Esercitazioni del corso di MACCHINE. per Allievi Energetici. a.a. 2013/14

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1 Corso di Macchine a fluido Dipartimento di Energia, Politecnico di Milano Esercitazioni del corso di MACCHINE per Allievi Energetici a.a. 2013/14

2 Indice 1 Equazioni di conservazione 3 2 Impianti di sollevamento acqua e macchine operatrici idrauliche 5 3 Impianti idroelettrici e turbine idrauliche 13 4 Compressori di gas 18 5 Cicli Rankine e turbine a vapore 24 6 Cicli e turbine a gas 36 2

3 Capitolo 1 Equazioni di conservazione Esercizio 1.1 Una macchina opera tra una pressione di ingresso pari a 10 bar e una pressione di uscita di 6 bar. All ingresso il fluido di lavoro (aria) si trova alla temperatura di 1000 K. La macchina fornisce all esterno una potenza meccanica di 450 kw e cede all ambiente una potenza termica pari a 50 kw. Si vuole determinare la temperatura dell aria in uscita dalla macchina sapendo che la portata è 5 kg/s. Si trascurino le energie cinetiche e la differenza di quota sulle sezioni di ingresso e uscita. (ARIA : R = 287 J/kg K; C p = 1004 J/kg K) Esercizio 1.2 Si consideri una macchina che elabora una portata di 10 kg/s di aria. Le condizioni in ingresso (1) e uscita (2) sono p 1 = 1 bar, T 1 = 20 C, p 2 = 1 bar, T 2 = 400 C; i diametri dei condotti in ingresso in uscita sono D 2 = D 1 = 0.5 m. Il lavoro prodotto è 1/3 del calore entrante. a) Si calcoli la potenza meccanica prodotta dalla macchina. b) Ipotizzando che il calore ceduto alla macchina sia prodotto per mezzo di una combustione esterna di un combustibile con potere calorifico inferiore pari a kj/kg, se ne calcoli il consumo orario. (ARIA : R = 287 J/kg K; C p = 1004 J/kg K) Esercizio 1.3 Una macchina disposta su un asse orizzontale è alimentata da una portata di 10 kg/s di aria (R = 287 J/kg K; C p = 1004 J/kg K) alla pressione p 1 = 10 bar e alla temperatura T 1 = 100 C, da un condotto circolare di diametro D 1 = 100 mm. All uscita della macchina la stessa portata di aria è nelle condizioni p 2 = 2 bar, T 2 = 20 C ed è scaricata da un condotto di diametro D 2 = 300 mm. Dalle pareti non adiabatiche della macchina si rileva una fuga termica verso l esterno pari a 500 kw. Si verifichi se la macchina è motrice o operatrice e a quanto ammonta la potenza meccanica scambiata con l esterno. Esercizio 1.4 Una macchina idraulica (fluido incomprimibile) è caratterizzata da una sezione di ingresso di 0.5 m 2 nella quale la velocità dell acqua è di 6 m/s e la pressione è pari a 1 bar. La sezione di uscita è di 1 m 2 e la pressione allo scarico è di 10 bar. La sezione di uscita è posta ad una quota di 15 m sopra la sezione di ingresso. a) Si calcoli la potenza meccanica effettivamente comunicata dalla macchina al fluido. b) Si ipotizzi ora che la temperatura dell acqua aumenti nell attraversamento della macchina di 0.15 K, si calcoli la potenza meccanica scambiata dalla macchina con l esterno e il rendimento della macchina. Esercizio 1.5 Il rotore di un ventilatore assiale ideale (intubato) ha un diametro medio di 200 mm, una altezza di pala di 50 mm, aspira dall ambiente (p 1 = 1 bar) una portata di 0.5 m 3 /s e ruota ad una velocità di 3000 giri/min. Ipotizzando la componente assiale costante nell attraversamento del rotore ed ammettendo per la palettatura rotorica una deflessione di 20 gradi, si chiede di determinare il lavoro che la macchina riesce a fornire idealmente al fluido. 3

4 Esercizio 1.6 Una macchina centrifuga ideale opera su un fluido non comprimibile secondo i valori sotto riportati: - n = 1500 giri/min - Portata oraria V h = 1000 m 3 /h - Altezza di pala allo scarico B 2 = 20 mm - Diametro medio scarico D 2m = 300 mm - Angolo β 2 = 90 - Altezza di pala all ingresso B 1 = 50 mm - Diametro medio ingresso D 1m = 150 mm Si calcoli il lavoro della macchina in base alle due formulazioni dell equazione di Eulero. Risultati capitolo 1 Esercizio 1.1: Esercizio 1.2: Esercizio 1.3: T 2 = K L = 1.93 MW; ṁc = kg/h M. motrice; L = kw Esercizio 1.4: Lfluido = 3.1 MW; Lesterno = 4.98 MW; η = 0.62 Esercizio 1.5: Esercizio 1.6: l = J/kg l = J/kg 4

