Esercizi di Algebra - Seconda parte

Esercizi di Algebra - Seconda parte Esercizio 1. In Q Q si consideri le operazioni + e definite da (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac 8bd, ad + bc + 2bd). Si stabilisca se la struttura (Q Q, +, ) è un campo. Esercizio 2. Sia (A, +, ) un anello e si considerino le operazioni e su A A definite da (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (a c, a d + c b + b d). Si mostri che la struttura (A A,, ) è un anello unitario che contiene un sottoanello isomorfo ad (A, +, ). Esercizio 3. Si consideri il sottoinsieme D di M 2 (Z) definito da a 0 D = a, b Z. 0 b Si mostri che D è un sottoanello di M 2 (Z) e che l insieme 3x 0 I = x, y Z 0 5y è un ideale di D che non è primo. Infine per ogni n N si mostri che l insieme h 0 I n = h, k Z 0 nk è un ideale di D e stabilire per quali valori di n I n è massimale. Esercizio 4. Provare che l insieme A M 2 (Z 3 ) definito da a b A = a, b Z b a 3 è un sottocampo dell anello M 2 (Z 3 ). Si mostri inoltre che (A ; ) è un gruppo ciclico di ordine 8 e se ne determini un generatore. Esercizio 5. Si provi che l anello 3Z non è un dominio a fattorizzazione unica; più in generale si provi che per ogni m N con m > 1, se p è un primo che non è fattore di m allora nell anello mz il numero m 2 p 2 ammette due fattorizzazioni distinte in fattori irriducibili di mz. *Esercizio 6. Si mostri che l anello degli interi di Eisenstein Z[(1 + ı 3)/2] è ad ideali principali osservando che la norma naturale è di Hasse-Dedekind. N.B.: se x = a + (1 + ı 3)/2b Z[(1 + ı 3)/2], allora x = x x = a 2 + ab + b 2. Esercizio 7. Si consideri l anello degli interi di Gauss Z[ı] e sia I un suo ideale. Si mostri che se esiste x I tale che x è primo in Z allora I è massimale. 1

Esercizio 8. Si consideri l anello degli interi di Gauss Z[ı] e sia H l ideale generato da 1 + ı. Si mostri che H = {a + ıb a b (mod 2)} e che H è massimale e si studi il quoziente Z[ı]/H. Esercizio 9. Si consideri l anello Z[ı 8] e siano I = 5 e J = 2. Si mostri che I è un ideale massimale e che J non lo è. *Esercizio 10. Sia F un campo; si mostri che gli ideali x y e x, y dell anello F [x, y] dei polinomi nelle indeterminate x e y a coefficienti in F sono primi. Esercizio 11. Sia 2Z l anello degli interi pari; si mostri che l ideale 4 è massimale ma non primo. Come si concilia questo fatto con la proposizione che afferma che in un anello unitario commutativo ogni ideale massimale è primo? *Esercizio 12. Sia A un anello e P un ideale primo di A[x]; si mostri P A è un ideale primo di A. Esercizio 13. Si mostri che l ideale I = 3, x di Z[x] è massimale determinando un campo F e un epimorfismo ϕ : Z[x] F tale che Ker ϕ = I. Esercizio 14. Si verifichi che l ideale I = 6 di Z[x] non è primo e si costruisca un epimorfismo ϕ da Z[x] in un anello opportuno tale che Ker ϕ = I. Esercizio 15. Si mostri che in Z[ı 5] si ha M.C.D.(9, 3(2+ı 5)) =. Perché ciò non contrasta con il teorema che afferma che in un anello a ideali principali per ogni coppia di elementi non nulli esiste un massimo comune divisore? Esercizio 16. Sia n N e ϕ n l applicazione ϕ n : Z[ı] Z n [ı] a + ıb [a] n + ı[b] n Si mostri che ϕ n è un epimorfismo il cui nucleo è n Z[ı]. risultato per stabilire se Z 5 [ı] e Z 7 [ı] sono campi. Si utilizzi tale Esercizio 17. Provare che I = 2, 10 e J = 3, 4 + 10 sono ideali primi di Z[ 10]. Esercizio 18. Provare che I = {a+ 7b a b (mod 6)} è un ideale principale di Z[ 7] e se ne determini un generatore. Stabilire inoltre se I è massimale o principale e si studi il quoziente Z[ 7]/I. Esercizio 19. Si decompongano gli elementi 2, 3 e 5 in Z[ı 2] in fattori irriducibili. Esercizio 20. Sia F un campo di caratteristica diversa da due; mostrare che un polinomio monico di secondo grado x 2 +bx+c F [x] è riducibile se e solo se b 2 4c è il quadrato di un elemento di F. Si mostri, tramite un controesempio, che l ipotesi car F 2 è essenziale. Esercizio 21. Si consideri il polinomio f(x) = x 3 + x + 1. 1. Si provi che l ideale I = f(x) non è primo in Z 3 [x] ed è massimale in Q[x]; 2

