ALGEBRA 2 - prof. Fabio Gavarini

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1 Corso di Laurea in Matematica - a.a. 2007/8 programma di ALGEBRA 2 - prof. Fabio Gavarini N.B.: premesso che tutto il programma svolto è - a suo modo - importante, nondimeno tra i vari argomenti c è una certa gerarchia. Nel testo che segue, tale gerarchia è indicata in questo modo: gli argomenti scritti così sono molto importanti; gli argomenti scritti così sono mediamente importanti; gli argomenti scritti così sono (relativamente) meno importanti. 1 RICHIAMI SU INSIEMI, RELAZIONI, APPLICAZIONI 1.1: Richiami su insiemi, relazioni d'ordine, relazioni di equivalenza, partizioni. L'insieme quoziente E/ ρ associato ad una relazione di equivalenza ρ - o anche, equivalentemente, ad una partizione. La proiezione canonica da un insieme E ad un insieme quoziente E/ ρ. Richiami sulle applicazioni (o "funzioni"). Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive; applicazioni invertibili, applicazione inversa di una invertibile. 1.2: La relazione di equivalenza ρ f in un insieme A associata ad una applicazione f con dominio A. Teorema Fondamentale delle Applicazioni: per ogni applicazione f da A a B, esiste una e una sola applicazione biiettiva f * da A/ρ a Im(f) tale che f * ([a] ρf ) = f(a) per ogni classe [a] ρf in A/ρ. Relazioni compatibili in un insieme con operazioni binarie; operazioni definite nell'insieme quoziente. (Omo)morfismi tra insiemi con operazioni binarie; epi/mono/isomorfismi. Dato un morfismo tra insiemi con operazioni binarie, la relazione di equivalenza associata (nel dominio) è compatibile con le operazioni. Alcune proprietà elementari dei morfismi rispetto alla composizione. 2 TEORIA GENERALE DEI GRUPPI 2.1: Definizione di gruppo. Controesempi ed esempi di gruppi: gruppi numerici, gruppi di permutazioni, gruppo delle affinità di un campo, il gruppo G S delle funzioni con dominio un insieme S e codominio un gruppo G, gruppo delle matrici quadrate invertibili, gruppo degli elementi invertibili in un anello unitario. Gruppi abeliani. 2.2: Sottogruppi di un gruppo: definizione, criteri perché un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo; esempi di sottogruppi (di permutazioni, di matrici, di applicazioni, ecc. ecc.). Sottogruppi generati da un sottoinsieme: definizione, esistenza, caratterizzazione. Il centro di un gruppo. Il prodotto di sottogruppi in un gruppo: condizioni sufficienti perché sia un sottogruppo, controesempi. Ordine di un elemento. Relazioni di equivalenza associate ad un sottogruppo in un gruppo; classi laterali (destre e sinistre). Teorema di Lagrange per i gruppi finiti. Condizioni perché l'insieme delle classi laterali sia un gruppo: sottogruppi normali in un gruppo. Ogni sottogruppo di indice due è normale. Gruppi quoziente rispetto a equivalenze compatibili: definizione, esempi e controesempi. Data un'equivalenza compatibile in un gruppo, la classe di equivalenza dell'elemento neutro, e` un sottogruppo normale, e l'equivalenza associata coincide con quella di partenza. 2.3: (Omo)morfismi tra gruppi: definizione, esempi, controesempi. Proprietà elementari dei morfismi di gruppi. L'immagine Im(φ) e il nucleo Ker(φ) di un morfismo φ di gruppi. La proiezione canonica associata ad un sottogruppo normale (in un gruppo) è un epimorfismo, con nucleo il sottogruppo normale di partenza.

