Algoritmi. Un tema centrale dell informatica è lo studio degli algoritmi.

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1 Algoritmi Un tema centrale dell informatica è lo studio degli algoritmi. Ora nostro obiettivo sarà quello di esplorare a sufficienza questa materia fondamentale per poter capire e apprezzare appieno l informatica. Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 1

2 ALGORITMI e PROGRAMMI Programmazione: Lavoro che si fa per costruire sequenze di istruzioni (operazioni) adatte a svolgere un dato calcolo INPUT: dati iniziali INPUT: x,y,z AZIONI esempio: Somma x ed y Somma z al risultato OUTPUT: risultato OUTPUT: x+y+z Algoritmo: Sequenza di azioni per svolgere il calcolo Programma: Algoritmo espresso in notazione formale (linguaggio di programmazione) Creazione programma: Fase 1 = algoritmo Fase 2 = implementazione in dato linguaggio (C) Vedremo: Elementi di base per semplici algoritmi e programmi

3 ALGORITMI Tecniche algoritmiche permettono di risolvere problemi di: Trasmissione dati in Internet come si gestisce in pratica il flusso di dati nella rete? Ricerca nel WEB come fa Google a trovare le informazioni nel WEB? Bioinformatica come il DNA determina le nostre caratteristiche? Processi economici come si gestiscono le aste on-line su Ebay? come si effettua la compravendita di azioni su Internet? Organizzazione di risorse e servizi come si schedulano i voli delle aerolinee? come si assegnano le frequenze nelle celle delle reti cellulari?

4 Il termine Algoritmo deriva dal matematico Arabo al-khwarizmı (c ), autore del testo Al-jabrw al-muqabâla (da cui anche il termine Algebra)

5 Algoritmi di tipo numerico furono studiati da matematici babilonesi ed indiani più di di 3000 anni fa. Algoritmi in uso fino a tempi recenti furono studiati dai matematici greci nel 500 a.c. Esempio: Algoritmo di Euclide per il Massimo Comun Divisore Esempio: Algoritmi geometrici (calcolo di tangenti, sezioni di angoli,...)

6 Algoritmo: procedura computazionale che prende certi valori in input (ingresso) e produce i valori richiesti in output (uscita)

7 Un esempio si prepara ad un uscita galante... Va in profumeria, ma vuole risparmiare Come identificare il profumo più economico? 0. Prendi la prima bottiglia, 1. Vai alla prossima bottiglia nello scaffale 2. Confronta il prezzo sulla bottiglia nello scaffale con quello in mano 3. Se e minore scambia la bottiglia in mano con quella sullo scaffale 4. Se ci sono bottiglie non controllare, allora ripeti da Se le bottiglie sono finite, la bottiglia più economica è quella in mano

8 Algoritmo: procedura computazionale che prende certi valori in input (ingresso) e produce i valori richiesti in output (uscita) Problema: determina il profumo più economico Input: profumi con relativi costi Output: profumo di costo minimo Algoritmo: 0. Prendi la prima bottiglia, 1. Vai alla prossima bottiglia nello scaffale 2. Confronta il prezzo sulla bottiglia nello scaffale con quello in mano 3. Se è minore scambia la bottiglia in mano con quella sullo scaffale 4. Se ci sono bottiglie non controllare, allora ripeti da Se le bottiglie sono finite, la bottiglia più economica è quella in mano Procedura computazionale per ottenere la relazione costi/costo minimo

9 Riassumendo Un algoritmo è una serie di operazion non ambigue ed efficientemente computabili, che una volta eseguite producono un risultato in un tempo finito Se possiamo specificare un algoritmo allora possiamo automatizzare la soluzione

10 Un esempio Come identificare il profumo più economico? 0. Prendi la prima bottiglia, 1. Vai alla prossima bottiglia nello scaffale 2. Confronta il prezzo sulla bottiglia nello scaffale con quello in mano 3. Se è minore scambia la bottiglia in mano con quella sullo scaffale 4. Se ci sono bottiglie non controllare, allora ripeti da Se le bottiglie sono finite, la bottiglia più economica è quella in mano E un algoritmo? La soluzione è corretta? Quanto tempo prende?

