Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine

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1 Università degli Studi di Udine Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Laurea Specialistica in Informatica A.A Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine prof. Vito Roberto Stefano Maraspin Matr Stefano Valle Matr

2 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 2

3 Stefano Maraspin Stefano Valle Indice Scheda 1 Esercizio 1 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Codice Matlab Codice onda Sinusoidale Codice onda Rettangolare Codice onda Triangolare Risultati Commenti...27 Esercizio 2 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Codice dell Autocorrelazione fra le tre forme d onda Codice della Correlazione incrociata Codice della Convoluzione Risultati Autocorrelazione Correlazione Incrociata Convoluzione Commenti...45 Esercizio 3 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Codice funzione di supporto interv Codice funzione gaussiana Codice funzione esponenziale Codice funzione impulso Codice funzione principale Risultati Commenti

4 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Esercizio 4 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Codice Matlab Codice Rumore Uniforme Codice Rumore Gaussiano Risultati Rumore a distribuzione uniforme Rumore a distribuzione gaussiana Commenti...86 Esercizio 5 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Codice rumore gaussiano (variante) Codice funzione principale Risultati Commenti

5 Stefano Maraspin Stefano Valle Indice Scheda 2 Esercizio 1 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Risultati Commenti Esercizio 2 Scheda Traccia Svolgimento Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Codice funzione di somma dei segnali Risultati DFT di un segnale periodico DFT della somma di due segnali sinusoidali DFT della somma di un segnale periodico con rumore gaussiano Commenti Esercizio 3 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Risultati Commenti Esercizio 4 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Codice Funzione Esercizio Codice Funzione a Gradino Codice Derivatore Risultati

6 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 9.5 Commenti Esercizio 5 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Codice Funzione Esercizio Risultati Commenti

7 Stefano Maraspin Stefano Valle Indice Scheda 3 Esercizio 1 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Codice Matlab Codice Programma Principale Codice Generatore Immagini Sintetiche Codice Generatore Immagini Sintetiche Codice Loader Immagini Pre-Esistenti Risultati Commenti Esercizio 2 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Codice Programma Principale Codice Generatore Rumore Gaussiano a Media Nulla Risultati Commenti Esercizio 3 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab Codice Programma Principale Codice Generatore Filtro Gaussiano 2D Risultati Commenti Esercizio 4 Scheda Traccia Svolgimento Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Codice Matlab

8 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Codice Programma Principale Risultati Commenti

9 Stefano Maraspin Stefano Valle Scheda 1 9

10 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Esercizio 1 Scheda Traccia Si crei e visualizzi un segnale periodico con ampiezza, frequenza e fase date dall utente. Si trattino i casi delle: Onde sinusoidali Onde rettangolari Onde triangolari 1.2 Svolgimento Vengono create e visualizzate le tre forme d onda richieste: Segnale sinusoidale, utilizzando la funzione di libreria Matlab sin, per la rappresentazione dell onda sinusoidale, sulla base dei parametri forniti dall utente (ampiezza, frequenza, fase, intervallo e numero dei campioni da considerare). Segnale rettangolare, ricavato dal calcolo del segno dell onda sinusoidale vista in precedenza e moltiplicato per l ampiezza data. Segnale triangolare, calcolandolo in tre fasi distinte (ripetute per ogni periodo); dapprima si calcolano i valori nel primo quarto di periodo, poi nel secondo e così via fino ad ottenere un onda triangolare rappresentata in un intero periodo. In particolare viene calcolato, nel primo intervallo (trattandosi di onda periodica), il coefficiente angolare delle semirette che costituiranno l onda triangolare: o Prima fase: da 0 a T/4, semiretta crescente o Seconda fase: da T/4 a 3T/4, semiretta descrescente o Terza fase: da 3T/4 a T, semiretta crescente Referenza alle primitive di Matlab utilizzate sin(x): restituisce l onda sinusoidale calcolata sui valori di input abs(x): calcola il valore assoluto del parametro x sign(x): calcola il segno del parametro x length(x): calcola la lunghezza del vettore x mod(a,b): calcola il modulo fra i due parametri a e b 1.3 Codice Matlab Codice onda Sinusoidale % Funzione sinus (amp, freq, fase, range, ncomp) 10

11 Stefano Maraspin Stefano Valle % Argomenti: % - amp: ampiezza onda % - freq: frequenza onda % - fase: fase onda % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - ncomp: numero di campioni considerati % % Esempio di utilizzo: % sinus (5, 2, pi, [1,3], 1000) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 14/10/2004 % Versione: 1.0 function y = sinus(amp, freq, fase, range, ncomp) % Viene ricavato il valore del periodo T T = 1./freq; % Viene ricavato i valori di ascissa iniziali e finali xmin = range(1,1); xmax = range(1,2); % Viene calcolato l'intervallo tra valori successivi delle ascisse passo = abs(xmax - xmin) / (ncomp - 1); % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati x = [xmin : passo : xmax]'; % Per ciascun punto x sull'asse delle ascisse, viene calcolata la relativa % immagine, applicando la formula per la costruzione di un'onda sinusoidale y = amp * sin(x.*2*pi./t+fase); plot(x,y) Codice onda Rettangolare % Funzione rectan (amp, freq, fase, range, ncomp) % Argomenti: % - amp: ampiezza onda % - freq: frequenza onda % - fase: fase onda % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - ncomp: numero di campioni considerati % 11

12 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine % Esempio di utilizzo: % rectan (5, 2, pi, [1,3], 1000) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 14/10/2004 % Versione: 1.0 function y = rectan(amp, freq, fase, range, ncomp) % Viene ricavato il valore del periodo T T = 1./freq % Viene ricavato i valori di ascissa iniziali e finali xmin = range(1,1); xmax = range(1,2); % Viene calcolato l'intervallo tra valori successivi delle ascisse passo = abs(xmax - xmin) / (ncomp - 1); % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati x = [xmin : passo : xmax]' % Per ciascun punto x sull'asse delle ascisse, viene calcolata la relativa % immagine, valutando il segno di un'onda sinusoidale di pari caratteristiche y = amp * sign(sinus(amp,freq,fase,range,ncomp)); plot(x,y) Codice onda Triangolare % Funzione trian (amp, freq, fase, range, ncomp) % Argomenti: % - amp: ampiezza onda % - freq: frequenza onda % - fase: fase onda % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - ncomp: numero di campioni considerati % % Esempio di utilizzo: % trian (5, 2, pi, [1,3], 1000) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 14/10/2004 % Versione:

13 Stefano Maraspin Stefano Valle function y = trian(amp, freq, fase, range, ncomp) % Viene ricavato il valore del periodo T T = 1./freq % Viene ricavato i valori di ascissa iniziali e finali xmin = range(1,1); xmax = range(1,2); % Viene calcolato l'intervallo tra valori successivi delle ascisse passo = abs(xmax - xmin) / (ncomp - 1); % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati x = [xmin : passo : xmax]'; % Calcoliamo il valore della fase (inserito in randianti) nel sistema di % riferimento del periodo T utilizzato diff_fase = (T * fase) / (2 * pi) % Per effettuare i calcoli successivi è necessario traslare l'asse di riferimento % riportandolo alle coordinate d'origine base = x - xmin + diff_fase; % Iteriamo su ciascun elemento dell'ascissa for i = 1:length(x) % ne calcoliamo la posizione relativa al periodo considerato rel_pos = mod(base(i),t); % e, a seconda del quarto di periodo in cui ci troviamo valutiamo % i valori di ordinata corrispondenti if (rel_pos < (T/4)) y(i) = (rel_pos) * amp / (T/4); elseif (rel_pos > (T/4) & rel_pos < (3*T/4)) y(i) = ((T/2 - rel_pos) * amp / (T/4)); elseif (rel_pos > (3*T/4) & rel_pos < T) y(i) = ((T/2 - rel_pos ) * (- amp) / (T/4)) - 2*amp; % (condizione mai verificata, inserita solo per pulizia logica % in questo modo si è in grado di identificare eventuali errori nei dati) else y(i) = 0; end end 13

14 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine plot(x,y) 1.4 Risultati Si riportano di seguito alcuni dei risultati più significativi, selezionati fra i test effettuati in laboratorio. 14

15 Stefano Maraspin Stefano Valle 1. Caso elementare di onda sinusoidale di frequenza unitaria, visualizzata in una finestra di dimensione 2. Ampiezza 1 Frequenza 1 Fase 0 Range 0 1 N. Campioni 1000 Chiamata sinus(1,1,0,[0,1],1000) 15

16 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 2. Si ripete la situazione precedente, in questo caso con un numero di campioni considerevolmente inferiore. Ampiezza 1 Frequenza 1 Fase 0 Range 0 1 N. Campioni 10 Chiamata sinus(1,1,0,[0,1],10) 16

17 Stefano Maraspin Stefano Valle 3. Vengono in questo caso modificati i valori di ampiezza e frequenza. Ampiezza 5 Frequenza 2 Fase 0 Range 0 1 N. Campioni 1000 Chiamata sinus(5,2,0,[0,1],1000) 17

18 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 4. Mantenendo i valori di ampiezza e frequenza visti nel caso 3, si opera ora a livello di fase, con l intenzione di traslare la forma d onda di π/2. Ampiezza 5 Frequenza 2 Fase π/2 Range 0 1 N. Campioni 1000 Chiamata sinus(5,2,pi/2,[0,1],1000) 18

19 Stefano Maraspin Stefano Valle 5. Caso elementare di onda rettangolare di frequenza unitaria, visualizzata in una finestra di dimensione 2. Ampiezza 1 Frequenza 1 Fase 0 Range 0 1 N. Campioni 1000 Chiamata rectan(1,1,0,[0,1],1000) 19

20 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 6. Si ripete la situazione precedente, in questo caso con un numero di campioni considerevolmente inferiore. Ampiezza 1 Frequenza 1 Fase 0 Range 0 1 N. Campioni 10 Chiamata rectan(1,1,0,[0,1],10) 20

21 Stefano Maraspin Stefano Valle 7. Vengono in questo caso modificati i valori di ampiezza e frequenza. Ampiezza 5 Frequenza 2 Fase 0 Range 0 1 N. Campioni 1000 Chiamata rectan(5,2,0,[0,1],1000) 21

22 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 8. Mantenendo i valori di ampiezza e frequenza visti nel caso 7, si opera ora a livello di fase, con l intenzione di traslare la forma d onda di π/2. Ampiezza 5 Frequenza 2 Fase π/2 Range 0 1 N. Campioni 1000 Chiamata rectan(5,2,pi/2,[0,1],1000) 22

23 Stefano Maraspin Stefano Valle 9. Caso elementare di onda triangolare di frequenza unitaria, visualizzata in una finestra di dimensione 2. Ampiezza 1 Frequenza 1 Fase 0 Range 0 1 N. Campioni 1000 Chiamata trian(1,1,0,[0,1],1000) 23

24 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 10. Si ripete la situazione precedente, in questo caso con un numero di campioni considerevolmente inferiore. Ampiezza 1 Frequenza 1 Fase 0 Range 0 1 N. Campioni 10 Chiamata trian(1,1,0,[0,1],10) 24

25 Stefano Maraspin Stefano Valle 11. Vengono in questo caso modificati i valori di ampiezza e frequenza. Ampiezza 5 Frequenza 2 Fase 0 Range 0 1 N. Campioni 1000 Chiamata trian(5,2,0,[0,1],1000) 25

26 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 12. Mantenendo i valori di ampiezza e frequenza visti nel caso 11, si opera ora a livello di fase, con l intenzione di traslare la forma d onda di π/2. Ampiezza 5 Frequenza 2 Fase π/2 Range 0 1 N. Campioni 1000 Chiamata trian(5,2,pi/2,[0,1],1000) 26

