MODULO 2. Rappresentazioni grafiche: Bode e Nyquist V ITI INFORMATICA CORSO DI SISTEMI

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1 V ITI INFORMATICA CORSO DI SISTEMI a.s. 2012/13 MODULO 2 Rappresentazioni grafiche: Bode e Nyquist U.D.2.5: o Diagrammi di Nyquist: regole di tracciamento; U.D.2.3: o Stabilità di un sistema reazionato; U.D.2.4: o Criterio di Bode; o Esercizi risolti; Obiettivi del modulo: Saper analizzare la stabilità di un circuito attraverso il criterio di Nyquist. rev gennaio 2013

2 SOMMARIO SOMMARIO DIAGRAMMI POLARI DI NYQUIST Definizione Regole di tracciamento Esempio sul calcolo dei limiti ESERCIZIO Svolgimento ESERCIZIO Svolgimento ESERCIZIO Svolgimento... 9 I CASO: K 0 > II CASO: K 0 > III CASO: K 0 > ESERCIZIO Svolgimento ESERCIZIO Svolgimento I CASO: K 0 > II CASO: K 0 > Esempi Analisi della stabilità di un Sistema Definizione di stabilità Sistemi a catena chiusa (o reazionati) Guadagno d anello Disturbi Criteri di stabilità: criterio di Nyquist rev gennaio 2013 Pagina 2 di 27

3 1. DIAGRAMMI POLARI DI NYQUIST 1.1. Definizione Il diagramma polare di una funzione complessa F(s), definito anche come diagramma di Nyquist, si disegna rappresentando la sua parte immaginaria e reale al variare della pulsazione ω. In particolare, ponendo s=jω, la F(s) diventerà una funzione complessa con parte reale e immaginaria dipendente da ω. rev gennaio 2013 Pagina 3 di 27

4 1.2. Regole di tracciamento Per tracciare il suddetto diagramma occorre procedere con i seguenti passi. 1. calcolo dei seguenti limiti: (Si veda esempio sul calcolo dei limiti) 2. disegnare gli zeri e i poli sul grafico σ/ω (detto anche piano delle radici): Nel diagramma, i poli vengono indicati con una x, mente gli zeri con una o. 3. tracciare il grafico qualitativo nel piano Re{ F (j ω)}/ Im { F (j ω)} al variare di ω, tenendo conto che: a) i poli negativi (p<0) fanno ruotare la curva in senso orario b) i poli positivi (p>0) fanno ruotare la curva in senso antiorario c) gli zeri negativi (z<0) fanno ruotare la curva in senso antiorario d) gli zeri positivi (z>0) fanno ruotare la curva in senso orario e) l ordine con cui gli zeri e i polo si trovano sul piano σ/ω 4. orientare la curva con delle frecce da ω 0+ a ω + 5. completare il diagramma disegnando la curva simmetrica di quella tracciata rispetto all asse orizzontale, orientandola da ω - a ω 0- in modo da completare la curva precedente. rev gennaio 2013 Pagina 4 di 27

5 1.3. Esempio sul calcolo dei limiti 1. determinare la costante (K), gli zeri (Z) e i poli (P) e calcolare KF e la sua fase: K = 10 p = -100 ω = 100 rad/sec Kst = K(-Z)/(-P) = 10/100 = 1/10 >0 < KF = 0 2. sostituire s = j ω nella F(s): F(j ω) = 10 / (j ω +100) 3. calcolare i limiti del modulo, sostituendo ad ω i rispettivi punti: 4. calcolare i limiti della fase rispettando queste regole: A) Per il calcolo del primo limite occorre tenere conto solo dei contributi di KF e di eventuali zeri o poli all origine. In particolare: a) b) c) calcolo del limite del nostro esempio: B) Per il calcolo del secondo limite, occorre tenere conto sia del risultato del primo limite, sia dei contributi di fase dei vari zeri e poli, secondo queste regole: a) rev gennaio 2013 Pagina 5 di 27

