Esercitazione 2 SAT. 11 Novembre Denizione del problema SAT

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1 Esercitazione 2 SAT Corso di Fondamenti di Informatica II BIAR2 (Ing. Informatica e Automatica) e BSIR2 (Ing. dei Sistemi) A.A. 2010/ Novembre 2010 Sommario Scopo della esercitazione è quello di realizzare un risolutore per il problema SAT, utilizzando sia l'approccio enumerativo sia DPLL. Denizione del problema SAT La Soddisfacibilità Booleana (SAT) è il problema di determinare se esiste (almeno) una assegnazione di valori {T RUE, F ALSE} delle variabili di una data formula booleana che la renda vera (ovvero un suo modello). Nel caso esista tale assegnazione si dice che la formula è soddisfacibile mentre in caso contrario si parlerà di formula insoddisfacibile. Nella formulazione di SAT la formula si suppone espressa in forma normale congiunta (CNF). Denizione (CNF, Clausole e Letterali). Una formula si dice espressa in CNF se è un AND di clausole. Una clausola è un OR di letterali in forma positiva o negata. Ci si riferisce ad una variabile o alla sua negazione come ad un letterale. Ad esempio, considerando i tre letterali booleani x 1, x 2, x 3 una possibile formula in CNF è la seguente. (x 1 x 2 x 3 ) (x 2 x 3 ) (x 3 x 1 ) 1

2 Mentre invece, considerando gli stessi i tre letterali, non è in CNF (ma è possibile trasformarla) la seguente formula. ((x 1 x 2 ) x 3 ) (x 2 x 3 ) (x 3 x 1 ) Algoritmo Enumerativo Un primo approccio risolutivo, che esplora tutto lo spazio di delle soluzioni, consiste nel provare tutti i possibili assegnamenti di valori booleani ai letterali e controllare se soddisfano la formula nale oppure no. Nel momento in cui viene trovata la prima combinazione valida questa viene restituita. Qualora invece, al termine della elaborazione, nessuna assegnazione che soddisfa l'espressione viene individuata, vorrà dire che l'istanza del problema non ammette soluzione. Si noti che tutte le possibili assegnazioni di valore di n variabili booleane, non sono altro che le disposizioni dell'alfabeto {T RUE, F ALSE} su n posizioni (vedi Esercitazione 1). Algoritmo DPLL Un secondo approccio risolutivo, che riduce lo spazio di ricerca, è bastato sulla tecnica del backtracking e consiste nell'evitare di provare assegnazioni che sicuramente non sono soluzione usando due controlli. Questo agoritmo, chiamato DPLL, si può applicare solo quando le clausole della formula in input appartengono ad una particolare categoria. Dettagli sull'implementazione di DPLL sono descritti nelle slides del Corso Fondamenti di Informatica 2 (Modelli) - Marco Schaerf, Giorgio Ausiello disponibili qui. 2

3 1 Rappresentazione Clausole Per poter risolvere il problema SAT è necessario predisporre le opportune classi per la rappresentazione delle clausole. Per rappresentare gli n letterali che compaiono nelle clausole, scegliamo di associare ad ogni letterale due identicatori numerici: uno positivo - da 1 a n - e uno negativo - da 1 a n - a seconda se il letterale compare in forma positiva o negata. Avremo quindi 2n possibili indici per n letterali. Questo tipo di rappresentazione è molto naturale, si pensi al fatto che spesso nelle formule i letterali vengono indicati da indici come x 1, x 2... piuttosto che a, b.., ed inoltre permette di disinguere quando un letterale compare positivo o negato in modo molto semplice. Esempio. Supponiamo di rappresentare la seguente formula in CNF. (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) (1) I letterali che compaiono nelle clausole sono tre - x 1, x 2, x 3 - per cui n = 3. Le clausole che compaiono nella formula sono (x 1 x 2 ), (x 1 x 3 ) e (x 1 x2 x 3 ). Grazie agli indici appena descritti e alla denizione di CNF, possiamo rappresentare la fomula1 con la seguente lista di insiemi. (1, 2), (1, 3), (1, 2, 3) (2) Programma Java. Scrivere la classe Clausola che esponga i metodi p u b l i c b o o l e a n c l a u s o l a V u o t a ( ) Ritorna true se la clausola è vuota, false altrimenti p u b l i c b o o l e a n c l a u s o l a U n a r i a ( ) Ritorna true se la clausola è unaria, false altrimenti 3