2. se ϕ 1 : Z 3 [x] Z 3 [x]/i e ϕ 2 : Q[x] Q[x]/I sono le suriezioni canoniche, si provi che ϕ 1 (x 2 + x + 2) è un divisore dello zero mentre ϕ 2 (x 2 + x + 2) è invertibile (e se ne determini l inverso); 3. si determinino i polinomi di primo grado in Z 3 [x] la cui immagine rispetto ϕ 1 è un elemento invertibile. Esercizio 22. Sia f(x) = a 0 + a 1 x + + a 2 x n un polinomio a coefficienti in Z e sia p/q una radice di f(x) in Q con p e q interi coprimi. Si mostri che p a 0 e q a n in Z. Esercizio 23. Sia f(x) = x 3 + 2 Z 5 [x] e I = f(x) Z 5 [x]: 1. si mostri che (x 2 +x+1)+i è invertibile in Z 5 [x]/i e se determini l inverso; 2. si mostri che (x 2) + I è un divisore dello zero in Z 5 [x]/i. Esercizio 24. Si determinino gli ideali massimali di Z 3 [x] generati da un polinomio di secondo grado. Esercizio 25. Si determinino tutti i polinomi di quarto grado irriducibili in Z 2 [x]. Esercizio 26. Si stabilisca se i seguenti polinomi sono irriducibili in Q[x]: 1. x 2 4; 2. x 2 + 2x + 3; 3. x 3 + x + 1; 4. x 5 8x + 2; 5. 2x 5 15x 4 + 6x 3 3x + 12; 6. x 4 + 2x 2 + 9; 7. 5x 3 + 6x 2 + 10x + 2; 8. x 4 + x 3 + x + 1; 9. x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Esercizio 27. Si stabilisca se i seguenti polinomi hanno radici multiple in Q[x]: 1. 18x 6 ; 2. 4x 2 + 4x + 1; 3. 2x 3 + 3x 2 + 2x + 2; 4. x 4 4; 5. x 11 11; 6. x 8 + 8; 7. x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 6x + 12. 3

