Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 1: 4 Marzo, 2010 Introduzione alla teoria dei giochi Docente Prof. Vincenzo Auletta Note redatte da: Vincenzo De Maio Abstract In questa lezione verrà fornita una breve introduzione alla teoria dei giochi algoritmica. Daremo una definizione formale di giochi e di soluzioni e classificheremo i giochi rispetto al tempo, l informazione e la cooperazione; inoltre, definiremo un gioco in forma strategica e faremo qualche esempio di giochi strategici. Queste note sono basate sul capitolo 1 di [1] e sui paragrafi 1.1 e 1.2 di [2]. 1 Introduzione La teoria dei giochi fornisce modelli e strumenti matematici per descrivere il comportamento di agenti che devono prendere decisioni in situazioni in cui le loro azioni si influenzano vicendevolmente. Le assunzioni base della disciplina sono che gli agenti sono razionali, ovvero che ognuno di essi cerca di raggiungere il proprio obiettivo ed è in grado di discernere cosa è meglio per lui, e che effettuano un ragionamento strategico, nel senso che tengono conto della loro conoscenza o aspettativa sul comportamento degli altri agenti. Esempio: Mammuth o lepre Immaginiamo che n cacciatori abbiano organizzato una battuta di caccia al mammuth. Tutti loro sanno che se resteranno al loro posto riusciranno a catturare la loro preda e riceveranno 1/n di essa. Tuttavia, se durante la caccia si dovesse trovare a passare una lepre accanto a uno dei cacciatori, questi potrebbe decidere di abbandonare la sua posizione per andare a caccia della lepre (in questo modo allarmando il mammuth e consentendogli di sfuggire alla cattura facendo così fallire la caccia). Assumiamo che ogni cacciatore preferisca prendere il Mammuth alla lepre, ma che preferisca quest ultima rispetto alla prospettiva di non prendere niente: cosa dovrebbe fare un cacciatore quando avvista una lepre? Si tenga conto del fatto che ogni cacciatore deve considerare la possibilità che se lui lascia andare la lepre qualcun altro potrebbe vederla e cacciarla, permettendo al mammuth di scappare e facendo fallire la battuta di caccia. I primi studi relativi ai giochi possono essere fatti risalire agli anni 30 con i primi risultati ottenuti sui giochi a somma zero (come gli scacchi), ma il pieno riconoscimento della Teoria dei Giochi come una branca autonoma della Matematica e come un importante area di ricerca è arrivato nel 1944 con la pubblicazione del lavoro di Von Neumann-Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior. Negli anni seguenti la Teoria dei Giochi ha trovato applicazioni in vasti campi delle scienze sociali come uno strumento per la comprensione del comportamento di agenti decisionali che interagiscono tra di loro. Oggigiorno la Teoria dei Giochi viene largamente utilizzata in Economia (la competizione di agenti sul mercato puú essere modellata come un gioco dove ognuno di essi deve stabilire prezzi di vendita e livelli di produzione in modo da massimizzare i propri profitti), nelle Scienze sociali (i politici decidono le loro strategie in funzione 1
2 Lecture 1: Introduzione alla teoria dei giochi delle idee dell opinione pubblica e delle posizioni dei concorrenti in modo da guadagnare il consenso popolare), in Biologia (gli esseri viventi sono in perpetua competizione con altri individui per la sopravvivenza e il possesso del territorio) ed in Ingegneria (pianificazione dei trasporti e logistica). Negli ultimi dieci anni la Teoria dei Giochi ha acquistato importanza crescente anche nel campo dell Informatica. La fine del ventesimo secolo è stata caratterizzata dalla diffusione mondiale di Internet e dall insorgere del web e delle reti sociali come piattaforme di interazione che hanno cambiato radicalmente le relazioni sociali. Come Tim Roughgarden fa notare[3], this revolution changed the social role of computers, which evolved from a stand-alone well-understood machine for executing software to a conduit for global communication, content-dissemination and commerce (questa rivoluzione ha cambiato il ruolo sociale dei computer, che si sono evoluti da macchine stand-alone e note unicamente per l esecuzione di programmi a un porta aperta verso la comunicazione globale, la distribuzione di contenuti e il commercio). Come conseguenza di questa rivoluzione gli informatici si devono confrontare con nuovi problemi e definire nuove tecniche in grado di aiutare la progettazione e l analisi di applicazioni e servizi che devono funzionare sulle moderne reti, per loro natura decentralizzate e non coordinate. Infatti, il tradizionale modello di calcolo distribuito dove un algoritmo pianificato centralmente viene distribuito tra i nodi della rete indicando come ogni nodo deve computare e cooperare con gli altri, non funziona perché le moderne reti sono