Architettura degli elaboratori 2012/2013

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1 Architettura degli elaboratori 2012/2013 Aritmetica binaria: Operazioni con i Float Michele Jazzinghen Bianchi 1 1 Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'informazione Universtià degli Studi di Trento 13 Marzo of 22

2 Alcune cose prima d'iniziare Ve l'avevo detto che avrei risposto Sul sito è presente il codice in C per un'applicazione che vi mostra la struttura in bit di un single passato via comand line. Il segno di un numero signed può venir cambiato facendo il complemento a 2 L'algoritmo di Booth è un po' incasinato. Rivediamolo... 2 of 22

3 Alcune cose prima d'iniziare Booth Algoritm Scorrere un bit alla volta, controllando quello alla sua destra In base alla coppia bisognerà riportare un valore dierente, shiftato in base al bit preso in considerazione: 00 o 11: Nulla 10: sommare il complemento a 2 del primo termine 01: sommare il primo termine Finiti i bit basta sommare tutti i termini 3 of 22

4 Cos'è successo l'ultima volta? Abbiamo visto: Operazioni con i signed Rappresentazione dei numeri decimali con Fixed Point Limite della rappresentazione Fixed Point Rappresentazione dei numeri decimali con Floating Point Conversione in Floating Points 4 of 22

5 Floating Point Idea di base In teoria le operazioni tra oating point sono molto semplici: x + f y = round(x + y) x f y = round(x y) Più precisamente: Calcolare il risultato preciso Normalizzare la mantissa Mettere a posto il resto Andare in overow se l'esponente è troppo grande Arrotondare se ci sono troppi bit nella mantissa 5 of 22

6 Floating Point Arrotondamento Il medoto standard per i oat è l'even rounding: in caso di valore in bilico arrotondare in modo che la cifra meno signicativa sia pari. Più facile da implementare a livello hardware Migliore a livello statistico in caso di operazioni multiple su più numeri arrotondati I risultati con valori arrotondati per eccesso sono sovrastimati Quelli per difetto sottostimati 6 of 22

7 Floating Point Arrotondamento Il medoto standard per i oat è l'even rounding: in caso di valore in bilico arrotondare in modo che la cifra meno signicativa sia pari. Più facile da implementare a livello hardware Migliore a livello statistico in caso di operazioni multiple su più numeri arrotondati I risultati con valori arrotondati per eccesso sono sovrastimati Quelli per difetto sottostimati Ad esempio (arrotondando al millesimo): [Arrotondato per eccesso] [Arrotondato per difetto] [A metà, pari, arrotondato per difetto] [A metà, dispari, arrotondato per eccesso] 6 of 22

8 Floating Point Arrotondamento binario L'arrotondamento in binario funziona nella stessa maniera: Un numero binario è pari se la cifra meno signicativa è 0 Un numero binario è in bilico se dopo la cifra da arrotondare troviamo of 22

9 Floating Point Arrotondamento binario L'arrotondamento in binario funziona nella stessa maniera: Un numero binario è pari se la cifra meno signicativa è 0 Un numero binario è in bilico se dopo la cifra da arrotondare troviamo Ad esempio (arrotondando all'1/8): [Arrotondato per difetto] [Arrotondato per eccesso] [A metà, pari, arrotondato per difetto] [A metà, dispari, arrotondato per eccesso] 7 of 22

10 Floating Point Moltiplicazione L'idea è semplice: ( 1) s1 M1 2 Exp1 f ( 1) s2 M2 2 Exp2 = ( 1) s M 2 Exp Segno (s) Valore (M) Esponente (Exp) s1 s2 M1 M2 Exp1 + Exp2 Normalizzazione: Se il numero è > 1 2 o 2 10, shiftate a destra ed incrementate Exp di uno. Se l'esponente va oltre il massimo andiamo in overow Arrotondiamo il numero in modo che sia contenuto nella mantissa La mantissa Ricordatevi che la mantissa è tutta la parte a destra della virgola una volta arrivati ad avere un numero nel formato 1.m k m k 1...m 1 8 of 22

11 Floating Point Esempio di moltiplicazione =? Spoilers: sarà lunghetta Passaggi: Convertire i numeri base 10 in numeri base 2 Normalizzarli (i.e. 1.mmmm moltiplicati per 2 x ) Moltiplicare i due numeri ignorando l'esponente (Il problema è sempre moltiplicare) Normalizzare il risultato & arrotondare/overow Calcolare l'esponente nale Calcolare il segno Mettere tutto assieme U. 9 of 22

