Esercizi di Macchine a Fluido

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1 Università degli Studi di Udine Facoltà di Ingegneria Esercizi di Macchine a Fluido a cura di L. Casarsa Esercizi proposti nelle prove scritte dell esame di Macchine I e II modulo dai docenti G.L Arnulfi, P. Giannattasio e P. Pinamonti 1

2 Esercizi sulle Macchine Motrici Idrauliche 2

3 SCELTA TURBINA IDRAULICA (Appello del , esercizio N 1) Testo In una centrale idroelettrica è installata una turbina collegata con un alternatore con p = 22 coppie polari. Il salto geodetico è H g = 14 m e la portata è Q = 70 m 3 /s. La turbina ha un diametro massimo della girante di D g = 3.5 m ed è attraversata da acqua con velocità meridiana uniforme pari a c m = 10 m/s. Supponendo che le perdite nelle tubazioni dell impianto siano di H perdite = 2 m e scegliendo dei valori opportuni per i rendimenti, si determini: tipo di turbina, potenza utile, diametro al mozzo, triangoli di velocità al diametro medio della girante (in particolare calcolare gli angoli palari). Svolgimento Tipo di turbina Per determinare il tipo di turbina è necessario calcolare il numero caratteristico di macchina k definito come: k = ω Q0.5 (gh) 0.75 (1) dove ω è la velocità angolare, Q la portata volumetrica e H il salto netto. Dato il numero di coppie polari dell alternatore collegato alla macchina, è possibile calcolare il numero di giri della turbina: n = 120 f = 136 g/min con f = 50Hz (2) 2p e quindi la velocità angolare ω = 2πn = rad/s (3) 60 Il salto netto è invece definito dalla differenza tra il salto geodetico e le perdite nelle tubazioni: H = H g H perdite = 12 m (4) Sostituendo nell equazione 1, si ottiene k = 3.34 che rientra nel campo delle turbina ad elica. Potenza utile La potenza utile P u è data dal prodotto della potenza teorica trasferibile dal fluido alla macchina (P th ) per il rendimento effettivo della macchina, dato dal prodotto dei rendimenti meccanico, volumetrico ed idraulico: P u = P th η e = ρgqh η m η v η id (5) Assumendo 0.98 per il rendimento meccanico e volumetrico e 0.92 come rendimento idraulico, si ottiene P u = 8240 KW. Diametro al mozzo Assunto il rendimento volumetrico, è possibile calcolare la reale portata che attraversa la macchina: Q = Q η v = 68.6 m 3 /s (6) La portata è inoltre calcolabile dall area di passaggio fra le pale della girante e la velocità meridiana, assunta uniforme come da ipotesi: Q = c m π 4 (D2 g D 2 m) (7) 3

4 dove D g e D m sono i rispettivamente i diametri della girante all estremità e al mozzo. Il diametro al mozzo risulta quindi pari a : D m = Dg 2 4Q = m (8) πc m Triangoli di velocità I triangoli di velocità vanno calcolati al diametro medio: D = D g + D m 2 La velocità periferica al diametro medio è espressa da: (9) u = u 1 = u 2 = ω D 2 = m/s (10) La componente periferica in ingresso, c 1u è calcolabile dal lavoro idraulico tramite la formula di Eulero (si assume che la velocità in uscita dalla turbina sia assiale): c 1u = gh id u = ghη id u = 8.09 m/s (11) La velocità assoluta in ingresso alla girante è quindi pari a (vedi fig.1): c 1 = c 2 1u + c2 m = m/s (12) La componente tangenziale della velocità relativa è calcolabile come segue: w 1u = u c 1u = 5.3 m/s (13) da cui è possibile calcolare direttamente l angolo palare in ingresso: β 1 = arctan c m c 1u = 62.1 (14) La velocità relativa in uscita è data direttamente da (nell ipotesi di flusso assiale, vedi fig. 1): e quindi l angolo palare in uscita è pari a: w 2 = u 2 + c 2 m = m/s (15) β 2 = arcsin C m W 2 = 36.8 (16) 4

5 Figura 1: Triangoli di velocità al diametro medio ella girante ANALISI DIMENSIONALE TURBINE IDRAULICHE (Appello del , esercizio N 1) Testo Due turbine idrauliche simili e funzionanti in condizioni di similitudine fluidodinamica hanno le seguenti caratteristiche: I turbina : n 1 = 250 g/min; H 1 = 20 m; η e1 = 0.87; Q 1 = 25 m 3 /s II turbina : H 2 = 20 m; diametro pari a metà di quello della I turbina Determinare il numero caratteristico di macchina, la potenza utile delle due turbine, la velocità di rotazione e la portata della seconda. Svolgimento Numero caratteristico di macchina É possibile calcolare il numero caratteristico di macchina delle due turbine direttamente dai dati della prima: k = ω Q0.5 = 2.5 (17) (gh) 0.75 Potenza utile delle due turbine La potenza utile è definita come: P e = η e ρgqh Per la prima turbina vale quindi: P e1 = η e1 ρgq 1 H 1 = 4.27 MW (18) Poichè le due turbine simili ammettono lo stesso salto utile e medesimo rendimento effettivo (le due macchine simili lavorano in condizioni di similitudine fluidodinamica), allora vale la seguente relazione fra le potenze utili delle due macchine: P e2 P e1 = Q 2 Q 1 = D2 2 D 2 1 5

6 Pertanto, la potenza utile della seconda turbina vale: P e2 = P e1 D2 2 D 2 1 = 1.07 MW (19) Velocità di rotazione e portata della seconda turbina Consideriamo la definizione di cifra di potenza: λ = P e ρω 3 D 5 Per le due macchine simili vale: λ 1 = λ 2. Esprimendo la velocità angolare ω in funzione del numero di giri ω = 2πn/60, si ha: P n 2 = n 1 3 e2 D1 5 P e1 D2 5 = 500 g/min (20) La portata della seconda macchina si può ottenere dall eguaglianza delle cifre di flusso ϕ = Q ωd 3 : Q 2 = Q 1 ω2 ω 1 D 3 2 D 3 1 = Q 1 n2 n 1 D 3 2 D 3 1 = 6.25 m 3 /s (21) TURBINA PELTON (Appello , esercizio N 1) Testo Si consideri una turbina Pelton operante con caduta netta H = 500 m, portata Q = 4 m 3 /s e con due induttori, i = 2. La turbina sia collegata ad un alternatore otto coppie polari, 2p = 16. Ipotizzando un rapporto u/c 1 = 0.48 e scegliendo opportuni valori per i rendimenti/coefficienti di perdita, calcolare: numero caratteristico di macchina, potenza utile, diametro dei getti, diametro medio della girante, triangoli della velocità. Svolgimento Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina k è definito come: Il numero di giri di rotazione della macchina: k = ω Q0.5 (gh) 0.75 (22) n = 120 f 2p = 375 g/min f = 50Hz (23) e quindi la velocità angolare: ω = 2πn = rad/s (24) 60 Sostituendo quindi in eq. 22, si ottiene k = 0.134, valore che appartiene al range tipico per le turbine Pelton. 6

7 Diametro dei getti Il diametro dei getti dei due induttori può essere calcolato dall espressione della portata: Q = i c 1 πd2 4 dove c 1 è la velocità in uscita dall induttore, espressa da: (25) c 1 = ϕ 2gH (26) Assumendo 0.97 come valore per il coefficiente di perdita ϕ, si ottiene c 1 = 96.1 m/s e quindi, dall eq. 25, si calcola d pari a: 4Q d = = m (27) c 1 π i Diametro medio della girante Poichè dai dati di macchina risulta che u/c 1 = 0.48, la velocità periferica u vale u = c = m/s. Il diametro medio della girante si ricava dall espressione della velocità periferica: D = 2u ω = m (28) Triangoli di velocita Per definire completamente il triangolo di velocità in ingresso rimane da calcolare solo la velocità relativa w 1 (vedi fig. 2): w 1 = c 1 u = 50 m/s (29) La velocità periferica in uscita è calcolabile da quella in ingresso assumendo un opportuno valore per il coefficiente di perdita ψ: w 2 = ψ w 1 = 48 m/s ψ = 0.96 (30) Assumendo che la velocità assoluta in uscita c 2 non abbia componente periferica (c 2u = 0, vedi fig. 2): c 2 = w2 2 u = 13.2 m/s (31) mentre l angolo relativo di uscita: β 2 = arcsin w 2 u = 16.3 (32) Potenza utile La potenza utile è definita dal prodotto della potenza teorica P th trasferibile dal fluido alla macchina per il rendimento effettivo η e dato dal prodotto dei rendimenti idraulico, volumetrico e meccanico: P u = P th η e = ρgqh η id η v η m (33) 7

8 Trattandosi di una turbina ad azione, il rendimento volumetrico si assume unitario; il rendimento meccanico si stima pari a 0.97, mentre il rendimento idraulico può essere calcolato direttamente dalla sua definizione e dall espressione del salto idraulico secondo Eulero: η i = H id H = u c 1 1 g H Pertanto, la potenza utile risulta pari a P u = KW = 0.90 (34) NOTA Per il calcolo della potenza utile, il rendimento idraulico poteva anche essere assunto. Così facendo, la velocità di uscita dagli induttori c 1 doveva essere calcolata non dalla eq. 26 ma dalla definizione del salto idraulico secondo Eulero: H id = u c 1 g = η id H (35) Figura 2: Triangoli di velocità all ingresso (sx) e all uscita (dx) della girante TURBINA FRANCIS (Appello del , esercizio N 1) Testo Effettuare il dimensionamento di massima di una turbina Francis che debba elaborare una portata Q = 21 m 3 /s, fornendo una potenza all albero P e = 40 MW. Disegnare in scala i triangoli di velocità e le sezioni meridiana e trasversale della macchina. Allegati: diagrammi 3-7; tabella 1. Svolgimento La potenza utile all albero è definita come: P e = η e ρghq (36) 8

9 dove η e è il rendimento effettivo dato dal prodotto del rendimento idraulico η id per quello volumetrico η v e meccanico η m. Assumendo η id = 0.94; η v = 0.98 e η m = 0.95 (η e = 0.875), si può calcolare H dall equazione (36): H = P e = 222 m (37) η e ρgq Dal diagramma in fig. (3) si può quindi determinare il numero di giri caratteristico riferito alla potenza n p = 105. Dalla definizione di n p, esprimendo la potenza utile in CV (P e = 40 MW = CV ) si può risalire al numero di giri della turbina: n = n ph 1.25 Pe = 386 g/min (38) La velocità di sincrono inferiore più vicina si ha per 8 coppie polari (2p = 16): n = 120f 2p = 375 g/min f = 50 Hz (39) Il nuovo valore di n p sarà quindi: mentre il numero caratteristico di giri riferito alla portata: n p = n P e = 102 (40) H1.25 n q = nq0.5 = 30 (41) H0.75 valore che appartiene al range tipico delle turbine Francis (20-120). Dal grafico in figura (4) è possibile determinare i diametri della sezione meridiana, essendo i parametri k i definiti come: k i = u i = πd in 2gH 60 (42) 2gH Per la turbina considerata si ottiene: D = D 1 = m; D 2 = m e D 3 = m (vedi fig. 8). Dal grafico in fig. (5) si ricavano gli altri parametri geometrici: B/D = 0.13 B = m P/D = P = m La posizione del punto A si determina dall equazione della portata una volta nota la velocità c 2m I triangoli di velocità vanno calcolati lungo la linea di flusso media. Bisogna quindi prima calcolare i diametri e le velocità medie: D 1 = D + D 1 2 = m u 1 = πd 1n 60 = m/s D 2 = D 2 + D 3 2 = m u 2 = πd 2n 60 = 30 m/s 9

