Sommario. Calcolo della radice quadrata. Calcolo della radice quadrata. y0 a rappresenta un approssimazione per eccesso dll della radice. y 1 a.

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1 Sommario Valutazione numerica della radice quadrata di un numero positivo ii (esempio di soluzione di un esercitazione): Descrizione i teorica dl del problema e dll della sua soluzione. Interpretazione algoritmica i dll dellasoluzione. l Criteri di arresto. Implementazione iterativa dell approssimazione numerica. Analisi dei risultati. Sviluppo di una funzione di libreria. Informatica Medica, I semestre, C++ Si vuole trovare il valore approssimato della radice quadrata di un numero positivo attraverso approssimazioni successive. Si sceglie un numero positivo: 0 a tale che a 0 e a 0 a rappresenta un approssimazione per eccesso dll della radice Informatica Medica, I semestre, C++ Se 0 a rappresenta un valore approssimato per eccesso di allora b rappresenta unvalore approssimato per difetto. 0 b Allora si può approssimare la radice con la media aritmetica di a e b: a b Informatica Medica, I semestre, C++ 3 a L approssimazione sarà compresa tra e 0, quindi idi potrà tà essere considerata come la nuova approssimazione per eccessodi : 0 b 0 a a b 0 0 Ciò risulta vero in quanto la media aritmetica tra due numeri è maggiore o uguale alla loro media geometrica: Informatica Medica, I semestre, C++ 4

2 Pertanto si può procedere iterativamente costruendo una successione di approssimazioni i i 0,,, n definite dalla seguente formula ricorsiva: 0 a i i i Tale successione è convergente alla radice. Si può interpretare come il restringimento di un intervallo di localizzazione del valore esatto i cui estremi sono l approssimazione per eccesso i e per difetto / i. Informatica Medica, I semestre, C++ 5 Con un metodo iterativo si parte da una prima approssimazione e poi si applica una formula che migliora l approssimazione a partire dai valori calcolati in precedenza sino al raggiungimento di una precisione richiesta (criterio di arresto): inizializzare old_val prima approssimazione new_val while (new_val risulta lontano da old_val) { old_val=new_val calcolare new_val Informatica Medica, I semestre, C++ 6 Descrizione dell algoritmo per la risoluzione del problema:. Inizializzazione e controlli. Calcolare la nuova approssimazione 3. Se il criterio di arresto non viene verificato ripetere e e passo. 4. Tornare l approssimazione e terminare. Descrizione dell algoritmo per la risoluzione del problema: V inizializzazione Criterio di arresto F terminazione i i i Informatica Medica, I semestre, C++ 7 Informatica Medica, I semestre, C++ 8

3 Si possono definire diversi criteri di arresto con differenti prestazioni: Ricerca del valore esatto! i Errore assoluto i Errore relativo i i Esempio di esercitazione. Sviluppare un programma che implementi il calcolo della radice quadrata di un numero positivo. Verificare con esempi le prestazioni dei diversi criteri di arresto. Commentare i risultati.. Sviluppare una corrispondente funzione di libreria e verificarne il funzionamento. La funzione ritorna un valore intero che indica quale condizione si è verificata. Errore relativo approssimato i i i Informatica Medica, I semestre, C++ 9 Informatica Medica, I semestre, C++ 0 #include <iostream> using namespace std; int main(){ float =9; float e=5e-3; float new,old; new=; do{ old=new; new=0.5*(old+/old); cout<<"rif="<<sqrt()<<" ="<<new<<endl; while(new*new!=); //while((new*new-)>e); //while((new*new-)>e*new*new); //while(fabs(new-old)>e*new); cout<<"rif-="<<sqrt()-new<<endl; Informatica Medica, I semestre, C++ Una possibile uscita con =9: rif=3 3=5 rif=3 =3.4 rif=3 = rif=3= rif=3 =3 rif-=0 Una possibile uscita con =: while(new*new!=); Informatica Medica, I semestre, C++

4 Una possibile uscita con =: rif=.44 =.5 rif=.44 =.4667 rif=.44 =.44 rif-= e-006 5e 3 while((new*new-)>e); Una possibile uscita con = : Informatica Medica, I semestre, C++ 3 rif= = rif= = rif= =800.6 rif= = rif= = rif= =7.9 rif= =67.34 rif= = rif= =434.4 rif= =38.97 rif= = rif-= Una possibile uscita con = : 5e 3 while((new*new-)>e*new*new); * * ) Una possibile uscita con = : rif=00 =7000 rif=00 =36000 rif=00 =80003 rif=00 = rif=00 = rif=00 =5.3 rif=00 =9.6 rif=00 = rif=00 =98.33 rif=00 =73.08 rif=00 =8.73 rif=00 =0.6 rif-= Informatica Medica, I semestre, C++ 4 Una possibile uscita con = : 5e 3 rif=00 =7000 while(fabs(new-old)>e*new); ( ld ) rif=00 =36000 rif=00 =80003 Una possibile uscita con = 3e-6 : rif=00 = rif= = rif=00 = rif= = rif=00 =5.3 rif= = rif=00 =9.6 rif= = rif=00 = rif= =0.038 rif=00 =98.3 rif= = rif=00 =73.08 rif= = rif=00 =8.73 rif= = rif=00 =0.6 rif= = rif=00 =00 rif= = rif-= rif= = rif= = Informatica Medica, I semestre, C++ rif-=-.4447e Esempio di soluzione: funzione di libreria radice.cpp cpp #include "radice.h" int Radice(float, float e, float *){ radice.h float new,old; #ifndef RADICE_H if (==0 ==){ #define RADICE_H *=; int Radice(float,float e,float *); #endif if (<0){ *=0; return ; new=; do{ old=new; new=0.5*(old+/old); while(fabs(new-old)>e*new); *=new; Informatica Medica, I semestre, C++ 6

5 Esempio di soluzione: funzione di libreria radice_test.cpp #include <iostream> #include "radice.h" using namespace std; int main(){ float, e, ; int err; =0; e=5e-3; err=radice(,e,&); cout<<"err="<<err<<"; rif-="<<sqrt()-<<"; ="<<<<endl; =-; e=5e-3; err=radice(,e,&); cout<<"err="<<err<<"; "<< rif-="<<sqrt()-<<"; <<" ="<<<<endl; =440000; e=5e-3; err=radice(,e,&); cout<<"err="<<err<<"; rif-="<<sqrt()-<<"; ="<<<<endl; =3e-6; e=5e-3; err=radice(,e,&); cout<<"err="<<err<<"; rif-="<<sqrt()-<<"; ="<<<<endl; Informatica Medica, I semestre, C++ 7 Esempio di soluzione: funzione di libreria Una possibile uscita : Informatica Medica, I semestre, C++ 8