L'algebra di Boole falso vero livello logico alto livello logico basso Volts

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1 L algebra di Boole L'algebra di Boole comprende una serie di regole per eseguire operazioni con variabili logiche. Le variabili logiche possono assumere solo due valori. I due possibili stati che possono assumere le variabili logiche sono tali da escludersi a vicenda: una variabile può assumere o il valore falso o il valore vero. Questi valori, all'interno dei calcolatori, sono abbinati a due tensioni differenti denominate livello logico alto e livello logico basso. Volts 5 t

2 Funzioni logiche Una funzione matematica definita per variabili reali e a valori reali, come ad esempio y = a 2 + b 2 + c 2, fa corrispondere ai tre numeri reali a, b, c un altro numero reale y ottenuto con una certa regola che definisce la funzione stessa. Anche per le variabili logiche si possono definire delle funzioni, che assumeranno valore vero o falso.

3 Le operazioni fondamentali Le operazioni fondamentali dell'algebra di Boole sono tre: -la somma logica (OR) -il prodotto logico (AND) -la negazione (NOT) Attraverso queste è possibile realizzare qualsiasi funzione logica ed implementare le operazioni più complesse che un calcolatore è in grado di compiere.

4 Le operazioni fondamentali Dal punto di vista elettronico queste funzioni elementari sono realizzate con circuiti detti porte logiche, ciascuna indicata da un suo simbolo :

5 Porta logica OR La funzione logica OR fornisce un'uscita "vera" quando almeno un ingresso è "vero". Analogamente, una porta logica OR fornisce un livello logico " o livello logico alto quando almeno un ingresso presenta un livello logico "". Ingresso A Ingresso B Uscita OUT

6 Porta logica AND La funzione logica AND fornisce un'uscita "vera" solo quando tutti gli ingressi sono "veri". Analogamente, una porta logica AND fornisce un livello logico "" solo quando tutti gli ingressi presentano un livello logico "". Ingresso A Ingresso B Uscita OUT

7 Porta logica NOT La funzione logica NOT fornisce un'uscita "vera" quando il suo ingresso presenta una condizione "falsa" e viceversa. Analogamente, una porta logica NOT fornisce un livello logico "" quando il suo ingresso presenta un livello logico "" e viceversa. Ingresso A Uscita OUT

8 Funzioni logiche AND e OR Biomeccanica del ginocchio

9 Funzioni logiche AND e OR

10 Funzioni logiche AND e OR Biomeccanica del ginocchio

11 Funzioni logiche AND e OR

12 Trova risulta7: Funzioni logiche AND e OR

13 Le virgolette indicano di cercare la frase intera

14 Trova risulta7: Funzioni logiche AND e OR

15 Trova risulta7: Funzioni logiche AND e OR

16 Trova risulta7: Funzione logica NOT

17 Funzione logica NOT

18 Porta logica XOR La funzione logica XOR (o OR ESCLUSIVO) fornisce un'uscita "vera" solo quando i due ingressi presentano le condizioni logiche opposte. Analogamente, una porta logica XOR fornisce un livello logico "" solo quando i due ingressi presentano livelli logici opposti. Ingresso A Ingresso B Uscita OUT

19 Porta logica NAND (NOT AND) La funzione logica NAND fornisce un'uscita "falsa" solo quando tutti gli ingressi sono "veri". Analogamente, una porta logica NAND fornisce un livello logico "" solo quando tutti gli ingressi presentano un livello logico "". Ingresso B Ingresso A Uscita OUT

20 Porta logica NOR (NOT OR) La funzione logica NOR fornisce un'uscita "falsa" quando almeno un ingresso è "vero". Analogamente, una porta logica NOR fornisce un livello logico "" quando almeno un ingresso presenta un livello logico "". Ingresso B Ingresso A Uscita OUT

21 Porta logica XNOR La funzione logica XNOR fornisce un'uscita "falsa" solo quando i due ingressi presentano le condizioni logiche opposte. Analogamente, una porta logica XNOR fornisce un livello logico "" solo quando i due ingressi presentano livelli logici opposti. Ingresso B Ingresso A Uscita OUT

22 Somma binaria attraverso le funzioni logiche Una delle funzioni principali della ALU (Arithmetic- Logic Unit) di un calcolatore è l'uso delle funzioni logiche per svolgere operazioni aritmetiche. La base di queste operazioni è la somma binaria: se riusciamo ad eseguire la somma binaria tra due variabili binarie, possiamo anche sottrarle e, complicando la logica, moltiplicarle e dividerle.