11 Un algoritmo è una sequenza finita di passi elementari che descrive come risolvere in un tempo finito un problema Altri esempi di algoritmi: Istruzioni di montaggio Preparazione del caffè Prelievo bancomat Preparazione di un ricetta Algoritmo Calcolo del massimo comun divisore tra due interi

12 Algoritmo Dati iniziali ALGORITMO Dati finali (soluzione) Algoritmo: sequenza di azioni elementari che consenta di trasformare i dati iniziali nei risultati finali attraverso un numero finito di passi, elementari e non ambigui. Note: Insieme di dati iniziali ben definito Sequenza di passi può essere eseguita da un opportuno esecutore (es. calcolatore).

13 Algoritmo Dati iniziali ALGORITMO Dati finali (soluzione) Proprietà fondamentali di un Algoritmo Correttezza; produce sempre una soluzione Efficienza: L algoritmo perviene alla soluzione del problema usando la minor quantità possibile di risorse fisiche, quali tempo di esecuzione, memoria,.

14 Algoritmo Dati iniziali ALGORITMO Dati finali (soluzione) Ricapitolando, un algoritmo deve essere: applicabile a qualsiasi insieme di dati di ingresso appartenenti al dominio di definizione dell algoritmo costituito da operazioni appartenenti ad un determinato insieme di operazioni fondamentali costituito da regole non ambigue, cioè interpretabili in modo univoco qualunque sia l esecutore (persona o macchina ) che le legge

15 Un esempio Come identificare il profumo più economico? 0. Prendi la prima bottiglia, 1. Vai alla prossima bottiglia nello scaffale 2. Confronta il prezzo sulla bottiglia nello scaffale con quello in mano 3. Se è minore scambia la bottiglia in mano con quella sullo scaffale 4. Se ci sono bottiglie non controllare, allora ripeti da Se le bottiglie sono finite, la bottiglia più economica è quella in mano Dati ingresso? Operazioni? Esecutore?

16 Esempio: prendere l automobile Algoritmo 1. Aprire l auto 2. Aprire la portiera 3. Sedersi al posto di guida 4. Schiacciare la frizione 5. Avviare il motore 6. Inserire la prima marcia 7. Rilasciare delicatamente la frizione per partire I passi sono eseguiti in sequenza l'ordine delle istruzioni è essenziale per la correttezza

17 I libri sono disposti sugli scaffali Esempio: Biblioteca La posizione di ogni libro è fissa ed è individuata da due coordinate: -Scaffale(i.e. numero dello scaffale) -Posizione nello scaffale La biblioteca è dotata di uno schedario (ordinato per autore/i e titolo). Ogni scheda contiene, nell ordine: -cognome e nome dell autore -titolo del libro -data di pubblicazione -numero dello scaffale in cui si trova -posizione attribuita al libro nello scaffale.

18 Esempio: Biblioteca Esempio di scheda Autore/i:Sciuto, DonatellaBuonanno, GiacomoMari, Luca Titolo:Introduzione ai Sistemi Informatici, III Edizione, 2005 Scaffale:22 Posizione:11

19 Formulazione dell algoritmo 1.Decidi il libro da richiedere 2.Preleva il libro richiesto Esempio: Biblioteca Raffinamenti successivi : se un passo non è direttamente comprensibile ed eseguibile dall esecutore (operazione semplice), occorre dettagliarlo a sua volta mediante un ulteriore algoritmo.

20 Un algoritmo per il prelievo Esempio: Biblioteca 1.Decidi il libro da richiedere 2.Cerca la scheda del libro richiesto 3.Segnati numero scaffale e posizione 4.Cerca lo scaffale indicato 5.Accedi alla posizione indicata e preleva il libro 6.Scrivi i tuoi dati sulla "scheda prestito"

21 Il sotto-algoritmo di ricerca 1.Prendi la prima scheda. Esempio: Biblioteca 2.Esamina se titolo e autore/i sono quelli cercati. In caso positivo la ricerca termina con successo, altrimenti passa alla scheda successiva e ripeti. 3.Se esaurisci le schede il libro cercato non esiste.