10 La velocità meridiana in ingresso si calcola direttamente dall espressione della portata, assumendo per il coefficiente di ingombro palare ξ 1 = 0.95: c m1 = η vq πd 1 Bξ 1 = 10.8 m/s (43) In uscita, per porsi nelle condizioni di massimo rendimento della macchina, si assume c 2u = 0, ovvero c 2m = c 2. Dal grafico in fig. (6), noto il valore di n p, si possono determinare le velocità assolute in ingresso e uscita dalla girante: k ce = 0.69 c 1 = k ce 2gH = 45.5 m/s k cu = 0.14 c 2 = k cu 2gH = 9.24 m/s Per il triangolo della velocità in ingresso vale (vedi fig. 20): c u1 = c 2 1 c2 m1 = 44.2 m/s w 1 = c 2 m1 + (c u1 u 1 ) 2 = m/s α 1 = arcsin c m1 = 13.7 β 1 = 90 + arccos c m1 = 93.5 c 1 w 1 Per il triangolo in uscita si ha invece: w 2 = u c2 2 = 31.4 m/s β 2 = arctan c 2 = 17.1 u 2 Dal diagramma (7) si valuta il range di variazione del numero di pale della girante Z g : Z gmax = 21; Z gmin = 13. Assumiamo Z g = 17. Il diametro della circonferenza dei perni palari del distributore è: D cp = 1.3D = m. Dalla tabella 1, per il valore di D cp in questione, si ha che il numero di pale del distributore è Z d = 24. In fine, è possibile verificare il rendimento idraulico assunto: η id = H id gh = u 1c 1 gh = 0.88 che è un valore troppo basso. Si dovrebbe quindi procedere con una successiva iterazione del dimensionamento utilizzando il valore appena calcolato nell equazione (37). D cp 800mm Z d = 12 D cp = mm Z d = 16 D cp = mm Z d = D cp 2400mm Z d = 24 Tabella 1: Numero di pale del distributore in funzione del diametro dei perni palari 10

11 H max n p Figura 3: Caduta massima k i k 2 k 0.8 k k n p Figura 4: Dimensioni sezione meridiana 11

12 B/D P/D n p Figura 5: Dimensioni sezione meridiana K ce K cu n p Figura 6: Velocità specifiche di ingresso e uscita macchina 12

13 Z g Max Min n p Figura 7: Numero di pale della girante Figura 8: Sezione meridiana 13

14 TURBINA AD ELICA (Appello del , esercizio N 1) Testo Si esegua il calcolo di una turbina idraulica tipo elica con i seguenti dati funzionali: caduta netta H = 20 m; portata Q = 18 m 3 /S. Scegliendo un opportuna velocità di rotazione si calcolino in particolare la potenza utile, il numero caratteristico di macchina, i diametri esterno e interno della girante e i triangoli di velocità al diametro medio (u, c m, c 1u, β 1, β 2 ). Allegato: diagramma statistico parametri di progetto. Svolgimento Scelta velocità di rotazione Assumiamo che la girante della turbina sia collegata ad un alternatore con otto coppie polari (2p = 16). Il numero di giri della macchina è quindi: n = 120f 2p = 375 g/min f = 50Hz (44) Potenza utile Per calcolare la potenza utile è necessario stimare i valori dei rendimenti: η id = 0.96 η v = 0.99 η m = 0.89 Il rendimento effettivo della macchina risulta quindi pari a: η e = η id η v η m = 0.89 (45) La potenza utile è quindi ora calcolabile attraverso la potenza teorica trasferibile dal fluido alla macchina per il rendimento effettivo: P u = P th η e = ρgqh η e = 3143 KW (46) Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina k è definito come: k = ω Q0.5 2πn = (gh) Q 0.5 = 3.18 (47) (gh) 0.75 valore che ricade nel range tipico per le turbine ad elica. Diametri di mozzo ed estremità Dal diagramma statistico allegato si possono ricavare i parametri di progetto per il mozzo (k um ) e per l estremità palare (k ug ): k ug = 1.75 u g = k ug 2gH = m/s k um = 0.7 u m = k um 2gH = m/s 14

15 Dalle velocità periferiche, noto il numero di giri, è quindi possibile calcolare i diametri: D g = u g 60 πn = m D m = u m 60 πn = m Triangoli di velocità al diametro medio Per prima cosa, calcoliamo il diametro e la corrispondente velocità periferica: D = D g + D m 2 = m u = u 1 = u 2 = πdn = m/s 60 Calcoliamo poi le componenti meridiane della velocità assoluta: c m = c m1 = c m2 = 4Qη v π Dg 2 Dm 2 = 8.66 m/s (48) Assumendo che la velocità in assoluta in uscita dalla macchina non assuma componente periferica (c 2u = 0), allora è possibile calcolare la componente periferica della velocità assoluta in ingresso c 1u dall espressione del lavoro idraulico euleriano: c 1u = gh id u Gli angoli palari risultano quindi (vedi fig. 9): = ghη id u = 7.76 m/s (49) c m β 1 = arctan( ) = 19.6 u c 1u β 2 = arctan( c m u ) = 27.7 Figura 9: Triangoli di velocità al diametro medio 15

16 Figura 10: Diagramma statistico parametri di progetto turbina ad elica 16

17 Esercizi sulle Macchine Operatrici Idrauliche 17

18 CAVITAZIONE POMPE (Appello del , esercizio N 1) Testo Una pompa invia una portata Q = 16 dm 3 /s di acqua ad un serbatoio sopraelevato di 8 m. In aspirazione il diametro è d a = 100 mm e la pressione è di p a = 35 KP a; in mandata il diametro è d m = 65 mm e la pressione p m = 250 KP a. La velocità di rotazione è di n = 24.5 g/s. Verificare l eventuale presenza di cavitazione e calcolare le perdite di carico dell impianto. Assumere tensione di vapore pari a p v = 20 KP a. Si consideri inoltre per la pompa σ = k 4/3. Svolgimento Verifica cavitazione Lo schema dell impianto è riportato in fig. 11. Per verificare la presenza di cavitazione si devono valutare i rispettivi NPSH della pompa e dell impianto e verificare che: (NP SH) disponibile = (NP SH) impianto > (NP SH) pompa = (NP SH) richiesto L NPSH della pompa si calcola come: dove H m è la prevalenza manometrica: (NP SH) pompa = σ H m (50) H m = z m z a + p m p a ρg + c2 m c 2 a 2g (51) Le velocità in mandata e aspirazione possono essere calcolate dalla formula per la portata: c m = 4Q πd 2 m = 4.82 m/s c a = 4Q πd 2 = 2.04 m/s a Pertanto, dall equazione 51, assumendo z m z a = 0, si ottiene H m = m. Per il calcolo di σ è necessario calcolare il numero caratteristico di macchina: k = L NPSH della pompa risulta quindi pari a: ωq0.5 = (52) (gh) 0.75 (NP SH) pompa = σ H = k 4/3 H = 1.3 m (53) L NPSH dell impianto è invece calcolabile come: La pompa quindi non cavita. (NP SH) impianto = p a ρg + c2 a 2g p v ρg = 1.74 m (54) 18

19 Perdite di carico dell impianto Essendo i serbatoi di mandata e aspirazione aperti all atmosfera, allora la prevalenza totale H t è definita da: H t = H g + H tubazioni H m dove H g è l altezza geodetica (differenza di quota fra serbatoio di monte e aspirazione, H g = 8 m) e H tubazioni è la perdita di carico nelle tubazioni. Si ottiene quindi: H tubazioni = H m H g = m (55) Figura 11: Schema dell impianto 19

20 POMPA VOLUMETRICA (Appello del , esercizio N 1) Testo Si consideri una pompa a stantuffo bicilindrica con le seguenti caratteristiche funzionali: potenza assorbita P ass = 2500 KW, velocità di rotazione n = 150 g/min, cilindrata totale V c = 25 dm 3, rapporto corsa diametro c/d = 1.4. La pompa aspira acqua da un serbatoio aperto all atmosfera e la manda ad un serbatoio in pressione posto a una quota più elevata di 50 m. Assumendo un valore per il rendimento effettivo di η e = 0.83, per il rendimento volumetrico di η v = 0.95 e per le perdite di carico nelle tubazioni di H tub = 500 m, calcolare: diametro e corsa dei cilindri, velocità media dello stantuffo, portata media fornita, prevalenza manometrica e pressione raggiunta nel serbatoio di mandata. Assumendo un grado di irregolarità dell 8% calcolare il valore del volume medio delle casse d aria. Svolgimento Diametro e corsa dei cilindri La cilindrata unitaria è definita come: V u c = πd2 4 c = πd3 4 ( c D ) = V c 2 Essendo noto il rapporto c/d, il diametro dello stantuffo è pari a: 4V D = u 3 c = m (57) π (c/d) (56) e quindi la corsa: c = (c/d) D = m (58) Velocità media dello stantuffo La velocità media è calcolabile come: v m = c n 30 = 1.57 m/s (59) Portata media fornita La portata media è definita attraverso la velocità media come segue: dove z è il numero dei cilindri. Q m = z v m πd2 4 η v = m 3 /s (60) Prevalenza manometrica La prevalenza manometrica H m si può calcolare attraverso l espressione della potenza assorbita: H m = P ass η e ρgq = 3555 m (61) 20

21 Pressione serbatoio di mandata Trascurando le velocità dei peli liberi nei due serbatoi, la prevalenza manometrica H m è uguale alla prevalenza totale H t, definita dalla seguente espressione: H t = H m = p m p a ρg + H g + H tub (62) dove H g è la prevalenza geodetica (dislivello fra il serbatoio di monte e valle, 50 m). La pressione relativa nel serbatoio di mandata sarà quindi pari a (la pressione relativa nel serbatoio di aspirazione è nulla p a = 0): p m = ρg(h m H g tub ) = 29.5 MP a (63) Volume medio cassa d aria Il grado di irregolarità nella cassa d aria è così definito: δ irr = V V mca (64) dove V mca è il volume medio della cassa d aria e V è la variazione di volume ammessa nella cassa d aria. Per una pompa bicilindrica a semplice effetto come quella del caso considerato vale: V = 0.21 V u c = m 3 (65) Pertanto, il volume medio della cassa d aria risulta pari a: V mca = V δ irr = m 3 (66) DIMENSIONAMENTO DI UNA POMPA CENTRIFUGA (Appello del , esercizio N 1) Testo Una pompa trasferisce una portata d acqua pari a Q = 0.04 m 3 /s da un bacino posto a 2 m sotto il livello della pompa ad un altro posto 50 m sopra. I bacini sono aperti all atmosfera. Il diametro delle tubazioni è di d = 150 mm. Le perdite di carico nelle tubazioni siano pari a 17 volte l energia cinetica nelle tubazioni. La pompa ruoti a 1500 g/min. Determinare: prevalenza manometrica della pompa, numero caratteristico di macchina, dimensioni della sezione meridiana e angolo palare in uscita (scegliendo opportuni valori per il rendimento idraulico e volumetrico della pompa). Allegato: diagramma statistico parametri di progetto. Svolgimento Prevalenza manometrica della pompa 21

22 Nota la portata che la pompa smaltisce e il diametro delle tubazioni, è possibile calcolare la velocità del fluido nei condotti: La perdita di pressione nelle tubazioni è quindi pari a: v t = 4Q = 2.26 m/s (67) πd2 H t = 17 v2 t 2g La prevalenza manometrica fornita dalla pompa risulta quindi pari a: = m/s (68) H m = H g + H t = m/s (69) dove H g è l altezza geodetica (dislivello totale fra il serbatoio di monte e valle). Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina è definito come: k = ωq0.5 = (70) (gh m ) 0.75 Sezione meridiana Per determinare la geometria della sezione meridiana si deve utilizzare il diagramma statistico allegato. Dal valore di k si ricava k u2 = 1 e quindi la velocità periferica in uscita: e quindi il diametro esterno della girante: u 2 = k u2 2gH m = m/s (71) D 2 = 2u 2 ω = 60u 2 πn Noto D 2, dal diagramma si ricavano tutte le altre dimensioni: D 1 D 2 = 0.35 D 1 = m D 1 D 2 = 0.2 D 1 = m b 2 D 2 = 0.02 b 2 = m La sezione meridiana è così completamente determinata. = m (72) Angolo palare in uscita La velocità meridiana è calcolabile dall espressione della portata, una volata assunti opportuni valori per il rendimento volumetrico e per il coefficiente di ingombro palare. Nell ipotesi di η v = 0.98 e ξ 2 = 0.99: c 2m = Q πd 2 b 2 ξ 2 = Q πd 2 b 2 ξ 2 η v = 3.9 m/s (73) 22

23 Ipotizzando che la velocità in ingresso non abbia componente periferica (c 1u = 0), e assumendo un opportuno valore per il rendimento idraulico (η v = 0.85),la componente periferica della velocità in uscita si determina direttamente dall espressione euleriana del salto idraulico: c 2u = gh id u 2 = gh id u 2 η id = m/s (74) L angolo della velocità relativa in uscita sarà quindi: c 2m β 2 = arctan( ) = 15.5 (75) u 2 2 2u Figura 12: Diagramma statistico parametri di progetto pompa centrifuga 23