5 Capitolo 2 Impianti di sollevamento acqua e macchine operatrici idrauliche Esercizio 2.1 Un serbatoio è posto ad una quota di 25 m dal suolo e ad una pressione pari a quella atmosferica. La tubazione di collegamento dal serbatoio all atmosfera è lunga L= 50 m, ha un diametro D 1 = 200 mm e termina con un boccaglio di diametro d = 80 mm posto al livello del suolo. Il coefficiente di perdita per attrito nel tubo vale λ = Sono note inoltre le seguenti fonti di perdite localizzate: - 5 curve a 90 o (ciascuna con coefficiente di perdita localizzato ξ c = 0.3) - 1 valvola di aspirazione con filtro (ξ c = 0.8) Si chiede di determinare: a) La portata di acqua fluente nell impianto e la pressione nel tubo immediatamente prima del boccaglio in assenza di perdite. b) In presenza di perdite, si calcoli il diametro necessario al boccaglio per ottenere la stessa portata calcolata in precedenza c) Il diametro del boccaglio necessario per ottenere la stessa portata calcolata al punto b con una condotta di diametro D 1= 150 mm. Perdite localizzate: Y c = i ξ c,i V 2 i 2g ; perdite distribuite: Y d = i λ i Li V 2 i D i 2g Esercizio 2.2 In un circuito idraulico due pompe centrifughe poste in serie aspirano acqua da un bacino a pressione atmosferica e la inviano ad un serbatoio mantenuto alla pressione assoluta di 5 bar, posto ad una quota di 25 m superiore a quella del bacino. Considerato che: - il condotto di aspirazione ha diametro interno D a = 70 mm, scabrezza ε a = 60 µm, lunghezza L a = 12 m e perdite di carico concentrate pari a 4 altezze cinetiche; - il condotto di mandata si compone di due tubi in parallelo con diametro interno D m = 42 mm, scabrezza ε m = 50 µm, lunghezza L m = 40 m e perdite di carico concentrate pari a 18 altezze cinetiche; e data la curva caratteristica delle pompe, si chiede di valutare la portata risultante nel circuito. Sapendo che il rendimento organico ed elettrico sono pari rispettivamente a 0.95 e 0.90 e che l assorbimento elettrico di ogni pompa è pari a 7.5 kw, si chiede di determinare il rendimento idraulico della macchina. Equazione caratteristica della pompa: H p = 0.035(Q 15) 2 1.1(Q 15) + 90 con H p in m e Q in m 3 /h. Usare il diagramma di Moody allegato per il calcolo dei coefficienti di perdita distribuita λ. Esercizio 2.3 Un impianto di sollevamento acqua è caratterizzato da: - temperatura dell acqua: 15 C - moto pienamente turbolento 5

6 - condotto di aspirazione: L a = 15 m, D a = 125 mm, perdite concentrate Y a = 700 mm, coefficiente delle perdite distribuite λ = per V = 60 m 3 /h - altezza di aspirazione della pompa: 3 m - NPSH disponibile: 6 m (per V = 60 m 3 /h) - NPSH richiesto: 1.5 m (per V = 60 m 3 /h) Calcolare: a) la portata massima elaborabile dall impianto in assenza di cavitazione b) l altezza massima di aspirazione compatibile con una portata V = 80 m 3 /h c) la portata massima elaborabile in assenza di cavitazione quando la temperatura dell acqua è di 80 C, con altezza di aspirazione di 3 m. Si ipotizzi per semplicità che la pressione dei gas disciolti rimanga costante al variare della temperatura. Esercizio 2.4 Una pompa volumetrica alternativa a semplice effetto è costituida da due cilindri di 0.4 litri l uno e ruota a 750 giri/min. Alle condizioni di normale funzionamento, all interno di un ciclo chiuso, si ha: - rendimento volumetrico: 94% - rendimento idraulico: 77% - rendimento organico: 96% - rendimento del motore elettrico: 96% - potenza assorbita: 7.2 kw Si chiede di determinare: a) portata elaborata e potenza fornita in condizioni di progetto b) velocità di rotazione e potenza assorbita per smaltire una portata pari all 80% di quella di progetto, nell ipotesi di regolare la pompa variando la velocità di rotazione c) Potenza assorbita se la regolazione avviene mediante by-pass. Si ipotizzi nel circuito idraulico condizioni di moto turbolento pienamente sviluppato. [ fluido: acqua. ρ = 1000 kg/m 3, viscosità dinamica µ = Pa s] Esercizio 2.5 Di una pompa centrifuga operante con acqua sono noti: - velocità di rotazione: 2000 giri/minuto - angolo della pala allo scarico: β 2 = 38 - altezza di pala (costante) h = 30 mm - diametro della girante allo scarico D 2 = 140 mm - diametro medio della girante all ingresso D 1 = 70 mm - diametro della flangia di mandata: D M = 250 mm - portata volumetrica V = 50 l/s - rendimento idraulico globale:

7 - pressione statica assoluta nella sezione di ingresso alla girante: p 1 = 3 bar Calcolare le velocità allo scarico della girante, la potenza entrante nella girante e la pressione statica alla flangia di mandata. Si svolga poi lo stesso esercizio nel caso in cui sia β 2 = 90 e β 2 = 128. Esercizio 2.6 Si deve progettare il rotore di una pompa assiale. Il rotore ruota a 1000 Rpm, deve fornire una prevalenza utile di metri e una portata di 0.94 m 3 /s. Lo spazio a disposizione permette di avere un diametro alla base della palettatura di 200 mm e un diametro all apice di 400 mm. Si consideri costante la componente assiale della velocità e si ipotizzi un rendimento idraulico di 0.7. a) In ipotesi monodimensionali, valutate sul raggio medio, si disegnino i triangoli della velocità in grado di realizzare le prestazioni richieste supponendo assiale la direzione del flusso in ingresso al rotore. b) Si tracci uno schizzo di massima evidenziando la metodologia per la definizione del profilo di mezzeria. Esercizio 2.7 Un circuito di sollevamento trasporta acqua fra due bacini grazie all azione di una pompa sommersa (avente curva caratteristica assegnata in Fig. 1) che viene regolata mediante variazione della velocità di rotazione. Il fluido si muove attraverso due tubi posti in parallelo aventi diametro interno 40 mm, scabrezza 50 µm, lunghezza 60 m e perdite di carico concentrate pari a 7 altezze cinetiche. Alla velocità di rotazione di 2500 giri/min, la portata totale fluente nel circuito è pari a 35 m 3 /h. Valutare la velocità di rotazione della pompa in grado di mantenere la portata di 35 m 3 /h nel caso in cui uno dei due tubi sia posto fuori servizio. Valutare altresì la potenza richiesta alla pompa nei due casi supponendo che il rendimento organico ed elettrico siano costanti al variare del carico e valgano rispettivamente 0.95 e H [m] n=2500 RPM efficiecy [-] Q [m 3 /h] flow rate [m 3 /h] Figura 1: Equazione curva (n = 2500 giri/min): H = (Q 15) (Q 15) + 110, con H espresso in m e Q in m 3 /h. Esercizio 2.8 Una pompa centrifuga ha una prevalenza di 40 m e smaltisce una portata di 0.08 m 3 /s, con perdite idrauliche pari a 53.5 m 2 /s 2. La girante ruota a 2850 giri/min e ha pale rivolte all indietro con angolo in uscita di 30 (misurato rispetto alla direzione periferica). Il coefficiente di flusso in uscita ϕ = w 2,M /u 2 vale 0.3. Calcolare il lavoro euleriano, il rendimento idraulico e la potenza assorbita dalla pompa, nonché il diametro esterno D 2 e la larghezza in uscita b 2 della girante. Si supponga η o = 0.90 e η el =

