Algebra di Boole e reti logiche. Giovedì 8 ottobre 2015

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1 Algebra di Boole e reti logiche Giovedì 8 ottobre 2015

2 Punto della situazione Abbiamo visto le varie rappresentazioni dei numeri in binario e in altre basi e la loro aritmetica Adesso vedremo la logica digitale usata dal calcolatore nell ottica di Costruire l ALU, Unità Logica Aritmetica, e altri moduli combinatorici L ALU è usata da quasi tutti i tipi di istruzioni dell architettura che studieremo

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5 AND ovvero il prodotto AND(x,y) con x, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se entrambe le variabili sono poste a Vero, Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 AND(x,y) corrisponde al prodotto x y. AND(F,F) = F AND(F,V) = F AND(V,F) = F AND(V,V) = V 0 0 = = = = 1 x y x y Tavola di verità

6 OR ovvero la somma OR(x,y) con x, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se almeno una variabile è posta a Vero, Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 OR(x,y) corrisponde alla somma x + y, in cui 1+1 = 1. OR(F,F) = F OR(F,V) = V OR(V,F) = V OR(V,V) = V = = = = 1 x y x + y Tavola di verità

7 NOT ovvero la negazione NOT(x) con x variabile che può assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se la variabile è posta a Falso; Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 NOT(x) corrisponde alla negazione. NOT(V) = F NOT(F) = V 0 = 1 1 = 0 x x

8 XOR o OR esclusivo XOR(x,y) con x, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso. Risultato Vero se una variabile è posta a Vero, ma non entrambe, Falso, altrimenti. Interpretando Vero come 1 e Falso come 0 XOR(x,y) corrisponde a x y + x y = x y XOR(F,F) = F XOR(F,V) = V XOR(V,F) = V XOR(V,V) = F 0 0 = = = = 0 x y x y

9 f 1 (0,1)=0, f 1 (1,1) = 1 f 2 (0,1,0)= = 1 f 3 (0,0,0)= 1 + 0(0 + 1) = 1 La combinazione delle variabili e degli operatori viene chiamata espressione logica.

10 Mappa di verità o tavola di verità: tabella che definisce i valori dell output per ogni possibile input

11 Espressione SOP Letterale = variabile o la sua negazione Un espressione booleana è in forma normale SOP (Sum Of Products) quando è l OR/somma di AND/prodotto di letterali x 1x2x3 x1 x3 x1x3 Mintermine = prodotto di letterali in cui compare ogni variabile o vera o negata Una espressione normale SOP è in forma canonica SOP se i suoi termini sono tutti mintermini x 1x2x3 x1x2 x3 x1x2 x3 Scambiando Somma con Prodotto si definiscono le espressioni POS

12 Espressione POS Letterale = variabile o la sua negazione Un espressione booleana è in forma normale POS (Product Of Sums ) quando è il prodotto (AND) di somme (OR) di letterali ( x2 x3)( x1 x3) Maxtermine = somma di letterali in cui compare ogni variabile o vera o negata Una espressione normale POS è in forma canonica POS se i suoi termini sono tutti maxtermini ( x1 x2 x3)( x1 x2 x3)

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17 Circuito per l AND

18 Circuito per l OR

19 Circuito per lo XOR

20 Rete logica Una rete logica è un interconnessione di porte logiche AND, OR, NOT, in modo che ogni uscita da una porta alimenti al più un ingresso di una porta e non vi sono cicli

21 Valori in uscita x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1

22 Analisi di una rete: dalla rete alla funzione Ogni rete logica calcola una funzione booleana dei suoi ingressi f(x 1,x 2,x 3 ) = x 3 ( x 1. x 2 ) + (x 1 +x3)

23 Risultato principale Corrispondenza fra funzioni logiche e reti logiche: Per ogni funzione logica possiamo costruire una rete logica che la realizza e viceversa Ogni funzione logica può essere espressa in termini soltanto di AND, OR, NOT. Analisi: data una rete determinare la funzione calcolata Sintesi: data una funzione logica costruire una rete che la calcola

24 Analisi e Sintesi di reti Analisi è abbastanza semplice: Calcola per ogni porta logica di cui sono specificati tutti gli input l espressione booleana associata all output Fino ad ottenere l espressione associata al terminale d uscita della rete Vediamo ora la sintesi di una funzione logica f: 1. Da f alla tavola di verità 2. Dalla tavola di verità all espressione «SOP» 3. Dall espressione «SOP» ad una rete a due stadi: il primo di porte AND, il secondo con una sola porta OR

25 Tavole di verità di mintermini Per ogni mintermine, la tavola di verità ha un solo valore 1. Per esempio: se f = x 3 x 2 x 1 allora avrà un solo 1 in corrispondenza di x 3 =0, x 2 =1, x 1 =1. Ricorda: Il prodotto è 1 sse ogni fattore è 1 x 3 x 2 x 1 f Viceversa, se la tavola di verità di f ha un solo valore 1 necessariamente f è un mintermine f = x 3 x 2 x 1

26 Dalla tavola di verità alla SOP Se invece la tavola di verità ha più occorrenze di 1: x 3 x 2 x 1 f x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 f ha valore 1 se: x 3 =0, x 2 =1, x 1 =1 oppure x 3 =1, x 2 =0, x 1 =1 Espressione canonica SOP f = x3 x2 x1 + x3 x2 x1 1. Per ogni 1 nella tavola di verità trovare il mintermine corrispondente 2. Sommare i mintermini ottenuti

27 Sintesi di una rete: dalla funzione alla rete Quindi abbiamo che: Per ogni funzione logica possiamo costruire una rete logica che la realizza (e viceversa) Ogni funzione logica può essere espressa in termini soltanto di AND OR NOT.

28 Dalla tavola di verità alla SOP: esempio 1 Supponiamo di avere una funzione f data tramite la sua tavola di verità Espressione SOP

29 Dalla tavola di verità alla SOP: esempio 2 Dalla tavola di verità all espressione SOP Espressione SOP

30 Dall espressione SOP alla rete a due livelli: un livello varie porte AND, un secondo livello solo una porta OR

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32 Lo vedremo nelle prossime lezioni

33 Riferimenti Appendice B di [PH] «The Basic of Logic Design»: Gates, Truth tables, and Logic Equations: B.1, B.2 Nella III edizione è l Appendice C Oppure [P] cap. 3, parr. 4.1, 4.2

34 Esercizio (maggioranza) Sia f(x,y,z) la funzione che vale 1 se (e solo se) la maggioranza delle variabili vale 1. Effettuare la sintesi di f: 1. Da f alla tavola di verità 2. Dalla tavola di verità all espressione SOP 3. Dall espressione SOP ad una rete a due stadi: il primo di porte AND, il secondo con una sola porta OR

35 Esercizi Disegnare una rete logica che realizza lo XOR fra due variabili L operazione di NAND di 2 variabili è la negazione dell AND, mentre quella di NOR è la negazione dell OR.