23 Operazioni aritmetiche su numeri binari STESSE REGOLE VARIABILI LOGICHE! Addizione: Esempi: + = con riporto + = con riporto + = con riporto + = con riporto + = + = + = + =

24 Somma binaria attraverso le funzioni logiche Partiamo dalla somma di due bit, i cui possibili valori sono e. Ci sono solo 4 possibili combinazioni (il carry rappresenta il riporto): a b a+b carry

25 Somma binaria Come si nota, il risultato di a +b si ottiene con l'xor di a e b: a+b = a XOR b Il resto (carry) si ottiene invece con l'and: a b a+b carry carry = a AND b Il circuito logico è presentato nella seguente figura ed è detto semisommatore.

26 Somma binaria Dato che abbiamo bisogno di addizionare numeri composti da più bit, è necessario considerare una variante del precedente metodo, che consenta di sommare più bit tenendo conto del riporto della somma precedente. Ci serve quindi un addizionatore a 3 bit, detto sommatore completo.

27 Possiamo scomporre la somma in due semisomme, ovvero sommando a e b ed il risultato con c. Se una delle somme o entrambe hanno prodo;o un riporto, allora il carry verrà se;ato a. Il circuito equivalente è mostrato nella seguente figura: E' equivalente ad usare due semisommatori e una porta OR per calcolare il carry. Possiamo dare quindi la seguente formula logica: a+b+c = a XOR b XOR c carry = (a AND b) OR (c AND (a XOR b)) Possiamo quindi me;ere in cascata più sommatori collegando l'uscita di carry ad una delle entrate per formare un addizionatore a più bit.

28 Somma binaria La tabella seguente illustra tutti i possibili stati degli input a b c e degli output somma e carry. a b c a+b+c carry

29 Porte logiche Esempio di circuito integrato (chiamato anche microchip o semplicemente chip) contenente 4 porte logiche NAND: il chip 74.

30 Immagini Definizione generica di immagine: Superficie 2D di dimensioni finite con una determinata distribuzione di intensità luminosa e di colori

31 Immagini analogiche Nelle immagini analogiche l intensità luminosa varia con continuità muovendosi lungo il piano

32 Immagini digitali Digitalizzazione: Rappresentazione numerica di un immagine Si ottiene in due fasi: Campionamento spaziale Quantizzazione

33 Immagini digitali Campionamento spaziale: suddivisione dell immagine in rettangoli con coordinate (x,y) x = numero colonna y = numero riga Quantizzazione: assegnazione di un numero ad ogni rettangolo che ne rappresenta l intensità luminosa.

34 Immagini digitali Possiamo avere: Immagini reali: acquisite da una scena reale mediante telecamera, scanner, Immagini artificiali o di sintesi: generate all interno del calcolatore Non rappresentano necessariamente oggetti reali Possono simulare scene reali

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36 Immagini digitali Immagini vettoriali. Nella grafica vettoriale un'immagine è descritta mediante un insieme di forme geometriche che definiscono punti, linee, curve e poligoni ai quali possono essere attribuite diverse intensità luminose (o diversi colori e sfumature).

37 Immagine tratta da wikipedia Immagini digitali Effetto dell ingrandimento sulle immagini vettoriali e raster Immagini vettoriali Immagini raster

38 Immagini digitali Immagini raster o bitmap. Nell ambito delle immagini digitali il termine raster (= trama, reticolo, griglia) indica la griglia ortogonale di punti che costituisce l immagine. Nella grafica raster l'immagine viene vista come una scacchiera e ad ogni elemento della scacchiera, chiamato pixel, viene associata una specifica intensità luminosa (o un colore).