8 Esercizio 2.9 Una pompa radiale ha la bocca con area equivalente a m 2 in aspirazione ed a 0.07 m 2 in mandata. La pompa è mossa da un motore elettrico a 2 coppie polari. In condizioni nominali elabora 60 dm 3 /s di acqua, innalzandone la pressione di 250 kpa. Supponendo la macchina ottimizzata, determinare il diametro della pompa e la potenza assorbita dalla girante. Il motore viene quindi sostituito con un altro a tre coppie polari e la valvola di regolazione azionata in modo da funzionare in similitudine con il caso precedente. Determinare il salto di pressione fra ingresso e uscita della pompa e la potenza nelle nuove condizioni. Esercizio 2.10 Un ventilatore assiale è costituito dal solo rotore di diametro D m = 1 m, altezza di pala h = 200 mm costante; esso elabora una portata Q = 10 m 3 /s di aria e gira a 750 giri/min. Le pale rotoriche sono costituite da profili aerodinamici che deflettono il flusso di 20. Trovare la prevalenza manometrica del ventilatore e la potenza assorbita, supponendo un rendimento idraulico dell 80%. Esercizio 2.11 Il funzionamento di una pompa alla velocità di rotazione di 1500 giri/min è descritto dalla curva caratteristica: Q (m 3 /h) H (m) η (%) L impianto è definito da un dislivello geodetico di 22 m e da una misura sperimentale in cui si rileva una prevalenza richiesta pari a 25 m ad una portata di 100 m 3 /h. Si ipotizzi la curva d impianto parabolica. Si chiede di determinare il punto di funzionamento e la potenza assorbita dalla macchina. Immaginando di regolare la portata sull impianto attraverso la velocità di rotazione della pompa, si chiede di determinare il punto di funzionamento a 1750 giri/min e la potenza assorbita nella nuova condizione. 8

9 ALLEGATI AL CAPITOLO 2 - Tabella proprietà dell acqua in condizioni di saturazione - Diagramma di Moody - Diagramma di Balje per pompe monostadio Tabella proprietà dell acqua in condizioni di saturazione Temp Tensione di vapore [ Densità Entalpia specifica Calore specifico Viscosità dinamica [ o C] [P a] kg/m 3 [kj/kg] [kj/kg] [kg/m s]

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11 11 Esercizi di Macchine

12 Risultati capitolo 2 Esercizio 2.1: (a) Q = m 3 /s; p 1 = 339 kpa (b) d = 82.7 mm (c) d = 93.1 mm Esercizio 2.2: Q = m 3 /s; η y = Esercizio 2.3: (a) Q max = m 3 /s (b) z asp,max = 5.68 m (c) Q 80 C = m 3 /s Esercizio 2.4: Esercizio 2.5: Esercizio 2.6: Esercizio 2.7: Esercizio 2.8: Esercizio 2.9: Esercizio 2.10: Esercizio 2.11: (a) β 2 = 38 : u 2 = m/s; w 2 = 6.16 m/s; v2 = m/s; α 2 = 11.0 ; l e = 286 J/kg; P = 14.3 kw p M = 4.77 bar (b) β 2 = 90 : l e = J/kg; P = 10.7 kw p M = 4.40 bar (c) β 2 = 128 : l e = J/kg; P = 8.58 kw p M = 4.17 bar u = 15.7 m/s; v 1 = 9.97 m/s w 1 = m/s; β 1 = 147.6, v 2 =14.47 m/s; α 2 = 43.6, w 2 = 11.6 m/s; β 2 = 117.7, β = 30 P el,1 = kw; Q 2 = m 3 /h; n 2 = 3289 giri/min; P el,2 = kw l e = J/kg; η y = 0.88; P = 42.6 kw; D 2 = 0.2 m; b 2 = 13.7 mm (a) con D s = 4.5 m; η opt = 0.9 D = m; P = 16.9 kw (b) p = 110 kpa; P = 4.91 kw P gir = 10.0 kw; P = 525 Pa (a) n = 1500 giri/min: Q = m 3 /h; H = 28.9 m; P = 15.3 kw. (b) n = 1750 giri/min: Q = m 3 /h; H = 36.4 m; P = 28.7 kw 12