4 p u b l i c i n t g e t L e t t e r a l e ( ) throws IndexOutOfBoundsException Ritorna l'indice di un qualsiasi letterale della clausola, ad esempio il primo IndexOutOfBoundsException se la clausola è vuota. p u b l i c v o i d a d d L e t t e r a l e ( i n t i ) throws IndexOutOfBoundsException Aggiunge x i o x i alla clausola a seconda se i è pos o neg Parametri. i: indice letterale (tra n e -n escluso 0) IndexOutOfBoundsException se l'indice di letterale non è corretto p u b l i c v o i d r m v L e t t e r a l e ( i n t i ) throws IndexOutOfBoundsException Rimuove x i o x i dalla clausola a seconda se i è pos o neg Parametri. i: indice letterale (tra n e -n escluso 0) IndexOutOfBoundsException se l'indice di letterale non è corretto 4

5 p u b l i c b o o l e a n h a s L e t t e r a l e ( i n t i ) throws IndexOutOfBoundsException Ritorna true se la clausola contiene x i o x i a seconda se i è pos o neg Parametri. i: indice letterale (tra n e -n escluso 0) IndexOutOfBoundsException se l'indice di letterale non è corretto p u b l i c S t r i n g t o S t r i n g ( ) Ritorna una stringa che rappresenta una forma stampabile di tutti i letterali presenti nella clausola. 2 Risolutore SAT con DPLL Si vuole creare un metodo per la risoluzione di SAT mediante DPLL. Programma Java. Scrivere il metodo b o o l e a n [ ] solvedpll ( i n t n, L i s t <C l a u s o l a >c l a u s o l e ) Il metodo prende come input il numero di letterali presenti nella espressione booleana e la formula booleana in CNF. int n identica il numero di letterali presenti nella espressione. List<Clausola> clausole contiene una lista della forma 2. Il metodo restituisce una assegnazione di tutti i letterali che soddisfa l'espressione booleana data oppure NULL nel caso la formula sia insoddisfacibile. Il vettore (se non nullo) dovrà avere dimensione pari ad n, cioè pari al numero di letterali complessivi. In particolare nella posizione 0 del vettore, sia esso ris, ci sarà il valore associato alla variabile booleana x 1, nella posizione 1 quello relativo a x 2 e così via no a ris[n-1] che conterrà l'assegnazione del letterale x n 5

6 3 Implementazione del risolutore SAT enumerativo (per casa) Il risolutore che si realizza deve seguire un approccio enumerativo, analizzando tutto lo spazio di ricerca delle soluzioni. In particolare si dovranno generare man mano tutte le possibile assegnazioni di variabili (disposizioni con ripetizione dei valori true,false su n variabili) e vericando di volta in volta se la formula vale TRUE o FALSE. Nel momento in qui viene ritrovata la prima combinazione valida questa viene restituita. Qualora invece, al termine della elaborazione, nessuna assegnazione che soddisfa l'espressione viene individuata, dovrà essere restituito null. Programma Java. Scrivere il metodo b o o l e a n [ ] solveenum ( i n t n, L i s t <C l a u s o l a >c l a u s o l e ) Il signicato dei parametri di input ed output sono analoghi al caso DPLL. In output il metodo restituisce una qualsiasi assegnazione dei letterali che rende vera l'espressione booleana, oppure null se la formula è insoddisfacibile. 6