27 Stefano Maraspin Stefano Valle 1.5 Commenti Non abbiamo riscontrato particolari anomalie, o comunque comportamenti degni di nota; come poteva essere deducibile, notiamo infatti che: Il parametro fornito come ampiezza determina il valore massimo (in modulo) che l onda assumerà in ordinata. La frequenza fornita determina il periodo della forma d onda e quindi il numero di ripetizioni che si avranno nella finestra temporale visualizzata. Nel risultato 1 (e analogamente nei risultati 5 e 9) è infatti possibile osservare questo tipo di comportamento: la frequenza data è pari ad 1, la finestra di visualizzazione è anch essa di dimensione 1 e quindi si ottiene forma d onda rappresentata in un unico periodo. Nel risultato 3 (e analogamente nei risultati 7 e 11) invece si può notare come raddoppiando la frequenza, a parità di finestra di visualizzazione, raddoppiano i periodi che vengono mostrati. La fase fornita determina la traslazione dell onda verso sinistra o destra (rispettivamente se positiva o negativa). Nel risultato 4 (e analogamente nei risultati 8 e 12) è possibile osservare l effetto che si ottiene nella rappresentazione impostando un valore di fase positivo (precisamente π/2): l intera forma d onda subisce una traslazione verso sinistra di ¼ di periodo. Il numero di campioni fornito determina in buona parte la precisione con cui verranno effettuati tutti i calcoli per la visualizzazione delle varie onde. Nel risultato 2 (e analogamente nei risultati 6 e 10) è possibile osservare questo tipo di comportamento: riducendo il numero di campioni si ottiene una forma d onda più sgranata e meno precisa. La riduzione del numero di campioni permette a Matlab di essere più veloce computazionalmente nell effettuare la rappresentazione (o eventuali calcoli inerenti la forma d onda), ma pregiudica la visualizzazione dei risultati. 27

28 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Esercizio 2 Scheda Traccia Si calcoli e visualizzi l autocorrelazione delle tre forme d onda dell esercizio 1. Si calcolino le correlazioni incrociate e le convoluzioni. 2.2 Svolgimento L esercizio è stato svolto in tre passi sequenziali, ognuno dei quali prendeva in considerazione le tre forme d onda base (segnale sinusoidale, rettangolare e triangolare) e ne applicava le funzioni seguenti: Autocorrelazione attraverso la funzione di libreria xcorr (nella versione con un solo parametro) che restituisce un vettore contenente la rappresentazione dell autocorrelazione della funzione data in input. Correlazione incrociata fra le varie forme d onda utilizzando ancora la funzione di libreria xcorr (nella versione a due parametri). Convoluzione fra le forme d onda, utilizzando questa volta la funzione di libreria conv. Da notare che le funzioni utilizzate sia per la correlazione che per la convoluzione forniscono in output un risultato (un vettore) di dimensioni diverse rispetto a quelle del parametro fornito in input. In particolare, se si forniscono in input le rappresentazioni vettoriali di due forme d onda, la prima corrispondente ad un vettore di dimensione n e la seconda corrispondente ad un vettore di dimensione m, l output fornito attraverso la convoluzione o la correlazione delle due funzioni sarà un vettore di dimensione m+n+1. Riprendendo alcuni concetti teorici, definiamo di seguito alcuni importanti processi sui segnali utilizzati in questo esercizio. Traslazione Preso un reale τ, definiamo: f '( t) f ( t + τ ) t R In cui f '( t) rappresenta la traslazione nel dominio dei tempi del segnale originale f (t). Correlazione Dati due segnali analogici e periodici dello stesso periodo f ( ) e f ( ), definiamo l integrale di correlazione come il numero complesso ottenuto dalla seguente: 1 t 2 t 28

29 Stefano Maraspin Stefano Valle In cui abbiamo che: R T 2 1 = f T ( t) f ( t + τ dt * ) T 2 1 rappresenta il fattore di normalizzazione della funzione T * f 1 ( t) è il complesso coniugato della funzione f 1 * f 1 ( t) f2( t + τ ) è il prodotto termine a termine (in t) delle due funzioni considerate (in cui per la prima prendiamo il complesso coniugato) L integrale di correlazione quindi si definisce attraverso i seguenti passi: Traslazione di f 2 di un valore τ Moltiplicazione per il complesso coniugato di f 1 Calcolo dell integrale della funzione ottenuta Tale integrale, quando esiste, definisce una funzione R 12 ( τ ), chiamata funzione di correlazione incrociata. Questa funzione effettua un confronto fra le due forme d onda per cercare di quantificare in qualche modo quanto queste si assomiglino. Questo confronto viene effettuato facendo un raffronto fra la funzione f 2 traslata di un valore τ variabile e la funzione f 1 che invece viene mantenuta fissa. Evidentemente il momento di correlazione massima si avrà nel momento in cui le due forme d onda sono allineate, ovvero quando τ = 0. Generalizzando il concetto nel caso di forme d onda non periodiche, si ottiene la seguente: R 1 = f T ( t) f ( t + * τ ) dt Nel caso in cui f 1 = f 2 si parla di autocorrelazione. Posso utilizzarla nella realtà per cercare di capire se ho a che fare con un segnale periodico, in cui noterei quindi delle ripetizioni nella visualizzazione dell autocorrelazione. Convoluzione Dati due segnali analogici e periodici dello stesso periodo f ( ) e f ( ), definiamo l integrale di convoluzione come il numero complesso ottenuto dalla seguente: In cui abbiamo che: T 1 t 2 1 ρ 12 = f t f t dt T 1 ( ) 2 ( τ ) T 2 2 t 29

30 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 1 rappresenta il fattore di normalizzazione della funzione T f t) f ( τ ) è il prodotto termine a termine (in t) delle due funzioni considerate, in cui 1 ( 2 t nel caso della f 2 è effettuato un cambio di segno della variabile (rotazione di 180 dell asse x nota come operazione di folding) L integrale di convoluzione quindi si definisce attraverso i seguenti passi: Traslazione di f 2 di un valore τ Moltiplicazione per f 1 Calcolo dell integrale della funzione ottenuta Anche in questo caso si richiede l esistenza di tale integrale per poter definire una funzione di convoluzione Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate di primitive Matlab utilizzate: xcorr(x): calcola l autocorrelazione del segnale x xcorr(x,y): calcola la correlazione tra il segnale x e il segnale y abs(x): calcola il valore assoluto del parametro x conv(x,y): calcola la convoluzione tra il segnale x e il segnale y Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Chiamate a funzioni esterne utilizzate: sinus: rif. Es 1 rectan: rif. Es 1 trian: rif. Es Codice Matlab Codice dell Autocorrelazione fra le tre forme d onda % Funzione autocorr(amp, freq, range, ncomp) % Argomenti: % - amp: ampiezza onda % - freq: frequenza onda % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - ncomp: numero di campioni considerati 30