22 Un algoritmo per il prelievo Esempio: Biblioteca 1.Decidi il libro da richiedere 2.Cerca la scheda del libro richiesto come segue: 2.1. Prendi la prima scheda Esamina se titolo e autore/i sono quelli cercati. In caso positivo la ricerca termina con successo, altrimenti passa alla scheda successiva e ripeti Se esaurisci le schede il libro cercato non esiste. 3.Segnati numero scaffale e posizione 4.Cerca lo scaffale indicato 5.Accedi alla posizione indicata e preleva il libro 6.Scrivi i tuoi dati sulla "scheda prestito"

23 ES. Come piegare un foglio quadrato per ottenere un uccello. Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 23

24 Primitive per l origami. Sono richieste delle primitive ben definite Un insieme di primitive costituisce un linguaggio di programmazione. Ogni primitiva è costituita da due parti: Sintassi Semantica Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 24

25 Pseudocodice Primitivo Istruzione di assegnamento nome espressione Selezione condizionale if condizione then attività Esecuzione ripetuta while condizione do azione Procedura procedure nome Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 25

26 ISTRUZIONI Assegnamento: x E, Calcola il valore dell espressione E e lo assegna alla variabile x Esempio: x x+y calcola il valore di x+y e lo assegna ad x se x vale 5 e y vale 3, x=x+y da ad x valore 8

27 ISTRUZIONI Assegnamento: x E, Calcola il valore dell espressione E e lo assegna alla variabile x Esempio: x x+y calcola il valore di x+y e lo assegna ad x se x vale 5 e y vale 3, x x+y da ad x valore 8 Istruzioni Strutturate: 1) Composizione di Istruzioni: I I I 2 m 1 ; ; ; Esegui I 1, quando e terminata esegui I 2, quando e terminata esegui I m. X 1; y 2; x x+y; (x vale 3) y x*y (y vale 6)

28 2) Istruzioni Condizionali: ISTRUZIONI Strutturate If (C) then I; Es. if (x<=y) then z 0: Poni z=0 se x<=y; altrimenti lascia il valore di z inalterato

29 2) Istruzioni Condizionali: ISTRUZIONI Strutturate If (C) then I; C condizione, I azione Es. if (x<=y) then z 0: Poni z=0 se x<=y; altrimenti lascia il valore di z inalterato If (C) then I else I ; C condizione, I ed I azioni Es. Poni z=0 se x<=y; poni z=x-y se x>y if (x<=y) then z 0 else z x-y

30 Pseudocodice Primitivo Istruzione di assegnamento nome espressione Selezione condizionale if condizione then attività Esecuzione ripetuta while condizione do azione Procedura procedure nome Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 30

31 while ( Condizione ) Azione; ES. Calcolo n, risultato in y X 1; y 0; while (x<=n) {y y+x; x x+1} x y = =6 n n

32 repeat I while (C); X 1; Y 0; repeat {y y+x; x x+1 while (x<=n) y x (>1) 1+2=3 3 (>2) 1+2+3=6 4 (>3) n n+1 (>n)

33 repeat I while (C); X 1; Y 0; repeat {y y+x; x x+1 while (x<=n) n=0? y x (>1) 1+2=3 3 (>2) 1+2+3=6 4 (>3) n n+1 (>n)

34 repeat I while (C); X 0; Y 0; repeat {y y+x; x x+1 while (x<=n) n=0? y x (>0) 0+1=1 1 (>1) 0+1+2=3 2 (>2) n n+1 (>n)

35 Pseudocodice Primitivo Istruzione di assegnamento nome espressione Selezione condizionale if condizione then attività Esecuzione ripetuta while condizione do azione Procedura procedure nome Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 35

36 Algoritmo di ricerca sequenziale in pseudocodice Data una lista (Lista) ordinata vogliamo sapere se un elemento (ValoreCercato) è nella lista Lista ordinata: elementi ordinati in ordine decrescente da sinistra a destra Es: (1,2,6,11,12,15,21,34,56,88,97,123) è una lista ordinata di interi Es. (albero, erba, pianta, vaso) è una lista ordinata di nomi in ordine albabetico. (ricorda es. Ricerca scheda libro nello schedario della biblioteca) Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 36