13 Capitolo 3 Impianti idroelettrici e turbine idrauliche Esercizio 3.1 Di un impianto idroelettrico basato sull applicazione di una turbina Pelton sono note le seguenti caratteristiche: - Caduta disponibile H m : 600 m - Portata disponibile: 4 m 3 /s - Velocità di sincronismo dell alternatore: 750 Rpm - Angolo della palettatura allo scarico: β 2 = 20 o (dalla direzione opposta a quella tangenziale) Si chiede di determinare: 1. I triangoli di velocità in ingresso e uscita alla macchina, il diametro, la potenza prodotta ed il rendimento idraulico in ipotesi di macchina ideale (assenza di attriti) ottimizzata 2. Nel caso si voglia ridurre il salto motore a 500 m senza modificare la geometria ed i giri della macchina, si disegnino i nuovi triangoli di velocità e si calcolino la nuova portata ed il nuovo rendimento 3. Con riferimento al punto 2, si richiede inoltre una verifica della macchina da effettuarsi su di un modello da laboratorio, il cui impianto è definito dalle seguenti caratteristiche: - Caduta disponibile H lab : 30 m - Diametro del modello: 250 mm Si chiede di definire la portata necessaria ad alimentare l impianto di prova, la velocità di rotazione del modello e la potenza del freno da installare nell impianto di prova. Esercizio 3.2 Di un impianto idroelettrico basato sull applicazione di una turbina Francis sono note le seguenti caratteristiche: - Caduta disponibile H m : 120 m - Velocità di rotazione n: 600 giri/min - Portata disponibile: 2.5 m 3 /s - Grado di reazione: χ= Rendimento idraulico: η y = Coeff. di velocità periferica: K p = Assumendo la seguente definizione per il grado di reazione χ = 1 v12 /2g H m, si determini il numero di giri caratteristico ω s (definito in unità del S.I.), la velocità v 1 allo scarico dello statore e il diametro della macchina. 2. Il committente richiede inoltre una verifica preliminare sulle prestazioni della macchina da effettuarsi su di un modello da laboratorio il cui impianto è definito dalle seguenti caratteristiche: - Caduta disponibile H m : 10 m - Diametro del modello: 0.25 m Si chiede di calcolare la portata necessaria ad alimentare l impianto di prova e la potenza richiesta al freno motore del modello. 13

14 Esercizio 3.3 Un impianto idroelettrico produce energia sfruttando il dislivello geodetico pari a 240 m esistente fra due bacini. L acqua viene trasportata dal bacino di monte alla sala macchine attraverso una sola condotta forzata e viene poi distribuita a 3 turbine idrauliche identiche fra loro. Nelle ore di massima richiesta elettrica (punto di funzionamento nominale) sono in marcia tutte le 3 turbine presenti che lavorano nelle seguenti condizioni: - salto motore pari a 200 m - portata complessiva elaborata dall impianto pari a 60 m 3 /s Utilizzando il diagramma di Balje allegato (Fig. 2): 1. Si richiede di determinare la velocità di rotazione ottimale ed il diametro delle macchine, tenendo presente che per motivi economici è necessario realizzare un accoppiamento diretto con l alternatore riducendo al massimo le dimensioni della macchina. Stimato dal diagramma di Balje un opportuno valore di rendimento, determinare la potenza elettrica erogata da ogni macchina, assumendo di avere: - rendimento meccanico η m = rendimento elettrico η e = Nelle ore di bassa richiesta elettrica, è previsto che funzioni una sola delle 3 turbine (senza che venga variata la geometria della macchina). Valutare la potenza erogata dalla macchina supponendo che la curva del rapporto di rendimento idraulico in funzione del rapporto di portate rispetto alle condizioni nominali sia quella di Fig. 3-b: - rendimento idraulico: η I η I,nom = 15 ( V V nom ) ( V V nom ) 0.3 Esercizio 3.4 Una turbina idraulica elabora una portata di 10 m 3 /s; la sezione di uscita della macchina è 1 m 2. Supponendo la depressione massima nella macchina nota e pari a 0.2 bar rispetto alla sua sezione di scarico, valutare la quota di installazione della macchina se si aggiunge allo scarico un diffusore ideale (perdite per attrito ed energia cinetica allo scarico trascurabili) perchè la pressione minima nella macchina non scenda sotto al valore p min =0.15 bar. Ipotizzando nulla la tensione di vapore, una volta installata la macchina a tale quota, per quale portata la macchina inizierà a cavitare? Esercizio 3.5 Una turbina Kaplan che per Q=5 m 3 /s presenta un NP SH r richiesto di 7 m e un NP SH d disponibile di 10 m è installata alla quota di 1.5 m sul livello del pelo libero del bacino di scarico. Allo scarico della girante la pressione dei gas disciolti è 0.03 bar e la tensione di vapore è bar. 1. Calcolare la perdita nel diffusore 2. Determinare la portata massima elaborabile senza cavitare ipotizzando condizioni di moto assolutamente turbolento Esercizio 3.6 Si deve progettare una turbina idraulica assiale con i seguenti dati: - Salto utile H u = 20 m 14

15 - Velocità di rotazione: 250 giri/min - Velocità specifica ω s = 2, diametro specifico (riferito al diametro massimo della girante) D s = Rapporto h/d max = angolo della velocità in ingresso: α 1 = 60 - Rendimento idraulico η y = 0.85, rendimenti organico ed elettrico pari a η o = 0.96, η el = Determinare: 1. La portata smaltita e la potenza elettrica prodotta; 2. I triangoli di velocità sul diametro medio della girante; 3. La quota massima di installazione della turbina rispetto al pelo libero del bacino di valle, sapendo che sulla sezione di uscita della macchina è richiesto un margine di pressione di 25 kpa per evitare la cavitazione, e che le perdite nel diffusore ammontano a Y = Q 2 (dove Q è la portata volumetrica in m 3 /s). La pressione di vapore è p v = 2300 Pa mentre la pressione dei gas disciolti è stimata in p sol = 3000 Pa. 15

16 ALLEGATI AL CAPITOLO 3 Figura 2: Diagramma di Balje per le turbine idrauliche η/η i,nom y= 1.5*x x Q/Q nom Figura 3: a) turbina Pelton; b) Dipendenza del rendimento dalla portata 16

