Kangourou della Matematica 2005 finale nazionale italiana Mirabilandia, 9 maggio 2005

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1 LIVELLO ÈCOLIER E1. (5 punti ) Nella via in cui abito le case sono numerate da un lato con i numeri dispari consecutivi, cominciando da 1, e dall altro lato con i numeri pari (ogni numero denota una sola casa). La mia casa ha il numero 137. Se la numerazione fosse iniziata all altra estremità della strada, la mia casa avrebbe il numero 85. Quante case vi sono in tutto sullo stesso lato della mia? E2. (7 punti ) Esattamente un anno fa il mio era un peso compreso tra 90 e 95 kg; ora sono dimagrito, perdendo una quantità di peso compresa tra 3 e 4 kg. Con queste indicazioni, dimmi: a) al di sotto di quale peso non posso essere sceso? b) al di sopra di quale peso non posso più essere? E3. (11 punti ) Qual è il più piccolo numero intero positivo di 4 cifre, tutte diverse fra loro (e diverse da zero), che sia divisibile (senza resto!) per ciascuna delle sue 4 cifre? E4. (14 punti ) La maestra ti ha chiesto di disegnare su una pagina del tuo quaderno 10 pallini in modo da rappresentare una freccia da sinistra verso destra, come nella figura A. Tu, per errore, li hai disposti in modo da ottenere una freccia da destra verso sinistra, come nella figura B. Naturalmente non puoi capovolgere il quaderno, ma puoi cancellare dei pallini e ridisegnarli. Qual è il minimo numero di pallini che ti basta cancellare, e dove devi posizionare altrettanti nuovi pallini, per ottenere quanto ti ha chiesto la maestra? (Se vuoi, puoi tracciare una croce sui pallini da cancellare e segnare la posizione in cui collocare i nuovi utilizzando direttamente la figura B, spiegando come meglio credi il motivo per cui non puoi cancellarne di meno.) E5. (18 punti ) Tu e un tuo amico giocate al gioco seguente. Avete un mucchio iniziale di 5 monete: a turno prendete dal mucchio 1, 2 o 3 monete a vostra scelta, rispettando la regola che ogni giocatore, quando è il proprio turno, deve prendere almeno una moneta e, se vi è più di una moneta nel mucchio, non può prendere lo stesso numero di monete che ha preso l avversario alla mossa precedente. Perde chi raccoglie l ultima o le ultime monete disponibili. Se vuoi vincere ed entrambi giocate senza fare errori, ti conviene essere primo o secondo di mano? Rispondi motivando la risposta. E6. (22 punti ) Harry Potter si lamenta con tutti i suoi amici: "Ho perso il mio rettangolo magico. Come farò a partecipare a Kangourou?". Gli amici gli chiedono come fosse fatto il rettangolo magico: "Di pergamena, ottenuto accostando (ma non sovrapponendo!) 10 rettangoli più piccoli, ciascuno dei quali ha i lati che misurano l uno 2 pollici e l altro 3 pollici. Dopo una breve ricerca gli amici tornano ciascuno con un rettangolo di pergamena di forma diversa, ma con i requisiti indicati: Harry però asserisce che nessuno è il suo. Quanti amici può avere al massimo Harry?

