ATTIVITÀ SCIENTIFICA. Problemi di estensione in Geometria Complessa.

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1 Nato a Roma ha conseguito la laurea in Scienze Matematiche all'università "La Sapienza" di Roma nel febbraio del 1962: la tesi, che ha ha vuto come relatore Gaetano Fichera, verte sui problemi al contorno per le equazioni differenziali alle derivate parziali. L'attività scientifica inizia come assistente di Aldo Andreotti alla cattedra di Geometria Superiore della Facoltà di Scienze dell' Università di Pisa. Professore incaricato di Geometria e di Geometria Superiore nell'università di Pisa; libero docente in Geometria nel 1969; nel marzo del 1971 è nominato professore straordinario di Geometria nell'università di Ferrara. Dal 1973 al 1981 insegna all'università di Firenze. A partire dal 1981 ricopre la cattedra di Geometria Superiore presso la Scuola Normale Superiore di Pisa. Professore visitatore in numerose Università e Istituzioni scientifiche straniere, haem An a tenuto conferenze su invito in vari convegni internazionali. Nel 1999 ha ricevuto la medaglia per la Matematica dell'accademia dei XL. Nel 2001 gli è stato conferito il Premio «Antonio Feltrinelli» per la Matematica, Meccanica e Applicazioni. ATTIVITÀ SCIENTIFICA L'ambito delle ricerche è la Teoria geometrica e analitica delle funzioni olomorfe di più variabili. I temi trattati nelle pubblicazioni di cui è autore, o coautore, riguardano alcune tra le principali problematiche che, nel corso degli anni, hanno caratterizzato il panorama internazionale delle ricerche nel campo. Problemi di estensione in Geometria Complessa. Vari lavori sono dedicati alle proprietà di estensione di 'oggetti analitici'. Particolarmente innovativo il teorema di estensione olomorfa per funzioni CR contenuto in [26]. Il risultato, successivamente generalizzato in [27], ha dato origine a numerose ricerche di vari autori ed è alla base dello studio dei 'sottoinsiemi rimovibili' della frontiera di un dominio di Cn. Spazi complessi e coomologia. Tra i risultati più significativi ottenuti, oltre al teorema di immersione per gli spazi analitici reali [2] e ai teoremi di finitezza per la coomologia degli spazi complessi p-convessi e q-concavi nel senso di Andreotti e Grauert [6] si collocano il teorema di immersione proiettiva per le varietà pseudoconcave [7] e i teoremi di struttura e di esistenza per le Modificazioni analitiche [13], [14]. Va evidenziato il carattere assolutamente originale della tecnica di costruzione di modificazioni analitiche a partire dalle modificazioni formali usata in [15], che estende, alla categoria degli spazi complessi, i risultati di M. Artin e Moishezon in Geometria algebrica. La trattazione della teoria delle Modificazioni analitiche, alla luce del metodo così proposto e dei risultati ottenuti, stata ripresa e sistematizzata in un volume di più ampio respiro [19]. Algebre di funzioni olomorfe. Alla teoria delle algebre di funzioni olomorfe sono dedicati vari lavori, in particolare [20], [21], [22]. Problemi rilevanti come la determinazione dello spettro e la generazione finita di ideali vengono ricondotti a teoremi di esistenza per l'equazione u=f.