24 POMPA ASSIALE (Appello del , esercizio N 1) Testo Si consideri una pompa assiale con portata d acqua fornita Q = 0.5 m 3 /s e prevalenza manometrica H = 8 m. Utilizzando il diagramma statistico allegato e assumendo valori opportuni per i rendimenti, calcolare la potenza assorbita, la velocità di rotazione, il numero caratteristico di macchina e i diametri interno e esterno della girante. Determinare inoltre i triangoli di velocità (in particolare gli angoli palari di girante e diffusore/raddrizzatore) in corrispondenza del diametro medio. Svolgimento Potenza assorbita La potenza assorbita è definita da: P ass = 1 η e ρgqh (76) Il rendimento effettivo η e si può determinare dal grafico in figura (14), una volta noto il numero caratteristico di giri riferito alla potenza n p. Quest ultimo, è ricavabile dal primo grafico allegato (figura 13) in funzione della prevalenza massima H max. Assumendo H m = H max, si ottiene n p = 920 a cui corrisponde un rendimento effettivo di η e = La potenza assorbita vale quindi P ass = KW = CV. Velocità di rotazione Dalla definizione di n p si ricava: n = n ph 1.25 P 0.5 ass = 1544 g/min con P ass in CV (77) Nota: si può supporre un collegamento diretto della pompa con un motore elettrico a due coppie polari (2p = 4) e scegliere n = 1500 g/min. Numero caratteristico di macchina Il numero caratteristico di macchina è definito come: k = ωq0.5 2πn = (gh) Q 0.5 = 4.34 (78) (gh) 0.75 valore che appartiene al range tipico delle pompe assiali (2 6). Diametri esterno ed interno della girante Dal grafico in figura (13) si ricava anche: Il diametro esterno vale quindi: k ue = 2.5 u e = k ue 2gH = 31.3 m/s b/d e = 0.24 b = 0.24 D e D e = u e 60 πn = m (79) 24

25 e il diametro interno: D i = D e 2b = D e ( ) = m (80) Triangoli di velocità al diametro medio Il diametro medio vale: D m = D i + D p 2 La velocità periferica al diametro medio: = m (81) u 1 = u 2 = u = πn 60 D m = 23.8 m/s (82) La velocità di attraversamento della macchina, assunta costante, si determina dall equazione della portata: c m1 = c m2 = c m = 4Q π(d 2 e D 2 i ) = 4Q η v π(de 2 Di 2 = 6.12 m/s (83) ) assumendo un rendimento volumetrico η v = Nell ipotesi di assenza di predistributore (c 1u = 0), la componente periferica della velocità assoluta in uscita è direttamente calcolabile dall espressione del lavoro idraulico secondo Eulero: c 2u = gh id u = gh η id u (84) Se assumiamo un rendimento meccanico pari a η m = 0.97, il rendimento idraulico vale: η id = e quindi dall eq. (84): c 2u = 3.7 m/s. Dai triangoli di velocità in figura (15) si ha: η e η v η m = 0.90 (85) β 1 = arctan( c m u ) = 14.4 (86) c m β 2 = arctan( ) = 16.9 (87) c u c 2u α 2 = arctan( c m c 2u ) = 58.8 (88) 25

26 Figura 13: Diagramma statistico pompe assiali Figura 14: Rendimento effettivo pompe assiali Figura 15: Triangoli di velocità al diametro medio 26

27 Esercizi sui Compressori e Ventilatori 27

28 COMPRESSORE VOLUMETRICO (Appello del , esercizio N 2) Testo Un compressore alternativo monocilindrico di cilindrata V c = 100 cm 3 e volume nocivo V n = 5 cm 3 è mosso da un motore elettrico a uno coppia polare. Comprime aria dall ambiente (p 1 = p a = P a) a p 3 = 800 KP a. L esponente delle politropiche (sia di compressione che di espansione) è m = 1.3. Il rendimento politropico è η p = Calcolare la portata, la potenza assorbita e il rendimento isotermo. Svolgimento Portata La portata di un compressore volumetrico alternativo è definita dalla seguente relazione: ṁ = ρ a V c n 60 λ v (89) dove ρ a è la densità dell aria nelle condizioni di aspirazione (p a = P a; T a = 293 K; ρ a = 1.2 Kg/m 3 ), V c è la cilindrata, n il numero di giri e λ v il coefficiente di riempimento. Poichè il motore elettrico a cui è accoppiato il compressore ha una sola coppia polare, allora n = 3000 g/min. Il coefficiente di riempimento, riferito all espansione politropica, si calcola come: dove ε n è il grado di spazio morto: λ v = V c V 0 V 0 = 1 V 0 V c = 1 (ρ 1/m c 1)ε n = (90) ε n = V n V c = 0.05 (91) e ρ c è il rapporto di compressione: La portata quindi vale: ṁ = 4.83 g/s. ρ c = p 3 p 1 = 7.89 (92) Potenza assorbita La potenza assorbita è definita come segue: P ass = nl i 60 η m (93) Per il rendimento meccanico η m assumiamo 0.98, mentre il lavoro interno L i si può calcolare dalla definizione di rendimento politropico: η p = L p L i L i = L p η p Il lavoro politropico L p vale: L p = m m 1 p 1V 1 (ρ 1 1 m c 1) m m 1 p 3V 3 (1 ρ 1 m 1 c ) = J/ciclo (94) 28

29 dove V 3 = V n = 5 cm 3 e V 1 = V c + V n = 105 cm 3. Quindi il lavoro interno: L i = L p η p = J/ciclo (95) e la potenza assorbita: P ass = n L i 60 η m = 1134 W (96) Rendimento isotermo Il lavoro isotermo vale: L t = p 1 V 1 ln ρ c p 3 V 3 ln ρ c = 13.7 J/ciclo (97) e quindi il rendimento isotermo: η t = L t L i = 0.61 (98) Figura 16: Ciclo termodinamico nel piano p-v COMPRESSORE ASSIALE (Appello del , esercizio N 2) Testo Uno stadio di compressore assiale (girante seguita da diffusore) riceve aria a p 1 = 1 bar e T 1 = 288 K con velocità assoluta in ingresso girante c 1 = 150 m/s assiale. La velocità periferica della girante al raggio medio è u = 250 m/s, la componente assiale della velocità rimane costante attraverso lo stadio, la deflessione della corrente nelle palette mobili è ε = β 1 β 2 = 15, la velocità in uscita dal diffusore è assiale. All uscita dal diffusore lo spigolo delle palette ha lunghezza radiale l 3 = 0.2 m e il diametro medio è d 3 = 1.3 m Il rendimento politropico dello stadio è η p = Determinare i triangoli di velocità al raggio medio e la potenza assorbita dallo stadio. 29

30 Svolgimento Triangoli di velocità al raggio medio Uno schema dei profili palari al raggio medio e dei corrispondenti triangoli di velocità è riportato in fig. 17. Dai dati forniti risulta: c assiale = c 1 = c a1 = c a2 = c a3 = c 3 È quindi possibile calcolare direttamente la velocità relativa e il corrispondente angolo di flusso (e palare) in ingresso alla girante: w 1 = u 2 + c a1 = u 2 + c 1 = m/s (99) β 1 = arctan u c a 1 = arctan u c 1 = (100) Data la deflessione imposta al flusso dai palettaggi rotorici, ε, l angolo di uscita dalla girante vale: β 2 = β 1 ε = (101) La velocità relativa all uscita della girante è data da: w 2 = c 2a cos β 2 = c 1 cos β 2 = m/s (102) La componente periferica della velocità assoluta è invece determinata come segue: c 2u = u w 2u = u w 2 sin β 2 = 105 m/s (103) e quindi l angolo del flusso assoluto vale (angolo palare di ingresso del diffusore): α 2 = arctan c u2 c a2 = arctan c u2 c 1 = 35 (104) La velocità della corrente assoluta è: c 2 = c 22u + c2a2 = c 2 2u + c2 1 = m/s (105) In uscita dal diffusore il flusso è assiale per ipotesi e quindi si ha banalmente c 3 = c a3 = c 1 = 150 m/s. Potenza assorbita dallo stadio La potenza assorbita dallo stadio è definita come: P ass = ṁ L i η m (106) dove η m è il rendimento meccanico dello stadio che si può assumere pari a Il lavoro interno L i è calcolabile dall espressione di Eulero: L i = u (c 2u c 1u ) = u c 2u = 15.6 KJ/Kg (107) La portata si può invece calcolare all uscita del diffusore dove sono note le dimensioni dei vani palari: ṁ = ξρ 3 c a3 πd 3 l 3 (108) 30

31 dove ξ è il coefficiente di ingombro palare che qui si assume pari a Per calcolare la densità dell aria all uscita dello stadio è necessario conoscere la corrispondente temperatura e pressione. Il lavoro interno L i è anche pari al salto entalpico sull intero stadio, essendo c 1 = c 3 ; quindi: T 3 = T 1 + L i c p = K con c p = KJ Kg K (109) La pressione all uscita dello stadio si calcola invece attraverso l equazione della trasformazione politropica di compressione nello stadio: La densità risulta quindi pari a: p 3 = p 1 ( T 3 T 1 ) k k 1 ηp = bar (110) ρ 3 = p 3 RT 3 = Kg/m 3 con R = 287 J/KgK (111) Dall equazione (108) la portata risulta ṁ = Kg/s e la potenza assorbita (eq. 106) P ass = KW. Figura 17: Triangoli di velocità e profili palari al diametro medio 31

32 COMPRESSORE ASSIALE INTER-REFRIGERATO (Appello del , esercizio N 2) Testo Un compressore assiale di rendimento politropico η p = 0.8 comprime una portata ṁ = Kg/h di aria ambiente (p a = 1 bar, T a = 288 K) fino alla pressione p m = 7.5 bar. Calcolare la temperatura di fine compressione e la potenza assorbita. Se la stessa compressione viene effettuata con una inter-refrigerazione priva di perdite pneumatiche e tale da riportare il gas dopo la prima compressione alla temperatura iniziale, nell ipotesi che i lavori massici nei due stadi siano uguali tra loro e che il rendimento politropico valga per entrambi gli stadi η i p = 0.85, determinare la pressione intermedia e la potenza risparmiata. Svolgimento Temperatura di fine compressione Noto il rapporto di compressione p m /p a = 7.5 e il rendimento della trasformazione politropica di compressione, la temperatura del gas all uscita della macchina è calcolabile come: T m = T a ( p m p a ) k 1 k ηp = 567 K (112) con k, rapporto fra i calori specifici a pressione e volume costante k = c p /c v, che nel caso dell aria assume valore 1.4. Potenza assorbita Il lavoro massico dell intero compressore si può valutare attraverso il salto entalpico: L i = c p (T m T a ) = KJ/Kg con c p = KJ/KgK (113) Assumendo un rendimento meccanico η m = 0.98, la potenza assorbita vale: P ass = ṁl i η m = 1271 KW (114) Pressione intermedia Dalle ipotesi nel testo, i lavori massici dei due stadi di compressione sono uguali (L I i = L II i ) così come le temperature di inizio compressione (Ta I = Ta II ). Segue che i rapporti di compressione sono uguali e pari alla radice quadrata del rapporto di compressione totale: e quindi la pressione intermedia vale p = p a β I = 2.74 bar. Potenza risparmiata La potenza assorbita dal compressore inter-refrigerato è pari a: P inter ass β I = β II = β = 2.74 (115) = ṁ(li i + LII i ) = 2 ṁl I i = 2 ṁc p T a ((β I k 1 kη ) p i 1) = KW (116) η m η m η m La potenza risparmiata è quindi: P ass = P ass P inter ass = KW (117) 32