caratterizzate da un basso grado di coordinazione: queste reti sono formate da nodi eterogenei, magari dipendenti da differenti orgaizzazioni con svariati interessi, privi di controllo centralizzato e che interagiscono in un contesto in continua evoluzione. In questo scenario la rete è una sorta di campo di gioco per un gran numero di utenti con un differente grado di competizione/collaborazione che può cambiare in funzione dei loro obiettivi contingenti. In base a questo punto di vista bisogna adottare un nuovo approccio durante lo studio del funzionamento di queste reti. Infatti il comportamento di queste reti varierà in base ad azioni stabilite autonomamente da agenti che controllano le risorse di rete e che agiscono per il raggiungimento dei propri obiettivi. Lo scopo dei progettisti è far si che tali nodi cooperino e che riescano a svolgere task complessi e che trascendono le capacità e le convenienze dei singoli nodi anche in presenza di comportamenti egoistici. Alla fine del secolo è diventato chiaro ai ricercatori che la Teoria dei Giochi, per la sua capacit di descrivere le interazioni tra agenti decisionali, fosse lo strumento pi promettente per sostenere questo nuovo approccio. Negli ultimi dieci anni abbiamo assistito a una vasta proliferazione di studi a cavallo tra l Informatica Teorica, la Teoria dei Giochi e la Microeconomia. Ricercatori provenienti da diverse discipline hanno interagito fruttuosamente mostrando uno straordinario esempio di ricerca interdisciplinare che ha portato a un mutuo arricchimento delle discipline e ha dato la luce a una nuova disciplina, detta Algorithmic Game Theory (AGT). I temi di ricerca principali della AGT differiscono sostanzialmente da quelli della Teoria dei Giochi e della Microeconomia classica. Innanzitutto per ciò che concerne le aree di applicazioni: fonti di ispirazione principali per i ricercatori dell AGT sono, per esempio, lo studio del funzionamento di reti tipo Internet o il web, del comportamento degli utenti di queste reti, del funzionamento di meccanismi economici non tradizionali mediati da queste reti (per esempio le aste di beni digitali o le aste per la vendita di spazi pubblicitari associati ai risultati di un motore di ricerca). In secondo luogo, la ricerca in AGT utilizza un approccio ingegneristico e quantitativo, cercando di modellare le applicazioni attraverso concreti problemi di ottimizzazione e ricerca soluzioni ottime, risultati di impossibilità, upper e lower bounds su approssimazioni ottenibili e cosï via. Infine, la AGT tipicamente impone come vincolo una complessità computazionale ragionevole (polinomiale) sul comportamento ammissibile da parte di chi progetta il sistema e i partecipanti al gioco. Questi temi, che hanno avuto una importanza marginale nella teoria dei
Lecture 1: Introduzione alla teoria dei giochi 3 giochi tradizionale, hanno fornito alla AGT la sua diversa prospettiva e importanza. La AGT inoltre si relaziona all informatica teorica in differenti e interessanti modalità. Ad esempio, il recente lavoro sulla progettazione di aste ha impattato aree come gli algoritmi primale-duale e la communication complexity ; le analisi quantitative degli equilibri game-theoretic hanno potuto contare su strumenti noti dalla progettazione di algoritmi di approssimazione e potenziali argomenti di funzione potenziale; Inoltre lo studio della complessità di calcolo di tali equilibri ha risvegliato l interesse per classi di complessità che erano inizialmente nate per lo studio di problemi di ricerca locale e topologia combinatoria ma che non hanno avevano mai ricevuto grossa attenzione da parte della comunità dei ricercatori [3]. 2 Giochi e soluzioni Un gioco è una descrizione di una situazione in cui un certo numero di agenti ha bisogno di prendere decisioni che si influenzano vicendevolmente. Si noti che un gioco è solo una descrizione formale delle interazioni strategiche tra i vari agenti, includendo i vincoli sulle azioni che essi possono intraprendere e i loro interessi. Il gioco non specifica le azioni che i giocatori intraprendono. Una soluzione, invece, è una descrizione formale delle azioni intraprese dai giocatori e degli outcome che possiamo ottenere in una famiglia di giochi. La teoria dei giochi si occupa della descrizione di soluzioni ragionevoli per categorie di giochi di interesse e di esaminare le proprietà di tali soluzioni. Come già detto nell introduzione, il modello della teoria dei giochi assume che i giocatori siano razionali e quindi che conoscano tutte le loro possibili scelte, si creino un aspettativa riguardo le azioni degli altri, abbiano chiari criteri di preferenza e scelgano le loro azioni in base a qualche processo di ottimizzazione. Nel caso più semplice, in cui non c è incertezza, il nostro