12 Ok, let's rock! = = = = of 22

13 Ok, let's rock! = = = = x = M = of 22

14 Esponente e segno È stata dura, eh? Esponente: (a b x ) (c b y ) = (a c) (b x b y ) = (a c) b x+y = Segno: Exp = = = s = 0 0 = 0 11 of 22

15 Esponente e segno È stata dura, eh? Esponente: (a b x ) (c b y ) = (a c) (b x b y ) = (a c) b x+y = Exp = = = Segno: s = 0 0 = 0 Struttura nale del oat: = of 22

16 Altro esempio Partendo da due oat Float 1: = Float 2: = of 22

17 Altro esempio Partendo da due oat Float 1: = Float 2: = x = of 22

18 L'altro esempio Segno, Esponente e poi mettere tutto assieme Exp 1: = 54 Exp 2: = 209 Exp = (Exp 1 Bias) + (exp 2 Bias) + Bias = (Exp 1 + Exp 2) Bias Exp = = 136 = of 22

19 L'altro esempio Segno, Esponente e poi mettere tutto assieme Exp 1: = 54 Exp 2: = 209 Exp = (Exp 1 Bias) + (exp 2 Bias) + Bias = (Exp 1 + Exp 2) Bias Exp = = 136 = Sign: Sign 1 Sign 2 = 1 0 = 1 13 of 22

20 L'altro esempio Segno, Esponente e poi mettere tutto assieme Exp 1: = 54 Exp 2: = 209 Exp = (Exp 1 Bias) + (exp 2 Bias) + Bias = (Exp 1 + Exp 2) Bias Exp = = 136 = Sign: Sign 1 Sign 2 = 1 0 = 1 Risultato: of 22

21 L'altro esempio Segno, Esponente e poi mettere tutto assieme Exp 1: = 54 Exp 2: = 209 Exp = (Exp 1 Bias) + (exp 2 Bias) + Bias = (Exp 1 + Exp 2) Bias Exp = = 136 = Sign: Sign 1 Sign 2 = 1 0 = 1 Risultato: of 22

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23 Danni? Danni. Due errori piccoli non si annullano: ne fanno uno grosso. 25 febbraio Prima guerra del Golfo, codename Operation: Desert Storm. A Dharan, in Arabia Saudita, c'è un accampamento americano protetto da una batteria MIM-104 di missili Patriot, progettati specicatamente come missili Terra-Aria con funzione anti balistica. Quindi nessun problema, giusto? 15 of 22

24 Danni? Danni. Due errori piccoli non si annullano: ne fanno uno grosso. 25 febbraio Prima guerra del Golfo, codename Operation: Desert Storm. A Dharan, in Arabia Saudita, c'è un accampamento americano protetto da una batteria MIM-104 di missili Patriot, progettati specicatamente come missili Terra-Aria con funzione anti balistica. Quindi nessun problema, giusto? 15 of 22

25 LOL, arrotondare Quel giorno uno Scud iraqeno se ne passa indisturbato oltre l'area di rilevamento del sistema e fa saltare in aria una caserma con 28 soldati e ne ferisce un centinaio. 16 of 22

26 LOL, arrotondare Quel giorno uno Scud iraqeno se ne passa indisturbato oltre l'area di rilevamento del sistema e fa saltare in aria una caserma con 28 soldati e ne ferisce un centinaio. Nuove tecnologie segrete degli stati cagnaglia? 16 of 22

27 LOL, arrotondare Quel giorno uno Scud iraqeno se ne passa indisturbato oltre l'area di rilevamento del sistema e fa saltare in aria una caserma con 28 soldati e ne ferisce un centinaio. Nuove tecnologie segrete degli stati cagnaglia? Delle spie che avevano disabilitato i sistemi di sicurezza? 16 of 22

28 LOL, arrotondare Quel giorno uno Scud iraqeno se ne passa indisturbato oltre l'area di rilevamento del sistema e fa saltare in aria una caserma con 28 soldati e ne ferisce un centinaio. Nuove tecnologie segrete degli stati cagnaglia? Delle spie che avevano disabilitato i sistemi di sicurezza? Botta di sga? 16 of 22

