Esercizi sui Compressori e Ventilatori

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1 Esercizi sui Compressori e Ventilatori 27

2 COMPRESSORE VOLUMETRICO (Appello del , esercizio N 2) Testo Un compressore alternativo monocilindrico di cilindrata V c = 100 cm 3 e volume nocivo V n = 5 cm 3 è mosso da un motore elettrico a uno coppia polare. Comprime aria dall ambiente (p 1 = p a = P a) a p 3 = 800 KP a. L esponente delle politropiche (sia di compressione che di espansione) è m = 1.3. Il rendimento politropico è η p = Calcolare la portata, la potenza assorbita e il rendimento isotermo. Svolgimento Portata La portata di un compressore volumetrico alternativo è definita dalla seguente relazione: ṁ = ρ a V c n 60 λ v (89) dove ρ a è la densità dell aria nelle condizioni di aspirazione (p a = P a; T a = 293 K; ρ a = 1.2 Kg/m 3 ), V c è la cilindrata, n il numero di giri e λ v il coefficiente di riempimento. Poichè il motore elettrico a cui è accoppiato il compressore ha una sola coppia polare, allora n = 3000 g/min. Il coefficiente di riempimento, riferito all espansione politropica, si calcola come: dove ε n è il grado di spazio morto: λ v = V c V 0 V 0 = 1 V 0 V c = 1 (ρ 1/m c 1)ε n = (90) ε n = V n V c = 0.05 (91) e ρ c è il rapporto di compressione: La portata quindi vale: ṁ = 4.83 g/s. ρ c = p 3 p 1 = 7.89 (92) Potenza assorbita La potenza assorbita è definita come segue: P ass = nl i 60 η m (93) Per il rendimento meccanico η m assumiamo 0.98, mentre il lavoro interno L i si può calcolare dalla definizione di rendimento politropico: η p = L p L i L i = L p η p Il lavoro politropico L p vale: L p = m m 1 p 1V 1 (ρ 1 1 m c 1) m m 1 p 3V 3 (1 ρ 1 m 1 c ) = J/ciclo (94) 28

3 dove V 3 = V n = 5 cm 3 e V 1 = V c + V n = 105 cm 3. Quindi il lavoro interno: L i = L p η p = J/ciclo (95) e la potenza assorbita: P ass = n L i 60 η m = 1134 W (96) Rendimento isotermo Il lavoro isotermo vale: L t = p 1 V 1 ln ρ c p 3 V 3 ln ρ c = 13.7 J/ciclo (97) e quindi il rendimento isotermo: η t = L t L i = 0.61 (98) Figura 16: Ciclo termodinamico nel piano p-v COMPRESSORE ASSIALE (Appello del , esercizio N 2) Testo Uno stadio di compressore assiale (girante seguita da diffusore) riceve aria a p 1 = 1 bar e T 1 = 288 K con velocità assoluta in ingresso girante c 1 = 150 m/s assiale. La velocità periferica della girante al raggio medio è u = 250 m/s, la componente assiale della velocità rimane costante attraverso lo stadio, la deflessione della corrente nelle palette mobili è ε = β 1 β 2 = 15, la velocità in uscita dal diffusore è assiale. All uscita dal diffusore lo spigolo delle palette ha lunghezza radiale l 3 = 0.2 m e il diametro medio è d 3 = 1.3 m Il rendimento politropico dello stadio è η p = Determinare i triangoli di velocità al raggio medio e la potenza assorbita dallo stadio. 29