2 LIVELLO BENJAMIN B1. (5 punti ) Chiamiamo numero di Matteo un numero di quattro cifre tale che il prodotto delle prime due cifre sia uguale alla somma delle ultime due. Per esempio 1990 è un numero di Matteo (1x9 = 9+0), così come lo sono 2351 o Quali sono i tre numeri di Matteo più grandi? B2. (7 punti ) Un geometra doveva delimitare una porzione di terreno in modo da ottenere un quadrato di lato 2005 m. Il primo lato delimitato è perpendicolare al secondo e il secondo al terzo, ma, per errore, misurano nell ordine 2005 m, 2006 m, 2007 m (cioè il lato che misura 2005 m è opposto a quello che misura 2007 m). Se il quarto lato del poligono viene tracciato congiungendo i due vertici rimasti liberi, di quanti metri quadrati la porzione delimitata risulta più grande del previsto? B3. (11 punti ) Prima che venisse impiegato il lettore ottico, le schede-risposta di Kangourou venivano esaminate a mano. Un correttore umano esaminava in media 2 schede al minuto. Alle undici del mattino di un dato giorno aveva esaminato la metà delle schede che gli erano state assegnate per quel giorno. A mezzogiorno ne aveva esaminati i due terzi. Se non si fosse mai fermato e avesse continuato allo stesso ritmo, quante schede gli sarebbero rimaste da esaminare alla una di pomeriggio di quel giorno? B4. (14 punti ) Cinque ragazze, tra cui Silvia, hanno comperato alcuni lacci per capelli. Si sa che: non vi sono due di loro che abbiano comperato lo stesso numero di lacci; il numero di lacci comperati da tre qualunque di loro è maggiore di quello comprato dalle restanti due. Qual è il minimo numero di lacci che può avere comprato Silvia? Motiva la risposta. B5. (18 punti ) In un urna vi sono 35 palline. Compiamo delle estrazioni successive seguendo rigorosamente questa procedura: alla prima estrazione si prende una pallina; a ogni successiva estrazione (ultima inclusa) va presa una pallina in più o una in meno rispetto all estrazione precedente. Qual è il numero minimo di estrazioni sufficiente perché l urna resti vuota? Motiva la risposta. B6. (22 punti ) In figura vedi un esagono regolare. Puoi suddiverlo in 8 la suddivisione che proponi.

3 LIVELLO CADET C1. (5 punti ) Prima che venisse impiegato il lettore ottico, le schede-risposta di Kangourou venivano esaminate a mano. Un correttore umano esaminava in media 2 schede al minuto. Alle undici del mattino di un dato giorno aveva esaminato la metà delle schede che gli erano state assegnate per quel giorno. A mezzogiorno ne aveva esaminati i due terzi. Se non si fosse mai fermato e avesse continuato allo stesso ritmo, quante schede gli sarebbero rimaste da esaminare alla una di pomeriggio di quel giorno? C2. (7 punti ) Considera una scacchiera 7x7 e chiama croce greca ogni configurazione di 5 sue caselle disposte a croce in modo che ogni casella abbia in comune almeno un lato con un altra casella della croce (quindi ogni croce ha 4 bracci uguali ciascuno costituito da una casella). Si possono disporre 49 numeri interi, non necessariamente tutti uguali fra loro, sulle 49 caselle, uno per casella, in modo che la somma totale di questi interi sia negativa, ma la somma dei numeri corrispondenti alle caselle ricoperte da una qualsiasi croce greca sia positiva? C3. (11 punti ) Osserva la figura. Il triangolo ABC è rettangolo e il punto P dista 1 cm sia dal cateto AB, che è lungo 8 cm, sia dall ipotenusa BC, che è lunga 10 cm. Qual è l area del rettangolo ombreggiato? C A P B C4. (14 punti ) Kang è una stella immaginaria che possiede due pianeti: Enigma e Math. Essi si muovono in uno stesso piano, descrivendo ciascuno un orbita circolare centrata in Kang con velocità angolare costante, ma diversa l uno dall altro. Infatti Enigma, il più lontano, ruota attorno a Kang in senso orario in 7 giorni, mentre Math impiega 5 giorni, ruotando in senso antiorario. In questo istante si può osservare un eclissi di Enigma da parte di Math (osserva la figura). Tra quanto tempo si verificherà la prossima eclissi? Kang Enigma Math C5. (18 punti ) Se x e y sono due numeri interi strettamente positivi tali che si abbia x + y + xy = 90, quanti sono i possibili valori della somma x + y? C6. (22 punti ) Un indovino predice che nel 2080 si terrà a Mirabilandia la finale mondiale di Kangourou e che il numero dei finalisti avrà una rappresentazione in base 10 formata da 4 cifre tutte diverse da 0; sarà la somma dei quattro numeri che si ottengono elevando a se stessa ciascuna delle quattro cifre che compaiono nella rappresentazione (dunque se, per esempio, comparissero le cifre 2 e 7, due degli addendi sarebbero 2 2 e 7 7 ). Determina, grazie a queste indicazioni, quanti finalisti prevede l indovino per quella memorabile edizione di Kangourou.