33 COMPRESSORE CENTRIFUGO (Appello del , esercizio N 2) Testo All ingresso della girante di un compressore centrifugo l aria ha una velocità assoluta assiale c m1 = 100 m/s. All uscita del rotore, l angolo di flusso relativo misurato rispetto alla direzione radiale vale β 2 = 26.6, la componente radiale della velocità è c m2 = 120 m/s e la velocità periferica delle pale è u 2 = 500 m/s. Determinare la potenza assorbita dal compressore quando la portata d aria smaltita è ṁ = 2.5 Kg/s, assumendo che il rendimento meccanico valga η m = Se il rapporto dei raggi di mozzo e di cassa all ingresso della girante è r m1 /r c1 = 0.3, calcolare il diametro di ingresso d c1 assumendo un evoluzione isentropica fra ambiente esterno e ingresso girante. Infine, determinare il rapporto di compressione della macchina sapendo che il suo rendimento isentropico vale η is = 0.8 e assumendo trascurabile la velocità all uscita del diffusore. Si assumano le proprietà dell aria R = 287 J/KgK e γ = 1.4, nonchè le condizioni ambiente p 0 = bar, T 0 = 288 K. Svolgimento Potenza assorbita Dal triangolo delle velocità in uscita dalla girante si ha: Il lavoro interno per unità di massa vale: c u2 = u 2 c m2 tan β 2 = 440 m/s (118) L i = u 2 c u2 = 220 KJ/Kg (119) nell ipotesi di ingresso puramente assiale (c u1 = 0). La potenza assorbita vale quindi: P ass = ṁ L i η m = KW (120) Diametro di ingresso Per il calcolo del diametro di ingresso si utilizza l espressione della portata: ṁ = ρ 1 A 1 c 1 = ρ 1 c m1 π 4 (d2 c1 d 2 m1) = ρ 1 c m1 πd 2 c1 4 [1 (r m1 r c1 ) 2 ] (121) La densità dell aria all ingresso della girante, ρ 1, si può determinare sapendo che la trasformazione fra l ambiente esterno e l ingresso della girante è ad entalpia totale costante (L i = Q = 0) e isentropica. Segue: T 1 = T 0 c2 m1 = 283 K con c p = γ R = J/KgK (122) 2c p γ 1 Dalla legge dei gas perfetti: p 1 = p 0 ( T 1 T 0 ) γ γ 1 = 95.3 KP a (123) ρ 1 = p 1 RT 1 = Kg/m 3 (124) 33

34 Dalla eq. (121), si ricava il diametro di ingresso in girante: 4ṁ d c1 = πρ 1 c m1 [1 ( r m1 r c1 ) 2 = m (125) ] Rapporto di compressione L equazione dell energia scritta fra ambiente di aspirazione e uscita diffusore fornisce: L i = c p (T 3 T 0 ) (126) essendo c 0 = c 3 = 0. Con riferimento alla corrispondente compressione isentropica si può scrivere: L i = 1 η is c p (T 3is T 0 ) = 1 η is c p T 0 ( T 3is T 0 1) = 1 η is c p T 0 [( p 3 p 0 ) γ γ 1 1] (127) da cui si ottiene il rapporto di compressione: p 3 p 0 = ( η isl i c p T 0 + 1) γ γ 1 = 5.28 (128) 34

35 Esercizi su Impianti e Turbine a Vapore 35

36 IMPIANTO A VAPORE (Appello del , esercizio N 3) Testo Un impianto turbina a vapore ha una potenza utile P u = 160 MW e un rendimento utile η u = La pressione di condensazione è di 0.1 bar, mentre il titolo del vapore allo scarico della turbina è x = L acqua condensatrice viene prelevata alla temperatura di 20 C e scaricata a 30 C. Determinare le portate di vapore e di acqua condensatrice. Calcolare inoltre la portata di vapore spillata alla pressione di 1 bar e alla temperatura di 150 C, necessaria a preriscaldare l acqua di alimento fino alla temperatura di 90 C, e la superfice dello scambiatore di calore. Si assuma un coefficiente di scambio termico globale pari a 5000 W/m 2 K. Svolgimento Portata di vapore Dalla definizione di rendimento utile è possibile calcolare la potenza termica fornita al ciclo (vedi figura 18): Poichè la potenza interna del ciclo è data da: η u = P u Q 1 Q 1 = P u η u = MW (129) P i = Q 1 Q 2 = P u η m assumendo un rendimento meccanico η m = 0.98,si ricava la potenza termica sottratta al ciclo: Q 2 = Q 1 P u η m = MW (130) Dalle tabelle del vapor d acqua, alla pressione di condensazione specificata nel testo (p c = 0.1 bar) si ricava il calore latente di condensazione, r = KJ/Kg. Il salto entalpico nel condensatore vale: da cui si ricava la portata di vapore che condensa: h c = h 4 h 1 = r x = KJ/Kg (131) Q 2 = ṁ v,c h c ṁ v,c = Q 2 h c = 90.9 Kg/s (132) Portata di acqua condensatrice La portata d acqua necessaria a far condensare il vapore si ricava dall eguaglianza delle potenze termiche nel condensatore: Q 2 = (ρcq T ) H2 O Q 2 Q H2 O = = 4.99 m 3 /s (133) (ρc T ) H2 O dove T = 10 K è il salto di temperatura dell acqua condensatrice e c = KJ/KgK è il calore specifico dell acqua. 36

37 Portata di vapore spillato La portata di vapore che si deve spillare per consentire il preriscaldamento dell acqua di alimento si può ricavare dal bilancio termico sul volume di controllo riportato in figura (19): dove: ṁ v,c h 1 + ṁ sp h spa = (ṁ v,c + ṁ sp )h 1 ṁ sp = ṁ v,c h 1 h 1 h spa h 1 h spa = 2775 KJ/Kg è l entalpia del vapore alle condizioni di spillamento (dal diagramma di Mollier per t = 150 C; p = 1 bar); h 1 = KJ/Kg è l entalpia dell acqua all uscita del rigeneratore (dalle tabelle del vapor d acqua per t = 90 C); h 1 = KJ/Kg è l entalpia dell acqua a fine condensazione (dalle tabelle del vapor d acqua per p c = 0.1 bar). La portata di spillamento vale quindi: ṁ sp = ṁ v,c h 1 h 1 h spa h 1 = 7.01 Kg/s (134) Superficie del rigeneratore La potenza termica fornita dal vapore spillato vale: Q sp = KS T dove K è il coefficiente di scambio termico globale (fornito nei dati), S è la superficie dello scambiatore e T è la differenza di temperatura media nel rigeneratore, definita come: T t sp t 1 + t 1 2 = 31.7 C (135) dove t sp = 99.6 è la temperatura di condensazione del vapore spillato e t 1 = è la temperatura di fine condensazione del ciclo ricavabili dalle tabelle del vapor d acqua. La potenza termica fornita dal vapore spillato si determina come: Q sp = ṁ sp (h spa h spb ) = KW (136) dove h spb = KJ/Kg è l entalpia di fine condensazione del vapore spillato, ricavabile dalle tabelle del vapor d acqua per p = 1 bar. Pertanto, la superficie dello scambiatore di calore vale: S = Q sp K T = m2 (137) 37

38 Figura 18: Ciclo di Rankine Figura 19: Schema dell impianto GENERATORE DI VAPORE(Appello del , esercizio N 2) Testo Un generatore di vapore produce una portata ṁ v = 2 Kg/s di vapore a T v = 520 K con titolo x = 0.95 partendo da acqua alle condizioni ambiente (p 1 = 1ata, T 1 = 293 K). Viene alimentato con ṁ c = 135 g/s di gas naturale di composizione volumetrica (=frazione molare) pari al 93% di metano e 7% di azoto. Il suo potere calorifico inferiore è H i = 44 MJ/Kg. Il rendimento della combustione è η c = 99% e l eccesso d aria ε = Calcolare: composizione e portata dei fumi, potenza assorbita dalla pompa di alimento, rendimento del generatore e perdite per trasmissione termica. Svolgimento 38

39 Composizione e portata dei fumi La reazione di ossidazione completa del gas naturale considerato è: CH N 2 + 2(1 + ε)[o N 2 ] CO 2 + 2H 2 O + Il rapporto aria combustibile vale quindi: [ 7 + 2(1 + ε) ] N 2 + 2εO 2 α = ṁa = P M a n a = P M a 2(1 + ε)4.76 = (138) ṁ c P M c n c P M c 1 dove P M a è il peso molecolare dell aria e P M c è il peso molecolare del combustibile definiti come: P M a = 0.21 P M O P M N2 = 28.8 g/mol P M c = 0.93 P M CH P M N2 = g/mol La portata dei fumi è quindi uguale a: ṁ f = ṁ c (1 + α) = 2.46 Kg/s Potenza assorbita dalla pompa di alimento Dal diagramma di Mollier, per le condizioni del vapore specificate nel testo, si ricava una pressione pari a p v = 40 ata (a cui corrisponde anche lo stato entalpico h v = 2712 KJ/Kg). la prevalenza fornita dalla pompa di alimento vale pertanto: H = p v p 1 gρ H2 O = m (139) Assumendo per la pompa un rendimento effettivo η e = 0.7, si ha una potenza assorbita di: P ass = ṁv g H η e = KW (140) Rendimento del generatore Il rendimento del generatore è: η g = ṁv(h v h H2 O) ṁ c H i = ṁv[h v c H2 O(T 1 273)] ṁ c H i = (141) Perdite per trasmissione termica Le potenza globalmente persa dal generatore vale: Q = (1 η g )ṁ c H i = KW (142) Questa si compone delle perdite per imperfetta combustione, della potenza termica smaltita con i fumi e delle perdite per trasmissione termica: Q = Q c + Q f + Q tt La potenza termica persa per imperfetta combustione vale: Q c = η c ṁ c H i = 59.4 KW (143) 39

40 Assumendo per i fumi una temperatura di uscita di 140 C e un potere calorifico a pressione costante c pf = 1130 J/Kg, la potenza termica persa attraverso i fumi vale: Q f = ṁ f c pf (T uf T amb ) = KW (144) La potenza termica persa per trasmissione termica vale pertanto: Q tt = Q Q c Q f = KW (145) GENERATORE DI VAPORE (Appello del , esercizio N 2) Testo Un generatore di vapore riceve ṁ v = ṁ H2 O = 1.4 Kg/s di acqua pressurizzata a p = 3 MP a e T H2 O,in = 360 K e produce vapore surriscaldato a T v,out = 700 K. La portata dei fumi è ṁ f = 2 Kg/s. La potenza termica del preriscaldatore d aria è il 7% della potenza entrante. Le perdita per cattiva combustione sono il 10% del totale e quelle per dispersione termica il 30%, ripartite nei vari elementi proporzionalmente alla potenza scambiata. Determinare il rendimento del generatore e calcolare l efficenza dell economizzatore. Assumere calore specifico dei fumi c pf = 1130 KJ/Kg. Svolgimento Rendimento del generatore Il rendimento del generatore vale: η g = ṁv(h v,out h H2 O,in) ṁ c H i = Q Q + Q (146) Dal diagramma di Mollier, per le condizioni specificate nel testo, si ricava un entalpia del vapore di h v,out = 3300 KJ/Kg; quindi la potenza in uscita dal generatore: Q = ṁ v (h v,out h H2 O,in) = ṁ v (h v,out c H2 OT H2 O,in) = KW (147) Dai dati sappiamo che la potenza termica dispersa con i fumi è pari al 60% del totale delle perdite. Assumendo per i fumi una temperatura in uscita di 140 C, si ha: Q f = ṁ f c pf (T f,out T amb ) = KW Q = Q f 0.6 Dall equazione (146)), si ha un rendimento del generatore di η g = 0.9. = 452 KW (148) Efficenza dell economizzatore L efficenza dell economizzatore è definita come: dove (ṁc) min è definito come: ε eco = Q eco (ṁc) min T in (149) (ṁc) min = min(ṁ f c pf ; ṁ v c H2 O) = ṁ f c pf = 2.26 KW/K (150) 40

41 e T in è il T inverso definito come: T in = T f,in,eco T H2 O,in (151) Per calcolare l efficenza è quindi necessario prima determinare la potenza termica dell economizzatore ( Q eco ) e le temperatura dei fumi all ingresso dello stesso (T f,in,eco ). La potenza termica dell economizzatore è: Q eco = ṁ v (Q c H2 OT H2 O,in) = 901.3KW (152) dove Q = 1008 KJ/Kg è il calore posseduto dall acqua all equilibrio alla pressione p = 3 MP a, ricavabile dalle tabelle per il vapor d acqua. Dai dati forniti è possibile ricavare la potenza termica del preriscaldatore d aria: e la potenza termica da esso dissipata: Q pa = 0.07 ṁ c H i = 0.07 ( Q + Q) = KW (153) Q pa = Q pa Q pa + Q eco + Q eva + Q sur Q = Q pa Q pa + Q Q = KW (154) (il testo suggerisce che le potenze dissipate per dispersione termica nei vari elementi, preriscaldatore d aria, economizzatore, evaporatore e surriscaldatore, sono proporzionali alla potenza scambiata). Analogamente, la potenza dissipata dall economizzatore: Q eco = Q eco Q pa + Q Q = KW (155) La temperatura dei fumi in ingresso al preriscaldatore d aria (che coincide con la temperatura di uscita dall economizzatore) vale: T f,in,pa = T f,out,eco = T f,out + Q pa + Q pa c pf ṁ f = 307 C (156) In modo analogo, la temperatura dei fumi in ingresso all economizzatore vale: T f,in,eco = T f,out,eco + Q eco + Q eco c pf ṁ f = 746 C (157) Il T inverso risulta quindi pari a T in = 656 K, e l efficienza dell economizzatore ε eco = CONDENSATORE DI VAPORE (Appello del , esercizio N 1) Testo Un condensatore è attraversato da una portata di vapore ṁ v = 20 Kg/s con titolo x = 0.9 e da acqua di raffreddamento avente all ingresso una temperatura T H2 O,in = 30 C. La pressione di condensazione è p = 0.1 bar. Determinare: - la portata d acqua di raffreddamento - la superficie di scambio termico - il numero dei tubi. Si assumano per i dati mancanti valori plausibili e, in particolare: 41