2 Bordi di varietà Levi piatte e equazione di Levi. Originato dallo studio dell'inviluppo d'olomorfia di sottoinsiemi compatti delle sottovarietà differenziabili di Cn, il problema dell'esistenza di una varietà Levi piatta con bordo compatto assegnato ha avuto varie risposte positive per lo spazio C2. Nell'ampio lavoro [51] il problema per bordi non necessariamente compatti è risolto con l'ipotesi che essi siano grafici. La dimostrazione dei teoremi di cui sopra ha alla base un risultato fondamentale per la geometria CR, il teorema formulato da Bishop sull'esistenza delle famiglie di dischi analitici. Nel lavoro [39] si propone un metodo diverso di dimostrazione basato sull'esistenza di soluzioni viscose del problema di Dirichlet per l'equazione di Levi. Il metodo consente di trattare in forma più generale il problema dei bordi per sottovarietà di C2 aventi 'curvatura di Levi' assegnata [31], [39], [47]. Lo studio dell'equazione di Levi offre motivi d'interesse più generale. L'operatore di Levi infatti è un modello, geometricamente significativo, di operatore quasi lineare, ellittico degenere(cfr.[61], bibliografia). Evoluzione di sottoinsiemi compatti di C2. In ogni teoria geometrica è insito un 'naturale' concetto di evoluzione dei suoi oggetti, in rapporto alle proprietà geometriche o funzionali che si intendono studiare. Nella definizione proposta in [54] l'evoluzione di un compatto K di C2 è governata da un problema parabolico per l'operatore di Levi. I risultati principali riguardano gli effetti della pseudoconvessità sull'evoluzione. Lo studio risulta strettamente connesso alle problematiche accennate in precedenza: dalla sua estensione [56] deriva anche che l'evoluzione di un grafico con bordo fissato ha come 'oggetto limite' la varietà Levi piatta con lo stesso bordo. Infine, sulla scorta dei lavori precedenti, in [57] viene studiato un nuovo tipo di evoluzione. Il risultato principale è piuttosto significativo: l'inviluppo di Stein di K si ottiene aggiungendo i punti in cui la soluzione del problema parabolico 'decade' a zero. BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE [1] Tracce delle funzioni olomorfe sulle sottovarietà analitiche reali d'una varietà complessa, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Serie III. Vol XX, Fasc.1 (1966), [2] Teoremi d'immersione per gli spazi analitici reali, (in coll. con A. Tognoli), Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Serie III. Vol. XXI. Fasc. IV (1967), [3] Complessificazione di un gruppo di Lie reale, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Serie III. Vol. XXII. Fasc. I (1968), [4] Sulla topologia dello spettro di un'algebra di Banach, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Serie III. Vol. XXIII. Fasc. III (1969),

3 [5] Un théorème d'hartogs, Comp. Math., Vol. 21, Fasc. 1 (1969), [6] A remark on the vanishing of certain cohomology groups, (in coll. con A. Andreotti), Comp. Math., Vol. 21, Fasc. 4 (1969), [7] Some Remarks on Pseudoconcave Manifolds, (in coll. con A. Andreotti). Essays on Topology and related Topics, Memoires dédiés à Georges derham. Publiés sous la direction de André Haefliger et Raghavan Narasimhan, Springer-Verlag [8] A remark on the Banach algebra LH (Dn), Boll. U.M.I. (4), N. 2 (1969), [9] Inviluppo d'olomorfia e spazi pseudoconcavi, Ann. di Mat. Pura e Applicata (IV), Vol. LXXXVII (1970), [10] On some finiteness properties of topological algebras, Istituto Nazionale di Alta Matematica, Symposia Mathematica, Vol. XI. [11] Modifications des espaces complexes-i, Ann. di Mat. Pura e Applicata (IV) Vol. CIII (1975), [12] An embedding theorem for q-strongly pseudoconcave manifolds, Quart. J. Math. Oxford (2), 29 (1978), [13] Structure Theorems for Modifications of Complexes Spaces, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, Vol. 