17 Risultati capitolo 3 Esercizio 3.1: (a) v 1 = m/s; w 1 = u = w 2 = m/s; v 2 = m/s; D m = 1.38 m/s; P = 22.8 MW, η i = 0.97 (b) v 1 = m/s; v 2 = m/s; P = 17.2 MW ; V = 3.65 m 3 /s; η i = 0.96 (c) V LAB = m 3 /s; P LAB = 8913 W ; n LAB = 1014 giri/min Esercizio 3.2: (a) ω s = 0.494; v 1 = m/s; D = 0.79 m (b) V LAB = 259 m 3 /h; P LAB = 6.64 kw Esercizio 3.3: (a)... (b) Q = m 3 /h; H = m; P = kw Esercizio 3.4: Esercizio 3.5: Esercizio 3.6: (a) z = 1.66 m (b) Q max = m 3 /s (a) Y = 1.71 m (b) Q max = 6.26 m 3 /s (a) P el = 2.51 MW (b) v 1 = 8.00 m/s, α 1 = 60, u = m/s w 1 = m/s, β 1 = v 2 = 7.52 m/s, α 2 = , w 2 = m/s, β 2 = (c) z max = 6.71 m 17

18 Capitolo 4 Compressori di gas Esercizio 4.1 Si calcoli la potenza necessaria per comprimere una portata d aria pari a 10 kg/s dalla pressione di 1 bar e temperatura T = 15 C ad una pressione di 2 bar lungo una trasformazione: a) isoterma b) adiabatica isoentropica c) adiabatica reale con rendimento η is = 0.75 Esercizio 4.2 Si consideri un compressore di aria costituito da due stadi di uguale rapporto di compressione calettati sullo stesso albero. La portata aspirata è di 0.5 kg/s di aria in condizioni ambiente (T = 20 C, p = 1 bar) e si deve garantire una pressione di mandata di 4 bar. Entrambi gli stadi sono caratterizzati da un rendimento adiabatico di Si vuole calcolare: - la potenza richiesta all albero della macchina; - la potenza richiesta all albero della macchina nel caso in cui all uscita dal primo stadio l aria venga raffreddata fino alla temperatura ambiente. Si valuti la potenza termica richiesta al gruppo di refrigerazione. Da un punto di vista teorico, quale trasformazione termodinamica richiederebbe il minimo lavoro per ottenere lo stesso rapporto di compressione? Si calcoli il minimo lavoro teoricamente richiesto ed eventualmente il calore scambiato lungo la trasformazione. Esercizio 4.3 Si confronti la potenza necessaria per comprimere adiabaticamente una portata di 10 kg/s dei seguenti gas, considerati perfetti, da condizioni ambiente (T = 20 C, p = 1 bar) alla pressione di 10 bar, assumendo un rendimento isoentropico η is = 0.8: - Aria (M m = 28.9 kg/kmol, c p /c v = 1.4) - Idrogeno (M m = 2 kg/kmol, c p /c v = 1.4) - CO 2 (M m = 44 kg/kmol, c p /c v = 1.33) - Freon 12 (M m = kg/kmol, c p /c v = 1.137) Esercizio 4.4 Si consideri un compressore centrifugo che elabora una portata di aria pari a 3 kg/s a partire da condizioni ambiente (T = 20 C e p = 1 bar) e che garantisce una pressione di mandata pari a 5 bar con un solo stadio di compressione caratterizzato da un rendimento adiabatico pari a

19 a) Si calcoli il lavoro specifico di compressione e la potenza richiesta all asse della macchina. b) Si ipotizzi ora di utilizzare per lo stesso scopo una macchina costituita da due stadi di uguale rapporto di compressione ciascuno caratterizzato da un rendimento adiabatico di 0.8. Si calcoli la nuova potenza richiesta all asse macchina c) Si interponga ora tra i due stadi di compressione un refrigeratore che raffredda l aria alle condizioni atmosferiche di partenza prima di inviarla al secondo stadio; si ipotizzi ancora costante il rendimento dei due stadi e pari a 0.8. Si calcoli la potenza richiesta all asse della macchina e la portata di acqua necessaria al refrigeratore, ipotizzando che l acqua entri nello scambiatore a 18 C e subisca un incremento di temperatura pari a 4 C si calcoli inoltre l efficacia dello scambiatore d) Si determinino il numero di giri ed il diametro della girante del primo stadio di compressione a partire dal diagramma di Balje allegato. [Aria: c p,aria =1004 J/kgK, γ aria =1.4; Acqua: c p,h2o = 4186 J/KgK] Esercizio 4.5 Si disegnino i triangoli di velocità e si calcolino il grado di reazione, il rapporto di compressione idealmente fornito da un compressore assiale caratterizzato da: - rotore e statore con palettature simmetriche (β 2 = 180 α 1 ; α 2 = 180 β 1 ); - α 1 = 60 - velocità assiale costante = 130 m/s - velocità periferica = 200 m/s - fluido di lavoro: aria a 293 K e 1 bar Si disegni la trasformazione termodinamica all interno della macchina su un piano h-s. Esercizio 4.6 Un compressore centrifugo monostadio elabora una portata di aria pari a m 3 /h portandola dalle condizioni ambiente (p = 1 bar, T = 30 C) fino alla pressione di 2.4 bar. Con l aiuto del diagramma di Balje allegato, valutare la velocità di rotazione ottima del compressore, il rendimento, il diametro della girante e la potenza alle pale. Un secondo compressore che aspirasse idrogeno alla pressione di 4 bar e alla temperatura di 20 C e avesse stesso diametro, stessa velocità di rotazione e funzionasse in condizioni di similitudine cinematica con il precedente, a quali condizioni di pressione e temperatura porterebbe il flusso all uscita? Quale sarebbe la potenza alle pale della macchina? [Aria: R = 8314 J/kmolK, M m = 28.9 kg/kmol, rapporto c p /c v = 1.4; Idrogeno: M m = 2 kg/kmol, rapporto c p /c v = 1.4] Esercizio 4.7 Si deve progettare lo stadio di un compressore d aria che elabori una portata ṁ = 0.6 kg/s e che lavori tra la pressione totale p 0 1 = 0.1 MPa (con temperatura totale T 0 1 = 290 K) e la pressione statica p 2 = 0.14 MPa, ruotando a n = 300 giri/s. Usando il diagramma di Balje si chiede di: a) Determinare il compressore adatto a raggiungere il rendimento più elevato e il diametro D della girante 19