42 coefficiente di convezione lato vapore: α v = 20 KW/m 2 K coefficiente di convezione lato acqua: α H2 O = 4 KW/m 2 K coefficiente di conduzione acciaio: λ a = 58 W/mK (spessore s a = 1.5 mm) coefficiente di conduzione calcare: λ c = 1.16 W/mK (spessore s c = 15 µm) coefficiente di conduzione olio λ o = 0.15 W/mK (spessore s o = 10 µm) Svolgimento Portata acqua di raffreddamento Il bilancio termico del condensatore fornisce: m v (h v,in h v,out ) = ṁ H2 Oc H2 0(T H2 O,out T H2 O,in) (158) da cui è possibile ricavare la portata d acqua. A tal fine si assume che: T H2 O,out = T H2 O,in + 8 = 38 C Dal diagramma di Mollier e dalle tabelle del vapor d acqua risulta: h v,in = 2450 KJ/Kg h v,out = KJ/Kg T v,out = C Dall equazione (158) si ha quindi: ṁ H2 O = 1348 Kg/s. Superficie di scambio termico La potenza termica scambiata è espressa come: Q = m v (h v,in h v,out ) = ṁ H2 Oc H2 0(T H2 O,out T H2 O,in) = k t S T l (159) dove k t è il coefficiente globale di scambio termico, S la superficie di scambio e T l la differenza di temperatura logaritmica. Quest ultima, nel caso di scambiatore controcorrente, è definita come: T l = [(T v,out T H2 O,in) (T v,in T H2 O,out)] = 10.5 K (160) ln[(t v,out T H2 O,in)/(T v,in T H2 O,out)] Il coefficiente globale di scambio termico, riferito alla superfice esterna, vale: 1 k t = 1 α v r o r t,e + r o ln(r o /r t,e ) λ o + r t,e ln(r t,e /r t,i ) λ a + r t,i ln(r t,i /r c ) λ c + 1 α H2 O k e = 2.22 KW/m 2 K (161) dove r t,i è il raggio interno dei tubi assunto pari a 9 mm, r t,e = r t,i + s t = 10.5 mm è il raggio esterno dei tubi, r o = r t,e + s o = mm è il raggio esterno del film d olio e infine r c = r t,i s c = mm è il raggio interno dello strato di calcare. Dall equazione in (159) la superficie di scambio esterna risulta quindi: S = 1936 m 2. 42

43 Numero dei tubi Assumiamo che la velocità dell acqua nei tubi sia c a = 2 m/s. Il numero dei tubi può essere calcolato dall equazione della portata: n t = ṁh 2 O ρ H2 O 1 πr 2 t,i c a = 2650 (162) e avranno una lunghezza pari a: S = n t πr t,e l t l t = m (163) TURBINA DE LAVAL (Appello del , esercizio N 2) Testo Una turbina semplice assiale ad azione espande vapore dalle condizioni p 0 = 50 bar, T 0 = 450 C fino alla pressione p 1 = 30 bar, ruotando alla velocità n = 3000 giri/min. Sono noti i coefficienti di perdita nel distributore, ϕ = 0.96, e nella girante ψ = 0.92, nonchè il rendimento interno η i = Calcolare il lavoro interno L i e, sapendo che la macchina funziona in condizioni di massimo rendimento, determinare i triangoli di velocità. Se la turbina elabora una portata di vapore ṁ v = 50 Kg/s, calcolare la potenza utile e il grado di parzializzazione necessario per ottenere palette della girante di altezza l 1 non inferiore ai 15 mm. Svolgimento Lavoro interno Dal diagramma di Mollier è possibile determinare l entalpia del vapore nei punti iniziale e finale dell espansione isentropica: h 0 = 3316 KJ/Kg h 1,is = 3166 KJ/Kg Il lavoro interno ottenuto è quindi immediatamente calcolabile dalla: L i = η i h s = η i (h 0 h 1,is ) = 117 KJ/Kg (164) Triangoli di velocità In condizioni di massimo rendimento valgono le seguenti relazioni: u = cos α 1 c 1 2 (165) η i = ϕ ψ cos 2 α 1 (166) 2 Dall equazione (166) si può ricavare α 1 : η i cos 2 α 1 = 2 ϕ 2 (1 + ψ) = α 1 = 20.1 (167) 43

44 La velocità in uscita dal distributore si può calcolare come: c 1 = ϕ 2 h s = m/s (168) Dall equazione (165) è ora possibile calcolare la velocità periferica: u = c 1 cos α 1 2 e quindi il diametro medio della macchina: D = 60u πn = m/s (169) = 1.57 m (170) Poichè si è in condizioni di massimo rendimento w u1 = u, mentre la componente di velocità assiale all ingresso della girante vale: c a1 = w a1 = c 1 sin α 1 = m/s (171) La velocità relativa in ingresso vale quindi: w 1 = u 2 + wa1 2 = 306 m/s (172) e il corrispondente angolo di flusso relativo: β 1 = arctan w a1 u = 36.2 (173) Poichè la turbina è ad azione, i palettaggi rotorici sono simmetrici e quindi: β 2 = 180 β 1 = (174) La velocità relativa in uscita si può calcolare da quella in ingresso noto il coefficiente di perdita della girante: w 2 = ψw 1 = m/s (175) Le componenti periferiche delle velocità in uscita valgono: w u2 = w 2 cos β 2 = m/s (176) La componente assiale vale: c u2 = u + w u2 = 19.6 m/s (177) w a2 = c a2 = w 2 sin β 2 = m/s (178) e quindi la velocità assoluta: c 2 = c 2 a2 + c2 u2 = m/s (179) I triangoli della velocità, in scala, sono riportati in figura 20. Potenza utile Assumendo un rendimento meccanico η m = 0.98, la potenza utile vale: P u = η m ṁ v L i = 5.73 MW (180) 44

45 Grado di parzializzazione Il grado di parzializzazione ε è definito come: ε = A par π D l (181) dove A par è l area della porzione occlusa del distributore. Segue che l area di efflusso, attraverso la quale viene alimentata la girante, vale: Sostituendo nell equazione della portata: A flusso = (1 ε)π D l (182) ε = 1 ṁ v ξπdl 1 ρ v1 c a1 (183) dove ξ è il coefficiente di ingombro palare (assunto pari a 0.97), ρ v1 è la densità del vapore all ingresso della girante, che è possibile calcolare come segue. Dalla conservazione dell entalpia totale nel distributore si ha: h 1 = h 0 c2 1 2 = 3178 KJ/Kg (184) a cui corrisponde, sul diagramma di Mollier per l isobara p = p 1, una densità ρ v1 = 10.8 Kg/m 3. Dall equazione (183) risulta quindi ε = 0.64, avendo posto come altezza delle palette della girante il valore limite l 1 = 15 mm. Figura 20: Triangoli di velocità 45

46 TURBINA CURTIS Testo Si debba dimensionare lo stadio Curtis di una turbina a vapore per una centrale termoelettrica, sapendo che esso riceve 20 Kg/s di vapore alla temperatura t 0 = 500 C e deve espanderlo dalla pressione p 0 = 140 bar alla pressione p u = 30 bar. La turbina ruota a n = 3000 giri/min. Assumendo valori plausibili per l angolo di flusso all uscita del distributore, si determinino: il numero di salti di velocità; i triangoli di velocità; il lavoro massico e il rendimento interno dello stadio (considerando solo le perdite della palettatura e trascurando le perdite per ventilazione e attrito sul disco); la geometria del distributore e del palettaggio della prima girante. Allegati: diagrammi dei coefficienti di perdita. Svolgimento Numero di salti di velocità Dal diagramma di Mollier, è possibile determinare l entalpia del vapore in ingresso: h 0 = 3320 KJ/kg Discendendo poi lungo l isentropica fino a p u = 30 bar si trova: h u,s = 2912 KJ/Kg h s = h o h u,s = 408 KJ/Kg A questo punto si deve assumere un valore per l angolo di flusso all uscita del distributore. I valori tipici sono compresi fra i 15 e i 25 ; assumiamo α 1 = 18. Dal diagramma allegato in figura 21, per i valori di α 1 assunto e di p 0/p u, si ricava il coefficiente di perdita del distributore: ϕ d = Assumendo che la velocità in ingresso al distributore sia trascurabile (c 0 = 0), la velocità in uscita vale: c 1 = ϕ d 2 hs = m/s (185) e quindi, dalla conservazione dell entalpia totale nel distributore, si determina il salto entalpico reale: h d = c = ϕ2 d h s = 376 KJ/Kg (186) Sul diagramma di Mollier si ricava il punto 1 sull isobara p 1 = p u corrispondente a h d : h 1 = h 0 h d = 2944 KJ/Kg t 1 = 282 C; v 1 = 0.08 m 3 /Kg La velocità periferica della girante può essere valutata assumendo condizioni di rendimento massimo e trascurando inizialmente le perdite fluidodinamiche (ϕ = ψ = 1): ( ) u = cos α 1 u opt = cos α 1 c 1 = z 2z z c 1 opt dove z è il numero dei salti di velocità. Normalmente deve essere u < 300 m/s, per limitare gli sforzi centrifughi sulla girante. In questo caso è quindi ragionevole porre z = 2: ( ) u = ; u opt = = m/s (187) z c 1 opt 46

47 Triangoli di velocità I triangoli della velocità per lo stadio in esame sono rappresentati in figura 24, mentre di seguito si riporta il calcolo delle velocità e dei corrispondenti angoli di flusso. Per questa prima stima si assume u = u opt. INGRESSO 1 a GIRANTE c u1 = c 1 cos α 1 = m/s w u1 = c u1 u = m/s ( ) w c a1 = w a1 = c 1 sin α 1 = 268 m/s β 1 = arctan a1 = w 1 = USCITA 1 a GIRANTE β 2 = π β 1 = ψ = ψ(π β 2) = 0.81 (vedi diagramma in fig. 22) w u1 w u1 2 + w 2 a1 = 674 m/s w 2 = ψ w 1 = 546 m/s c u2 = w 2 cos β 2+u = m/s c a2 = ψ c a1 = m/s ( ) c α 2 = arctan a2 = c 2 = c 2 u2 + c 2 a2 = m/s c u2 INGRESSO 2 a GIRANTE (USCITA RADDRIZZATORE) α 1 = π α 2 = 36.4 ϕ r = ϕ r (α 2 α 1) = (vedi diagramma in fig. 23) c 1 = ϕ r c 2 = m/s c u1 = ϕ r c u2 = m/s c a1 = ϕ r c a2 = m/s w u1 = c u1 u = 59.6 m/s w a1 = c a1 = m/s w 1 = w u1 2 + w 2 a1 = m/s ( ) w = USCITA 2 a GIRANTE β 1 = arctan a1 w u1 β 2 = π β 1 = ψ = ψ(π β 2 ) = 0.95 (vedi diagramma in f ig. 22) w 2 = ψ w 1 = m/s w u2 = w 2 cos β 2 = 56.6 m/s c 2 = c u2 = w u2 + u = m/s c a2 = ψ c a1 = 186 m/s ( ) c c 2 a2 + c 2 u2 = m/s α 2 = arctan = a2 c u2 A questo punto, noti tutti i coefficienti di perdita, si può calcolare il vero valore di (u/c 1 ) opt. Quest ultimo si ottiene annullando la derivata parziale rispetto a (u/c 1 ) del rendimento interno dello stadio, definito come: η i = L i c 2 (188) 1 /2ϕ2 d Il lavoro interno dello stadio L i è ovviamente pari alla somma dei lavori interni delle due giranti: L i = L i + L i. Per il calcolo dei due contributi si fa uso della formula di Eulero: L i = u(c u1 c u2) = u[c 1 cos α 1 ( ψ w 1 cos β 1 + u)] (189) = u[c 1 cos α 1 + ψ (c 1 cos α 1 u) u] = (1 + ψ )u(c 1 cos α 1 u) 47