4 Svolgimento Triangoli di velocità al raggio medio Uno schema dei profili palari al raggio medio e dei corrispondenti triangoli di velocità è riportato in fig. 17. Dai dati forniti risulta: c assiale = c 1 = c a1 = c a2 = c a3 = c 3 È quindi possibile calcolare direttamente la velocità relativa e il corrispondente angolo di flusso (e palare) in ingresso alla girante: w 1 = u 2 + c a1 = u 2 + c 1 = m/s (99) β 1 = arctan u c a 1 = arctan u c 1 = (100) Data la deflessione imposta al flusso dai palettaggi rotorici, ε, l angolo di uscita dalla girante vale: β 2 = β 1 ε = (101) La velocità relativa all uscita della girante è data da: w 2 = c 2a cos β 2 = c 1 cos β 2 = m/s (102) La componente periferica della velocità assoluta è invece determinata come segue: c 2u = u w 2u = u w 2 sin β 2 = 105 m/s (103) e quindi l angolo del flusso assoluto vale (angolo palare di ingresso del diffusore): α 2 = arctan c u2 c a2 = arctan c u2 c 1 = 35 (104) La velocità della corrente assoluta è: c 2 = c 22u + c2a2 = c 2 2u + c2 1 = m/s (105) In uscita dal diffusore il flusso è assiale per ipotesi e quindi si ha banalmente c 3 = c a3 = c 1 = 150 m/s. Potenza assorbita dallo stadio La potenza assorbita dallo stadio è definita come: P ass = ṁ L i η m (106) dove η m è il rendimento meccanico dello stadio che si può assumere pari a Il lavoro interno L i è calcolabile dall espressione di Eulero: L i = u (c 2u c 1u ) = u c 2u = 15.6 KJ/Kg (107) La portata si può invece calcolare all uscita del diffusore dove sono note le dimensioni dei vani palari: ṁ = ξρ 3 c a3 πd 3 l 3 (108) 30

5 dove ξ è il coefficiente di ingombro palare che qui si assume pari a Per calcolare la densità dell aria all uscita dello stadio è necessario conoscere la corrispondente temperatura e pressione. Il lavoro interno L i è anche pari al salto entalpico sull intero stadio, essendo c 1 = c 3 ; quindi: T 3 = T 1 + L i c p = K con c p = KJ Kg K (109) La pressione all uscita dello stadio si calcola invece attraverso l equazione della trasformazione politropica di compressione nello stadio: La densità risulta quindi pari a: p 3 = p 1 ( T 3 T 1 ) k k 1 ηp = bar (110) ρ 3 = p 3 RT 3 = Kg/m 3 con R = 287 J/KgK (111) Dall equazione (108) la portata risulta ṁ = Kg/s e la potenza assorbita (eq. 106) P ass = KW. Figura 17: Triangoli di velocità e profili palari al diametro medio 31

6 COMPRESSORE ASSIALE INTER-REFRIGERATO (Appello del , esercizio N 2) Testo Un compressore assiale di rendimento politropico η p = 0.8 comprime una portata ṁ = Kg/h di aria ambiente (p a = 1 bar, T a = 288 K) fino alla pressione p m = 7.5 bar. Calcolare la temperatura di fine compressione e la potenza assorbita. Se la stessa compressione viene effettuata con una inter-refrigerazione priva di perdite pneumatiche e tale da riportare il gas dopo la prima compressione alla temperatura iniziale, nell ipotesi che i lavori massici nei due stadi siano uguali tra loro e che il rendimento politropico valga per entrambi gli stadi η i p = 0.85, determinare la pressione intermedia e la potenza risparmiata. Svolgimento Temperatura di fine compressione Noto il rapporto di compressione p m /p a = 7.5 e il rendimento della trasformazione politropica di compressione, la temperatura del gas all uscita della macchina è calcolabile come: T m = T a ( p m p a ) k 1 k ηp = 567 K (112) con k, rapporto fra i calori specifici a pressione e volume costante k = c p /c v, che nel caso dell aria assume valore 1.4. Potenza assorbita Il lavoro massico dell intero compressore si può valutare attraverso il salto entalpico: L i = c p (T m T a ) = KJ/Kg con c p = KJ/KgK (113) Assumendo un rendimento meccanico η m = 0.98, la potenza assorbita vale: P ass = ṁl i η m = 1271 KW (114) Pressione intermedia Dalle ipotesi nel testo, i lavori massici dei due stadi di compressione sono uguali (L I i = L II i ) così come le temperature di inizio compressione (Ta I = Ta II ). Segue che i rapporti di compressione sono uguali e pari alla radice quadrata del rapporto di compressione totale: e quindi la pressione intermedia vale p = p a β I = 2.74 bar. Potenza risparmiata La potenza assorbita dal compressore inter-refrigerato è pari a: P inter ass β I = β II = β = 2.74 (115) = ṁ(li i + LII i ) = 2 ṁl I i = 2 ṁc p T a ((β I k 1 kη ) p i 1) = KW (116) η m η m η m La potenza risparmiata è quindi: P ass = P ass P inter ass = KW (117) 32