4 LIVELLO JUNIOR J1. (5 punti ) Cinque ragazze, tra cui Silvia, hanno comperato alcuni lacci per capelli. Si sa che: non vi sono due di loro che abbiano comperato lo stesso numero di lacci; il numero di lacci comperati da tre qualunque di loro è maggiore di quello comprato dalle restanti due. Qual è il minimo numero di lacci che può avere comprato Silvia? Motiva la risposta. J2. (7 punti ) Nella moltiplicazione indicata a fianco, oltre al 6 sono stati usati due numeri interi, UN e BIO, composti utilizzando complessiva-mente le cifre 2, 3, 4, 5, 7. Se lettere diverse rappresentano cifre diverse, quanto vale B + I + N + O? U N x 6 = B I O J3. (11 punti ) In figura vedi un esagono regolare. Puoi suddiverlo in 8 la suddivisione che proponi corredandola dei chiarimenti che ritieni opportuni. J4. (14 punti ) Quanto vale la somma algebrica di tutti i coefficienti (ciascuno con il proprio segno) dello sviluppo di (2x y + z) 8? J5. (18 punti ) Per ogni intero positivo n, si dice fattoriale di n - e si indica con il simbolo n! il prodotto di tutti gli interi da 1 a n incluso, ciascuno considerato una e una sola volta (dunque si ha 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 e così via). Mostra che il prodotto 1! 2! 99! 100! dei fattoriali dei primi 100 interi positivi non è un quadrato perfetto, ma lo è il suo quoziente con 50!. J6. (22 punti ) Considera una scacchiera 7x7 a cui sono state tolte le 4 caselle d'angolo; chiama croce greca ogni configurazione di 5 sue caselle disposte a croce in modo che ogni casella abbia in comune almeno un lato con un altra casella della croce (quindi ogni croce ha 4 bracci uguali ciascuno costituito da una casella). Dimostra che è possibile disporre 45 numeri interi (non necessariamente tutti diversi fra loro) sulle 45 caselle rimaste, uno per casella, in modo che la somma totale di questi interi sia negativa, ma la somma dei numeri corrispondenti alle caselle ricoperte da una qualsiasi croce greca sia positiva. (Suggerimento: individua un insieme convenientemente ridotto S di caselle con la proprietà che ogni croce greca copra almeno una casella appartenente ad S).

5 LIVELLO STUDENT S1. (5 punti ) In figura vedi un esagono regolare. Puoi suddiverlo in 8 la suddivisione che proponi, corredandola dei chiarimenti che ritieni opportuni. S2. (7 punti ) Quanto vale la somma algebrica di tutti i coefficienti (ciascuno con il proprio segno) dello sviluppo di (2x y + z) 8? S3. (11 punti ) I centri della circonferenza inscritta e di quella circoscritta a un triangolo ottusangolo sono simmetrici rispetto ad uno dei suoi lati. Quanto misura in gradi l angolo ottuso? S4. (14 punti ) Per ogni intero positivo n, si dice fattoriale di n - e si indica con il simbolo n! il prodotto di tutti gli interi da 1 a n incluso, ciascuno considerato una e una sola volta (dunque si ha 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 e così via). Mostra che il prodotto 1! 2! 99! 100! dei fattoriali dei primi 100 interi positivi non è un quadrato perfetto, ma lo è il suo quoziente con 50!. S5. (18 punti ) Considera una scacchiera 7x7 a cui sono state tolte le 4 caselle d'angolo; chiama croce greca ogni configurazione di 5 sue caselle disposte a croce in modo che ogni casella abbia in comune almeno un lato con un altra casella della croce (quindi ogni croce ha 4 bracci uguali ciascuno costituito da una casella). Dimostra che è possibile disporre 45 numeri interi (non necessariamente tutti diversi fra loro) sulle 45 caselle rimaste, uno per casella, in modo che la somma totale di questi interi sia negativa, ma la somma dei numeri corrispondenti alle caselle ricoperte da una qualsiasi croce greca sia positiva. (Suggerimento: individua un insieme convenientemente ridotto S di caselle con la proprietà che ogni croce greca copra almeno una casella appartenente ad S). S6. (22 punti ) Siano α e β due circonferenze complanari, ognuna esterna al cerchio individuato dall altra. Descrivi il luogo dei punti medi dei segmenti [A,B] al variare del punto A in α e del punto B in β.