Codifica. Grandezze analogiche. Grandezze digitali RAPPRESENTAZIONE DELL INFORMAZIONE. Calcolatori digitali I NUMERI...

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1 Codifica RAPPRESENTAZIONE DELL INFORMAZIONE non ambigua dell informazione attraverso una sequenza ben formata di simboli Calcolatori digitali I calcolatori moderni sono detti calcolatori digitali: digit in inglese significa cifra Tutte le informazioni vengono rappresentate in forma digitale: numeri caratteri Immagini Video suoni Numeri Digitali Grandezze analogiche Grandezza analogica: può assumere un insieme non numerabile (cioè continuo) di valori. ESEMPI: l intensità di corrente che passa attraverso un filo il tempo lo spazio Grandezze digitali Grandezza digitale: può assumere un insieme numerabile di valori ESEMPI: il numero di granelli di sabbia di una spiaggia caraibica il numero di stelle e pianeti nell universo I NUMERI... NOTA: Se la grandezza può assumere valori all interno di un insieme finito, allora è detta finita

2 dei numeri I numeri Sono entità matematiche astratte; Vanno distinti dalla loro rappresentazione. Sistema di Numerazione Alfabeto + Regole di rappresentazione Il numero cardinale quattro: cardinalità di insiemi con quattro elementi Sue possibili Rappresentazioni: Unitaria: IIII Sistema Numerico Romano: IV Sistema decimale: 4 ecc. Sistema Decimale: {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Sistema Numerico Romano: {I, V, X, L, C, D, M} Sistema Unario: {I} Sistemi Additivi/Sottrattivi Sistemi Posizionali Sistemi Additivi/Sottrattivi Il significato dei simboli è indipendente dalla posizione in cui compaiono nella successione dei simboli che compongono il numero Il Sistema Numerico Unario: Alfabeto: {I} = {} Regola di rappresentazione: n simboli giustapposti rappresentano il numero n Es: IIIIIIIIIIII= 2 Il Sistema Numerico Romano: Alfabeto: {I, V, X, L, C, D, M} = {, 5,, 5,, 5, } Regola di rappresentazione: si sommano i diversi contributi (si sottrae quando si ha piccolo grande es. IV) Es: MCCXXXIV= =234 Sistemi posizionali Il significato dei diversi simboli cambia in funzione della posizione in cui compaiono nella successione di simboli che compongono un numero Ad esempio nel sistema decimale i numeri 32 e 23 sono due numeri diversi Vantaggi: Lettura più immediata più concisa Maggiore efficienza nelle operazioni aritmetiche Sistema Decimale Sistema di numerazione arabo, in Europa dal Medio Evo Alfabeto: A= {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A seconda della posizione della cifra moltiplico per la corrispondente potenza di (base): 437= = In generale una sequenza di n cifre rappresenta: a n-... a, a = a + a a n- n-, (a i A) Notazioni posizionali in base b b> Alfabeto = {,,, b-} (insieme di cifre) Numero = sequenza di cifre Interpretazione: a seconda della posizione della cifra moltiplico per la corrispondente potenza di b (base): a n an... aa = a b + a b an = i= b 5 b 4 n b 3 b 2 i ( a i b ) b b b n

3 Quanti numeri e che valori in base b a a... a a Con n cifre in base b: ( n n ) b Quanti numeri posso rappresentare? Il sistema binario (base 2) Alfabeto = {,} Il valore (in base ) di una sequenza in base 2 di n cifre è: Ciascuna cifra può assumere b valori, quindi, a, K, an n volte a b Kb b = b n Quali valori? n, K, b per il calcolatore Informazione (Parole, Img, ) CODIFICA Rappr. Binaria: () due Base 2 due =? Alfabeto binario: costituito da due simboli ( e ) Bit: Unità elementare di informazione per il calcolatore Rappresentato da un dispositivo bistabile: Assenza o presenza di Tensione elettrica (RAM) Magnetizzazione (dischi) Luce (CD-Rom) Byte: sequenza di 8 bit Base 2 due = = = =44 dieci Il sistema esadecimale (base 6),, 2, 3, 4, 5 Alfabeto A 6 = {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} Il valore (in base ) di una sequenza in base 6 di n cifre è:

4 Base 6 AF sedici = = = = = Base 6 sedici = = 6 2 = = 256 dieci =28 dieci Base 6 Base 6 F8 sedici =? F8 sedici = = = =3848 dieci posizionale: proprietà notevoli (pn) seguito da n rappresenta b n ; ad es. base : = 5 base 2: = 2 5 base 8: = 8 5 base 6: = 6 5 (pn2) n cifre massime rappresentano b n -; ad es: base : = 5 - base 2: = base 8: = base 6: FFFFF = Confrontiamo le basi 2 e 6 Qual è il massimo valore rappresentabile con 3 cifre in base 2: = 7 dieci = due in base 6: = 495 dieci = FFF sedici

5 base base b Si usano divisione intera div e resto mod Proprietà notevole delle rappresentazioni in base b: (n mod b) rappresenta la cifra c, cioè la meno significativa della rappresentazione di n in base b (n div b) rappresenta tutte le rimanenti cifre più significative Ad es., nella base : (537 mod ) rappresenta 7 (537 div ) rappresenta 53 La rappresentazione emerge attraverso divisioni intere successive, raccogliendo i resti, che corrispondono alle cifre, partendo da quella meno significativa base base b Per esprimere il numero decimale x in base b: ) Calcolare x mod b e scriverlo come cifra in base b 2) Calcolare x div b e ripetere l'operazione ) fino a quando non si ottiene 3) Riportare le cifre ottenute al passo ) dall ultima alla prima Esempio: trasformazione in base 2 Esempio: trasformazione in base : 2 = 82 resto 82 : 2 = 9 resto 9 : 2 = 45 resto 45 : 2 = 22 resto 22 : 2 = resto : 2 = 5 resto 5 : 2 = 2 resto 2 : 2 = resto : 2 = resto Quindi (364) dieci = =() due 79 : 2 = 89 resto 89 : 2 = 44 resto 44 : 2 = 22 resto 22 : 2 = resto : 2 = 5 resto 5 : 2 = 2 resto 2 : 2 = resto : 2 = resto Quindi (79) dieci = =() due Esempio: trasformazione in base 2 Esempio: trasformazione in base 2 Scrivete il numero 52 in base 2 52 : 2 = 26 resto 26 : 2 = 3 resto 3 : 2 = 65 resto 65 : 2 = 32 resto 32 : 2 = 6 resto 6 : 2 = 8 resto 8 : 2 = 4 resto 4 : 2 = 2 resto 2 : 2 = resto : 2 = resto Quindi 52 dieci = = due

6 Esempio: trasformazione in base : 6 = 22 resto 2 = C 22 : 6 = resto 6 = 6 : 6 = resto = Esempio: trasformazione in base 6 79 : 6 = resto 4 = E : 6 = 6 resto 5 = F 6 : 6 = resto 6 = 6 Quindi 79 dieci = 6FE sedici Quindi 364 dieci =6C sedici Esempio: trasformazione in base 6 Scrivete il numero 52 dieci in base 6 Esempio: trasformazione in base 6 52 : 6 = 325 resto = 325 : 6 = 2 resto 5 = 5 2 : 6 = resto 4 = 4 : 6 = resto = Quindi 52 dieci = 45 sedici In un computer... Ad esempio...i numeri naturali si rappresentano semplicemente in base 2 Usando un byte (8 bit) si possono rappresentare (2 8 =256) numeri da a 255 Se si vogliono rappresentare numeri più grandi, occorre usare più di un byte! Con 2 byte (6 bit) si possono rappresentare numeri da fino a (2 6 -) = dieci = = due Con 4 byte (32 bit) si possono rappresentare numeri da fino a (2 32 -) cioè oltre 4 miliardi