Esercizio 28. Si determinino tutti i polinomi della forma 3x 2 +cx+4 irriducibili in Z 5 [x]. Esercizio 29. Si dica se il polinomio x 4 1 è irriducibile in Z 11 [x] e in Z 13 [x]. Esercizio 30. Si determini il numero di polinomi di terzo grado irriducibili in Z p [x] con p primo. *Esercizio 31. Si determini il numero dei quadrati nel campo Z p. *Esercizio 32. Si mostri che ogni ideale (non nullo) dell anello degli interi di Gauss Z[ı] contiene un infinità di interi positivi. Esercizio 33. Si effettui la divisione con resto di 3 + 2ı per 2 ı in Z[ı]. Esercizio 34. Si effettui la divisione con resto del polinomio f(x) per g(x) in Q[x] quando: 1. f(x) = x 4 + 3x 2 + 2x + 2 e g(x) = x 2 + x + 1; 2. f(x) = x 3 + x 2 + 2x + 3 e g(x) = x 3; 3. f(x) = 5x 5 + 4x 4 2x 2 e g(x) = 5x 4 1. Esercizio 35. Si determini il M.C.D. dei polinomi f(x) e g(x) in Q[x] e lo si esprima come combinazione lineare a coefficienti in Q[x] di f(x) e g(x) quando: 1. f(x) = x 5 + x 4 x 3 3x + 2 e g(x) = x 3 + 2x 2 x 2; 2. f(x) = 6x 5 + 7x 4 5x 3 + 2x 2 x + 1 e g(x) = 6x 4 5x 3 19x 2 13x 5; 3. f(x) = x 3 + 6x 2 + 11x + 6 e g(x) = x 2 4; 4. f(x) = x 3 + x 10 e g(x) = x 2 x + 10; 5. f(x) = 3x 3 12x 2 e g(x) = 2x 2. Esercizio 36. Si consideri il polinomio f(x) = 3x 2 + 4x + 3 Z m [x]: 1. si stabilisca se f(x) è irriducibile quando m è 2, 3 o 7; 2. si determinino le eventuali radici di f(x) quando m = 5 e si spieghi perché la fattorizzazione f(x) = (3x + 2)(x + 4) = (4x + 1)(2x + 3) in Z 5 [x] non contrasta con il fatto che Z 5 [x] è un anello a fattorizzazione unica. Esercizio 37. Si consideri il polinomio f(x) = x 2 + 2 Z 7 [x] e l ideale I = x 2 + 2 ; si dimostri che f(x) è irriducibile in Z 7 [x] e si determini l inverso degli elementi 3 + I, (1 + x) + I e (3 + 4x) + I in Z 7 [x]/i. Esercizio 38. Sia F un campo e f(x) = x 3 3 F [x]. Se ϕ f : F F è la funzione polinomiale individuata da f(x), si dica se ϕ f è iniettiva o suriettiva quando F è Q, C, Z 3, Z 7 o Z 5. 4

Esercizio 39. Si determini il M.C.D. dei polinomi f(x) = x 5 + x 3 + x e g(x) = x 4 + 2x 3 + 2x in Z 3 [x] e lo si esprima come combinazione lineare a coefficienti in Z 3 [x] di f(x) e g(x). Esercizio 40. Si determini il M.C.D. dei polinomi f(x) = x 5 3ıx 3 2ıx 2 6 e g(x) = x 2 2ı in C[x] e lo si esprima come combinazione lineare a coefficienti in C[x] di f(x) e g(x). Esercizio 41. Si determini il M.C.D. tra 1. x = 5 8ı e y = 2 + 3ı, 2. x = 8 + 25ı e y = 23 2ı, 3. x = 7 ı e y = 2 + 4ı, 4. x = 2 + 11ı e 1 + 3ı, 5. x = 10 e 1 + 7ı in Z[ı] e lo si esprima come combinazione lineare a coefficienti in Z[ı] di x e y. Esercizio 42. Sia F un campo; si determini un generatore per l ideale x, x 2. Esercizio 43. Si determini un generatore per l ideale x 2 1, x 3 1 Q[x]. Esercizio 44. Sia p N un numero primo; si determinino i valori di p affinché esistano a(x), b(x) Z p [x] tali che a(x)f(x) + b(x)g(x) = 1 quando 1. f(x) = 2 3x x 2 2x 3 + x 4 e g(x) = (x 2 1)(x 2)(x 3); 2. f(x) = x 4 x 3 25x 2 20x 8 e g(x) = x 3 + 5x 2. *Esercizio 45. Sia A un dominio di integrità; mostrare che un polinomio di primo grado non è in generale irriducibile in A[x] e che un polinomio irriducibile in generale non genera un ideale massimale. Mostrare inoltre che un polinomio riducibile di A[x] può non essere decomposto nel prodotto di due polinomi di grado maggiore o uguale ad uno. Esercizio 46. Sia I Z 4 [x] l ideale generato dal polinomio x 3 +x+1; si dimostri che I non è massimale. Esercizio 47. Si dica se i seguenti elementi del campo R sono algebrici sopra il sottocampo Q e in caso affermativo si determini il polinomio minimo: 1. 3; 2. 3 5 + 2; 3. 4. 3 5 + 1; 5 2 + 1; 5. 7 + 3. Esercizio 48. Si consideri il polinomio f(x) = x 4 1 Z p [x] con p primo. Si determinino i valori di p per i quali f(x) è divisibile per x 2 4 e quelli per i quali 3 è una radice di f(x). Si decomponga f(x) in prodotto di polinomi irriducibili quando p = 13. 5