39 Immagini digitali Ogni quadratino di questa griglia costituisce un pixel. Ad ogni pixel è assegnato un numero (binario) che esprime l intensità luminosa o il colore in quel punto dell immagine.

40 Nel caso di immagini in bianco e nero basta un bit per descrivere l intensità luminosa di ciascun pixel. Se contiamo i pixel a partire dal più in alto a sx, possiamo assegnare a questa figura geometrica la seguente serie di bit: che saranno memorizzati in un file, per es: ellisse.bmp Immagini digitali

41 Nel caso di immagini in bianco e nero basta un bit per descrivere l intensità luminosa di ciascun pixel. Se contiamo i pixel a partire dal più in alto a sx, possiamo assegnare a questa figura geometrica la seguente serie di bit: che saranno memorizzati in un file, per es: ellisse.bmp Immagini digitali

42 Immagini digitali Nell esempio precedente la griglia era formata da pochissimi pixel, comportando una scarsa risoluzione dell immagine. Solitamente, nelle immagini digitali acquisite con le moderne fotocamere, i punti sono molto più numerosi consentendo immagini più dettagliate quando vengono stampate o visualizzate su un monitor.

43 Immagini digitali Più pixel sono usati per rappresentare un'immagine, più il risultato assomiglierà all'immagine originale. La quantità di pixel di cui è formata l immagine può essere espressa: da un solo numero, come tre megapixel (es.: fotocamera con tre milioni di pixel) da una coppia di numeri, es.: schermo 64 x 48, che ha 64 pixel in larghezza e 48 in altezza perciò con un numero totale di pixel di 64*48 = 372.

44 Immagini digitali Misura per la risoluzione: ppi = pixel per inch (pixel per pollice) misura riferita all immagine digitale

45 Immagini digitali Risoluzione in numero di pixel e dimensione del singolo pixel determinano il livello di dettaglio. Ad esempio un immagine da 62 x 43 pixel e con risoluzione 72 ppi avrà dimensioni fisiche: Larghezza = 62/72 = 8,6 pollici = 2,9 cm Altezza = 43/72 = 5,98 pollici = 5,2 cm

46 Immagini digitali Confronto tra due risoluzioni

47 Immagini digitali Altra misura per la risoluzione: dpi = dots per inch (punti per pollice) per le periferiche (scanner, stampanti,monitor) Esempio: risoluzione di scansione, di stampa od i visualizzazione.

48 Immagini digitali Risoluzione della stampante Punti (dpi) di inchiostro per unità di lunghezza delle stampanti Tipiche risoluzioni delle stampanti: getto di inchiostro: 5, 3 o 6 dpi laser: 3 o 6 dpi

49 Immagini digitali Risoluzione del monitor Punti visualizzati per unità di lunghezza del monitor (dpi) Standard: 72 dpi, 96 dpi

50 Immagini digitali Qual è il legame fra dimensioni in pixel e dimensioni fisiche delle immagini digitali? Le dimensioni fisiche cioè quelle visualizzate sul monitor, ad esempio, dipendono da: dimensioni in pixel dell'immagine caratteristiche del monitor (grandezza e impostazione del monitor stesso)

51 Immagini digitali Consideriamo ad esempio un immagine da 8 x 6 pixel e visualizziamola su un monitor da 5 pollici con impostazione 8 x 6). Quanto apparirà grande? In questo caso l immagine riempirà tutto lo schermo

52 Immagini digitali Consideriamo la stessa immagine (8 x 6) ed un monitor 2 pollici con impostazione 8 x 6. Anche in questo caso l immagine riempie tutto lo schermo, ma i singoli pixel sono più grandi

53 Immagini digitali Consideriamo sempre la stessa immagine (8 x 6) e lo stesso monitor da 2 pollici ma con impostazione 24 x 768. In questo caso i singoli pixel saranno più piccoli, così come l immagine complessiva che andrà ad occupare solo una parte dello schermo.