48 ed analogamente Il lavoro totale vale quindi: L i = (1 + ψ )u(c 1 cos α 1 u) (190) L i = L i + L i = u[ac 1 cos α 1 (A + B)u] (191) dove i parametri A e B, funzioni dei coefficienti di perdita, valgono: A = 1 + ψ + ψ ϕ r (1 + ψ ) = B = (1 + ψ )(1 + ϕ r ) = Sostituendo la (191) nella (188), si ottiene: ( ) [ ( )] u u η i = 2ϕ 2 d A cos α 1 (A + B) c 1 c 1 (192) e derivando rispetto a (u/c 1 ), si ottiene: [ ( )] δη i u δ(u/c 1 ) = 2ϕ2 d A cos α 1 2(A + B) c = 0 1 ( ) u c 1 opt,reale = A cos α 1 A + B 2 = (193) Il valore di (u/c 1 ) opt,reale risulta diverso da quello ideale utilizzato per la prima stima delle velocità. Si deve quindi procedere con successive iterazioni fino alla convergenza del valore di (u/c 1 ) opt,reale. Nel caso considerato, si ottiene a convergenza: ( ) u A = B = = c 1 opt,reale da cui seguono i valori finali delle velocità e degli angoli di flusso: INGRESSO 1 a GIRANTE c 1 = m/s u = m/s c a1 = 268 m/s c u1 = m/s USCITA 1 a GIRANTE w u1 = m/s w 1 = m/s α 1 = 18 β 2 = ψ = w u2 = m/s c a2 = m/s w 2 = m/s c u2 = m/s c 2 = m/s α 2 = INGRESSO 2 a GIRANTE (USCITA RADDRIZZATORE) α 1 = ϕ r = c u1 = m/s c a1 = m/s c 1 = m/s w u1 = 94.1 m/s w 1 = m/s β USCITA 2 a GIRANTE β 2 = ψ = α 2 = w u2 = 88.4 m/s 48

49 c a2 = m/s w 2 = m/s c u2 = m/s c 2 = m/s Lavoro massico dello stadio Il lavoro totale dello stadio vale: L i = L i + L i = u[ac 1 cos α 1 (A + B)u] = KJ/Kg (194) Assumendo un rendimento meccanico dello stadio, η m = 0.98, si può anche stimare la potenza utile: P u = η m ṁ v L i = 5 MW (195) Rendimento interno Il rendimento interno η i è definito dal rapporto fra il lavoro interno di stadio, L i, e la massima quantità di energia trasferibile dal fluido alla macchina, che è pari all energia cinetica del flusso all uscita del distributore in condizioni di espansione isentropica: η i = L i ( c 2 12 ) s = L i h s = (196) Geometria del distributore e del palettaggio della prima girante Per prima cosa calcoliamo l altezza delle pale della prima girante l 1 che assumiamo coincidere con l altezza dei canali distributori. Per fare ciò si utilizza l equazione della portata: ṁ v = ξπd l 1 c a1 v 1 dove ξ è il coefficiente di ingombro palare, assunto pari a 0.95, e D è il diametro medio della prima girante. Il diametro medio può essere calcolato come: L altezza palare vale allora: D = 60u πn = m (197) l 1 = ṁvv 1 ξπd c = 1.6 mm (198) a1 valore decisamente non accettabile perchè troppo piccolo. Risulta quindi necessario parzializzare l alimentazione della turbina. Assumiamo un altezza ragionevole delle pale (l 1 = 12 mm) e calcoliamo il grado di parzializzazione: Segue un arco di ammissione: ṁ v = ξπd l 1 c a1 v 1 (1 ε) ε = 1 ṁvv 1 ξπdl 1 c a1 = θ distr = (1 ε)360 = 49 (199) 49

50 Uno schema di massima del distributore è riportato in figura 25. Si tratta di un ugello convergente divergente poichè il rapporto di espansione che esso deve realizzare è inferiore a quello critico: p u < p ( ) γ cr 2 γ 1 = = p 0 p 0 γ + 1 con γ = 1.3 per vapore surriscaldato Dall equazione di continuità scritta nelle sezioni di gola e di uscita si ricava: S g S 1 = v crc 1 v 1 c cr = v crϕ d 2 hs v 1 = 0.67 (200) 2 hcrs dove v cr = m 3 /Kg e h crs = 170 KJ/Kg si ricavano dal diagramma di Mollier sull isobara critica. Il numero di ugelli distributori si determina secondo la correlazione empirica: i d = ( )(1 ε)d sin α 1 dove il diametro D va espresso in millimetri. Nel nostro caso, scegliendo una costante pari a 0.27, la correlazione fornisce i d = 13.9 che arrotondiamo a 14. Il passo degli ugelli distributori vale: La sezione di uscita del distributore è data da: t d = πd (1 ε) i d = 37.4 mm (201) S 1 = ṁvv 1 i d c 1 = m 2 (202) mentre la sezione di gola si ottiene dalla (200): S g = 0.67 S 1 = m 2 (203) Assumendo che il distributore sia ad altezza costante e pari a quella delle palette della prima girante, le dimensioni in pianta risultano: s g = S g l 1 = 7.36 mm (204) s 1 = S 1 l 1 = mm (205) Per calcolare lo spessore di estremità, si utilizza la definizione del coefficiente di ingombro palare: ξ = s 1 s 1 + s 0 La corda assiale vale (formula empirica): b = s 1 s 0 = s 1 [ cos α sin α 1 ( ) 1 ξ 1 = 0.58 mm (206) ( 1 s )] g s = 21.6 mm (207) 1 50

51 Per la girante, si considerano profili dell intradosso e dell estradosso della pala ad arco di cerchio, come mostrato in figura 26. La corda assiale b vale solitamente mm. Assumendo b = 15 mm, il raggio di intradosso r i vale: r i b = = 8.14 mm (208) 2 cos β dove β è l angolo di flusso relativo rispetto alla direzione periferica: β = β 1 = π β 2. Per il raggio di estradosso si ha r e = ( )r i ; assumiamo r e = 0.6 r i = 4.89 mm. Come per il distributore, lo spessore di estremità si calcola dal coefficiente di ingombro palare: ( ) 1 s 0 = ξ 1 (r i r e) = 0.17 mm (209) Infine si calcola il passo palare: t = r i r e + s 0 sin β = 8.77 mm (210) a cui corrispondono i g = πd /t = 438 pale. Figura 21: Coefficiente di perdita del distributore 51

52 Figura 22: Coefficiente di perdita della girante Figura 23: Coefficiente di perdita del raddrizzatore 52

53 Figura 24: Triangoli di velocità 53

54 Figura 25: Geometria di un ugello distributore Figura 26: Geometria delle pale della prima girante 54

55 TURBINA A VAPORE A REAZIONE (Appello del , esercizio N 2) Testo Uno stadio di turbina assiale riceve 80 Kg/s di vapore alle condizioni p 0 = 1.5 MP a, t 0 = 350 C e velocità c 0 trascurabile. Il distributore espande il vapore fino ad una pressione p 1 = 1.0 MP a, mentre la pressione all uscita dello stadio è p 2 = 0.7 MP a. La girante, che ruota alla velocità n = 3000 giri/min, ha un raggio medio, r m = 0.8 m, e un altezza delle palette, H = m, uguali in ingresso e in uscita. I coefficienti di perdita nel distributore e nella girante valgono, rispettivamente, ϕ = c 1 /c 1is = 0.92 e ψ = w 2 /w 2is = Con l ausilio del diagramma h-s del vapor d acqua, determinare i triangoli di velocità, la potenza interna, il rendimento interno e il grado di reazione dello stadio. Svolgimento Triangoli di velocità La trasformazione di espansione nello stadio è rappresentata nel piano h-s in figura 27, mentre i triangoli delle velocità sono illustrati in figura 28. La velocità periferica della girante al raggio medio è: u = πr mn 30 = m/s (211) Dal diagramma di Mollier possiamo determinare i valori di entalpia nei punti 0, 1s e 2ss: h 0 = 3150 KJ/Kg h 1s = 3040 KJ/Kg h 2ss = 2955 KJ/Kg Dalla conservazione dell entalpia totale nel distributore, essendo c 0 = 0, si ottiene: c 1is = 2(h 0 h 1s ) = 469 m/s (212) Noto il coefficiente di perdita del distributore, la velocità in uscita dallo statore vale: e sempre per la conservazione dell entalpia totale: c 1 = ϕc 1is = m/s (213) h 1 = h 0 c2 1 2 = 3057 KJ/Kg (214) Dal diagramma del vapor d acqua si ricava anche il valore del volume specifico del vapore nel punto 1: v 1 = m 3 /Kg. La velocità assiale in ingresso alla girante si calcola dall espressione della portata: c a1 = ṁvv 1 ξ2πr m H essendo ξ il coefficiente di ostruzione palare (si è assunto ξ = 0.95). L angolo del flusso assoluto si calcola come: = 127m/s (215) α 1 = arcsin c a1 c 1 = 17.1 (216) 55

56 Le rimanenti componenti del triangolo di velocità in ingresso valgono: c u1 = c 1 cos α 1 = m/s w u1 = c u1 u = m/s w 1 = wu1 2 + c2 a1 = m/s Nel diagramma di Mollier, noto il punto 1, si può individuare anche il punto 2s che ha entalpia h 2s = 2967 KJ/Kg. Per la conservazione dell entalpia totale relativa, la velocità relativa isentropica all uscita della girante vale: w 2s = 2(h 1 h 2s ) + w1 2 = m/s (217) e noto il coefficiente di perdita della girante: w 2 = ψw 2s = m/s (218) L entalpia nel punto 2 vale (dalla conservazione dell entalpia totale relativa): h 2 = h 1 + w2 1 w2 2 2 = 2992 KJ/Kg (219) a cui corrisponde sul diagramma di Mollier un volume specifico del vapore v 2 = m 3 /Kg. Dall espressione della portata, la velocità assiale in uscita vale: c a2 = ṁvv 2 ξ2πr m H Gli altri elementi del triangolo di velocità in uscita valgono: = 170 m/s (220) β 2 = arcsin c a2 w 2 = 24.2 w u2 = w 2 cos β 2 = m/s c u2 = u + w u2 = 127 m/s c 2 = c 2 u2 + c2 a2 = m/s Potenza interna Il lavoro interno dello stadio vale. L i = u(c u1 c u2 ) = KJ/Kg (221) e quindi la potenza interna è: P i = ṁ v L i = MW (222) Rendimento interno Se si assume lo stadio singolo, l energia cinetica allo scarico deve essere considerata una perdita, per cui Il rendimento interno può vale: η i = L i L i s + c2 1 2 = L i h 0 h 2ss = (c 0 = 0) (223) Se invece si considera uno stadio intermedio, l energia cinetica allo scarico non è persa ma è sfruttabile negli stadi succesivi, per cui il rendimento interno è: η i = L i L is = L i h 0 h 2ss c2 2 2 = (224) 56

57 Grado di reazione R = salto entalpico girante salto entalpico stadio = h 1 h 2 h 0 h 2 = 0.41 (225) Figura 27: Trasformazione di espansione nello stadio Figura 28: Triangoli di velocità 57

58 Esercizi sugli Impianti Turbogas 58

59 IMPIANTO TURBOGAS (Appello del , esercizio N 3) Testo In un impianto turbina a gas l aria entra nel compressore, di rendimento politropico η p,c = 0.85, alla pressione p 1 = 1 bar e alla temperatura T 1 = 293 K e ne esce alla pressione p 2 = 9 bar. Nel combustore, di rendimento η b = 0.9, raggiunge la temperatura T 3 = 1123 K senza cadute di pressione apprezzabili. Nella turbina, di rendimento isentropico η is,t = 0.8, i gas si espandono sino alla pressione p 4 = 1 bar. Assumendo un potere calorifico inferiore del combustibile pari a H i = 40 MJ/Kg e un calore specifico a pressione costante dei gas combusti c pg = 1100 J/KgK, determinare il rapporto aria/combustibile e il rendimento globale dell impianto. Svolgimento Rapporto aria/combustibile (α) Il bilancio energetico del combustore fornisce: η b ṁ c H i + ṁ a c pa T 2 + ṁ c c pc T c = (ṁ a + ṁ c )c pg T 3 (226) Trascurando il contributo del combustibile in ingresso (ṁ c c pc T c 0) e dividendo per ṁ c, si ottiene: η b H i + α c pa T 2 = (1 + α) c pg T 3 α = ṁa = η b H i c pg T 3 (227) ṁ c c pg T 3 c pa T 2 La temperatura T 2 all uscita dal compressore è calcolabile noto il rapporto di compressione e il rendimento politropico del compressore: ( ) k 1 p2 kηp,c T 2 = T 1 = K con k = 1.4 per l aria (228) p 1 Il potere calorifico a pressione costante dell aria è: c pa = dall equazione (227), α = 56.1 Rendimento globale dell impianto Il rendimento globale dell impianto è definito come: k k 1R = J/KgK e quindi, dove la potenza utile P u è data da: η g = P u ṁ c H i (229) P u = P u,turbina P u,compressore = (ṁ a + ṁ c ) L u,t ṁ a L u,c (230) = [(1 + α) L u,t α L u,c ] ṁ c (231) I lavori utili di espansione e compressione valgono: ( ) L u,t = η m,t η is,t c pg T 3 1 β kg 1 kg t L u,c = 1 η m,c c pa T 1 ( k 1 ) kηp,c βc 1 (232) (233) 59