29 LOL, arrotondare Quel giorno uno Scud iraqeno se ne passa indisturbato oltre l'area di rilevamento del sistema e fa saltare in aria una caserma con 28 soldati e ne ferisce un centinaio. Nuove tecnologie segrete degli stati cagnaglia? Delle spie che avevano disabilitato i sistemi di sicurezza? Botta di sga? No, ovviamente! Anche quì ci niamo di mezzo noi. 16 of 22

30 LOL, arrotondare Vi ricordate la parte sui Fixed Points? Fondamentalmente il sistema automatico di controllo dei MIM-104, per tenere traccia del tempo, moltiplicava per 1/10 il tempo tracciato dall'orologio in tempo (che era in decimi). Per fare questo venivano utilizzati dei decimali in xed points da 24 bits. Solo che, come ricorderete, le operazioni con frazioni che non sono somme di potenze di due vengono arrotondate per speciche. Un bel modo per dire che non possiamo rappresentare questi numeri = Noi, però, possiamo avvalerci solo di un numero nito di bit, quindi la rappresentazione a 24 bit sarà: Introducendo un errore, per ogni operazione, pari a: 17 of

31 LOL, arrotondare L'uptime mi uccide. Il sistema di controllo del MIM-104 era acceso da oltre 100 ore. Ora, se fate due conti, questo vuol dire che l'errore accumulato era di 100h 60 m h 60 s = 0.342s m 18 of 22

32 LOL, arrotondare L'uptime mi uccide. Il sistema di controllo del MIM-104 era acceso da oltre 100 ore. Ora, se fate due conti, questo vuol dire che l'errore accumulato era di 100h 60 m h 60 s = 0.342s m Nice. In.342s uno Scud si fa circa 700m. Questo basta per fare in modo che un sistema non si accorga neanche della presenza del missile e non lo intercetti. youhadonejob.jpg 18 of 22

33 Floating Point Somma Anche quì l'idea di base è abbastanza semplice: ( 1) s1 M1 2 Exp1 + f ( 1) s2 M2 2 Exp2 = ( 1) s M 2 Exp Per semplicità, nei calcoli, assumiamo che Exp1 Exp2 Avremo quindi: Exp = Exp1 S ed M saranno il risultato della somma (o sottrazione) dei due termini allineati M andrà comunque normalizzata: Se M> 1 allora dobbiamo shiftare a destra, aumentando Exp di 1 Se M< 1 allora dobbiamo shiftare a sinistra, diminuendo Exp di 1 Settiamo overow ed arrotondiamo se necessario. 19 of 22

34 Floating Point Esempio di somma Float 1: = Float 2: = of 22

35 Floating Point Esempio di somma Float 1: = Float 2: = Exp = Max(Exp1, Exp2) = Exp1 = 8 M2 = = = of 22

36 Floating Point Esempio di somma Float 1: = Float 2: = Exp = Max(Exp1, Exp2) = Exp1 = 8 M2 = = = Risultato: = of 22

37 Floating Point Esempio di sottrazione Float 1: = Float 2: = of 22

38 Floating Point Esempio di sottrazione Float 1: = Float 2: = Exp = Max(Exp1, Exp2) = Exp1 = 14 M2 = = = of 22

39 Floating Point Esempio di sottrazione Float 1: = Float 2: = Exp = Max(Exp1, Exp2) = Exp1 = 14 M2 = = = Risultato: = of 22

40 Floating Point Divisione Lasciata per ultima perché io odio la divisione (E poi saltano in aria caserme). 1 Come mai? 22 of 22

41 Floating Point Divisione Lasciata per ultima perché io odio la divisione (E poi saltano in aria caserme). Voi non la odiavate alle ele... Med... Super... Vabbeh, quando si fa? 1 Come mai? 22 of 22

42 Floating Point Divisione Lasciata per ultima perché io odio la divisione (E poi saltano in aria caserme). Voi non la odiavate alle ele... Med... Super... Vabbeh, quando si fa? È molto simile alla moltiplicazione, cambiano solo due cose: Fare la divisione invece che il prodotto tra le mantisse Exp, alla ne, sarà (Exp1 - Exp 2) + Bias 1 Lo faremo la prossima volta. 1 Come mai? 22 of 22