2 Per ogni morfismo di gruppi φ da G a G' si ha: (1) Im(φ) è sottogruppo di G' ; (2) Ker(φ) è sottogruppo normale di G' ; (3) L'equivalenza in G associata a φ coincide con quelle associate a Ker(φ), e la classe dell'elemento neutro è Ker(φ). Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo, per i gruppi. Corrispondenza tra sottogruppi di un gruppo G e sottogruppi dell'immagine di un morfismo di gruppi che abbia G come dominio; il caso dei sottogruppi normali. L'immagine dei sottogruppi di un gruppo rispetto alla proiezione canonica sul quoziente modulo un sottogruppo normale. Il Primo e il Secondo Teorema di Isomorfismo per i gruppi. 2.4: Prodotto diretto di gruppi: definizione, esempi. Fattorizzazione del prodotto diretto di due gruppi in prodotto di due sottogruppi normali a intersezione banale. Criterio per riconoscere quando un gruppo sia (isomorfo al) prodotto diretto di due suoi sottogruppi. Prodotto diretto di più gruppi (cenni). Prodotto semidiretto di gruppi: definizione, esempi, prime proprietà. Caratterizzazione di gruppi che siano (isomorfi al) prodotto semidiretto di due loro sottogruppi: criterio per riconoscere quando un gruppo sia (isomorfo al) prodotto diretto di due suoi sottogruppi. 2.5: Endomorfismi e automorfismi di un gruppo. Endomorfismi ed auto morfismi dei gruppi ciclici (finiti o infiniti). Descrizione del gruppo degli automorfismi dell'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: il caso del campo dei razionali e il caso generale. Isomorfismo di tale gruppo col prodotto semidiretto del gruppo degli automorfismi del campo e del gruppo delle affinità del campo. 2.6: Automorfismi interni e coniugazione in un gruppo. Gli automorfismi interni formano un sottogruppo normale del gruppo degli automorfismi (di gruppo). La relazione di coniugazione (in un gruppo) è un'equivalenza, le cui classi si dicono "classi coniugate". In ogni gruppo G, il suo centro Z(G) è sottogruppo normale, e coincide con il nucleo del morfismo di coniugazione da G a Int(G) - e con l'insieme degli elementi di G la cui classe di coniugio si limiti all'elemento stesso. Il Teorema di Cayley per i gruppi. 3 GRUPPI DI PERMUTAZIONI 3.1: Il gruppo simmetrico S(X) di tutte le permutazioni di un insieme X. Isomorfismo tra gruppi simmetrici su insiemi equipotenti. Notazioni per le permutazioni di n elementi: tramite matrici 2 x n oppure tramite fattorizzazione in cicli disgiunti. Ordine (o periodo ) di una permutazione. Fattorizzazione di una permutazione in prodotto di trasposizioni: univocità della parità del numero dei fattori in una tale fattorizzazione. Permutazioni pari e permutazioni dispari (su n elementi). L'insieme A n delle permutazioni pari su n elementi è un sottogruppo normale, di indice 2, del gruppo simmetrico S n di tutte le permutazioni, detto sottogruppo alterno. 3.2: Coniugazione nel gruppo simmetrico S n. Classificazione delle classi coniugate di S n : corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle classi coniugate in S n e l'insieme delle partizioni di n. 3.3: Il gruppo diedrale D n, definito come sottogruppo del gruppo dei movimenti rigidi del piano che fissano un poligono regolare P n. Rotazioni e ribaltamenti in D n : le rotazioni formano un sottogruppo normale di D n di indice 2. Identificazione di D n con un sottogruppo di S n. Generazione di D n tramite una rotazione di ordine n ed un ribaltamento; relazione tra questi due generatori. Il gruppo D n è (isomorfo al) prodotto semidiretto del sottogruppo generato da un ribaltamento per il sottogruppo (normale) delle rotazioni.