7 I primi 6 numeri binari Numeri Interi Relativi = = = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = = = 2 = 3 = 4 = 5 Come si possono rappresentare numeri interi relativi? Modulo e Segno in complemento Modulo e Segno Codifica con modulo e segno: consiste nell indicare il segno seguito dal valore assoluto, come succede normalmente nella codifica decimale. Il primo bit indica il segno: per positivo per negativo Gli altri n bit rappresentano il valore assoluto del numero modulo e segno Esempi: = 3 = = = 3 Difetto: duplica la rappresentazione del numero, cosa che può complicare l esecuzione ed il controllo delle operazioni aritmetiche. in complemento a due Dati n bit Un numero positivo +x si rappresenta semplicemente in base 2; Un numero negativo x si rappresenta con il valore binario corrispondente a (2 n -x). Range di rappresentabilità con n bit Con n bit possono essere rappresentati gli interi compresi tra 2 n- e +(2 n- -). Esempio: con 4 bit possono essere rappresentati gli interi compresi tra 2 3 e +(2 3 -) cioè tra -8 e +7 Esercizio: Interi assoluti e interi relativi Esercizio: avendo a disposizione un byte Quanti e Quali numeri interi assoluti posso rappresentare? posso rappresentare 2 8 =256 numeri interi assoluti: da a 255 Quanti e Quali numeri interi relativi posso rappresentare? posso rappresentare 2 8 =256 numeri interi relativi: da -28 a +27

8 in Complemento a due Dati 3 bit, un numero positivo +x dieci si rappresenta semplicemente in base 2: in Complemento a due Dati 3 bit, un numero negativo -x si rappresenta con il valore binario corrispondente a 2 3 -x. +x dieci 2 3 Rappr C-due C-due C-due C-due C-due -x dieci (2 3 -x) dieci 4 dieci 5 dieci 6 dieci 7 dieci Rappr C-due C-due C-due C-due C-due 2 3-4=4 = =5 = =6 = =7 = 2 OSS: Il bit più significativo verrà automaticamente posto a (Interpretato come bit di segno) OSS: Il bit più significativo verrà automaticamente posto a (Interpretato come bit di segno) Viceversa: dalla Rappr. in Compl. a Due alla base Per i numeri positivi si applica la normale regola di cambio di base Per i numeri negativi si applica la trasformazione inversa: -x dieci = Rappr C-due 2 n Rappr C-due -x dieci = = = =- Gli errori di overflow L intervallo dei numeri interi (assoluto o relativi) rappresentabili con un fissato numero di bit è limitato Eseguendo un operazione su numeri rappresentabili, può accadere che il risultato esca dall intervallo rappresentabile; in tal caso si dice che si ha un errore di overflow ESEMPIO con 8 bit: 2 8 =256 Caso di valori assoluti: massimo rappresentabile = 255 Overflow = 3 perché > 255 Caso complemento a 2: intervallo rappr.: Overflow - - = -2 perché < -28 di numeri reali La notazione posizionale si può estendere per rappresentare numeri non interi Le cifre dopo il separatore (.) rappresentano potenze negative di b: Ad esempio In base, il numero 2.74 significa: = b 2 b b. b - b -2 b -3 Ricordare che b -n significa /b n

