØØ Ø Ò ÒØ ÕÙ Þ ÓÒ ÕÙ Ò T (x) = f(x )+f (x )(x x ) = f(x )+df f(x) T (x) = f df. ÁÒ ÐØÖ Ô ÖÓÐ Ñ ÒØÖ f = f(x) f(x ) Ñ ÙÖ Ð Ú Ö Þ ÓÒ ØØ Ú ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ (x,x) Ð ÕÙ ÒØ Ø df = f (x )(x x ) Ñ ÙÖ Ð Ú Ö Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ù Ô Ò Ó Ø ØÙ Ö Ð Ö Ó f ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ Ù ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð Ò Ö T Ò (x,f(x )º Ä ÙÖ º½ Ö Ñ Ð Ó ÕÙ ØÓ ÓÒ ØØÓº

29 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½.5 n = n = n = 3 n = ÙÖ º½ º Ö Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ cosx ÙÓ ÔÖ Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Å Ð ÙÖ Òº È Ö Ó Ò Ú ÐÓÖ n Ò ØÓ Ð Ö Ó Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö ÔÔÖ ÒØ ØÓ nº ij ÖÖÓÖ ÑÓ ØÖ ØÓ Ò ÙÖ º½ Ð Ö ÒÞ Ö f(x) f (x )(x x ) Ó Ò ÓÚÚ Ñ ÒØ ÓÐ Ö ØÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ì ÝÐÓÖ f Ö ØØ Ô Ö n = º ÆÓØ ÑÓ Ô Ö Ò Ö Ô Ö ØÙØØ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ð g(x) = a n n +a n x n +...+a x+a T n (x) Ó Ò ÓÒ g(x) Ð Ö ØÓ ÒØ ¹ Ñ ÒØ ÒÙÐÐÓº Æ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ØÓÒÓ Ò Ò Ø Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ú Ö T n Ñ ÒÓ ÓÐÓ Ô Ö Ð ÐØ Ð ÔÙÒØÓ Ò Þ Ð x º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö g(x) = x dg = dx = (x x ) = x ÕÙ Ò Ô Ö Ó Ò ÙÒÞ ÓÒ Ö Ú Ð f df = f x = f dx ÓÚÚ ÖÓ f ØÙØØ Ð ØØ ÙÒ Ö ÔÔÓÖØÓ Ö ÒÞ Ð º º ÁÐ Ñ ØÓ Ó Æ ÛØÓÒ Ô Ö Ð Ö Ö Ð Þ Ö f È Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ Ö Ú Ð ÐÑ ÒÓ Ù ÚÓÐØ ÕÙ Ò ÑÓÐØÓ Ö ÓÐ Ö µ ÔÓ Ð ÓÖÒ Ö ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÐØÓ ÒØ Ô Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ

30 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ì ÐÐ º¾º ÐÓÐÓ sin3 ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Å Ð ÙÖ Ò Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó ½ ÓÖÒ ÙÒ ÔÖ ÓÒ ÐгÓÖ Ò 9 º n T n (3) Ö ØÓ ½ º¼ ¾º ¹½º ½º ½½¾ ¼º ¾ ¼º ¼º¼ ½¼ ½ ¾ ¼º¼ ¼¼ ¼º½ ½¾ ¼º¼¼ ½ ¾ ½½ ¼º½ ¼ ¼º¼¼¼¾ ½ ½ ¼º½ ½½ ¼ ¾ ¼º¼¼¼¼½¼ ½ ½ ½ ¼º½ ½½½ º ½ 7 ½ ¼º½ ½½¾¼¼½ º 9 ½ ¼º½ ½½¾¼¼¼ ¾º¼½½ ¾ ÖÖÓÖ f(x ) f (x )(x x ) x x ÙÖ º½ º Ë Ò ØÓ ÓÑ ØÖ Ó Ðг ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓÒ¹Ð Ò Ö f(x) = º ÑÓ Ú ØÓ Ò ÔÖ ÒÞ Ú Ô ØÓÐÓ µ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø f Ù ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [a,b] Ð ÓÒ Þ ÓÒ f(a) f(b) < ÓÒÓ Ù ÒØ Ô Ö ÔÓØ Ö ÖÑ Ö Ð³ Ø ÒÞ ÐÑ ÒÓ ÙÒÓ Þ ÖÓ f Ò (a,b) Ð Ñ ØÓ Ó Þ ÓÒ Ô ÖÑ ØØ Ó ØÖÙ Ö Ù ÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ Ø Ð ÓÐÙÞ ÓÒ º ÁÐ Ø ÓÖ Ñ Ù ÓÖÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ô Ö Ø Ð Þ ÖÓ ÙÒ Ó Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ÓÒ Ö ØÓº ÁÐ Ø ÓÖ Ñ Ó ØÖÙØØ ÚÓ Ð ÔÖÓÚ Ø ÓÑ Ò Ð Ó Ð Ø ÓÖ Ñ Ú ØÓ Ô Ò ½½ Ð Ô ØÓÐÓ µ ÙÐÐ Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÙÒ Ù ÓÒ ÔÔÖÓ Ñ ÒØ º