59 (1978), [14] Théorèmes d'existence pur les modifications analytiques, (in coll. con V. Ancona), Inventiones math. 51 (1979), ) Valeurs au bord des formes holomorphes, (in coll. con S. Lojasiewicz), Several Complex Variables, Proceedings of International Conferences, Cortona, Italy [16] Finiteness Properties of Topological Algebras I, (in coll. con A. V. Ferreira), Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Classe di Scienze, Serie IV, Vol. V. n. 3 (1978), [17] Geometria e analisi complessa, (Conferenza tenuta a Palermo il 28 Settembre 1979 in occasione dell'xi Congresso dell'u.m.i.), Boll. U.M.I. (5) 17-A (1980), [18] Traces of pluriharmonic functions, (in coll. con P. de Bartolomeis), Comp. Math., Vol. 44, Fasc. 1-3 (1981), [19] Modifications Analytiques, (in coll. con V. Ancona), Lect. Notes in Math. 943, Springer-Verlag ) Finitely Generated Ideals in A (D), (in coll. con P. de Bartolomeis), Adv. in Math., Vol. 46, No 2, Nov. 1982, [21] Idéaux de type fini dans A (D), (in coll. con P. de Bartolomeis), C. R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (21

4 septembre 1981), note présentée par P. Malliavin. [22] Sur les algèbres A0(D) et A (D) d'un domaine pseudoconvexe non borné, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, (1978), [23] Sur l algèbre A (D) d'un domaine strictement pseudoconvexe non borné, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 295 (27 septembre 1982), note présentée par P. Lelong. [24] L'algebra delle funzioni olomorfe di ordine finito, Riv. Mat,. Univ. Parma (4) 10, (1984), [25] Sur l'algèbre des fonctions holomorphes à croissance polynomiale, (in coll. con P. Cerrone), Bull. Sc. math., 2me série, 108 (1984), [26] Un teorema di estensione per le CR-funzioni, (in coll. con G. Lupacciolu), Ann. di Mat. Pura e Applicata (IV), Vol. CXXXVII (1984), [27] Extension of CR-functions, Seminar on Deformations, Proceedings, Lodz-Warsaw , Lect. Notes in Math. 1165, Springer-Verlag. [28] Estensione di oggetti CR, Univ. di Bologna, Dip. di Matematica, Seminari di Geometria [29 Extension d'objets CR, Math Z. 194 (1987), [30] u=f: esistenza di soluzioni limitate in domini non limitati, (in coll. con C. Parrini), Boll. U.M.I. (7) 1-B (1987), [31] Geometric properties of solutions of the Levi-equation, Mathematica Gottingensis, Schriftenreihe des Sonderforshungsbereichs Geometrie und Analysis, Helft 42 (1987). [32] Geometric properties of solutions of the Levi-equation, Ann. Di Mat. Pura e Applicata (IV), Vol. CLII (1988), [33] Infinitesimal Bendings of CR-Hypersurfaces, (in coll. con G. Gigante), Boll. U. M. I. (7) 4-B (1990), [34] Pseudoconformal Invariants and Differential Geometry, Geometry and Complex Variables, Proceedings of an international meeting on the ocasion of the IX centennial of the University of Bologna, Lect. Notes in pure and Appl. Math. vol. 132 (ed. by S. Coen), Marcel Dekker, Inc [35] Nonlinear equations related to the Levi form, Rend. Circolo Mat. di Palermo, Serie II. Vol. XL (1991), [36] CR-structures on a Real Lie algebra, (in coll. con G. Gigante), Adv.in Math. 94, N. 1 (1992), [37] CR-structures on a real Lie algebra, (Nota in coll. con G. Gigante presentata da E. Vesentini nella seduta del 9 Febbraio 1991), Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, v.2 (1991),