3 4 AZIONI DI GRUPPI E RISULTATI STRUTTURALI 4.1: Azione di un gruppo su un insieme rappresentazione di un gruppo in un gruppo di permutazioni: equivalenza delle due nozioni; G-insiemi (o G-spazi). Equivalenza indotta in un G-insieme: le G-orbite come classi di equivalenza. Lo stabilizzatore di un elemento in un G-insieme. Ogni stabilizzatore è un sottogruppo, e lo stabilizzatore del punto g.x e` il coniugato tramite g dello stabilizzatore di x. Esempi di azioni. Azioni di un gruppo su sé stesso (sinistra, destra, per coniugazione); azioni di GL(n,K) e di GL(l,K) su Mat(nxl,K); l'azione di un gruppo si restringe ad un'azione di ciascun sottogruppo; se X è un G-insieme allora lo sono anche l'insieme delle parti e l'insieme delle partizioni di X; il gruppo diedrale D n dei movimenti rigidi di un n- gono regolare agisce sull'insieme dei vertici, quello dei lati, quello delle bisettrici (degli angoli), quello degli assi (dei lati). Il centralizzante di un elemento in un gruppo. 4.2: Corrispondenza biunivoca tra l'orbita di un elemento x in un G-insieme e l'insieme delle classi laterali sinistre modulo lo stabilizzatore di x. Applicazione: calcolo del numero di anagrammi di una parola data. L'equazione delle classi. Il Teorema di Burnside per il calcolo del numero di G-orbite in un G-insieme. Esempi di applicazioni del Teorema di Burnside. 4.3: Il Teorema di Cauchy: per ogni primo p che divida l'ordine di un gruppo finito G, esiste in G un elemento di ordine p. Definizione ed esempi di p-gruppi, con p un primo. Ogni p-gruppo non banale ha centro non banale. Ogni gruppo di ordine p 2 e` abeliano (più precisamente: ogni gruppo di ordine p 2 è isomorfo a Z p 2 oppure a Z p x Z p ). I p-sottogruppi di Sylow di un gruppo finito: l'esempio di U + (n,z p ) - matrici triangolari superiori unipotenti - in GL(n,Z p ). I Teoremi di Sylow: Dato un gruppo G di ordine p α m con m non divisibile per p, con p primo, si ha: (a) esistono p-sotto-gruppi di Sylow in G ; (b) ogni p-sottogruppo è contenuto in un p-sylow; (c) tutti i p-sottogruppi di Sylow sono coniugati; (d) il numero ν p di p-sottogruppi di Sylow in G divide m ed è congruo a 1 modulo p. Dato un p-sylow S p in G, si ha: S p è normale S p è caratteristico ν p = 1. Per ogni gruppo G di ordine p m con m non divisibile per p, con p numero primo, esiste una catena di sottogruppi in G α {e G} = H 0, H 1,, H i, H i+1,, H α 1, H α tale che H i sia normale in H i+1 e H i Hi+1 / abbia ordine p (per i = 0,1,,α-1). Esempi ed applicazioni dei teoremi di Sylow e dei risultati correlati. Classificazione dei gruppi di ordine pq, con p e q primi distinti. 5 GRUPPI RISOLUBILI E GRUPPI ABELIANI FINITI 5.1: Il commutatore di due elementi in un gruppo. L'inverso del commutatore di x e y è il commutatore di y e x. Il sottogruppo derivato G' di un gruppo G. Proprietà del derivato G' : (a) G' è sottogruppo caratteristico di G ; (b) G' è il più piccolo sottogruppo di G tale che il quoziente corrispondente sia abeliano; (c) se N è sottogruppo normale di G, allora anche N' è sottogruppo normale (di G). 5.2: Gruppi risolubili: definizione (tramite l'esistenza di una catena di sottogruppi a quozienti abeliani) - esempi: (1) i gruppi abeliani; (2) i gruppi di ordine pq, con p e q primi distinti; (3) i gruppi simmetrici S n con n < 5. Ogni p-gruppo (finito) è risolubile. La serie derivata di un gruppo: definizione, proprietà fondamentali. Teorema di Caratterizzazione dei Gruppi Risolubili tramite la serie derivata: Un gruppo è risolubile se e soltanto se la sua serie derivata termina (dopo un numero finito di passi) con il sottogruppo banale. Per ogni n > 4 il gruppo simmetrico S n non è risolubile. 5.3: Gruppi abeliani. Ogni gruppo abeliano finito è (isomorfo al) prodotto diretto dei suoi sottogruppi di Sylow. Teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti: (a) Ogni gruppo abeliano finito è