20 b) Calcolare il numero di Laval L c) Calcolare la temperatura totale alla fine della compressione isoentropica (T2 0 ), sapendo che v 2 = 70 m/s d) Calcolare la potenza assorbita dal compressore, ipotizzando η o = 0.99 [Aria: R = 8314 J/kmolK, M m = 28.9 kg/kmol, rapporto c p /c v = 1.4] Esercizio 4.8 Uno stadio di compressore assiale deve fornire un rapporto di compressione β = 1.15 ad una portata d aria ṁ = 230 kg/s partendo da condizioni ambiente (p 1 = Pa, T 1 = 288 K). Date le seuenti caratteristiche geometriche della macchina: - Regime di rotazione: n = 3000 giri/min - Diametro medio: D m = 1.2 m - Rapporto h/d m = Angolo di ingresso della velocità assoluta sul rotore: α 1 = 65 - Triangoli di velocità simmetrici - Componente assiale della velocità costante determinare: a) I triangoli di velocità all ingresso e all uscita del rotore b) Il lavoro e la potenza interni e il rendimento dello stadio Esercizio 4.9 Un compressore assiale ideale aspira una portata di 60 kg/s di aria alle condizioni totali p 0 1 = 1 bar e T 0 1 = 410 K. All ingresso del rotore la velocità assoluta è v 1 = 200 m/s ed ha un angolo α 1 = 100 (dalla direzione positiva della u. La potenza assorbita è di 2.0 MW, la velocità di rotazione è n = 4000 giri/min ed il diametro medio D = 0.7 m. Si calcoli: a) i triangoli di velocità ed il rapporto di compressione total-total, assumendo la velocità assiale costante; b) l altezza di pala all ingresso ed all uscita del rotore; c) l altezza di pala all uscita dello statore nell ipotesi di stadio ripetuto. Esercizio 4.10 Un compressore centrifugo a due stadi elabora una portata di 5 kg/s e ruota a giri/min. La macchina, con ingresso assiale, elabora aria che si trova nella sezione di ingresso alle seguenti condizioni statiche: p 1 = 1 bar, T 1 = 20 C e con un energia cinetica trascurabile. La macchina scarica in un serbatoio alla pressione di 6 bar. Allo scarico del primo stadio la pressione è p 3 = 3 bar con energia cinetica trascurabile. Tra il primo ed il secondo stadio è posto uno scambiatore di calore che raffredda il fluido di lavoro usando una portata d acqua pari a 15 kg/s, che si riscalda di 10 K. Entrambi gli stadi sono caratterizzati da un rendimento adiabatico di compressione η is =

21 a) Calcolare la potenza ceduta allo scambiatore e rappresentare qualitativamente le trasformazioni su un opportuno piano termodinamico, dopo avere calcolato le condizioni termodinamiche in ingresso ed in uscita al secondo stadio; b) Calcolare la potenza meccanica assorbita dalla macchina bi-stadio in presenza ed in assenza di inter-refrigerazione, con i medesimi rendimenti e rapporti di compressione; c) Allo scarico della girante del primo stadio, si determini il triangolo di velocità e l altezza di pala, sapendo che la girante ha un diametro di 400 mm, un grado di reazione χ = 0.6 (definito sulle grandezze reali) ed un rendimento adiabatico η g = 0.85; d) Si determini il rendimento adiabatico della trasformazione di compressione avvenuta nel diffusore del primo stadio. 21

22 Esercizi di Macchine ALLEGATI AL CAPITOLO 4 Figura 4: Diagramma di Balje per i compressori di gas. 22

23 Risultati capitolo 4 Esercizio 4.1: Esercizio 4.2: (a) l T = 59.3 kj/kg, P = kw (b) l is = kj/kg, P = kw (c) l r = kj/kg, P = kw (a) P = kw (b) P IR = 85.9 kw; Q out = 43 kw (c) P min = P T = kw; Q out = P T Esercizio 4.3: Esercizio 4.4: Esercizio 4.5: Esercizio 4.6: Esercizio 4.7: Esercizio 4.8: Esercizio 4.9: (a) l is,aria = kj/kg (b) l is,h2 = kj/kg (c) l is,co2 = kj/kg (d) l is,freon = kj/kg (a) l = kj/kg, P = kw (b) l = kj/kg, P = kw (c) l IR = kj/kg, P IR = kw, ṁ H2O = kg/s, ε = 97.9% (d) n = giri/min, D = m (a) α 2 = 180 β 1 = 46.1, v 1 = w 2 = 150 m/s, w 1 = v 2 = m/s (b) χ = 0.5 (c) β id = 1.12 (a) per ω s = 0.6, D s = 4 η = 0.85, ω = 1177 rad/s, D = 0.61 m, P = 780 kw (b) p 2 = 4.34 bar, T 2,reale = 300 K, P = 224 kw (a) ω s = 0.59 da Balje: (D s = 4.2; η = 0.85), da cui D = 0.23 m (b) L = 0.63 (c) T 0 2 = K (d) P = 21 kw (a) u = m/s, v a = m/s v 1 = m/s, v 1t = 50.6 m/s, w 1t = m/s, w 1 = m/s, β 1 = 143.1, β 2 = 116, w 2 = v 1, w 2t = v 1t, v 2 = w 1, v 2t = w 1t, α 2 = 180 β 1 (b) l = kj/kg, P = 3.78 kw, η is = (a) u = m/s, α 1 = 100, v a = m/s, v 1t = 34.7 m/s, v 1 = 200 m/s, w 1t = m/s, β 1 = v 2t = m/s, α 2 = 45.7, v 2 = m/s, w 2t = 45.8 m/s, β 2 = 76.9 β T T = 1.31 (b) b 1 = m, b 2 = m (c) b 3 = m Esercizio 4.10: Si consideri: 1 = ingresso 1 stadio, 2 = uscita girante 1 stadio, 3 = uscita 2 stadio, 4 = ingresso 2 stadio, 5 = uscita girante 2 stadio, 6 = uscita 2 stadio. (a) T 3 = K, Q IR = kw, T 4 = K, T 6 = K (b) P IR = MW, P s/ir = MW (c) u 2 = m/s, v 2 = m/s, v 2t = m/s, v r = m/s, α 2 = 20.7, w 2t = m/s, w 2 = m/s, β 2 = b 2 = 18 mm (d) η d =

