Fattorizzazione e curve ellittiche polinomi di II, II e IV grado

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1 Fattorizzazione e curve ellittiche polinomi di II, II e IV grado Di Cristiano Armellini (cristiano.armellini@alice.it) Torniamo ancora una volta al problema della fattorizzazione p=ab e descriviamo un nuovo algoritmo che sfrutta le proprietà delle equazioni algebriche di II, III e IV grado. Sappiamo che,sia allora ; ; /. Otteniamo così facilmente un equazione di III grado in s: dove, e n è noto ma non b che è un fattore di n. Sappiamo però dalla matematica che le equazioni algebriche possono essere risolte algebricamente fino a quelle di quarto grado: applicando la formula per la risoluzione dell equazione di II grado otterremo facilmente delle condizioni per l esistenza delle radici che implicheranno delle condizioni anche per b (che tra l altra deve essere un intero e possiamo supporre senza perdere di generalità anche dispari). A questo punto saremo in grado di costruire un programma ad hoc che facendo variare b nel suo campo di esistenza ci dia velocemente s (che a sua volta deve essere intero e possiamo supporre senza perdere di generalità anche pari essendo la somma di due fattori primi, dunque dispari). Trovato il fattore b corrispondente ad una soluzione intera positiva di s è banale calcolare l altro fattore a quindi completare la fattorizzazione di n. Per facilitare i calcolo possiamo impiegare il software Mathematica ottimo per il

2 calcolo algebrico che una volta impostata l equazione in s ci fornisce direttamente le soluzioni s = s(n.b) da cui partire per impostare le condizioni di esistenza delle radici, dunque le condizioni per b. Analogamente e quest ultima è un equazione cubica in D=D(n,b) che affrontiamo in modo analogo a quella precedentemente descritta l unica differenza è che questa volta cerchiamo i valori di b che ci danno D=a-b (ovvero D è la differenza e non la somma dei due fattori di n=ab). In modo simile possiamo ragionare usando: Arriveremo in questi casi ad una equazione di quarto grado che possiamo risolvere in ogni caso in modo algebrico e che ci consentirà di trovare le condizioni per b e per S=a+b D= a-b con p=ab. Ovviamente dall equazione di II grado sappiamo che, 2, dove,.

3 D altro canto invece di impostare una equazione in S o in D possiamo trovare delle equazioni in b dalle equazioni già studiate in precedenza b=b(s, n), b =(D,n): e cercare di risolvere l equazione nella variabile (nei primi due casi diventa un equazione biquadratica) e nei secondi due casi nella variabile (anche qui si riduce ad un equazione biquadratica più complessa). Ponendo infine il discriminante maggiore di zero (per l esistenza delle radici) abbiamo nuovi limiti in S o D che possiamo usare per cercare più rapidamente le soluzioni intere positive di b ovvero trovare i fattori di n. Affrontiamo un caso pratico e partiamo dalle relazioni:

4 ,, Sostituendo ho che D=0, 2, 4, 6, 8, 2 ovvero due equazioni biquadratiche che possono facilmente risolte al variare di S, D interi con b intero positivo listato in C++ (caso D, caso della differenza) #include <cstdlib> #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; int main(int argc, char *argv[]) { double D, p, i, x, y; i =0; cout << "Inserisci il numero da fattorizzare "; cin >> p; D = 0; do{ x = sqrt((2*p+pow(d,2)+sqrt(pow(d,4)+4*p*pow(d,2)))/2);

5 y = sqrt((2*p+pow(d,2)-sqrt(pow(d,4)+4*p*pow(d,2)))/2); D = D+2; i = i+1; } while (floor(x)!= x); cout << x << "\n"; cout << y << "\n"; cout << "passaggi" << i << "\n";; system("pause"); return EXIT_SUCCESS; } Listato C++ (caso della somma S) #include <cstdlib> #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; int main(int argc, char *argv[]) { double s, p, i, x, y; i =0; cout << "Inserisci il numero da fattorizzare "; cin >> p; s = 2*int(sqrt(p)); do{ x = sqrt((pow(s,2)-2*p+sqrt(pow(s,4)-4*p*pow(s,2)))/2); y = sqrt((pow(s,2)-2*p-sqrt(pow(s,4)-4*p*pow(s,2)))/2); s = s+1; i = i+1; } while (floor(x)!= x); cout << x << "\n"; cout << y << "\n"; cout << "passaggi" << i << "\n";; system("pause"); return EXIT_SUCCESS; }