31 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ Å ØÓ Ó Æ ÛØÓÒ Ë f ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò [a,b] Ø Ð f(a) f(b) < º ËÙÔÔÓÒ ÑÓ ÐØÖ µf Ö Ú Ð ÐÑ ÒÓ Ù ÚÓÐØ Ò [a,b] µf > Ò [a,b] ÓÔÔÙÖ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú f < µ f ÒÓÒ Ñ ÒÓ Ò [a,b]º ÐÐÓÖ Ø ÙÒÓ ÙÒ ÓÐÓ x (a,b) Ø Ð f( x) = x Ð Ð Ñ Ø ÐÐ Ù ÓÒ x n+ = x n f(x n) f (x n ) º½ µ ÓÚ x ÐØÓ Ó Ò ÒØ ÓÒ ÕÙ Ðг ØÖ ÑÓ Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [a,b] ÓÚ Ö ÙÐØ Ñ Ñ Ò Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ f º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ÇÚÚ Ñ ÒØ ÐÓ Þ ÖÓ Ø Ô Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ø ÒÞ Ð Þ Ö Ô Ò ½½ º Æ ÐÐ ÔÓØ ÑÓ ØØÓ ÑÓÒÓØÓÒ ØÖ ØØ µ f Ø Ð Ð³ x Ò ÙÒ ÓÐÓ ÔÙÒØÓ Ú Ö Ñ ÒØ ÓÚÖ ÔÖ Ñ Ö Ö ÔÓ Ö Ö Ó Ú Ú Ö º ijÙÒ Ø ÕÙ Ò ÓÚÚ º ËÙÔÔÓÒ ÑÓ Ô Ö Ö Ð Ò [a,b] f > f > º ÁÒ ÕÙ Ø ÔÓØ f (a) < f (b) < + Ò ØØ ÒÓÐØÖ f ÓÒÚ ÕÙ Ò f Ö ÒØ º ÁÒÓÐØÖ Ð³ Ø ÒÞ f Ö ÒØ f ÓÒØ ÒÙ Ù [a,b] ÕÙ Ò Ô Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ï Ö ØÖ Ú Ö Ô Ò ½¾ µ Ø Ò ØÓ Ð Ñ ÑÓ f º ÓÒ Ö ÑÓ ÔÓ Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö Ó f ÓÓÖ Ò Ø (b,f(b) Ð Ø Ò ÒØ Ð Ö Ó Ò Ø Ð ÔÙÒØÓ ÕÙ Þ ÓÒ t (x) = f(b) + f (b)(x b) Ä Ö ØØ t Ø Ð Ð³ x Ò Ð ÔÙÒØÓ x = b f(b)/f (b) ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ ÖØ Ñ ÒØ Ñ ÓÖ x Ù ÐÐ ÓÒÚ Ø Ð Ö Ó fº ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ ÐÓÐ ÑÓ Ð Ø Ò ÒØ Ð Ö Ó f Ò (x,f(x )) t (x) = f(x ) + f (x )(x x ) Ä Ö ØØ t Ø Ð Ð³ x Ò Ð ÔÙÒØÓ x = x f(x )/f (x ) ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ ÖØ Ñ ÒØ Ñ ÓÖ x Ô Ö Ð Ø Ö ÓÒ ÔÖ Ñ º ÐÐÓÖ Ú ÒØ Ð Ù ÓÒ x n Ò Ö Ø Ö Ò Ó Ð Ó ØÖÙÞ ÓÒ ØÖ ØØ Ñ ÒØ ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ µ Ð Ñ Ø Ø Ò Ö ÓÖÑ ÒØ xº ÙÒÕÙ Ú ÓÒÚ Ö Ö Ð ÙÓ Ð Ñ Ø l Ò Ö Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ó Ù Ù Ð xº ³ ÐØÖ Ô ÖØ ØÓ Ô Ò Ó Ð Ð Ñ Ø Ò ÐÐ º½ µ ÓØØ Ò l = l f(l)/f (l) ÓÚ ÖÙØØ ØÓ Ð ØØÓ Ò Ó f Ù ÚÓÐØ Ö Ú Ð Ò f Ö ÙÐØ ÓÒØ ÒÙ º ŠгÙÐØ Ñ Ö Ð Þ ÓÒ Ò Ó ÓÐÓ f(l) = ÕÙ Ò l Ó Ò ÔÖÓÔÖ Ó ÓÒ xº Ä ÔÖÓÚ Ò Ð ÐØÖ ÓÐÙØ Ñ ÒØ Ò ÐÓ º