60 dove, per l ipotesi di caduta di pressione trascurabile nel combustore, β c = p 2 /p 1 = p 3 /p 4 = β t. L esponente della trasformazione isentropica di espansione dei gas combusti può essere calcolato come: k g = c pg /(c pg R) = Assumendo un rendimento meccanico uguale per turbina e compressore, η m,t = η m,c = 0.98, si ottiene: L u,t = KJ/Kg L u,c = KJ/Kg e, dalle (229) e (231): η g = (1 + α) L u,t α L u,c H i = IMPIANTO TURBOGAS (Appello del , esercizio N 3) Testo Di un impianto turbina a gas, non rigenerato, sono noti i lavori (reali) di turbina e compressore, L t = 300 KJ/Kg e L c = 160 KJ/Kg, nonchè il rendimento termico del ciclo, η t = 0.3. Calcolare il rendimento termico dell impianto nel caso si adottata la rigenerazione termica con grado di rigenarazione R = Svolgimento Il lavoro utile del ciclo considerato è: L u = L t L c = 140 KJ/Kg (234) I rendimenti termici del ciclo normale (η t ) e rigenerato (η tr ) sono definiti come, (vedi figura 29): η t = L u L u = η tr = L u L u = Q 1 c p (T 3 T 2 ) Q 1r c p (T 3 T 2 ) (235) mentre il grado di rigenerazione è: R s = T 2 T 2 T 4 T 2 (236) Il calore da fornire al ciclo nel caso rigenerato può essere scritto come: Q 1,r = c p (T 3 T 2) = c p [ (T3 T 2 ) (T 2 T 2 ) ] = c p [(T 3 T 2 ) R s (T 4 T 2 )] (237) Dalla prima equazione delle (235) si ricava: c p (T 3 T 2 ) = L u η t (238) per cui c p R s (T 4 T 2 ) = R s [c p (T 3 T 2 ) c p (T 3 T 4 )] = R s ( Lu η t L t ) (239) 60

61 Sostituendo le (238), e (239) nella (237), si ottiene: Q 1,r = cp [(T 3 T 2 ) R s (T 4 T 2 )] = L u = L u η t ( )] L t [1 R s 1 η t L u η t R s ( Lu η t L t ) (240) Sostituendo quest ultima espressione nella seconda delle (235), si ottiene il rendimento utile del ciclo rigenerato: η tr = L u ηt L u R s ( Lu ηt L t ) = η t 1 R s (1 η t L t L u ) = 0.41 (241) Figura 29: Ciclo termodinamico nel piano T-S 61

62 Esercizi sui Motori a Combustione Interna 62

63 MOTORE 4TEMPI AD ACCENSIONE COMANDATA (Appello del , esercizio N 2) Testo Un motore ad accensione comandata a 4 tempi di cilindrata V = 2000 cm 3, funzionante con rapporto aria/combustibile (α) stechiometrico, aspira aria alla pressione p a = 1 bar e alla temperatura T a = 288 K, fornendo una coppia C = 150 Nm con un consumo specifico di combustibile C s = 270 g/kw h. Il combustibile ha un rapporto idrogeno/carbonio H/C = 1.9 e un potere calorifico inferiore H i = 44 MJ/Kg. Le perdite meccaniche sono pari al 7% della potenza in ingresso al motore. Determinare la pressione media effettiva, la pressione media indicata e il coefficiente di riempimento del motore. Svolgimento Pressione media effettiva (pme) I dati forniti nel testo sono sufficienti per calcolare la pressione media effettiva direttamente dalla sua definizione: pme = P u 60 n τ 2 1 V = 2π V C τ 2 = bar (τ = 4 per motore 4T ) (242) Pressione media indicata (pmi) Indicando con P m la potenza dissipata per perdite meccaniche (attriti e organi ausiliari), il rendimento meccanico del motore in esame vale: η m = P e P ind = La pmi vale quindi: P e P e + P m = 1 = 1 + Pm P e Pm ṁ c = H i ṁ c H i P e C s H i = (243) pmi = pme η m = 11.6 bar (244) Coefficiente di riempimento L equazione (242) può essere ulteriormente elaborata per esprimere la pme anche in funzione del coefficiente di riempimento: pme = P u 60 n τ 2 1 V = ṁc 60 C s n τ 2 1 V = m a 1 = λ v ρ a α V C s α C s λ v = pme α C s ρ a (245) La densità dell aria in aspirazione è: ρ a = p a R T a = 1.21 Kg/m 3 con R = 287 J/KgK (246) Per calcolare la dosatura stechiometrica della miscela (α st ) si deve scrivere la reazione di ossidazione (considerata completa) del combustibile: ( C n H 1.9n + n + 1.9n ) (O N 2 ) nco n ( 4 2 H 2O+3.76 n + 1.9n ) N 2 (247) 4 63

64 Quindi, il rapporto di miscela: ( ) maria α = α st = = P M a P M c m comb st ( na Il coefficiente di riempimento vale pertanto: λ v = MOTORE 4TEMPI AD ACCENSIONE COMANDATA (Appello del , esercizio N 3) n f ) st = n ( /4) = 14.6 (248) n Testo Un motore a combustione interna a 4 tempi e ad accensione comandata ha cilindrata V = 1300 cm 3. In una certa condizione di funzionamento, al regime di n = 3000 giri/min, vengono misurati un consumo di combustibile di 2.1 g/s, una coppia C = 90 Nm, e una concentrazione in volume (=frazione molare) di anidride carbonica nei gas di scarico X CO2 = 12.3%. Determinare, in tale condizione, il rapporto di miscela α, assumendo una combustione completa e assimilando la benzina ad un idrocarburo equivalente di formula C 8 H 15. Calcolare, inoltre, la potenza effettiva, la pme, il consumo specifico di combustibile in g/kw h e il coefficiente di riempimento del motore (condizioni all aspirazione: p a = 98 KP a t a = 18 C). Svolgimento Rapporto di miscela Il rapporto di miscela è definito da: α = m a m c = P M a P M c n a n c (249) dove P M i indica il peso molecolare e n i il numero di moli (i = a, c). La reazione di ossidazione (completa) del combustibile considerato è: C 8 H 15 +n O2 (O N 2 ) 8CO H 2 O +(n O /2)O n O2 N 2 (250) La concentrazione dell anidride carbonica nei gas di scarico vale pertanto: X CO2 = n O / n O2 = n O2 (251) Il numero di moli di ossigeno n O2 per mole di idrocarburo può essere espresso in funzione della dosatura della miscela: n O2 = n a 4.76 = m a = α m c = P M c α 4.76 P M a 4.76 P M a P M a 4.76 Sostituendo nell equazione (251), si ottiene: α = P M a P M c ( 8 X CO essendo P M a = 29 g/mole e P M c = = 111 g/mole. (252) ) = 16 (253) 64

65 Potenza effettiva e pme La potenza effettiva vale: e la pressione media effettiva: pme = P e 1 V P e = Cω = C 2πn τ n 2 = C 2π τ V 2 = 28.3 KW (254) = 8.7 bar (τ = 4 per motore 4T ) (255) Consumo specifico di combustibile Applicando la sua definizione, il consumo specifico vale: C s = ṁc P e = Kg/J = g/kw h (256) Coefficiente di riempimento La densità dell aria all aspirazione è: ρ a = Il coefficiente di riempimento è quindi: λ v = m a ρ a V = p a RT a = Kg/m 3 (257) ṁa ρ a V 60 τ n 2 = α ṁ c ρ a V 60 τ n 2 = 0.88 (258) MOTORE DIESEL 4TEMPI (Appello del , esercizio N 3) Testo Un motore Diesel a 4 tempi eroga una coppia C = 30Kgm a n = 2200 giri/min. La potenza termica ceduta per trasmissione di calore all ambiente e al circuito di refrigerazione ( Q w ) è numericamente uguale alla potenza utili erogata dal motore. La temperatura dell aria aspirata è T a = 288 K mentre quella dei gas di scarico è T g = 800 K. Il potere calorifico inferiore del combustibile è H i = Kcal/Kg e il rapporto aria/combustibile è α = 27. Assumendo uguali i calori specifici dell aria e del combustibile, c p = c pa = c pg = 0.25 Kcal/KgK, calcolare il consumo specifico di combustibile e la massa d aria aspirata in un ciclo del motore nella condizione di funzionamento indicata. Svolgimento Consumo specifico Il consumo specifico è il consumo di combustibile per unità di potenza utile prodotta: C s = ṁc P u La potenza utile può essere ricavata direttamente dai dati forniti: P u = C ω = C 2πn = 67.8 KW (259)

66 o dal bilancio energetico del motore. Infatti la potenza utile è quanto rimane della potenza in ingresso al motore una volta sottratte le potenze uscenti o disperse: P u = P in P out = P aria combustione + P combustibile P termica smaltita P gas scarico = ṁ a c pa T a + ṁ c (c pc T c + H i ) Q w (ṁ a + ṁ c )c pg T g (260) Se si trascura la potenza in ingresso associata all energia sensibile del combustibile (ṁ c c pc T c, perchè normalmente piccola rispetto alle altre grandezze considerate ) e si assume Q w = P u e c pa = c pg = c p, dividendo la (260) per la portata di combustibile ṁ c, si ottiene: essendo α = ṁ a /ṁ c. 2P u ṁ c = αc p T a + H i (1 + α)c p T g = 2 C s C s = g/kw h (261) Massa d aria aspirata per ciclo La massa d aria aspirata per ciclo, nella condizione di funzionamento indicato, vale: m a = ṁa n/120 = α ṁ 120 c n = α 120 n P uc s = 7.3 g/ciclo (262) MOTORE DIESEL 4TEMPI SOVRALIMENTATO (Appello del , esercizio N 3) Testo Un motore a 4 tempi Diesel di cilindrata V = 12 dm 3 è sovralimentato mediante un compressore centrifugo a comando meccanico. Al regime n = 3000 giri/min e condizioni ambiente p a = bar, T a = 288 K, sono noti i seguenti dati: pme = 10 bar, C s = 245 g/kw h, λ v = 0.9, α = 21. Il combustibile ha un poter calorifico inferiore H i = 42 MJ/Kg. Il compressore ha un rendimento isentropico η is,c = 0.8. Determinare la potenza e il rendimento effettivi del motore, la pressione di sovralimentazione e la potenza assorbita dal compressore. È possibile stimare un valore limite per il rendimento meccanico del motore? Svolgimento Potenza effettiva Nota la pressione media effettiva (pme), la potenza effettiva è calcolabile come: P e = pme V n 2 60 τ = 300 KW (τ = 4 per motori 4T ) (263) Rendimento effettivo Il consumo specifico è definito come: C s = ṁc P e = ṁ c = 1 (264) ṁ c H i η e η e H i 66

67 Quindi il rendimento effettivo vale: η e = 1 C s H i = 0.35 (265) Pressione di sovralimentazione Dall espressione (263) della potenza effettiva si ha: pme = P e τ 2 60 n 1 V (266) Utilizzando le definizioni di consumo specifico (264), di dosatura (α = ṁ a /ṁ c ) e di coefficiente di riempimento (λ v = m a /ρ c /V dove ρ c è la densità dell aria all uscita del sovralimentatore), si può elaborare l espressione (266) ottenendo: Segue il valore di ρ c : ṁ c pme = C s V n 60 2 τ ṁ a = α C s V n 60 La densità dall aria all aspirazione del compressore vale: e quindi: 2 τ = m a α C s V = λ v ρ c α C s (267) ρ c = pme α C s λ v = Kg/m 3 (268) ρ a = p a RT a = Kg/m 3 (269) ρ c ρ a = p c p a Ta T c = β c T a T c = (270) con β c = p c /p a. Il lavoro interno del compressore si esprime come: L i = 1 [ ] ( ) c p T a (β c ) γ 1 Tc γ 1 = c p (T c T a ) = c p T a 1 η is,c T a da cui: T c = ( ) γ 1 γ βc 1 T a η is,c (271) L espressione di T c /T a appena ottenuta può essere sostituita nella (270) ottenendo un equazione in cui l unica incognita è il rapporto di compressione del sovralimentatore: β c ) γ 1 = (272) γ η is,c (βc 1 equazione la cui unica incognita è β c. Risolvendo per tentativi si ottiene: β c = p c = p a β c bar 67