24 Capitolo 5 Cicli Rankine e turbine a vapore Esercizio 5.1 Si consideri un ciclo Rankine caratterizzato dalle seguenti condizioni operative: - Potenza elettrica netta: 300 MW; - Ingresso turbina: vapore surriscaldato (p = 5 MPa, T = 450 C); - Pressione di condensazione: p = 25 kpa; - Potere calorifico del combustibile (carbone): kj/kg - Rendimento del generatore di vapore: η gv = 0.75; - Rendimento organico + elettrico: η e+o = Rendimento idraulico della pompa: η y,p = Rendimento adiabatico turbina: η is,t = 0.85 Determinare i punti di funzionamento del ciclo (considerando il lavoro della pompa), il rendimento globale dell impianto e la quantità di combustibile necessaria. Esercizio 5.2 Un impianto con turbina a vapore fornisce una potenza utile pari a 160 MW con rendimento utile pari a 0.43 (rendimento organico η o = 0.98). La pressione di condensazione è di 0.1 bar ed il titolo di vapore allo scarico della turbina vale L acqua condensatrice viene prelevata alla temperatura di 20 C e scaricata a 30 C. Nell impianto viene spillato vapore alla pressione di 1 bar ed alla temperatura di 150 C per preriscaldare l acqua di alimento sino alla temperatura di 90 C in uno scambiatore a superficie ( T pp = 10 C). Determinare: - la portata di acqua condensatrice - la portata di vapore spillata dalla turbina - la superficie dello scambiatore, sapendo che il suo coefficiente di scambio termico globale è pari a 5000 W/m 2 K e che la potenza termica scambiata vale Q = KS T ml, dove T ml è la variazione di temperatura media logaritmica nello scambiatore. Esercizio 5.3 Di uno stadio semplice assiale ad azione di turbina a vapore sono assegnati il salto entalpico isoentropico sul distributore h s = 150 kj/kg e l angolo di uscita del vapore dal distributore α 1 = 15. Si chiede di calcolare: a) la velocità assoluta v 1 del vapore all ingresso della girante (assunto ϕ = 0.95) b) la velocità periferica u che rende ottimo il rendimento dello stadio ed il diametro medio D m della girante (noto n = 3000 giri/min); c) i triangoli di velocità in ingresso ed uscita, con riferimento al diametro medio, supponendo l assenza di perdite nel rotore (ψ = 1); d) la potenza sviluppata dallo stadio, con portata di vapore ṁ v = 100 kg/s; e) il rendimento dello stadio, supponendo η o rg = 0.98; f) l altezza della paletta all ingresso della girante, conoscendo il volume specifico del vapore v 1 = 0.5 m 3 /kg ed il coefficiente d ingombro ξ 1 = 0.95 delle pale, con grado di ammissione ɛ = 1 ed ε =

25 Esercizio 5.4 In uno stadio di turbina assiale ad azione, ottimizzato, con grado di parzializzazione ε = 0.6 a 3000 giri/min, il vapore entra nella girante alla pressione di 30 bar e 410 C. La pala della girante è simmetrica, con diametro medio D = 1.35 m, α 1 = 25, h 1 = 40 mm, ξ = Assunti come coefficienti di perdita nella palettatura ϕ = 0.95 e ψ = Si richiede di determinare la portata elaborata, la potenza utile ed il rendimento dello stadio (ammessa dissipata l energia cinetica allo scarico). Si ipotizzi che il vapore in ingresso alla girante possa essere trattato come un gas perfetto (MM H2O = kg/kmol) e che il rendimento organico della macchina sia η org = Esercizio 5.5 Un impianto per la produzione di energia elettrica opera secondo un ciclo Rankine definito dai seguenti parametri: - Temperatura di condensazione: 300 K; - Temperatura massima: 800 K; - Pressione di evaporazione: 86 bar; - Rendimento adiabatico turbina: Rendimento adiabatico pompe: Rendimento elettrico ed organico: 0.95 L impianto deve fornire una potenza utile di 100 MW elettrici. Dopo aver tracciato lo schema d impianto, si calcolino la portata d acqua che fluisce nell impianto ed il rendimento del ciclo. x Esercizio 5.6 Un impianto per la produzione di energia elettrica opera secondo un ciclo Rankine definito dai seguenti parametri: - Temperatura di condensazione: 300 K - Pressione di evaporazione: 86 bar; - Temperatura massima: 800 K; - Rendimento adiabatico turbina di alta pressione: Rendimento adiabatico turbina di bassa pressione: Rendimento adiabatico pompe: Rendimento elettrico ed organico: 0.95 L impianto deve fornire una potenza utile di 100 MW elettrici ed usa un rigeneratore a miscela che opera con vapore prelevato a 18 bar. Dopo aver tracciato lo schema d impianto, si calcolino la portata d acqua che fluisce nell impianto ed il rendimento del ciclo. 25

