OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO IN MATEMATICA TRA PRIMARIA E SECONDARIA: AMBITO NUMERI

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1 OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO IN MATEMATICA TRA PRIMARIA E SECONDARIA: AMBITO NUMERI Staff di ForMATH Giorgio Bolondi, Laura Branchetti, Elena Franchini, Alice Lemmo 1

2 PRIMA PARTE Commentiamo alcuni quesiti INVALSI 2

3 livello /12 livello /12 3

4 4

5 5

6 6 livello /12

7 7

8 8 livello /12

9 9

10 10

11 11 livello /12

12 12

13 13

14 14 livello /12

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18 18 livello /12

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20 livello /12 20

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22 22 livello /12

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24 24 livello /12

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26 26 livello /12

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28 livello /12

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30 Un altro esempio Le prove Invalsi possono anche fornire indicazioni molto puntuali. aiutano a individuare e quantificare la presenza di misconcezioni. Es: (tratto dalla rilevazione per la quinta primaria del 2008/2009) Nella domanda 11 era chiesto di confrontare dei numeri decimali..

31 Riportiamo, dal rapporto ufficiale INVALSI,la distribuzione delle risposte date dai bambini:

32 SECONDA PARTE Lavoro di gruppo Ogni gruppo elabora 2 o 3 quesiti che vadano a valutare i processi assegnati. I quesiti devono presentarsi in forme diverse: scelta multipla, risposta aperta, risposta con giustificazione, ecc I quesiti devono focalizzare uno degli obiettivi di apprendimento specificato nelle Indicazioni 32

33 Le diverse componenti dell apprendimento in matematica APPRENDIMENTO CONCETTUALE APPRENDIMENTO ALGORITMICO APPRENDIMENTO di tipo STRATEGICO APPRENDIMENTO O GESTIONE DELLE TRASFORMAZIONI SEMIOTICHE APPRENDIMENTO COMUNICATIVO 33

34 I processi 1) Conoscere e padroneggiare contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...) 2) Conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico...) 3) Conoscere e utilizzare diverse forme di rappresentazione e saper passare da una all'altra (verbale, scritta, simbolica, grafica, tabellare,...) 4) Saper risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare e collegare informazioni utili, confrontare strategie di risoluzione, individuare schemi, esporre il procedimento risolutivo,...) 5) Riconoscere in contesto il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e saper utilizzare strumenti (stimare una misura, individuare l unità di misura appropriata, ) 6) Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, ) 7) Utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, interpretare una descrizione di un fenomeno con strumenti statistici o funzioni, costruire un modello ) 8) Saper riconoscere le forme nello spazio (riconoscere forme in diverse rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative posizioni, ) 34

35 TERZA PARTE Lo sguardo della ricerca in didattica della matematica sulle conoscenze pregresse e i possibili effetti in verticale. 35

36 MISCONCEZIONI Durante la costruzione del sapere da parte degli allievi si possono creare delle idee che, al momento della formazione di un concetto, sono state efficaci per affrontare dei problemi precedenti, ma che si rivelano fallimentari quando si tenta di applicarle ad un problema nuovo. 36

37 MISCONCEZIONI Visto il successo ottenuto (anzi: a maggior ragione a causa di questo), si tende a conservare l idea già acquisita e comprovata e, nonostante il fallimento, si cerca di salvarla; ma questo fatto finisce con l essere una barriera verso successivi apprendimenti. 37

38 UN ESEMPIO Nell insieme N dei numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, 5, ), ogni elemento generico n ha un ben determinato successivo n+1; L oggetto matematico successivo di un numero dato viene reso esplicito e reso oggetto di apprendimento nella scuola primaria, attorno ai 6 anni di età, e facilmente costruito. 38

39 UN ESEMPIO Esso si forma, diventa conoscenza corretta e spendibile in aula; ma assume spesso la forma seguente: ogni numero (di non importa qual insieme numerico) ha un successivo. Quando si giunge a Q (insieme dei razionali), l idea di successivo persiste, è infatti una conoscenza precedente che ha avuto successo, ma in questo insieme numerico invece dovrebbe perdere di significato. 39

40 UN ESEMPIO «Chi è il successivo di 3/5?» 4/5, 3/6, 4/6, 7/10 3/5 espresso con la rappresentazione semiotica numero con la virgola diventa: 0,6 4/5 0,8 3/6 0,5 4/6 0,666 7/10 0,7 «E 0,65?», «E 0,605?», «E 0,6005?» 40

41 41 UN ESEMPIO

42 UN ESEMPIO Se si tratta di mettere in ordine per grandezza numerica 1,2 e 1,15, è noto che la competenza acquisita sui naturali può dare problemi interpretativi; la letteratura segnala casi in cui lo studente afferma: «A parità di parte intera, siccome 15>2, allora 1,15>1,2». ( ). 42

43 Il caso della moltiplicazione Un classico esempio citato da diversi Autori fin dagli anni 80 è basato sulla convinzione che: la moltiplicazione accresce sempre. Qual è il risultato di 4 0,5?

44 Il caso della moltiplicazione Particolarmente significativo a proposito il dialogo con Nicoletta (quinta elementare) che aveva indicato la divisione quale operazione che risolve il problema: 1 m di stoffa costa 12; quanto costano 0.65 m? I. Sei proprio sicura di aver indicato l operazione corretta? N. Sì, perché devo ottenere un risultato minore di 12. I. E se dovessi acquistare 5 m di stoffa, quanto spenderesti? N. Qui ci vuole la moltiplicazione! I. Perché ora la moltiplicazione e prima la divisione se il problema è lo stesso? N. Perché da che mondo è mondo moltiplicando si ottiene un numero maggiore e a me serviva un numero minore 44

45 Il caso della moltiplicazione 3 x 4 =12 Si crea la necessità didattica di non rendere stabile quell immagine per poterla poi ampliare successivamente, nel tentativo di costruire un modello del concetto di moltiplicazione in modo ottimale 45

46 Il caso della moltiplicazione Didatticamente conviene lasciare immagini ancora instabili, in attesa di poter creare modelli adatti e significativi, vicini al sapere matematico che si vuole raggiungere. 46

47 47 LE FRAZIONI

48 LE FRAZIONI L aggettivo uguale, che sembra essere il cardine di tale definizione, dà luogo più ad equivoci e malintesi, dunque a misconcezioni, che non a certezze. 48

49 LE FRAZIONI Uguali per volume ma non per forma? 49

50 LE FRAZIONI COLORA UN MEZZO DELLA SUPERFICIE 50

51 Tali misconcezioni possono dipendere dalla scelta di fornire all allievo, giorno dopo giorno, rappresentazioni convenzionali univoche e mal scelte. 51