31 Stefano Maraspin Stefano Valle % % Esempio di utilizzo: % autocorr(5, 2, [-1,1], 1000) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 14/10/2004 % Versione: 1.0 function y = autocorr(amp, freq, range, ncomp) % Vettore che rappresenta un'onda sinusoidale valori_sinus = sinus(amp, freq, 0, range, ncomp); % Vettore che rappresenta un'onda rettangolare valori_rectan = rectan(amp, freq, 0, range, ncomp); % Vettore che rappresenta un'onda triangolare valori_trian = trian(amp, freq, 0, range, ncomp); % Vettore che rappresenta l'autocorrelazione dell'onda sinusoidale, % normalizzata secondo il numero di campioni considerato autocorr_sin = xcorr(valori_sinus)./ (ncomp); % Vettore che rappresenta l'autocorrelazione dell'onda rettangolare, % normalizzata secondo il numero di campioni considerato autocorr_rect = xcorr(valori_rectan)./ (ncomp); % Vettore che rappresenta l'autocorrelazione dell'onda triangolare, % normalizzata secondo il numero di campioni considerato autocorr_tri = xcorr(valori_trian)./ (ncomp); % Vengono ricavati i valori di ascissa iniziali e finali per la % rappresentazione dei segnali base xmin_base = range(1,1); xmax_base = range(1,2); % Vengono ricavati i valori di ascissa iniziali e finali per la % rappresentazione dell'autocorrelazione fra i segnali xmin_corr = - abs(xmin_base - xmax_base); xmax_corr = abs(xmin_base - xmax_base); % Viene calcolato l'intervallo tra valori successivi delle ascisse % della funzione originale passo = abs(xmax_base - xmin_base) / (ncomp - 1); % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno 31

32 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine % considerati nella rappresentazione dei segnali di base x = [xmin_base : passo : xmax_base]'; % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati nella rappresentazione dei segnali autocorrelati x_autocorr = [xmin_corr : passo : xmax_corr]'; % Rappresentazione grafica in una matrice di figure 3 x 2 % in cui la prima è l'onda di riferimento e la seconda è % l'onda autocorrelata subplot(3,2,1) plot(x,valori_sinus) subplot(3,2,2) plot(x_autocorr,autocorr_sin) subplot(3,2,3) plot(x,valori_rectan) subplot(3,2,4) plot(x_autocorr,autocorr_rect) subplot(3,2,5) plot(x,valori_trian) subplot(3,2,6) plot(x_autocorr,autocorr_tri) Codice della Correlazione incrociata % Funzione corr(amp, freq, range, ncomp) % Argomenti: % - amp: ampiezza onda % - freq: frequenza onda % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - ncomp: numero di campioni considerati % % Esempio di utilizzo: % autocorr(5, 2, [-1,1], 1000) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 14/10/2004 % Versione: 1.0 function y = autocorr(amp, freq, range, ncomp) % Vettore che rappresenta un'onda sinusoidale valori_sinus = sinus(amp, freq, 0, range, ncomp); % Vettore che rappresenta un'onda rettangolare valori_rectan = rectan(amp, freq, 0, range, ncomp); 32

33 Stefano Maraspin Stefano Valle % Vettore che rappresenta un'onda triangolare valori_trian = trian(amp, freq, 0, range, ncomp); % Vettore che rappresenta la correlazione tra l'onda sinusoidale e % l'onda rettangolare corr_sin_rect = xcorr(valori_sinus,valori_rectan)./ (ncomp); % Vettore che rappresenta la correlazione tra l'onda triangolare e % l'onda rettangolare corr_tri_rect = xcorr(valori_trian,valori_rectan)./ (ncomp); % Vettore che rappresenta la correlazione tra l'onda triangolare e % l'onda sinusoidale corr_tri_sin = xcorr(valori_trian,valori_sinus)./ (ncomp); % Vengono ricavati i valori di ascissa iniziali e finali xmin_base = range(1,1); xmax_base = range(1,2); % Vengono ricavati i valori di ascissa iniziali e finali per la % rappresentazione dell'autocorrelazione fra i segnali xmin_corr = - abs(xmin_base - xmax_base); xmax_corr = abs(xmin_base - xmax_base); % Viene calcolato l'intervallo tra valori successivi delle ascisse % della funzione originale passo = abs(xmax_base - xmin_base) / (ncomp - 1); % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati nella rappresentazione dei segnali di base x = [xmin_base : passo : xmax_base]'; % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati nella rappresentazione dei segnali autocorrelati x_corr = [xmin_corr : passo : xmax_corr]'; % Rappresentazione grafica in una matrice di figure 3 x 3 % in cui vengono visualizzate in ordine: la prima onda base, la seconda % onda base e la correlazione delle prime due subplot(3,3,1) plot(x,valori_sinus) subplot(3,3,2) plot(x,valori_rectan) subplot(3,3,3) plot(x_corr,corr_sin_rect) subplot(3,3,4) plot(x,valori_trian) 33