32 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ x x x x ÙÖ º¾¼º ËÙ ÓÒ º½ µ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ f(x) = Ç ÖÚ Þ ÓÒ º½º ÁÐ Ñ ØÓ Ó Æ ÛØÓÒ Þ ÓÒ ÐÑ ÒØ ÒØ ÓÒ¹ ÖÓÒØ ØÓ ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Þ ÓÒ º ÓÔÓ ÓÒ ÖÓÒØÓ ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ø ÙÒÞ ÓÒ ÙØ Ð ÞÞ Ø Ò Ðг ÑÔ Ó º½ Ô Ò ½¾¾ Ó f(x) = x+logxº ÁÐ Ñ ¹ ØÓ Ó ÔÔÐ Ð Ô Ö f (x) = +/x> Ò [/e,] f (x) = /x < º Ä ÙÒÞ ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ ÓÒ Ú Ð ÔÙÒØÓ Ò Þ Ð Ð Ö ÕÙ Ò x = /e ÓÚ f Ñ Ñ º ÁÐ Ñ ØÓ Ó ÓÖÒ Ö Ñ Ð ØØ ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø Ö Þ ÓÒ ÓÑ ÑÓ ØÖ Ð ÕÙ ÒÞ ÐÐ ÔÖ Ñ Ø Ö Þ ÓÒ , , , , , ÍÒ Ñ ØÓ Ó ÐØ ÖÒ Ø ÚÓ ÕÙ ÐÐÓ Æ ÛØÓÒ ÓÒ Ø Ò Ð ØÖ Ö Ð ÒØ Ö ÔÙÒØ ØÖ Ñ Ð Ö Óº Ä ÔÓØ ÒÒÓ Ù f ÓÒÓ Ð Ø Ð Ñ ØÓ Ó Æ ÛØÓÒ Ð ÒØ Ô Ö ÔÙÒØ ØÖ Ñ Ø Ð Ð³ Ò b a x = b f(b) f(b) f(a) ÕÙ ØÓ Ô ÖÑ ØØ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ x º ÑÑ ØÓ Ú Ö Ö a < x < b Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ðг Ö f(a) < < f(b) Ó Ú Ú Ö º ÇÖ ÓÓÖÖ Ø Ò Ù Ö Ù f (x)f (x) > ÓÒ Ö Ð ÒØ Ô ÒØ Ô Ö (x,f(x )) (b,f(b))º ÁÐ ÔÙÒØÓ Ò Ù ÕÙ Ø ÒÙÓÚ ÒØ Ø Ð Ð³ b x x = b f(b) f(b) f(x ).

33 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ ¼ ÁØ Ö Ò Ó Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ó ØÖÙ ÙÒ Ù ÓÒ ÑÓÒÓØ Ò Ö ÒØ Ðг ÒØ ÖÒÓ Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ (a,b) Ð Ø ÔÓ b x n x n = b f(b) f(b) f(x n ). º½ µ Ë ÒÚ f (x)f (x) < Ð Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ò Ö ÙÒ Ù ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ ÒØ ÖÒ Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ (a,b) Ø Ð Ù ÓÒ Ö Ú x n a x n = a f(a) f(x n ) f(a). º¾¼µ ÄÓ ØÙ ÒØ ÔÖÓÚ ÑÓ ØÖ Ö Ò Ó Ò Ó Ð Ù ÓÒ ÓÒÚ Ö ÐгÙÒ Ó Þ ÖÓ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ fº a x x x b ÙÖ º¾½º ËÙ ÓÒ º½ µ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ f(x) = º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó f (x)f (x) > Ð Ù ÓÒ ÑÓÒÓØ Ò Ö ÒØ Ç ÖÚ Þ ÓÒ º¾º ÁÐ Ñ ØÓ Ó Æ ÛØÓÒ ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ ÒØ ÓÒÓ ÒØÖ Ñ Ñ ØÓ ÑÓÐØÓ ÒØ ÓÒ ÖÓÒØ Ø ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Þ ÓÒ º ÌÙØØ Ú Ð Ñ ¹ ØÓ Ó Æ ÛØÓÒ ÒÞ³ ÐØÖÓ Ð Ñ Ð ÓÖ Ò ÓÐÙØÓº ÁÒ ØØ ÓØØÓÔÓÒ Ò Ó Ø Ø Ú Ö Ð Ñ ØÓ Ó ÐÐ ÒØ ÙÐÐ ÓÐ Ø ÙÒÞ ÓÒ ÑÓ Ù ØÓ f(x) = x+log(x)µ ØÖÓÚ ÒÓ Ú ÐÓÖ Ø Ö Ø Ø Ð ÙÐÐ ÓØØ Ú Ö Ñ Ð ÓÔÓ ½¼ Ø Ö Þ ÓÒ ÓÒØÖÓ Ð Ð Ñ ØÓ Ó Æ ÛØÓÒº