26 Esercizio 5.7 Uno stadio di turbina assiale (statore + rotore) presenta i triangoli di velocità di seguito definiti: - Velocità di scarico dello statore: 150 m/s - Velocità periferica: 100 m/s - Velocità assiale costante - Angolo di scarico dello statore α 1 = 16 - Rotore simmetrico (β 2 = 180 β 1 ) a) Si calcoli il lavoro fornito dallo stadio mediante la relazione di Eulero, dopo aver disegnato i triangoli di velocità in ingresso ed in uscita b) Si verifichi il risultato ottenuto sulla base del principio di conservazione dell energia c) Ripetere il calcolo nel caso in cui si abbia una velocità relativa a valle del rotore doppia di quella in ingresso (w 2 = 2 w 1 anziché β 2 = 180 β 1 ) Esercizio 5.8 Uno stadio di turbina assiale riceve 80 kg/s di vapore alle condizioni p 0 = 1.5 MPa, T 0 = 350 C e velocità v 0 trascurabile. Il distributore espande il vapore fino ad una pressione p 1 = 1.0 MPa, mentre la pressione all uscita dello stadio è p 2 = 0.7 MPa. La girante, che ruota alla velocità n = 3000 giri/min, ha un raggio medio r m = 0.8 m, e un altezza delle palette h = m, uguale in ingresso ed in uscita. I coefficienti di perdita nel distributore e nella girante valgono, rispettivamente, ϕ = 0.92 e ψ = Con l ausilio del diagramma h s del vapor d acqua, determinare i triangoli di velocità, la potenza interna, i rendimenti (Totale-Statico e Totale-Totale) ed il grado di reazione dello stadio. Esercizio 5.9 Una turbina a vapore a reazione con u/v 1 = 0.90 presenta all ammissione 10 bar e 350 C. La pressione all uscita dello stadio statorico è di 8 bar e la velocità assoluta presenta un angolo di incidenza α 1 = 20. Sapendo che n = 3000 giri/min, che i triangoli di velocità sono simmetrici, che la portata smaltita è pari a 150 t/h, determinare le seguenti quantità: a) Pressione allo scarico dello stadio; b) Potenza alle pale; c) l altezza delle pale all ingresso della girante h 1, assumendo un coefficiente di ingombro pale pari a Durante lo svolgimento si utilizzi il diagramma h s del vapor d acqua e si assumano i seguenti valori dei coefficienti di riduzione della velocità: ϕ = 0.95, ψ = Esercizio 5.10 Di una ruota Curtis a due salti di velocità sono noti i seguenti dati: 26

27 - Portata di vapore ṁ = 135 t/h - Condizioni del vapore all ammissione: p 0 = 10 MPa, T 0 = 800 K - Velocità di rotazione n = 3000 RPM - Coefficiente di velocità periferica: k p = u/v i s = Angolo di incidenza della velocità assoluta in ingresso alla girante α = 16 - Coefficiente di perdita ugelli del primo statore: ϕ = v 1 /v 1,is = Coefficiente di ingombro frontale delle pale: ξ = Rapporto dei calori specifici: γ = c p /c v = Coefficiente di perdita nei rotori e nel raddrizzatore: Considerando le seguenti limitazioni: ψ = β β - u < 220 m/s per limitare la sollecitazione centrifuga ed il numero di Mach - h/d > per avere un accettabile rendimento volumetrico e contenere le perdite per attrito - M w1 < 0.9 per limitare il rischio di onde d urto in ingresso alla schiera rotorica si chiede di determinare: a) Il salto entalpico smaltibile dallo stadio b) Il diametro della girante c) I triangoli di velocità d) Il grado di ammissione e l altezza di pala e) Il rendimento dello stadio f) Le sezioni caratteristiche dell ugello statorico Si usino le tabelle termodinamiche del vapore surriscaldato ove necessario. p [bar] T [ C ] v [m 3 /kg] h [kj/kg] s [kj/(kg K)] Esercizio 5.11 Tema d esame 30 gennaio 2013 I dati di progetto di uno stadio di turbina a vapore che elabora 150 t/h sono i seguenti: - velocità di rotazione: 3000 giri/min - pressione e temperatura in ingresso al distributore: 8 bar, 350 C - pressione all uscita del distributore: 7 bar 27

28 - angolo di incidenza della velocità assoluta in ingresso girante: α 1 = 20 - rapporto tra velocità periferica u e velocità assoluta in ingresso v 1 pari a grado di reazione ideale pari a coefficienti di perdita distributore e girante pari rispettivamente a ϕ = 0.95 e ψ = velocità assiale costante (nel caso ideale) Utilizzando il diagramma di Mollier allegato e ipotizzando che il volume specifico del vapore possa essere approssimato con l equazione di stato dei gas perfetti (MM H2O = 18 kg/kmol; R = 8314 J/kmolK) calcolare: 1. il triangolo di velocità all ingresso della girante, 2. l altezza di pala in ingresso alla girante, ipotizzando unitario il coefficiente di ingombro delle pale (ζ=1) 3. il triangolo di velocità in uscita dalla girante 4. il rendimento dello stadio, ipotizzando che possa essere recuperata l energia cinetica allo scarico ALLEGATI: Figura 5: Diagramma di Mollier per il vapore saturo 28

29 ALLEGATI AL CAPITOLO 5 Un calcolatore delle proprietà termodinamiche del vapore si trova su: Saturated Water (H2O) Temperature Table Temp. Pressure Specific volume Internal Energy Enthalpy Entropy liquid vapor liquid vapor liquid vapor liquid vapor C kpa m 3 /kg m 3 /kg kj/kg kj/kg kj/kg kj/kg kj/(kgk) kj/(kgk) C MPa m 3 /kg m 3 /kg kj/kg kj/kg kj/kg kj/kg kj/(kgk) kj/(kgk)

30 T sat p sat@t v f v g u f u g h f h g s f s g

31 Saturated water (H2O) Pressure table 31 Pressure Temp. Specific volume Internal Energy Enthalpy Entropy liquid vapor liquid vapor liquid vapor liquid vapor kpa C m 3 /kg m 3 /kg kj/kg kj/kg kj/kg kj/kg kj/(kgk) kj/(kgk) MPa C m 3 /kg m 3 /kg kj/kg kj/kg kj/kg kj/kg kj/(kgk) kj/(kgk)

32 p T sat v f v g u f u g h f h g s f s g