Esercizio 49. Si consideri il polinomio f(x) = 10x 3 + 7x 2 + 2x 1 Z p [x] con p primo. Si decomponga f(x) in fattori irriducibili quando p è uguale a 2, 3 o 5. Posto I = f(x) si dica in quali dei tre casi considerati Z p [x]/i è un campo e, in caso affermativo, se è un campo di spezzamento per f(x). Esercizio 50. Si consideri il polinomio f(x) = 12x 3 + 20x 2 + 11x + 2 Q[x]. Sapendo che f(x) ha una radice con molteplicità due, lo si decomponga in fattori irriducibili e si determini il suo campo di spezzamento. Esercizio 51. Determinare il campo di spezzamento del polinomio x 3 2 Q[x]. Esercizio 52. Si consideri il polinomio f(x) = p(x)q(x) Z 3 [x], dove p(x) = x 3 x + 1 e q(x) = x 3 + x 2 x + 1, e sia Z 3 (α) l ampliamento di Z 3 mediante l aggiunzione di una radice α di q(x). Si verifichi che Z 3 (α) è il campo di spezzamento di f(x) e si decomponga f(x) come prodotto di fattori lineari in Z 3 (α). Si determini inoltre la cardinalità di Z 3 (α). Esercizio 53. Si mostri che R[x]/ x 4 +1 non è un campo mentre che Q[x]/ x 4 + 1 lo è. Esercizio 54. Sia I = x 2 +1 Z n ; si determinino gli interi n, con 1 < n < 11, tali che Z n e Z n [x]/i siano entrambi campi. Esercizio 55. Si considerino i polinomi p(x) = x 4 + x 3 + 1 e q(x) = x 4 + x 2 + 1 in Z 2 [x] e siano H e K i campi di spezzamento di p(x) e q(x) rispettivamente. Si decomponga p(x) in H e q(x) in K come prodotto di fattori lineari e si dica se H e K sono isomorfi. Esercizio 56. Si dica se i campi indicati sono di spezzamento per i seguenti polinomi: 1. Q( 7) per x 2 + 3; 2. Q( 2) per x 2 + 1; 3. Q( 2) per x 3 + 8x 2. Esercizio 57. Sia Q(α) l estensione semplice di Q ottenuta mediante l aggiunzione di una radice α del polinomio x 5 + 2x + 2. Si esprimano allora in Q(α) gli elementi (α 3 + 2)(α 3 + 3α), α 4 (α 4 + 3α 2 + 7α + 5) e α 1. Esercizio 58. Sia Q(α) l estensione semplice di Q ottenuta mediante l aggiunzione di una radice α del polinomio x 3 6x 2 + 9x + 3. Si esprimano allora in Q(α) gli elementi α 4, α 5, 3α 5 α 4 + 2 e (α + 1) 1. Esercizio 59. Tenendo presente che il polinomio x 2 +2x+2 è irriducibile in Z 3, si scriva la tavola di Cayley del campo Z 3 (α), dove α è una radice del polinomio x 2 + 2x + 2. Esercizio 60. Dopo aver elencato i polinomi irriducibili di grado 2 e 3 in Z 2, si costruisca un campo di ordine 4 e uno di ordine 8. Esercizio 61. Si determini il campo di spezzamento del polinomio x 8 1 Q[x]. 6

Esercizio 62. Si determini il campo di spezzamento del polinomio x 9 x 2 Z 3 [x]. Esercizio 63. Si determini il campo di spezzamento del polinomio (x 2 +1)(2x 2 + x + 1) Z 3 [x]. Esercizio 64. Si determinino i valori di a Z 7 per cui l anello Z 7 [x]/ x 2 +3x+ a sia un campo. 7