34 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine subplot(3,3,5) plot(x,valori_rectan) subplot(3,3,6) plot(x_corr,corr_tri_rect) subplot(3,3,7) plot(x,valori_trian) subplot(3,3,8) plot(x,valori_sinus) subplot(3,3,9) plot(x_corr,corr_tri_sin) Codice della Convoluzione % Funzione myconv(amp, freq, range, ncomp) % Argomenti: % - amp: ampiezza onda % - freq: frequenza ondaù % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - ncomp: numero di campioni considerati % % Esempio di utilizzo: % myconv(5, 2, [-1,1], 1000) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 14/10/2004 % Versione: 1.0 function y = myconv(amp, freq, range, ncomp) % Vettore che rappresenta un'onda sinusoidale valori_sinus = sinus(amp, freq, 0, range, ncomp); % Vettore che rappresenta un'onda rettangolare valori_rectan = rectan(amp, freq, 0, range, ncomp); % Vettore che rappresenta un'onda triangolare valori_trian = trian(amp, freq, 0, range, ncomp); % Vettore che rappresenta la convoluzione tra l'onda sinusoidale e % l'onda rettangolare conv_sin_rect = conv(valori_sinus,valori_rectan)./ (ncomp); % Vettore che rappresenta la convoluzione tra l'onda triangolare e % l'onda rettangolare conv_tri_rect = conv(valori_trian,valori_rectan)./ (ncomp); 34

35 Stefano Maraspin Stefano Valle % Vettore che rappresenta la convoluzione tra l'onda triangolare e % l'onda sinusoidale conv_tri_sin = conv(valori_trian,valori_sinus)./ (ncomp); % Vengono ricavati i valori di ascissa iniziali e finali xmin_base = range(1,1); xmax_base = range(1,2); % Vengono ricavati i valori di ascissa iniziali e finali per la % rappresentazione dell'autocorrelazione fra i segnali xmin_conv = - abs(xmin_base - xmax_base); xmax_conv = abs(xmin_base - xmax_base); % Viene calcolato l'intervallo tra valori successivi delle ascisse % della funzione originale passo = abs(xmax_base - xmin_base) / (ncomp - 1); % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati nella rappresentazione dei segnali di base x = [xmin_base : passo : xmax_base]'; % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati nella rappresentazione della convoluzione fra i segnali x_conv = [xmin_conv : passo : xmax_conv]'; % Rappresentazione grafica in una matrice di figure 3 x 3 % in cui vengono visualizzate in ordine: la prima onda base, la seconda % onda base e l'onda che rappresenta la convoluzione delle prime due subplot(3,3,1) plot(x,valori_sinus) subplot(3,3,2) plot(x,valori_rectan) subplot(3,3,3) plot(x_conv,conv_sin_rect) subplot(3,3,4) plot(x,valori_trian) subplot(3,3,5) plot(x,valori_rectan) subplot(3,3,6) plot(x_conv,conv_tri_rect) subplot(3,3,7) plot(x,valori_trian) subplot(3,3,8) plot(x,valori_sinus) 35

36 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine subplot(3,3,9) plot(x_conv,conv_tri_sin) 2.4 Risultati Si riportano di seguito alcuni dei risultati più significativi, selezionati fra i test effettuati in laboratorio. Il codice della funzione riportato in precedenza, in alcuni casi è stato modificato per permettere di far stampare a schermo solo gli elementi di interesse della particolare sezione Autocorrelazione 1. Visualizzazione dell autocorrelazione dell onda sinusoidale. Ampiezza 5 Frequenza 2 Range 0 2 N. Campioni 1000 Chiamata autocorr(5,2,[0,2],1000) 36

37 Stefano Maraspin Stefano Valle 2. Visualizzazione dell autocorrelazione dell onda rettangolare. Ampiezza 5 Frequenza 2 Range 0 2 N. Campioni 1000 Chiamata autocorr(5,2,[0,2],1000) 37

38 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 3. Visualizzazione dell autocorrelazione dell onda triangolare. Ampiezza 5 Frequenza 2 Range 0 2 N. Campioni 1000 Chiamata autocorr(5,2,[0,2],1000) 38

39 Stefano Maraspin Stefano Valle Correlazione Incrociata 1. Visualizzazione dell autocorrelazione tra l onda sinusoidale e l onda rettangolare. Ampiezza 5 Frequenza 2 Range 0 2 N. Campioni 1000 Chiamata corr(5,2,[0,2],1000) 39

40 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 2. Visualizzazione dell autocorrelazione tra l onda sinusoidale e l onda triangolare. Ampiezza 5 Frequenza 2 Range 0 2 N. Campioni 1000 Chiamata corr(5,2,[0,2],1000) 40

41 Stefano Maraspin Stefano Valle 3. Visualizzazione dell autocorrelazione tra l onda rettangolare e l onda triangolare. Ampiezza 5 Frequenza 2 Range 0 2 N. Campioni 1000 Chiamata corr(5,2,[0,2],1000) 41

42 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Convoluzione 1. Visualizzazione della convoluzione tra l onda sinusoidale e l onda rettangolare. Ampiezza 5 Frequenza 2 Range 0 2 N. Campioni 1000 Chiamata conv(5,2,[0,2],1000) 42

43 Stefano Maraspin Stefano Valle 2. Visualizzazione della convoluzione tra l onda sinusoidale e l onda triangolare. Ampiezza 5 Frequenza 2 Range 0 2 N. Campioni 1000 Chiamata conv(5,2,[0,2],1000) 43

44 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 3. Visualizzazione della convoluzione tra l onda rettangolare e l onda triangolare. Ampiezza 5 Frequenza 2 Range 0 2 N. Campioni 1000 Chiamata conv(5,2,[0,2],1000) 44