4 isomorfo ad un prodotto diretto di gruppi ciclici del tipo Z p1 a 1,1 x... x Z p 1 a 1,λ(1) x Z p2 a 2,1 x... x Z p 2 a 2,λ(2) x... x Z p k a k,1 x... x Z p k a 1,λ(k) dove p 1, p 2,, p k sono primi distinti. (b) Se si assume che p 1 < p 2 <... < p k e similmente a i,1 =< a i,2 =<... =< a i,λ(i) per ogni i, la fattorizzazione considerata in (a) è univocamente determinata da G. Determinazione dei gruppi abeliani di ordine n tramite le partizioni degli esponenti dei primi che compaiono nella fattorizzazione di n. 5.4: Il teorema di Lagrange si inverte per i gruppi finiti che siano p-gruppi o che siano abeliani. Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico. In particolare, il gruppo moltiplicativo di Z p (p un primo) è ciclico. 6 TEORIA GENERALE DEGLI ANELLI 6.1: Definizione di anello. Controesempi ed esempi di anelli: anelli numerici, anello degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, anello delle matrici, l'anello A S delle funzioni con dominio un insieme S e codominio un anello A, l'anello delle funzioni reali continue. Altri esempi di anelli (di matrici, di polinomi, di serie formali, di polinomi di Laurent, di serie di Laurent). L'anello delle parti di un insieme. L'anello degli endomorfismi (di gruppo) di un gruppo abeliano. Divisori di zero. Anelli unitari. Elementi invertibili in un anello unitario: l insieme U(R) degli elementi invertibili in un anello unitario R è un gruppo. Anelli commutativi, domini, corpi, campi. 6.2: Sottoanelli di un anello: definizione, criteri perché un sottoinsieme di un anello sia un sottoanello; esempi di sottoanelli: interi di Gauss, (sotto)anelli di matrici, ecc. ecc. Sottoanelli generati da un sottoinsieme: definizione, esistenza, caratterizzazione. Il centro di un anello. La somma di sottoanelli in un anello: condizioni sufficienti perché sia un sottoanello, controesempi. Relazioni di equivalenza associate ad un sottoanello in un anello; classi laterali (destre e sinistre). Condizioni perché l'insieme delle classi laterali sia un anello: ideali (sinistri, destri, bilateri) in un anello. Anelli quoziente rispetto a equivalenze compatibili: definizione, esempi e controesempi. Data un'equivalenza compatibile in un anello, la classe di equivalenza dello zero è un ideale bilatero, e l'equivalenza associata coincide con quella di partenza. 6.3: (Omo)morfismi tra anelli: definizione, esempi controesempi. Proprietà elementari dei morfismi di anelli. L'immagine Im(φ) e il nucleo Ker(φ) di un morfismo φ di anelli. La proiezione canonica associata ad un ideale (bilatero), è un epimorfismo, con nucleo l'ideale di partenza. Per ogni morfismo di anelli φ da R ad R' si ha: (1) Im(φ) è sottoanello di R' ; (2) Ker(φ) è ideale (bilatero) di R'; (3) L'equivalenza in R associata a φ coincide con quelle associate a Ker(φ), e la classe dello zero è Ker(φ). Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per gli anelli. Corrispondenza tra sottoanelli di un anello R e sottoanelli dell'immagine di un morfismo di anelli che abbia R come dominio; il caso degli ideali sinistri/destri/bilateri. L'immagine dei sottoanelli di un anello rispetto alla proiezione canonica sul quoziente modulo un ideale (bilatero). Il Primo e il Secondo Teorema di Isomorfismo per gli anelli. 6.4: Prodotto diretto (o somma diretta) di anelli: definizione, esempi. Fattorizzazione del prodotto diretto di due anelli in prodotto di due opportuni ideali a intersezione banale. Criterio per riconoscere quando un anello sia (isomorfo al) prodotto diretto di due sottoanelli. Prodotto diretto di più anelli (cenni).