68 Potenza assorbita dal compressore La portata d aria elaborata dal sovralimentatore vale: ṁ a = λ v ρ c V V = Kg/s (273) 120 Assumendo per il rendimento meccanico del compressore il valore 0.95, si ottiene: ( ) P a,c = ṁa γ 1 L i ṁ a γ = η m,c η m,c η is,c γ 1 R T γ a βc 1 = KW (274) essendo per l aria γ = 1.4 e R = 287 J/KgK. Rendimento meccanico del motore Se le perdite meccaniche fossero solo quelle associate al trascinamento del compressore di sovralimentazione, il rendimento meccanico potrebbe essere espresso come: η m = P e P e + P a,c = (275) Tale valore è da considerarsi come limite superiore per il reale rendimento meccanico del motore. Infatti, alla potenza necessaria per trascinare il compressore si devono aggiungere le potenze impiegate dagli altri organi ausiliari e la potenza dissipata per attriti meccanici negli accoppiamenti cinematici del motore. 68

69 Esercizi non risolti 69

70 Turbina idraulica (Pelton) Effettuare il dimensionamento di massima di una turbina idraulica con caduta netta di 764 m, portata di 2.9 m 3 /s e frequenza di rete 60 Hz. Turbina idraulica (Francis) Si esegua il dimensionamento di massima della girante di una turbina idraulica Francis, funzionante in un impianto con caduta utile di 200 m e portata nominale 5 m/s. La turbina sia accoppiata ad un generatore elettrico per erogare corrente alternata a 50 Hz. Assumendo valori opportuni per i rendimenti e utilizzando i grafici statistici allegati, si calcoli: la velocità di rotazione, la potenza utile, le dimensioni principali della sezione meridiana della girante eseguendo un disegno schematico in scala. Turbina idraulica (Elica) Una turbina Kaplan elabora un salto utile di H = 23 m, ha una portata Q = 55 m 3 /s, diametro medio d m = 2.1 m, rapporto lunghezza pala/diametro medio l/d m = 0.4 e ruota a n = 200 giri/min. Sapendo che il rendimento idraulico vale 0.91, che le pale le pale della girante sono svergolate secondo il criterio del vortice libero e che la velocità c 2 è assiale, determinare il lavoro interno e la potenza erogata, tracciare i triangoli delle velocità (in scale), i profili palari e calcolare i gradi di reazione in mezzeria, alla radice e alla punta delle pale. Pompa Una pompa invia 16 dm 3 /s di acqua a un serbatoio sopraelevato di 8 m. In aspirazione il diametro è 100 mm e la pressione 35 KP a, in mandata il diametro è 65 mm e la pressione 250 KP A. La velocità di rotazione è di 24 giri/s. verificare l eventuale presenza di cavitazione e calcolare le perdite di carico dell impianto. assumere tensione di vapore paria 20 KP a, (σ = k 4/3 ). Pompa Centrifuga Una pompa centrifuga ha diametro di aspirazione 55 mm e di mandata 55 mm. La girante ruota a 49/ giri/s e ha in uscita diametro 100 mm, altezza palare 5 mm e angolo di pala 45. Il diffusore è a pareti parallele, ha pale dritte e diametro di uscita 150 mm. In una certa condizione 70

71 di funzionamento la portata è 2.8 m 3 /s, la pressione in aspirazione 96 KP a, quella in mandata 230 KP a e il rendimento idraulico 85%. Le perdite nel diffusore palettato si stimano il 10% del totale. Disegnare uno schema proporzionato della macchina e i triangoli di velocità all uscita della girante. Calcolare la potenza assorbita, il fattore di scorrimento (rapporto fra le componenti della velocità assoluta reale e con infinite pale). Calcolare infine la velocità all uscita del diffusore palettato e la differenza di pressione attraverso di esso. Pompa Assiale Una pompa assorbe 800 KW a 5 giri/s. La portata d acqua è 10 m 3 /s e la velocità in uscita girante è meridiana. La girante ha diametro esterno 1900 mm e altezza delle pale pari al 23% del diametro. Calcolare il numero caratteristico di macchina e disegnare lo schema della sezione meridiana. Disegnare i triangoli di velocità al diametro medio e uno schema della superficie interpalare. Calcolare infine il grado di reazione al diametro medio. Compressore volumetrico alternativo Un compressore alternativo bicilindrico ha cilindrata 12 dm 3 e volume nocivo pari al 5% della cilindrata unitaria. Il rapporto di compressione è 5, la portata 125 g/s e la velocità di rotazione 10 giri/s. Il rendimento isotermo è del 72% e i trafilamenti sono trascurabili. Assumere che le politropiche di espansione e compressione abbiano lo stesso esponente. calcolare la potenza reale e il rendimento politropico. Compressore centrifugo Un compressore centrifugo ha una girante con 12 pale ad uscita radiale rotante a 387 g/s. All ingresso della girante il diametro alla cassa è 162 mm, quello di mozzo 54 mm e la velocità assoluta 120 m/s. All uscita dalla girante il diametro è 290 mm e la velocità meridiana è il 30% di quella periferica. All uscita della macchina la temperatura è 360 K. Assumere evoluzione isentropica dall ambiente di aspirazione all ingresso della girante. Valutando anche l effetto della circolazione interpalare all uscita, disegnare in scala i triangoli della velocità all ingresso della girante (solo al diametro medio) e all uscita. Calcolare i salti entalpici della sola girante e dell intera macchina, il grado di reazione e la potenza all albero motore. Compressore assiale Un compressore assiale comprime aria alla temperatura di 293 K, realizzando un rapporto di compressione pari a 5. Ciascuno stadio ha grado di reazione 0.5, velocità periferica della girante u = 275 m/s, coefficiente di efflusso ϕ = c a /u = 0.5, fattore di carico ψ = L i /u 2 = 0.3. Il rendimento politropico della compressione è Determinare gli angoli di flusso assoluti e relativi, il numero degli stadi e il rendimento isentropico del compressore. Impianto vapore In un impianto motore a vapore la turbina di alta pressione elabora una portata di 22 Kg/s. Il 40% prosegue nella turbina di bassa pressione, mentre il restante viene spillato e, dopo laminazione, entra in uno scambiatore cogenerativo a miscela, dove va a riscaldare l acqua in uscita dal condensatore. Dallo scambiatore escono 750 Kg/s di acqua calda. L acqua entra nel condensatore a 293 K. disegnare uno schema dell impianto. calcolare la potenza e il rendimento dell impianto e dei due corpi di turbina. Calcolare la temperatura dell acqua in uscita dallo scambiatore cogenerativo. 71

72 Generatore di vapore Un generatore di vapore brucia metano con un eccesso d aria pari al 12%. La tabella di bilancio termico è riportata nel seguito. Calcolare il rendimento del generatore, il rapporto aria/combustibile e la portata dei fumi. Compilare la tabella di marcia. Assumere potere calorifico inferiore 47 MJ/Kg. Allegati: Grafico entalpia dei fumi vs temperatura Potenza Termica [KW] Entrante Assorbita Perduta aria: trascurabile economizzatore: incombusti: 59.6 combustibile: 5.9 evap. convezione: combustione: evap. irraggiamento: dispersione preriscaldatore: surriscaldatore: economizzatore: 29.8 preriscaldatore: 300 evap. convezione: 29.8 evap. irraggiamento: 59.6 surriscaldatore: 29.8 preriscaldatore: 17.8 calore sensibile: Tabella 2: Bilancio termico Figura 30: Entalpia dei fumi 72

73 Stadio turbina ad azione (Curtis) Una turbina Curtiss a due salti di velocità riceve vapore a 16 MP a, 820 K e 30 m/s. La velocità periferica è 220 m/s. La macchina sta lavorando in condizioni nominali (rendimento massimo) e i palettaggi rotorici e raddrizzatore sono attraversati a pressione costante. L uscita dalla macchina avviene a 3 M P a. Indicare sul diagramma di Mollier i punti di entrata e uscita di distributore e giranti. disegnare i triangoli di velocità in scala. calcolare il rendimento isentropico della turbina. Assumere valori plausibili per i coefficienti di perdita di velocità. Turbina a reazione Uno stadio di turbina assiale a reazione riceve gas combusti (R = 287 KJ/KgK, c p = 1148 J/KgK) a p 0 = 10 bar e T 0 = 900 K. La velocità in ingresso al distributore è c 0 = 100 m/s. La pressione all uscita del distributore èp 1 = 7 bar. Si ha: Determinare i ϕ = c 1 /c 1s = 0.95 coefficiente di perdita del distributore α 1 = 30 angolo di flusso assoluto in ingresso alla girante u/c 1 = cos α 1 = e triangoli di velocità simmetrici n = giri/s velocità di rotazione della girante l/d = 0.04 rapporto lunghezza pala/diamettro medio girante triangoli di velocità, il lavoro interno L i, la portata di gas che attraversa la macchina e la potenza utile. Infine, assumendo un esponente della politropica di espansione in girante uguale a quello nel distributore, calcolare la temperatura T 2 e la pressione p 2 all uscita della girante, nonchè il grado di reazione dello stadio. Impianto turbina a gas Un impianto turbina a gas a ciclo aperto aspira aria dall ambiente (p = 1 bar, T = 288 K) e la comprime fina alla pressione di 9 bar. Il rendimento isentropico del compressore è 0.84, il rendimento politropico della turbina è 0.86, i rendimenti meccanici delle due turbomacchine sono uguali e pari a Il potere calorifico inferiore del combustibile è H i = 42 MJ/Kg, il rapporto aria/combustibile è α = 45 e il rendimento del combustore è pari a calcolare le temperatura all uscita di compressore, camera di combustione e turbina, il lavoro utile dell impianto per unità di massa d aria trattata e il suo rendimento globale. perle propietà di aria e gas combusti assumere γ a = 1.4; γ g = 1.333, R a = R g = 287 J/KgK. Motore a combustione interna Un motore ad accensione comandata a 4 tempi ha cilindrata V = 1000 cm 3. In una certa condizione di funzionamento esso fornisce una coppia M = 40 Nm con un consumo specifico di combustibile C s = 280 g/kw h, aspirando aria ambiente alle condizioni p a = 1 bar e T a = 288 K e operando con un eccesso d aria del 10% in volume rispetto allo stechiometrico. Sapendo che il combustibile è una benzina commerciale con rapporto H/C = 1.87, calcolare il coefficiente di riempimento del motore. Mantenendo inalterati il numero di giri e la posizione del regolatore, la miscela aria-combustibile viene arricchita, portando la dosatura al valore stechiometrico. Sapendo che il passaggio dal funzionamento con miscela povera a quello con miscela stechiometrica comporta una perdita di rendimento effettivo del 3%, calcolare il nuovo valore di coppia erogata dal motore (si assuma, ragionevolmente, che il coefficiente di riempimento rimanga inalterato rispetto alla condizione precedente). 73

74 Motore a combustione interna sovralimentato Un motore Diesel a 4 tempi. turbosovralimentato con interrefrigerazione della carica, ha cilindrata V = 2000 cm 3. In una certa condizione di funzionamento si rilevano: Assumendo per p a = 1 bar, T a = 288 K n = 3500 giri/min α = 21 C s = 246 g/kw h λ v = 0.85 ε = 0.7 p s = 1.46 bar, T s = 1000 K η is,c = 0.80 η is,t = 0.85 η m,t G = 0.95 condizioni ambiente regime rapporto aria/combustibile consumo specifico di combustibile coefficiente di riempimento efficienza dell interefrigeratrore aria/aria press. e temp. del gas nel collettore di scarico rendimento isentropico del compressore rendimento isentropico della turbina rendimento meccanico del turbogruppo l aria c p = 1005 J/KgK e γ = 1.4, e per i gas combusti c ps = 1008 J/KgK e γ s = 1.35, calcolare la pressione di sovralimentazione p c, nonchè la potenza effettiva, la coppia e la pme del motore. 74