6 b) c) calcolo del limite del nostro esempio: rev gennaio 2013 Pagina 6 di 27

7 1.4. ESERCIZIO 5.1 Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento: Con: K 0, τ 1, τ 2 >0 Svolgimento I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0 +, risultano: Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a, risultano: Dati tali risultati, scaturisce il seguente diagramma di Nyqyust, nel quale viene riportato in rosso il grafico con ed in blu la parte di grafico dovuta ad. Generalmente viene disegnato solamente l andamento qualitativo dovuto ad. rev gennaio 2013 Pagina 7 di 27

8 1.5. ESERCIZIO 5.2 Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento: Con: K 0, τ 1, τ 2, τ 3 >0 Svolgimento I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0 +, risultano: Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a, risultano: Rispetto all esercizio 5.1, si può notare che l aggiunta di un polo ha avuto l effetto di far ruotare il diagramma in senso orario. L aggiunga di uno zero avrebbe avuto l effetto opposto. rev gennaio 2013 Pagina 8 di 27

9 1.6. ESERCIZIO 5.3 Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento: Svolgimento Analizziamo i vari casi: I CASO: K 0 >0 I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0 +, risultano: Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a, risultano: rev gennaio 2013 Pagina 9 di 27

10 II CASO: K 0 >0 In questo caso lo zero fa sentire prima il suo effetto, per cui, anche se la fase finale tende comunque a 180 come nel caso precedente, il diagramma finale risulta essere il seguente: rev gennaio 2013 Pagina 10 di 27

11 III CASO: K 0 >0 Questa volta lo zero farà sentire da subito il suo effetto, per cui il diagramma prima tenderà a 90, ma in seguito l azione dei tre poli lo porterà a -180, come mostra il seguente diagramma: rev gennaio 2013 Pagina 11 di 27

12 1.7. ESERCIZIO 5.4 Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento: Svolgimento I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0 +, risultano: Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a, risultano: Dal risultato di tali limiti, si ha il seguente diagramma di Nyquist: Le intersezioni con gli assi si determinano imponendo le seguenti condizioni: rev gennaio 2013 Pagina 12 di 27

13 Analogamente si determina l intersezione con l asse reale: Per determinare l asintoto verticale, bisogna invece calcolare il seguente limite: rev gennaio 2013 Pagina 13 di 27

14 1.8. ESERCIZIO 5.5 Tracciare il diagramma di Nyquist della seguente funzione di trasferimento: Svolgimento Analizziamo i diversi casi: I CASO: K 0 >0 I limiti di modulo e fase per ω che tende a 0 +, risultano: Mentre, i limiti di modulo e fase per ω che tende a, risultano: Dal risultato di tali limiti, si ha il seguente diagramma di Nyquist: rev gennaio 2013 Pagina 14 di 27

15 II CASO: K 0 >0 rev gennaio 2013 Pagina 15 di 27

16 2. Esempi rev gennaio 2013 Pagina 16 di 27

17 z 1 p 1 σ rev gennaio 2013 Pagina 17 di 27

18 p 2 p 1 z 1 jω σ rev gennaio 2013 Pagina 18 di 27

19 3. Analisi della stabilità di un Sistema STABILE INSTABILE 1.1. Definizione di stabilità Un sistema si dice stabile se ad un ingresso x(t) limitato, corrisponde un segnale di uscita y(t) pure limitato. SISTEMA Studiare la stabilità di un sistema, significa quindi analizzare come reagisce il sistema quando in ingresso sono presenti disturbi o rumori esterni, facendone variare le caratteristiche della grandezza di uscita. In genere un sistema, quando è sottoposto ad opportuni ingressi, tende a stabilizzarsi, dopo un certo tempo che chiameremo transitorio, ad un valore ben preciso e costante, che chiameremo valore di regime. Se per diverse cause (rumori o disturbi), gli ingressi subiscono variazioni, il sistema reagirà modificando la sua uscita, in modo da trovare un nuovo equilibrio. In particolare: rev gennaio 2013 Pagina 19 di 27