5 6.5: Endomorfismi e automorfismi di un anello. Nell'anello unitario End(G) degli endomorfismi di un gruppo G, il gruppo degli elementi invertibili U(End(G)) è il gruppo Aut(G) degli automorfismi di G. Endomorfismi ed automorfismi dell'anello Z n degli interi modulo n, dell'anello Z degli interi, e del campo Q dei razionali. 6.6: Automorfismi interni e coniugazione in un anello unitario. Gli automorfismi interni formano un sottogruppo normale del gruppo degli automorfismi (di anello); la relazione di coniugazione (in un anello unitario) è un'equivalenza, le cui classi si dicono "classi coniugate". In ogni anello A, il suo centro Z(A) in generale non è un ideale di A. Il Teorema di Cayley per gli anelli. 7 ANELLI COMMUTATIVI 7.1: Richiami su: divisibilità, elementi invertibili, elementi associati in un anello commutativo unitario; M.C.D. e m.c.m. in un dominio (commutativo unitario): definizione, problema dell'esistenza, unicità a meno di fattori invertibili. Caratterizzazione dei campi come tutti e soli gli anelli commutativi unitari che hanno soltanto gli ideali banali. Ideali primi e ideali massimali negli anelli commutativi unitari. Caratterizzazione tramite proprietà dell'anello quoziente. Tutti gli ideali massimali sono primi. Elementi irriducibili ed elementi primi in un dominio unitario; ogni elemento primo è irriducibile controesempi: casi di elementi irriducibili (in un dominio unitario) che non sono primi. Esempi di fattorizzazioni in irriducibili - in un dominio unitario - essenzialmente diverse (il numero di fattori irriducibili è diverso, e/o i fattori nell'una e nell'altra fattorizzazione non sono a due a due associati). 7.2: Il campo dei quozienti di un dominio unitario: definizione, esistenza (costruzione), esempi. La caratteristica char(r) di un anello commutativo R. Il caso degli anelli (commutativi) unitari: la caratteristica è l'ordine di 1 nel gruppo additivo dell'anello. La caratteristica di un dominio è zero oppure è un primo. Il sottoanello fondamentale R 0 di un anello unitario R. Il sottocampo fondamentale F 0 di un campo F. Se R è un anello, R 0 è isomorfo a Z char(r). Se F è un campo, F 0 è isomorfo a Q se char(r) = 0, e a Z char(r) se char(r) > : Domini euclidei: definizione generale e casi speciali (con valutazione additiva o moltiplicativa ). Esempi di domini euclidei: Z, K[x] e K[[x]], con K un campo, e il sottoanello Z (p) di Q delle frazioni il cui denominatore sia coprimo con il primo assegnato p. Proprietà dei domini euclidei: esistenza dell'unità, l'unità ha valutazione minima, gli invertibili sono tutti e soli gli elementi con valutazione minima. In un dominio euclideo esiste il M.C.D., ed una identità di Bézout per esso: entrambi si possono calcolare con l algoritmo euclideo delle divisioni successive. L'anello Z[i] degli interi di Gauss è un dominio euclideo, rispetto alla valutazione data dalla norma dei numeri complessi. In particolare, tale valutazione è moltiplicativa, con U(Z[i]) = { 1, -1, i, -i }. 7.4: Anelli a ideali principali, domini a ideali principali: definizione, esempi. In un dominio a ideali principali, per ogni coppia di elementi a e b non entrambi nulli, esiste il M.C.D.(a,b); inoltre, tale M.C.D. genera l'ideale generato da a e b, e si può esprimere come combinazione lineare di a e b (detta identità di Bézout). Ogni dominio euclideo è a ideali principali; quindi, esiste in esso il M.C.D., e esiste per tale M.C.D. una identità di Bézout. 7.5: Domini a fattorizzazione unica (=D.F.U.): definizione, esempi di Z e K[x]. Criterio per i D.F.U.: Un dominio R è un D.F.U. se e soltanto valgono le due condizioni seguenti: [CCD] ogni successione di elementi di R in cui il successivo divida il precedente è definitivamente composta di termini a due a due associati; [IP] ogni irriducibile è primo. Esistenza di M.C.D. e m.c.m. in un D.F.U., loro formula esplicita, e relazione M.C.D.(a,b) m.c.m.(a,b) = a b.