45 Stefano Maraspin Stefano Valle 2.5 Commenti Dai cenni teorici presentati inizialmente possiamo osservare come le due operazioni utilizzate (correlazione e convoluzione) siano in realtà piuttosto simili nella loro definizione e nei risultati che poi forniscono. Analizzando infatti l'integrale di correlazione, notiamo come questo con i segnali discreti corrisponda ad una traslazione delle due funzioni una sull'altra (in particolare una rimane fissa, mentre la seconda trasla) e al calcolo del valore ottenuto dalla loro moltiplicazione punto a punto. Questo comportamento è simile a quello dell'integrale di convoluzione, tranne che per due particolari: la traslazione avviene in senso opposto e la funzione che prima veniva considerata nella rappresentazione complessa coniugata, ora viene utilizzata direttamente nel calcolo nella sua forma naturale. Osservando tutti i risultati ottenuti, sia di correlazione che di convoluzione, vediamo come gli estremi dei vari grafici (ovvero i bordi destro e sinistro della finestra di rappresentazione) tendono sempre ad un valore nullo. Questo comportamento si riscontra per il fatto che le varie onde da noi utilizzate nell'esperimento non corrispondono effettivamente a dei segnali periodici infiniti, come idealmente dovrebbero essere, ma sono racchiusi in una finestra di rappresentazione (definita dal range impostato in input). Questo fatto implica che nella sovrapposizione e relativa traslazione dei due segnali, in ogni momento (tranne inizialmente, quando τ = 0) uno dei due segnali viene moltiplicato anche per valori nulli, corrispondenti al fatto che si è giunti oltre il limite della finestra dell'altro segnale. Nei limiti della finestra in cui si rappresentano la correlazione e la convoluzione si ha l'apice di questo comportamento: si ha la moltiplicazione di un segnale con valori tutti nulli, questo ha come risultato un integrale anch'esso nullo. Quindi ecco spiegato come il segnale di output tenda a 0 ai limiti della finestra. Nell'ipotesi ideale di utilizzare segnali infiniti, questo comportamento non si avrebbe ed anzi il segnale che si otterrebbe avrebbe tutti i valori massimi di eguale valore (ovvero dei picchi massimi ripetuti lungo tutto il grafico). Per fornire ulteriori osservazioni riguardo i risultati ottenuti, procediamo ad analizzare separatamente i tre passi dell'esercizio. Autocorrelazione Si osserva come il risultato dell autocorrelazione presenti un comportamento simile nel caso di onde sinusoidali e triangolari (nella situazione ideale l output corrisponderebbe ad un onda sinusoidale),mentre nel caso dell onda rettangolare si ha un comportamento diverso (nella situazione ideale questa volta l output corrisponderebbe ad un onda triangolare). Ciò è probabilmente dovuto al fatto che le prime due classi di segnali hanno un andamento graduale crescente o decrescente, mentre l onda rettangolare è composta da un andamento caratterizzato da periodi costanti e ampie discontinuità. 45

46 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Correlazione La correlazione fra le varie forme d onda presenta ancora un comportamento simile fra i vari casi analizzati (a meno di differenze nei valori di ampiezza). Questo si deve al fatto che la moltiplicazione fra le diverse forme d onda e il successivo integrale, presenta un andamento continuo paragonabile nel caso ideale ancora ad un onda sinusoidale. Convoluzione Il comportamento è analogo al caso della correlazione, tranne per un andamento simmetrico del risultato rispetto all asse delle ordinate. Questo è dovuto al fatto che l integrale di correlazione calcola il complesso coniugato di una delle due funzioni, mentre l integrale di convoluzione lascia le due funzioni inalterate: questo causa un cambiamento di segno del risultato. 46

47 Stefano Maraspin Stefano Valle Esercizio 3 Scheda Traccia Si calcoli e visualizzi la convoluzione tra una forma d onda periodica ed i seguenti segnali: esponenziale decrescente, impulso quadro, gaussiana. 3.2 Svolgimento Essendo numerose le funzioni che entrano in gioco in questo esercizio si è cercato di modulare il più possibile le funzioni create in modo da semplificare notevolmente l utilizzo delle stesse. Inizialmente quindi sono stati creati i segnali definiti nella traccia: esponenziale decrescente (funzione espon), impulso quadro (funzione impulso) e gaussiana (funzione gaussiana), di cui si riporta di seguito la rappresentazione. Il codice per il calcolo della convoluzione è stato creato in precedenza, quindi si è proceduto realizzando la funzione conv_segn che, riutilizzando codice e concetti noti, permettesse di fare la convoluzione di due segnali forniti in input. La stessa funzione poi si occupa di visualizzare a schermo sia i sengnali originali che la convoluzione degli stessi. Si è poi richiamata tale procedura in cui comparivano come parametri sia le tre funzioni periodiche di base creata in precedenza (sinusoidale, rettangolare, triangolare) che i tre segnali definiti dalla traccia. Viene inoltre utilizzata la funzione interv come supporto alla procedura principale Referenza alle primitive di Matlab utilizzate Chiamate di primitive Matlab utilizzate: exp(x): calcola l esponenziale del parametro x zeros(x,1): restituisce un vettore di dimensione x riempito con elementi pari a zero length(x): calcola la lunghezza del vettore x abs(x): calcola il valore assoluto del parametro x conv(x,y): calcola la convoluzione tra il segnale x e il segnale y 47

48 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Chiamate a funzioni da noi definite in precedenza Chiamate a funzioni esterne utilizzate: sinus: rif. Es 1 rectan: rif. Es 1 trian: rif. Es Codice Matlab Codice funzione di supporto interv % Funzione interv(range, ncomp) % Argomenti: % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - ncomp: numero di campioni considerati % % Esempio di utilizzo: % interv([1,3], 1000) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 19/10/2004 % Versione: 1.0 function y = interv(range, ncomp) % Vengono ricavati i valori di ascissa iniziali e finali xmin = range(1,1); xmax = range(1,2); % Viene calcolato l'intervallo tra valori successivi delle ascisse passo = abs(xmax - xmin) / (ncomp - 1); % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati y = [xmin : passo : xmax]'; Codice funzione gaussiana % Funzione gaussiana(range, ncomp, varianza) % Argomenti: % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - ncomp: numero di campioni considerati % - varianza: varianza della distribuzione gaussiana % % Esempio di utilizzo: % gaussiana([0,2], 1000, 10) 48

49 Stefano Maraspin Stefano Valle % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 26/10/2004 % Versione: 1.0 function y = gaussiana(range, ncomp, varianza) % Calcolo dei valori delle ascisse mediante la chiamata della % funzione 'interv' x = interv(range, ncomp); % Calcolo della funzione gaussiana, secondo un valore di varianza % dato y = exp(-(x).^2 / 2 * varianza^2); Codice funzione esponenziale % Funzione espon(range, ncomp, amp, alfa) % Argomenti: % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - ncomp: numero di campioni considerati % - amp: ampiezza segnale % - alfa: fattore di allungamento della forma del segnale % % Esempio di utilizzo: % espon([0,2], 1000, 1, 1) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 26/10/2004 % Versione: 1.0 function y = espon(range, ncomp, amp, alfa) % Calcolo dei valori delle ascisse mediante la chiamata della % funzione 'interv' x = interv(range, ncomp); % Calcolo della funzione esponenziale, secondo un parametro alfa fornito % in input y = amp * exp(-(alfa*x)); Codice funzione impulso % Funzione impulso(amp, ncomp, impda, lungh) % Argomenti: % - amp: ampiezza segnale 49