9 Base 2 Base Per passare dalla rappresentazione in base 2 alla rappresentazione in base si applica la definizione: (c n..c,c -..c -k ) due =(c n 2 n c 2 + c c -k 2 -k ) dieci Es: trasforma. due in base :. due = = = 2 + /4 + /32= = = = dieci Base Base b Si trattano separatamente parte intera e frazionaria; per la intera, si procede come già visto; per la frazionaria, si applica la proprietà: sia, c - c -2..c -k = n ; allora c -, c -2..c -k = b. n Esempio in decimale:,23. = 2,3 moltiplicando per la base emerge la cifra 2 Cioè, per far emergere c - basta moltiplicare per b; moltiplicando ancora per b emergerà c -2 e così via Base Base 2 Base Base 2 Per la parte intera si fanno le divisioni per 2, come già visto; Per la parte frazionaria.c c 2 c 3 :. Si moltiplica (.c c 2 c 3 ) per 2; 2. Si annota la parte intera ottenuta; 3. Si ripete il passo. Sulla parte frazionaria restante arrestandosi: quando questa vale oppure... quando si è ottenuto un numero di decimali abbastanza elevato. Si riporta la parte frazionaria della riga precedente parte fraz. base prod.,25 2 =,5,5 2 =, 2 = Si riporta la parte intera come cifra parte intera Ci si arresta quando la parte frazionaria si azzera o quando abbiamo un numero di cifre abbastanza elevato Contiene le cifre binarie, nell ordine,25 dieci =, due Osservazione sui numeri periodici Un numero può essere non periodico in una base e periodico in un altra esempio da base a 2: Parte fraz,4,8,6,2,4 Base Prod.,8,6,2,4,8 Parte Intera E identica alla prima riga: il numero in base 2 è periodico! Notazione scientifica Notazione scientifica in base : ± m p Es =,23 8 Se, più in generale, la base è b, ± m b p Il coefficiente m è detto mantissa (la convenzione è di inserire implicitamente la virgola decimale subito dopo la prima cifra) p, detto caratteristica, è l esponente a cui elevare la base b

10 Notazione scientifica Esempio:,23 8 base, segno +, mantissa 23, caratteristica 8 Esercizio: Scrivere in notazione scientifica il numero 42 e indicarne mantissa e caratteristica 42=4,2 7 base, segno -, mantissa 42, caratteristica 7 in virgola mobile La rappresentazione binaria dei numeri reali che usa la notazione scientifica è detta rappresentazione in virgola mobile (floating point). due = (, ) due Cambiando il numero di cifre dedicato alla rappresentazione di mantissa ed esponente cambia la precisione dei risultati che si ottengono. L interesse a uniformare la precisione di calcolo ha condotto alla definizione di uno standard internazionale proposto dall Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE). in virgola mobile Virgola mobile: m E e con mantissa m per numeri diversi da : m < b e esponente significato m E e = m. b e Esempio decimale: 344,3 in virgola mobile si scrive: 3,443 E 3 = 3, Esempio binario:, in virgola mobile si scrive:, E = ( ). 2 2 Codifica: errori di arrotondamento La rappresentazione esatta di alcuni numeri richiederebbe un numero infinito di cifre Es. /3 =, π = 3,459.. Un problema analogo sorge per numeri con valore assoluto molto grande o molto piccolo, in cui il numero di cifre richiesto non sarebbe infinito, ma molto elevato In questi casi possiamo considerare solo le cifre piú significative. Codifica: errori di arrotondamento Qualunque sia la codifica scelta, la rappresentazione dei numeri nel calcolatore è soggetta ad approssimazioni. Il limitato numero di cifre disponibili nella mantissa porta ad errori di arrotondamento quando si debbano rappresentare numeri con una mantissa più lunga. Tali approssimazioni si propagano nel corso della esecuzione delle operazioni causando errori numerici anche importanti. Il calcolo numerico è la disciplina che studia le proprietà dell esecuzione delle operazioni tramite calcolatore e valuta l entità degli errori introdotti durante l esecuzione. Nella realtà... I computer usano (di solito): Precisione semplice: bit di segno + 23 bit di mantissa + 8 bit di esponente Precisione doppia: bit di segno + 52 bit di mantissa + bit di esponente standard IEEE 754