5 [38] Deformations of Complex Structure on a Real Lie Algebra, (in coll. con G. Gigante), Complex Analysis and Geometry, The University series in Mathematics ed. by V. Ancona and A. Silva, Plenum Press [39] Weak Solutions for the Levi Equation and Envelope of Holomorphy, (in coll. con Z. Slodkowski), J. Funct. Anal., 101, No. 2 (1991), [40] Levi equation in higher dimension, (Nota in coll. con Z. Slodkowski presentata da E. Vesentini nella seduta dell'11 Maggio 1991), Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, v.2 (1991), [4] The Levi Equation in higher dimension and Relationship to the Envelope of Holomorphy, (in coll. con Z. Slodkowski), Am. J. Math., 116 (1994), [42] Foliations with complex leaves, (in coll. con G. Gigante), Diff. Geom. and its Applications 5 (1995), [43] Positive bundles over foliations with complex leaves, (in coll. con G. Gigante), Riv. Mat. Univ. Parma (5), 3 (1994), [44] Gm,h-Bundles over Foliations with Complex Leaves, (in coll. con G. Gigante), Complex Analysis and Geometry, Proc. of the Conference at Trento, Lect. Notes in pure and appl. math., vol.173 (ed. by V. Ancona, E. Ballico, A. Silva), Marcel Dekker, Inc [45] M-hyperbolic real subsets of complex spaces, (in coll. con G. Gigante e S. Venturini), Pac. J. of Math., Vol. 172, No. 1 (1996) [46] M-Hyperbolicity, Evenness and Normality, (in coll. con G. Gigante), Partial differential equations and its Application, Collected Papers in Honour of Carlo Pucci, Lect. Notes in pure and appl. math., vol. 177 (ed. by P.Marcellini, G. Talenti, E. Marcellini), Marcel Dekker, Inc [47] Geometric Properties of Solutions of the Levi Curvature Equation in C2, (in coll. con Z. Slodkowski), J. Funct. Anal., 138, No. 1 (1996), [48] Levi equation and evolution of subsets of C2, (in coll. con Z. Slodkowski), Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, v. 7(1996), [49] Evolution of Subsets of C2 and Parabolic Problem for the Levi Equation, (in coll. con Z. Slodkowski), Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl Sci. (4) Vol XXV (1997), [50] Analisi complessa (articolo per la voce ''Matematica'' della Storia del Novecento edita dall'istituto dell'enciclopedia Italiana). [51] The Dirichlet problem for Levi flat graphs over unbounded domains, (in coll. con N. Shcherbina), IMRN Intern. Math. Res. Notices n.3 (1999), [52] Levi-flat graphs with a noncompact boundary, (in coll. con N. Shcherbina), C.R. Acad. Sci. Paris, t.325,

6 Série I,(1997), [53] Levi type extremal operators, Riv. Mat. Univ. di Parma (6) 2 (1999), [54 Evolution of special subsets of C2 (in coll. con Z. Slodkowski), Adv. in Math. 152, (2000) [55] Boundaries of Levi flat hypersurfaces of C2, Progress in Mathematics, Vol. 188, 2000 Birkhäuser Verlag [56] Evolution of graph by Levi form, (in coll. con Z. Slodkowski), AMS Series "Contemporary Mathematics" n. 2685, Vol. 268 (2000), [57] Stein hull and evolution, (in coll. con Z. Slodkowski), Math. Ann. 320, (2001). 58) On the cohomology with compact supports for q-complete mixed manifolds, (in coll. con V. Vajaitu), Annali di Matematica 181, (2002). [59] Runge domains and reflexive sheaves, (in coll. con V. Vajaitu), Manuscripta Mathematica 181, (2002). [60] Three-dimensional singularities of a thin plasma slab, (in coll. con F. Pegoraro, S. V. Bulanov, J. I. Sakai ), Phis. Rewiew, V. 64, [61] Levi equation for noncalibrated almost complex structures, (in coll. con G. Citti), in corso di stampa su "Revista matématica Ibero americana". [63] Minimal kernels of weakly complete spaces, (in coll. con Z. Slodkowski), Journal of Functional Analysis 210 (2004) [64] Levi-flat extensions from a part of the boundary, (in coll. con N. Shcherbina), C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003) LIBRI E QUADERNI 1) Lezioni di Geometria, Voll.1, 2, (in coll. con F. Gherardelli e L. A. Rosati), CEDAM, Padova ) Spazi vettoriali topologici, (in coll. con A. Andreotti), Quaderni dell'unione Matematica Italiana 1, Pitagora Editrice, Bologna ATTIVITÀ DIDATTICA Ha tenuto nei vari anni corsi istituzionali e avanzati su argomenti di Analisi complessa, Geometria differenziale reale e complessa, Gruppi e Algebre di Lie, Geometria simplettica, Aspetti geometrici della teoria delle fogliazioni, Teoria delle C*-algebre.