6 Ogni dominio a ideali principali (in particolare, ogni dominio euclideo) è un D.F.U. Polinomi a coefficienti in un D.F.U.: definizione del contenuto c(f), e dei polinomi primitivi. Lemma di Gauss: Dati f, g in R[x], con R un D.F.U., si ha c(f g) = c(f) c(g). Lemma: Dati f, g in R[x], con R un D.F.U., c(f)=1 e Q(R) campo dei quozienti di R, si ha che: f divide g in Q(R)[x] se e soltanto se f divide g in R[x]. Lemma: Dato f non nullo in R[x], con R un D.F.U., e Q(R) campo dei quozienti di R, si ha che (a) f è invertibile in R[x] f è in R ed è invertibile in R (b) f è irriducibile in R[x] f è in R ed è irriducibile, oppure c(f) = 1, ed f è irriducibile in Q(R)[x] Teorema (Gauss): Se R è un D.F.U., allora R[x] è un D.F.U. In conseguenza, R[x 1,,x n ] è un D.F.U. Il Criterio di Eisenstein per l'irriducibilità di un polinomio in una variabile a coefficienti in un D.F.U. Applicazioni del criterio di Eisenstein. 8 TEORIA GENERALE DEI CAMPI 8.1: Estensioni di campi. Grado di un'estensione di campi; estensioni finite ed estensioni infinite. Moltiplicatività del grado: una torre di estensioni finite è finita, e il grado è moltiplicativo sulle estensioni finite. In una estensione finita, le estensioni intermedie sono finite; un estensione finita di grado primo ammette soltanto le estensioni intermedie banali. 8.2: Elementi algebrici, elementi trascendenti in una estensione K di un campo F. Estensioni semplici. Se a è trascendente su F, allora F[a] è isomorfo a F[x], e F(a) è isomorfo a F(x). Se a è algebrico su F, allora F(a) = F[a] ed è isomorfo a F[a]/(p a (x)) dove p a (x) è un polinomio irriducibile monico in F[x], detto polinomio minimo di a su F. In particolare, [F(a):F] = grado di p a (x). Se K/F è un'estensione finita, ogni suo elemento è algebrico su F. In un'estensione K di F, il sottoinsieme di tutti gli elementi algebrici su F è un'estensione intermedia. Estensioni algebriche, estensioni trascendenti. Ogni torre di estensioni algebriche è algebrica. Teorema dell'elemento Primitivo (solo l enunciato, senza dimostrazione) in caratteristica zero: Ogni estensione finita di un campo a caratteristica zero è semplice. Campi algebricamente chiusi. Condizioni equivalenti perché un campo sia algebricamente chiuso. Esempio: i numeri complessi che siano algebrici su Q formano un sottocampo di C algebricamente chiuso. Chiusura algebrica di un campo: definizione, esistenza e unicità (solo l enunciato, senza dimostrazione). 8.3: Campo di spezzamento sul campo F di un polinomio f(x) in F[x]. Costruzione di un'estensione E di F che con-tenga una radice di un polinomio irriducibile p(x) e abbia grado [E:F] uguale al grado di p(x). Per ogni polinomio f(x) in F[x], esiste un campo di spezzamento di f(x) su F, sia E, tale che [E:F] minore o uguale a n!, dove n e` il grado di f(x). Estensione di un isomorfismo tra campi F ed F' ad un isomorfismo tra campi di spezzamento di polinomi (su F e su F' ) corrispondenti. Teorema di Unicità (a meno di isomorfismi) per il campo di spezzamento di un polinomio a coefficienti in un campo F : due tali campi di spezzamento sono isomorfi, tramite un'isomorfismo che estende id F. Due radici di uno stesso polinomio irriducibile generano estensioni (semplici) isomorfe. Elementi coniugati in un'estensione algebrica. Equivalenza, per un'estensione K di E, delle condizioni: K è chiusa per coniugati e se un polinomio irriducibile in F[x] ha una radice in K, allora si fattorizza in fattori lineari in K[x]. Estensioni normali. Un'estensione K/F è finita e normale se e soltanto se K è campo di spezzamento di un polinomio in F[x]. 8.4: La derivata f'(x) di un polinomio f(x) in R[x]. Un polinomio f(x) ha una radice multipla se e soltanto se il M.C.D. tra f ed f' è non banale (cioè non è un elemento invertibile di R).