11 La rappresentazione dei caratteri Caratteri Alfanumerici: a,, z, A,,Z e,,9 Simboli: - + [ ]( ) { } ç ^ ì à ò é è $ I CARATTERI... A CODIFICA (65) = Codifica: Definisci un ordine sui caratteri (es. a < b) Associa ad ogni carattere il numero risultante dall ordinamento I più noti sono i codici ASCII e Unicode Codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange) Il codice ASCII prevede la codifica di ogni carattere in un byte. Delle 256 possibili configurazioni sono state definite in modo univoco in tutto il mondo Le restanti corrispondono a caratteri diversi a seconda delle esigenze dei diversi Paesi. Nell'Europa occidentale si usa l'iso Codice ASCII Nel codice ASCII, ad esempio: A = c = ( = Spazio = Nel codice ASCII non ci sono le lettere accentate, che sono state aggiunte nell'iso Codice ASCII Il codice ASCII 32! 33 " 34 # 35 $ 36 % 37 & 38 ' 39 ( 4 ) 4 * , / : 58 ; 59 < 6 = 6 > 62? 64 A 65 B 66 C 67 D 68 E 69 F 7 G 7 H 72 I 73 J 74 K 75 L 76 M 77 N 78 O 79 P 8 Q 8 R 82 S 83 T 84 U 85 V 86 W 87 X 88 Y 89 Z 9 [ 9 \ 92 ] 93 ^ 94 _ 95 ` 96 a 97 b 98 c 99 d e f 2 g 3 h 4 i 5 j 6 k 7 l 8 m 9 n o p 2 q 3 r 4 s 5 t 6 u 7 v 8 w 9 x 2 y 2 z 22 { } 25 ~ È uno dei formati più interoperabili in assoluto È standardizzato È leggibile da tutti i programmi che manipolano testi (strutturati e non)

12 Cosa succede, però......se salvo un file di testo qui e tento di leggerlo in Polonia? I caratteri ASCII (i primi 28) sono gli stessi, ma gli altri sono diversi (in Polonia usano l'iso ) Ad es., può darsi che la à diventi ad esempio una Ł Internazionalizzazione (i8n) Internet permette di scambiare file occorre che i formati siano altamente interoperabili Occorre estendere l'ascii in modo da comprendere tutti i caratteri possibili Per questo è nato Unicode, che usa 4 byte per rappresentare un carattere Unicode Formato 4 byte = 4x8 bit = 32 bit Con 32 bit si hanno a disposizione 2 32 =circa di caratteri! Ovviamente si spreca spazio (un testo scritto con caratteri normali occupa il quadruplo) UTF-8: un sistema di memorizzazione di Unicode con numero variabile di byte Il termine formato indica un modo di codificare un certo tipo di oggetto (p.es. un immagine) come una sequenza di byte Lo stesso tipo di oggetto può essere codificato in molti modi diversi Un programma... Lettura...mantiene i dati in memoria e li salva su disco in un certo formato (detto formato nativo per quel programma) Spesso un programma è in grado di leggere/scrivere file scritti in altri formati Di solito, se da un programma (p.es. Word 2) si tenta di leggere (menù File/Apri) un file scritto in un formato diverso, lui lo converte internamente nel suo formato nativo A volte, c'è una voce di menù specifica (File/Importa) che permette di importare altri formati La conversione non è sempre indolore...

13 Scrittura Se si usa File/Salva con nome... è possibile salvare il documento in un formato diverso da quello nativo In particolare, se il documento è stato caricato da un file in formato non nativo, quando si salva (File/Salva) il documento verrà salvato nello stesso formato in cui era stato caricato Scrittura Alcuni programmi hanno una voce di menù speciale (File/Esporta) per salvare in altri formati Anche in questo caso, il salvataggio in un formato diverso comporta una conversione (in memoria, il documento viene comunque tenuto in formato nativo) non sempre senza conseguenze I formati possono essere... Con l'avvento di Internet... Ad-hoc Proprietari, ma variamente interoperabili Non proprietari e non standardizzati, ma variamente interoperabili...è preferibile usare sempre formati non proprietari e standardizzati Per es non.doc ma.rtf Non proprietari, standardizzati di testi (semplici) Un testo semplice è una sequenza di caratteri Un carattere può essere un simbolo della tastiera (p.es. lettere, cifre, simboli speciali) compresi anche i caratteri invisibili (spazi, a- capo...)