50 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine % - ncomp: numero di campioni considerati % - impda: distanza dell'impulso dall'origine, espressa in numero di campioni % - lungh: lunghezza dell'impulso, espressa in numero di campioni % % Esempio di utilizzo: % impulso(1, 1000, 100, 50) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 26/10/2004 % Versione: 1.0 function y = impulso(amp, ncomp, impda, lungh) % Generazione di un vettore di dimensione ncomp, riempito con una serie % di valori pari a zero y = zeros(ncomp,1); % Assegnazione di un valore pari a amp ai soli elementi che rientrano % nell'intervallo definito dai nei parametri forniti in input y(impda+1:impda+lungh+1) = amp; Codice funzione principale % Funzione conv_segn(range, segnale1, segnale2) % Argomenti: % - range: intervallo di valori nella rappresentazione (formato [inizio,fine]) % - segnale1: primo segnale di cui calcolare la convoluzione % - segnale2: secondo segnale di cui calcolare la convoluzione % % Esempio di utilizzo: % conv_segn([0,2], sinus (5, 2, 0, [0,2], 1000), gaussiana([0,2],1000,10)) % % % Autori: Stefano Maraspin & Stefano Valle % Data: 26/10/2004 % Versione: 1.0 function y = conv_segn(range, segnale1, segnale2) % Viene recuperato il numero di componenti ncomp = length(segnale1); % Vengono definiti i valori dell'asse delle ascisse mediante una chiamata % alla funzione interv x = interv(range, ncomp); % Vengono ricavati i valori di ascissa iniziali e finali 50

51 Stefano Maraspin Stefano Valle xmin = range(1,1); xmax = range(1,2); % Vengono ricavati i valori di ascissa iniziali e finali per la rappresentazione % della convoluzione xmin_conv = - abs(xmin - xmax); xmax_conv = abs(xmin - xmax); % Viene generato un vettore contenente i punti sull'ascissa che saranno % considerati per la rappresentazione della convoluzione x_conv = interv([xmin_conv,xmax_conv],ncomp*2-1); % Convoluzione dei due segnali, normalizzata rispetto al numero di campioni % considerato y = conv(segnale1, segnale2) / ncomp; % Visualizzazione dei segnali e dei risultati subplot(2,2,1) plot(x,segnale1) subplot(2,2,2) plot(x,segnale2) subplot(2,2,[3,4]) plot(x_conv,y) 3.4 Risultati Si riportano di seguito alcuni dei risultati più significativi, selezionati fra i test effettuati in laboratorio. 51

52 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 1. Esempio di convoluzione tra i tre segnali periodici di base e il segnale ad impulso Range -2 2 Segnale1 sinus, trian, rectan Segnale2 impulso(1,1000,100,100) Chiamate conv_segn([-2,2],sinus(5,2,0,[-2,2],1000),impulso(1,1000,100,100)) conv_segn([-2,2],rectan(5,2,0,[-2,2],1000),impulso(1,1000,100,100)) conv_segn([-2,2],trian(5,2,0,[-2,2],1000),impulso(1,1000,100,100)) 52

53 Stefano Maraspin Stefano Valle 53

54 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 2. Esempio di convoluzione tra i tre segnali periodici di base e il segnale gaussiano Range -2 2 Segnale1 sinus, trian, rectan Segnale2 gaussiana([-2,2],1000,5) Chiamate conv_segn([-2,2],sinus(5,2,0,[-2,2],1000),gaussiana([-2,2],1000,5)) conv_segn([-2,2],rectan(5,2,0,[-2,2],1000),gaussiana([-2,2],1000,5)) conv_segn([-2,2],trian(5,2,0,[-2,2],1000),gaussiana([-2,2],1000,5)) 54

55 Stefano Maraspin Stefano Valle 55

56 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 3. Esempio di convoluzione tra i tre segnali periodici di base e il segnale esponenziale Range 0 4 Segnale1 sinus, trian, rectan Segnale2 espon([0,4],1000,1,1) Chiamate conv_segn([0,4],sinus(5,2,0,[0,4],1000),espon([0,4],1000,1,1)) conv_segn([0,4],rectan(5,2,0,[0,4],1000),espon([0,4],1000,1,1)) conv_segn([0,4],trian(5,2,0,[0,4],1000),espon([0,4],1000,1,1)) 56

57 Stefano Maraspin Stefano Valle 57

58 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 4. Gli esempi successivi verranno effettuati considerando esclusivamente l onda sinusoidale, questo perché dagli esempi precedenti si è potuto notare come il comportamento dell operatore di convoluzione sia simile per tutti e tre i segnali periodici. Esempio di convoluzione dell onda sinusoidale con un segnale rettangolare traslato verso destra. Range -2 2 Segnale1 sinus(5,2,0,[-2,2],1000) Segnale2 impulso(1,1000,600,100) Chiamate conv_segn([-2,2],sinus(5,2,0,[-2,2],1000),impulso(1,1000,600,100)) 58

59 Stefano Maraspin Stefano Valle 5. Esempio di convoluzione dell onda sinusoidale con un segnale rettangolare più ampio. Range -2 2 Segnale1 sinus(5,2,0,[-2,2],1000) Segnale2 impulso(1,1000,300,400) Chiamate conv_segn([-2,2],sinus(5,2,0,[-2,2],1000),impulso(1,1000,300,400)) 59

60 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 6. Esempio di convoluzione dell onda sinusoidale sfasata di 180 con un segnale rettangolare identico al precedente. Range -2 2 Segnale1 sinus(5,2,0,[-2,2],1000) Segnale2 impulso(1,1000,300,400) Chiamate conv_segn([-2,2],sinus(5,2,0,[-2,2],1000),impulso(1,1000,300,400)) 60