37 Algoritmo di ricerca sequenziale in pseudocodice Data una lista (Lista) ordinata vogliamo sapere se un elemento (ValoreCercato) è nella lista (ricorda es. scheda libro) Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 37

38 Algoritmo di ricerca sequenziale in pseudocodice Data una lista (Lista) ordinata vogliamo sapere se un elemento (ValoreCercato) è nella lista Es.. Cerchiamo 34 nella Lista (1,2,6,11,12,15,21,34,56,88,97,123) Cerchiamo 38 nella Lista (1,2,6,11,12,15,21,34,56,88,97,123) Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 38

39 Algoritmo di ricerca sequenziale in pseudocodice Data una lista (Lista) ordinata vogliamo sapere se un elemento (ValoreCercato) è nella lista (ricorda es. scheda libro) ALGORITMO ITERATIVO: Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l ripete stessa 00/00/00 serie istruzioni 39

40 Iterazione ripetere piu volte una sequenza di operazioni Componenti del controllo iterativo. Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 40

41 Iterazione ripetere piu volte una sequenza di operazioni Ordinamento alfabetico della lista: Fred, Alex, Diana, Byron e Carol. Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 41

42 Algoritmo di ordinamento per inserimento espresso in pseudocodice. Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 42

43 Scrivere un algoritmo in pseudocodice per calcolare il massimo di una sequenza di valori. Più precisamente, scrivere una procedura max(lista) che restituisce il massimo valore in Lista, dove si assume che Lista non sia vuota e che i suoi elementi siano numeri interi positivi. Scrivere un algoritmo che calcoli il prodotto dei primi n numeri naturali. Sia Lista una lista contenente n numeri interi. Scrivere un algoritmo che calcoli la somma degli elementi di Lista. Ricorda: while (condizione) azione ES. Calcolo n, risultato in y X 1; y 0; while (x<=n) {y y+x; x x+1} 43

44 Sia A una lista contenente n numeri interi positivi (ed A[i] l elemento i-mo della lista). Si consideri il seguente algoritmo somma = 0; i = 1; A[n+1] = 10; while (A[i] < 10) i := i + 1; if (i <= n ) somma = somma +A[i] Qual è il valore di somma al termine del ciclo? Ricorda: while (condizione) azione ES. Calcolo n, risultato in y X 1; y 0; while (x<=n) {y y+x; x x+1} 44

45 Chiamate a procedure L esecuzione di una procedura conduce all esecuzione di un altra procedura ES. ProceduraA(n) if (n>100) then restituisci 0 else esegui PorceduraB(n) ProceduraB(n) c=0; while (n<100) do {n=2*n; c=c+1;} restituisci c; 45

46 Strutture ricorsive L esecuzione di una procedura conduce all esecuzione della stessa procedura su diverso input 46

47 Es. Calcolo di n! =1*2*3* *n Strutture ricorsive Base. 1!=1 In generale n!= (n-1)! * n = (n-2)! *(n-1)* (n) = (n-3)! * (n-2) *(n-1)* (n) =1*2* (n-2) *(n-1)* (n) fact(n) { if (n<=1) then restituisci 1 /*Base*/ else restituisci n * fact(n-1); 47

48 RICORSIONE L esecuzione di una procedura conduce all esecuzione della stessa procedura su diverso input Vengono avviate attivazioni multiple della procedura Di queste tutte attendono il completamento dell ultima (caso base) che è quella che viene effettivamente eseguita. fact(n) { if (n<=1) then restituisci 1 /*Caso Base - termina*/ else restituisci n * fact(n-1) }

49 RICERCA BINARIA Applicazione della nostra strategia per la ricerca della voce John in una lista ordinata. Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 49

50 Prima bozza della tecnica di ricerca binaria: Cerchiamo il valore ElementoCercato nella lista ordinata Lista Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 50

51 Algoritmo binario di ricerca in pseudocodice Cerchiamo il valore ElementoCercato nella lista ordinata Lista Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 51

52 Cerchiamo Bill nella lista Alice Bill Carol David Evelyn Fred George Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 52

53 Cerchiamo David nella lista Alice Carol Evelyn Fred George Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 53

54 Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 54

55 Tempo di computazione (Running Time) di programmi ANALISI: analizza il r.t. di un dato programma Si raggruppano input per dimensione (es. ordinamento: dimensione= numero elementi da ordinare, sisteme di n equazioni in n incognite: dimensione=n) Running time: funzione T(n), con n=dimensione input, che rappresenta il numero di istruzioni semplici usate dall algoritmo Tempo effettivo dipende da vari paramentri: velocità del processore usato, compilatore,.