7 Teorema di Struttura dei Campi Finiti ( = C. F.): Un campo finito F ha cardinalità p n, con p = char(f) e n = grado di F sul sottocampo fondamentale; inoltre, esso è campo di spezzamento di f(x) := x pn - x su Z p, e i suoi elementi sono tutti radici di f(x). Teorema di Unicità per C. F.: Due campi finiti con la stessa cardinalità sono tra loro isomorfi. Teorema di Esistenza per C. F.: Per ogni primo p e per ogni n in N +, esiste un campo con p n elementi. Le estensioni tra campi finiti sono normali. Il gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico. Teorema dell'elemento Primitivo per C. F.: Ogni estensione tra campi finiti è algebrica semplice. 9 TEORIA DI GALOIS 9.1: L'insieme I(K/F) dei monomorfismi di un'estensione algebrica K/F nella sua chiusura algebrica. Il gruppo di Galois G(K/F) di K/F ; il gruppo di Galois di un polinomio. Per ogni sottogruppo H del gruppo Aut A (K) degli automorfismi del campo K, l'insieme K H degli H-invarianti in K è un sottocampo di K. Le corrispondenze di Galois T G(K/T) e H K H per un'estensione algebrica K/F qualsiasi: proprietà fondamentali. 9.2: Il trasformato di un elemento algebrico a tramite un φ in I(K/F) è coniugato ad a su F. Per ogni estensione algebrica semplice K/F, si ha che I(K/F), ha al più [K:F] elementi. In particolare, ciò vale per estensioni finite di campi F di caratteristica zero. Se a è algebrico su F, con polinomio minimo p a (x), dati τ in I(K/F) e b radice di τ(p a (x)), esiste un'estensione τ' di τ a F(a) con τ'(a) = b. Per un estensione algebrica semplice K= F(a) di grado n, con char(f) = 0, si ha I(K/F) = {ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n } con ϕ i (a) = a i (per ogni i). Se K/F è estensione finita, con char(f) = 0, e H è sottogruppo di G(K/F), si ha [K : K H ] = H e H = G(K/K H ). 9.3: Caratterizzazioni della normalità per un'estensione finita K/F in caratteristica zero: l estensione è normale se e soltanto se (1) K G(K/F) = K, *oppure* (2) G(K/F) = I(K/F). Estensioni di Galois ( = estensioni finite e normali in caratteristica zero). Se K/F è un estensione di Galois, allora G(K/F) = [K:F]. Se K/F è un estensione di Galois e T è un'estensione intermedia, allora T/F è normale σ(t) = T per ogni σ in G(K/F) Teorema di Corrispondenza di Galois: Se K/F è un estensione di Galois, allora: (a) le corrispondenze di Galois per K/F sono biunivoche, inverse l'una dell'altra; (b) per ogni estensione intermedia T, si ha che T/F è normale se e soltanto se G(K/F) è normale in G(K/F), e in tal caso G(K/T) è isomorfo a G(K/F)/G(K/T). 9.4: Esempi ed applicazioni della teoria di Galois. Le radici n-esime dell unità in un campo formano un gruppo ciclico di ordine n rispetto alla moltiplicazione. Radici n-esime primitive; polinomi ciclotomici. Estensioni ciclotomiche e loro gruppo di Galois. Polinomi risolubili per radicali. Il Teorema di Abel-Ruffini: un polinomio f(x) è risolubile per radicali se e soltanto se il gruppo di Galois di f(x) è risolubile (solo l enunciato, senza dimostrazione). Il Teorema Fondamentale dell Algebra: Il campo C dei numeri complessi è algebricamente chiuso. BIBLIOGRAFIA G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra, ed. Decibel-Zanichelli, Padova, N. Herstein, Algebra, ed. Editori Riuniti, Roma, 1994.