7 COMPRESSORE CENTRIFUGO (Appello del , esercizio N 2) Testo All ingresso della girante di un compressore centrifugo l aria ha una velocità assoluta assiale c m1 = 100 m/s. All uscita del rotore, l angolo di flusso relativo misurato rispetto alla direzione radiale vale β 2 = 26.6, la componente radiale della velocità è c m2 = 120 m/s e la velocità periferica delle pale è u 2 = 500 m/s. Determinare la potenza assorbita dal compressore quando la portata d aria smaltita è ṁ = 2.5 Kg/s, assumendo che il rendimento meccanico valga η m = Se il rapporto dei raggi di mozzo e di cassa all ingresso della girante è r m1 /r c1 = 0.3, calcolare il diametro di ingresso d c1 assumendo un evoluzione isentropica fra ambiente esterno e ingresso girante. Infine, determinare il rapporto di compressione della macchina sapendo che il suo rendimento isentropico vale η is = 0.8 e assumendo trascurabile la velocità all uscita del diffusore. Si assumano le proprietà dell aria R = 287 J/KgK e γ = 1.4, nonchè le condizioni ambiente p 0 = bar, T 0 = 288 K. Svolgimento Potenza assorbita Dal triangolo delle velocità in uscita dalla girante si ha: Il lavoro interno per unità di massa vale: c u2 = u 2 c m2 tan β 2 = 440 m/s (118) L i = u 2 c u2 = 220 KJ/Kg (119) nell ipotesi di ingresso puramente assiale (c u1 = 0). La potenza assorbita vale quindi: P ass = ṁ L i η m = KW (120) Diametro di ingresso Per il calcolo del diametro di ingresso si utilizza l espressione della portata: ṁ = ρ 1 A 1 c 1 = ρ 1 c m1 π 4 (d2 c1 d 2 m1) = ρ 1 c m1 πd 2 c1 4 [1 (r m1 r c1 ) 2 ] (121) La densità dell aria all ingresso della girante, ρ 1, si può determinare sapendo che la trasformazione fra l ambiente esterno e l ingresso della girante è ad entalpia totale costante (L i = Q = 0) e isentropica. Segue: T 1 = T 0 c2 m1 = 283 K con c p = γ R = J/KgK (122) 2c p γ 1 Dalla legge dei gas perfetti: p 1 = p 0 ( T 1 T 0 ) γ γ 1 = 95.3 KP a (123) ρ 1 = p 1 RT 1 = Kg/m 3 (124) 33

8 Dalla eq. (121), si ricava il diametro di ingresso in girante: 4ṁ d c1 = πρ 1 c m1 [1 ( r m1 r c1 ) 2 = m (125) ] Rapporto di compressione L equazione dell energia scritta fra ambiente di aspirazione e uscita diffusore fornisce: L i = c p (T 3 T 0 ) (126) essendo c 0 = c 3 = 0. Con riferimento alla corrispondente compressione isentropica si può scrivere: L i = 1 η is c p (T 3is T 0 ) = 1 η is c p T 0 ( T 3is T 0 1) = 1 η is c p T 0 [( p 3 p 0 ) γ γ 1 1] (127) da cui si ottiene il rapporto di compressione: p 3 p 0 = ( η isl i c p T 0 + 1) γ γ 1 = 5.28 (128) 34