54 Immagini digitali Qual è il legame fra risoluzione in pixel dell immagine e dimensioni finali sul monitor? Dimensione immagini sul monitor Pixel convertiti in punti del monitor Esempio Immagine da x pollici, risoluzione 44 ppi, monitor 72 dpi 2 x 2 pollici sullo schermo

55 Immagini digitali Campionamento spaziale: suddivisione dell immagine in rettangoli con coordinate (x,y) x = numero colonna y = numero riga Quantizzazione: assegnazione di un numero ad ogni rettangolo che ne rappresenta l intensità luminosa.

56 Immagini digitali E semplice aumentare il numero di pixel in una immagine. Ad esempio potremmo dividere ciascun pixel di questa immagine in quattro, quadruplicando il numero di pixel totali. Con questa procedura, detta resampling (ricampionamento), non otteniamo in realtà nessun aumento dell informazione contenuta nell immagine (e quindi del suo dettaglio). Ciascun pixel nero sarebbe sostituito da 4 pixel neri e l immagine ci apparirebbe esattamente come prima.

57 Immagini digitali La quantità effettiva di informazione contenuta nell immagine digitale dipende dalla risoluzione di input cioè dalla densità delle informazioni catturate nella digitalizzazione. Esempi: Scanner = risoluzione di scansione Fotocamera digitale = pixel totali sul sensore CCD (es. 68 x 2)

58 Immagini digitali Un immagine digitale è una rappresentazione del mondo reale e non una copia. Tale rappresentazione è ottenuta trasformando una immagine continua (immagine reale) in un immagine discreta (immagine digitale). Per quanto il Campionamento spaziale possa essere accurato, la digitalizzazione comporta comunque la perdita di una quota di informazione.

59 Immagini digitali Quantizzazione: Assegnazione ai pixel dei valori di intensità luminosa.

60 Quantizzazione: Immagini digitali I valori che rappresentano l intensità luminosa campionata sono in genere numeri interi e la loro conservazione richiede gruppi di bit di lunghezza appropriata. Ricordiamo che il numero di valori rappresentabili dipende dal numero di bit: con N bit si hanno 2 N valori possibili.

61 Quantizzazione: Immagini digitali Il numero di bit per pixel definisce la gamma dinamica o profondità. La profondità definisce il grado di precisione della rappresentazione numerica del segnale campionato.

62 Immagini digitali I due parametri rilevanti per la determinazione della qualità di un immagine sono quindi: - la risoluzione (data dal numero di pixel per unità di lunghezze (pollici)). E legata all operazione di campionamento spaziale - la profondità (numero di bit per pixel). E legata all operazione di quantizzazione.

63 Immagini digitali Es: A parità di profondità (8 bit/pixel), la risoluzione influenza drammaticamente la qualità di queste due immagini

64 Immagini digitali Es: a parità di risoluzione, il numero di livelli di grigio utilizzati contribuisce a definire nettamente i contorni delle forme.

65 Immagini digitali Il numero di livelli di grigio è legato al contrasto, che rappresenta una delle caratteristiche più importanti delle immagini digitali. Il termine contrasto indica la differenza in termini di intensità luminosa fra i punti di un immagine

66 Immagini digitali La distribuzione delle frequenze dei livelli di grigio di una immagine digitale può essere rappresentata con un istogramma dove, sull asse x sono rappresentati i livelli di grigio e su y il numero di pixel con quel livello di grigio. In un immagine correttamente contrastata tale distribuzione copre in maniera continua tutti i livelli rappresentati

67 Immagini digitali Esempio di immagine con basso contrasto: di tutta la scala dei valori di grigio possibili, solo un area molto ristretta è effettivamente presente nell immagine

68 Immagini digitali Esempio di immagine con contrasto non corretto, ma in questo caso il motivo è che i livelli dell immagine sono molto pochi e distribuiti in maniera discontinua lungo la scala dei grigi; distribuzioni di questo tipo sono spesso il risultato di un eccessivo incremento di contrasto.

69 Immagini digitali Esercizio occupazione di memoria. Supponiamo di voler scannerizzare la seguente immagine: Stampa x5 cm Risoluzione 3 ppi Profondità 24 bit Quanta memoria verrà occupata sul pc? x 5 cm = 3,94 x 5,9 inch (3*3,94) x (3*5,9)= 82 x 773 pixel pixel * 3 byte = byte quasi 6 MB (5,9958 )