61 Stefano Maraspin Stefano Valle 7. Esempio di convoluzione dell onda sinusoidale con un segnale gaussiano ampio. Range -2 2 Segnale1 sinus(5,2,0,[-2,2],1000) Segnale2 gaussiana([-2,2],1000,2) Chiamate conv_segn([-2,2],sinus(5,2,0,[-2,2],1000),gaussiana([-2,2],1000,2)) 61

62 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 8. Esempio di convoluzione dell onda sinusoidale con un segnale gaussiano stretto. Range -2 2 Segnale1 sinus(5,2,0,[-2,2],1000) Segnale2 gaussiana([-2,2],1000,30) Chiamate conv_segn([-2,2],sinus(5,2,0,[-2,2],1000),gaussiana([-2,2],1000,30)) 62

63 Stefano Maraspin Stefano Valle 9. Esempio di convoluzione dell onda sinusoidale con un segnale esponenziale a discesa lenta. Range 0 4 Segnale1 sinus(5,2,0,[0,4],1000) Segnale2 espon([0,4],1000,1,0.5) Chiamate conv_segn([0,4],sinus(5,2,0,[0,4],1000),espon([0,4],1000,1,0.5)) 63

64 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine 10. Esempio di convoluzione dell onda sinusoidale con un segnale esponenziale a discesa veloce. Range 0 4 Segnale1 sinus(5,2,0,[0,4],1000) Segnale2 espon([0,4],1000,1,20) Chiamate conv_segn([0,4],sinus(5,2,0,[0,4],1000),espon([0,4],1000,1,20)) 64

65 Stefano Maraspin Stefano Valle 3.5 Commenti Dai risultati ottenuti si può subito notare come le forme d onda fornite in output dall operatore di convoluzione siano piuttosto strane o comunque diverse rispetto a quelle viste negli esercizi precedenti. Il maggiore fattore di differenza riguarda senz altro la non-periodicità del segnale di output, dovuta al fatto che la convoluzione avveniva tra un segnale periodico (onde quadre, triangolari, rettangolari) ed uno non periodico (esponenziale decrescente, impulso quadro e gaussiana). Passiamo ad analizzare singolarmente i risultati ottenuti, partendo dall ultimo gruppo visto: la convoluzione tra il segnale sinusoidale e le forme d onda impulsive. Il primo gruppo di risultati infatti evidenzia un comportamento molto simile rispetto al secondo gruppo. Iniziando dal risultato 5, cerchiamo di capire il significato della forma ottenuta simulando il comportamento dell operatore di convoluzione nelle varie fasi della sua applicazione alle due forme d onda in input. Per fare questo è necessario tener presente la definizione di convoluzione riportata nell esercizio 2 scheda 1. Possiamo identificare diverse fasi, corrispondenti a diversi comportamenti di input, simulando lo scorrimento da sinistra a destra del segnale impulsivo rispetto al segnale sinusoidale: 1. Prima fase: la moltiplicazione avviene durante lo scorrimento iniziale, che include la prima sezione del segnale rettangolare, quella con valore nullo (le aree evidenziata in rosso nell immagine sottostante identificano le zone interessate rispettivamente del segnale impulsivo e poi del corrispondente output generato). 65

66 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Il risultato della moltiplicazione dei due segnali è quindi nullo, come ovviamente l integrale di convoluzione, fatto che rende nulla anche la prima parte del segnale in output (risultato 5). 2. Seconda fase: la moltiplicazione avviene nello scorrimento che include la sezione del segnale rettangolare con valore massimo, come visibile nell immagine seguente. 66

67 Stefano Maraspin Stefano Valle Questo permette di ottenere un risultato non nullo dalla moltiplicazione dei due segnali e quindi anche dall integrale di convoluzione, che corrisponde ad una forma d onda che ripete il segnale sinusoidale iniziale di una lunghezza pari alla durata dell ampiezza massima dell onda rettangolare. 3. Terza fase: la moltiplicazione avviene nello scorrimento del segnale rettangolare attraverso tutto il segnale sinusoidale, come visibile nell immagine seguente. 67

68 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Il risultato che si ottiene dalla moltiplicazione dei due segnali non è altro che un onda sinusoidale di durata pari al range dell onda periodica a cui si sottrae la durata dell impulso quadro. 4. Quarta fase: la moltiplicazione avviene nello scorrimento del segnale rettangolare nella fase finale dell onda sinusoidale, in maniera opposta rispetto alla fase 2 e visibile nell immagine seguente. 68

69 Stefano Maraspin Stefano Valle Il risultato è analogo a quanto visto per la fase 2, ma di segno opposto. 5. Quinta fase: la moltiplicazione avviene durante lo scorrimento finale, nel momento in cui il segnale rettangolare ha valore nullo, come visibile nell immagine seguente. 69

70 Relazione per il Corso di Teoria e Tecniche di Elaborazione dell Immagine Il risultato è analogo a quanto visto per la fase iniziale. È stato analizzato il risultato 5 entrando minuziosamente nei dettagli, questo non si farà con i restanti risultati, in quanto si nota un comportamento paragonabile a quanto visto anche negli altri esempi riportati. Si osservino a riguardo i risultati 4 e 7. Il risultato 6 presenta invece un comportamento inverso rispetto a quello analizzato in dettaglio; infatti invertendo la fase dell onda periodica si ottiene un inversione di segno nell intero output. Il risultato 8 invece fa notare un importante proprietà dell operatore di convoluzione: si osserva infatti come l output tra la convoluzione di un segnale periodico ed un segnale gaussiano (molto stresso, che approssima quindi l impulso di dirac) sia il realtà il segnale periodico stesso, che viene riportato in posizione centrale nel risultato finale. Da questo si può dedurre come l impulso di dirac sia in realtà l elemento neutro per l operatore di convoluzione. Lo stesso comportamento si nota anche nel risultato 10, in cui si osserva un picco iniziale molto breve (che simula ancora l impulso di dirac) e che permette all operatore di convoluzione di riportare il segnale periodico inalterato nel risultato. 70