20 se la variazione, che è presente durante il transitorio, tende comunque a cessare, per cui l uscita si porterà nuovamente al suo valore di regime iniziale, allora il sistema si dirà stabile; se invece la variazione tende a crescere, il sistema si dirà instabile e l uscita tenderà a crescere di ampiezza finché sarà limitata dalle non linearità del sistema stesso. Nel caso di sistemi elettronici, la stabilità dipende dalla funzione di trasferimento che modellizza il sistema stesso, e in particolare dai suoi poli (cioè i valori che annullano il denominatore). In particolare, data una funzione di trasferimento del tipo : Con: z = zero della funzione di trasferimento; p1 e p2 = poli della funzione di trasferimento. Diremo che: 1. il sistema è instabile quando la sua F(s) presenta almeno un polo positivo Esempio: (p>0): dove: il polo p=+10 ampiezza. a cui corrisponderà un segnale di uscita che tende a crescere esponenzialmente di rev gennaio 2013 Pagina 20 di 27

21 (t) y t 2. il sistema è debolmente stabile se la sua F(s) presenta almeno un polo Esempio: all origine, e tutti gli altri negativi : dove: il polo p1=0; il polo p2=-100<0 in questo caso il sistema, per quanto riguarda il polo nullo, si trova in una situazione piuttosto critica, perché basterebbe una piccola perturbazione esterna affinché l uscita aumenti in modo esponenziale, rendendo instabile il sistema. y t 3. il sistema è stabile se la sua F(s) presenta tutti i poli con parte reale negativa: Esempio: dove: rev gennaio 2013 Pagina 21 di 27

22 il polo p1=-10 (<0); il polo p2=-100 (<0) in questo caso, anche se in ingresso al sistema si dovesse presentare una perturbazione esterna, l uscita, dopo una debole variazione, tenderà ad assestarsi al valore di regime iniziale. (t) y t 1.2. Sistemi a catena chiusa (o reazionati) In genere, soprattutto nel campo dell Elettronica, nasce la necessità di avere dispositivi molto stabili, nonostante eventuali variazioni degli ingressi (innalzamenti bruschi di tensione o altro). Per tale motivo si ricorre all introduzione di opportune reti di reazione negativa che stabilizzano il sistema stesso e lo proteggono da disturbi esterni: si parla in questi casi di sistemi reazionati. Precisiamo che si definisce sistema a catena aperta quello formato da due o più blocchi in cascata, come mostrato in figura: Blocco A Blocco B Si definisce sistema a catena chiusa (o reazionato) quello in cui una parte del segnale di uscita viene riportata in ingresso mediante un opportuna rete di reazione, come mostrato in figura: rev gennaio 2013 Pagina 22 di 27

23 In cui: G(s) funzione di trasferimento del blocco diretto H(s) funzione di trasferimento del blocco di reazione In genere per lo studio dei sistemi reazionati, si definiscono due funzioni di trasferimento : la funzione di trasferimento a catena aperta, ottenuta dallo schema precedente togliendo la reazione e ponendo il blocco di reazione in cascata al blocco diretto, come mostrato in figura: G(s) H(s) da cui, si ricava: la funzione di trasferimento a catena chiusa, riferita allo schema generale prima disegnato, che, con opportuni passaggi matematici, risulta essere: rev gennaio 2013 Pagina 23 di 27

24 1.3. Guadagno d anello La F(s) = G(s) H(s) viene anche chiamata funzione guadagno d anello, perché rappresenta il guadagno del sistema a catena chiusa quando non viene applicato nessun segnale di ingresso. Essa risulta fondamentale per lo studio di un sistema reazionato, perché dal suo segno si stabilisce il tipo di reazione che si sta utilizzando. Più precisamente: se F(s) > 0 si ha un reazione negativa, poiché parte del segnale di uscita viene prelevato e sfasato di 180 rispetto al segnale di ingresso; come conseguenza, si avrà che il guadagno complessivo a catena chiusa risulterà più piccolo rispetto al singolo guadagno del blocco diretto: W(s) < G(s) se F(s) < 0 si ha una reazione positiva, poiché parte del segnale di uscita viene prelevato e riportato in fase con il segnale di ingresso; in tal caso si avrà l effetto contrario, e cioè: W(s) > G(s) In genere, la reazione positiva viene usata per quelle applicazioni in cui si vuole rendere instabile un sistema elettronico: è il caso degli oscillatori e dei generatori di segnali periodici. Invece, la reazione negativa viene utilizzata quasi sempre in quei casi in cui si vuole stabilizzare dispositivi in modo da renderli immuni dalla presenza di perturbazioni esterne indesiderate (ad es. negli amplificatori, ). rev gennaio 2013 Pagina 24 di 27