56 Tempo di computazione (Running Time) di programmi Worst case (caso peggiore): su diversi input di stessa dimensione n si possono avere r.t. differenti T(n)= max tempo su qualsiasi input di dimensione n Es. ricerca iterativa di un elemento in una lista (dimensione=n = elementi nella lista) caso peggiore elemento non presente

57 Tempo di computazione (Running Time) di programmi Confronto di r.t. Dato un problema consideriamo 2 algoritmi A e B con r.t. T (n) e T (n) T (n)=100n T (n)=2n 2 T (n) n<50, T (n) < T (n) T (n) n>50, T (n) > T (n) n=100, n=1000, T (n) = 2 T (n) T (n) = 20 T (n) n

58 Tempo di computazione (Running Time) di programmi T (n)=100n T (n)=2n 2 Unità di tempo= 1ms (millisec) 1000 operazioni/sec sec (1000ms) max n per A max n per B (100n=1000*sec) ( 2n 2 =1000*sec)

59 Tempo di computazione (Running Time) di programmi T (n)=100n T (n)=2n 2 Unità di tempo= 1ms (millisec) 1000 operazioni/sec sec (1000ms) max n per A max n per B (100n=1000*sec) ( 2n 2 =1000*sec) Se calcolatori diventano 100 volte più veloci (unità di tempo =1/100 di ms operazioni/sec) In 10 sec A passa da n=100 ad n=10000 (*100) B passa da n=70 ad n=707 (*10)

60 Notazione Q-grande e r.t. approssimato Dato un programma ed un input, r.t. dipende ancora da 1. Calcolatore usato (velocità di esecuzione istruzioni) 2. Compilatore (numero istruzioni macchina/istruzione C) Quindi non ha senso parlare di tempo in sec per analizzare un algoritmo.

61 Notazione Q-grande e r.t. approssimato Dato un programma ed un input r.t. dipende ancora da 1. Calcolatore usato (velocità di esecuzione istruzioni) 2. Compilatore (numero istruzioni macchina/istruzione C) Quindi non ha senso parlare di tempo in sec per analizzare un algoritmo. Per nascondere effetti di 1. e 2. si usa la notazione Θ-grande (big-theta) che ignora le costanti Es. 4m-1=Q(m) (ignorando la costante moltiplicativa 4 e quella additiva 1)

62 Efficienza degli Algoritmi Misurata attraverso il numero di istruzioni eseguite Big theta notation: Utilizzata per rappresentare classi di efficienza Esempio: Insertion sort è Θ(n 2 ) Analisi del caso migliore (Best), del caso peggiore (worst) e del caso medio (average) Applicazione dell ordinamento per inserimento in una situazione di caso pessimo. Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 62

63 Algoritmo di ordinamento per inserimento: analisi del caso pessimo. Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 63

64 Algoritmo di ricerca binaria: analisi del caso pessimo. Brookshear Informatica XI ed Capitolo 5 l 00/00/00 64

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66 Esercizi RICORSIONE Scrivere un algoritmo in pseudocodice per calcolare il massimo di una sequenza di valori. Più precisamente, scrivere una procedura max(lista) che restituisce il massimo valore in Lista, dove si assume che Lista non sia vuota e che i suoi elementi siano numeri interi positivi. Scrivere un algoritmo che calcoli il prodotto dei primi n numeri naturali. Sia L una lista contenente n numeri interi. Scrivere un algoritmo che calcoli la somma degli elementi di L. Qual è il risultato di emmecidi(18,24), dove emmecidi è la seguente procedura? procedure emmecidi(x,y) if (X = Y) then return X else if (X > Y) then return emmecidi(x-y, Y) else return emmecidi(x, Y-X) 66