25 1.4. Disturbi Si definisce disturbo qualunque segnale esterno indesiderato che interagisce col sistema in un punto qualunque dello schema a blocchi. In particolare, facendo riferimento alla seguente figura: Si può affermare che: 1. per quanto riguarda il disturbo D1 presente in ingresso, risulta quello più pericoloso, perché si somma sin dall inizio al segnale utile che ci interessa e con esso amplificato; per tale motivo, se il segnale di ingresso non ha un ampiezza molto più grande del disturbo stesso, in uscita rischia di annegare nel rumore: è necessario allora porre in ingresso un opportuno filtro che tagli i segnali indesiderati e permetta il passaggio solo di quelli utili, ottenendo così in uscita un rapporto segnale/rumore molto alto (S/N + ). 2. per quanto riguarda invece il disturbo D2 presente nella fase intermedia della catena, può considerarsi trascurabile, in quanto, per effetto della reazione, verrà quasi totalmente attenuato rispetto al segnale utile. In conclusione, sono più pericolosi i disturbi in ingresso rispetto a quelli intermedi, perché vengono maggiormente amplificati e quindi presenti ancora nel segnale di uscita, anche se attenuati per effetto della reazione negativa. rev gennaio 2013 Pagina 25 di 27

26 1.5. Criteri di stabilità: criterio di Nyquist Per studiare la stabilità di un sistema reazionato, esistono diversi metodi sia matematici sia grafici, ma quello più usato, senza dubbio, risulta il Criterio di Nyquist. Per applicare il criterio di Nyquist occorre tracciare nel piano complesso il diagramma polare di W(s), tenendo presente che la parte di diagramma relativa alle pulsazioni negative (da a 0), è speculare rispetto all asse reale al diagramma tracciato per ω che va da 0 a, che solitamente si traccia come modello grafico di una F.d.T. Il diagramma polare così costruito, con la prosecuzione matematica nel campo delle pulsazioni negative, prende il nome di diagramma polare completo. Il criterio di Nyquist (generalizzato), per un sistema come quello in figura, in cui: d anello) (Funzione di trasferimento a catena chiusa) (Funzione di trasferimento a catena aperta, o Guadagno afferma che: un sistema è stabile se il diagramma polare completo della F.d.T. di anello W(s) compie intorno al punto di coordinate (-1,j0) (detto punto critico), mentre la pulsazione va da tante rotazioni complete in senso antiorario quanti sono i poli a parte reale positiva della funzione W(s) rev gennaio 2013 Pagina 26 di 27

27 Se dovesse sorgere qualche dubbio nel valutare se un diagramma ruota o meno intorno al punto critico, si prenda in considerazione il vettore che, con origine nel punto critico, descrive con la sua punta il diagramma al variare di ω, che va da a ; in ogni angolo giro descritto nel movimento corrispondente ad una rotazione completa in un verso o nell altro. In definitiva, semplificando, si può dire che: il criterio di Nyquist afferma che se disegnando il grafico della F(s) nel digramma polare di Nyquist, si ottiene che la curva: non circonda il punto (-1, j0), il sistema risulta stabile; passa per il punto (-1, j0), il sistema risulta debolmente stabile; circonda il punto (-1, j0), il sistema risulta instabile. Quello appena esposto prende il nome di criterio di Bode: Un sistema di controllo in retroazione, avente funzione d anello aperto stabile (P=0), è a sua volta stabile se e solo se il diagramma di NUquist della funzione d anello aperto non compie giri attorno al punto (-1,0). rev gennaio 2013 Pagina 27 di 27