modello di scelte razionali include: Un insieme A di azioni possibili per gli agenti; Un insieme C di possibili conseguenze delle azioni (altrimenti definiti gli outcome del gioco); Una funzione conseguenza g : A C, che associa le azioni agli outcome; Per ogni agente i, una relazione di preferenza i sull insieme C. In alcuni casi potrebbe essere utile descrivere le preferenze dei giocatori con una funzione utilità u i : C R, che associa ad ogni outcome un valore reale che rappresenta una misura di quanto agli agenti piaccia tale outcome. In questo caso, abbiamo che x, y C x i y sse u i (x) u i (y). Un agente razionale può selezionare il sottoinsieme B A di azioni che sono ammissibili per lui e poi scegliere l azione x B che è per lui la migliore, cioè, quella per cui u i (x ) = max x B {u i(g(x))}. La Teoria dei Giochi non tiene conto delle differenti abilità degli agenti nel valutare il gioco. Si assume che tutti i giocatori abbiano le stesse capacità di calcolo e che siano capaci di scegliere la strategia ottima per loro. La realtà è differente e l abilità dei giocatori riveste un ruolo fondamentale (pensiamo a quanto sarebbe noiosa una partita di scacchi se tutti i giocatori
4 Lecture 1: Introduzione alla teoria dei giochi avessero le stesse capacità strategiche). In un modello più realistico ogni agente deve prendere decisioni in una situazione di incertezza (questa incertezza può riguardare le strategie, lo stato del gioco, il comportamento degli altri giocatori, le conseguenze delle loro azioni, etc.). In tali casi ogni giocatore razionale fa delle ipotesi (distribuzioni di probabilità) sulle quantità su cui è incerto e cerca di massimizzare il suo utile atteso. 2.1 Classificazione dei giochi Possiamo classificare i giochi in base a tre parametri: cooperazione, informazione e tempo. cooperazione Distinguiamo tra non-cooperative games dove ogni agente cerca di massimizzare il suo utile in base all idea che ha delle azioni degli altri senza interagire in alcun modo con gli altri giocatori e cooperative games dove gli agenti cooperano per decidere il loro comportamento in base a una sorta di utilità globale; informazione Distinguiamo tra perfect (full) information games dove gli agenti hanno una conoscenza completa del gioco (ovvero conoscono le mosse degli altri, sanno che anche gli altri le conoscono e sanno che gli altri sanno di sapere e cosï via ) e imperfect (partial) information games dove i giocatori hanno una conoscenza solo parziale del gioco; tempo Distinguiamo tra strategic (normal) games dove ogni giocatore deve decidere la sua strategia (che può consistere in varie mosse) prima di iniziare a giocare e senza interagire con gli altri giocatori ed extensive games che vengono giocati in fasi, dove ad ogni passo un giocatore decide in base alla sua conoscenza dello stato attuale del gioco e alla storia dello stesso. La maggior parte dei giochi che tratteremo in questo corso sono non-cooperative, strategic e full-information. 3 Giochi strategici Un gioco strategico è un modello di decision-making non interattivo dove ogni giocatore sceglie la sua modalità d azione una volta per tutte e tutti i giocatori fanno le loro scelte nello stesso momento e indipendentemente. Si potrebbe pensare a questo gioco come un match giocato una singola volta e che consiste in un unica mossa. Tuttavia anche i giochi in fasi possono essere descritti come giochi strategici: in tal caso il giocatore decide la sua intera strategia, consistente delle sue azioni in ogni possibile stato del gioco. Formalmente, un gioco in forma strategica (normale) viene definito attraverso una tripla (N, (A i ), ( i )), dove: N è l insieme finito dei giocatori, per ogni giocatore i N, A i è l insieme non vuoto delle azioni disponibili per il giocatore i, per ogni giocatore i N, i è la relazione di preferenza di i definita sull insieme (A 1 A 2 A n ). Se gli insiemi delle azioni di tutti i giocatori sono finiti, diremo che il gioco è finito.
Lecture 1: Introduzione alla teoria dei giochi 5 Un vettore (a 1, a 2,..., a n ), con a i A i, Ë detto profilo di azioni. L insieme A = A 1 A 2... A n Ë l insieme di tutti i profili di azioni. In molte situazioni è possibile definire per ogni giocatore i una funzione utilità u i : A R tale che a, b A a i b sse u i (a) u i (b). Per semplicità, possiamo anche definire un insieme O dei possibili outcome del gioco e una funzione g : (A 1 A 2 A n ) O che lega le soluzioni del gioco agli outcome prodotti in modo tale che la funzione utilità del giocatore i possa essere definita su O in modo tale che x, y O x i y sse u i (x) u i (y). Quindi, definiremo un gioco strategico come (N, (A i ), (u i )). In questo gioco, un giocatore razionale che sa che gli altri giocatori eseguiranno le azioni a i = (a 1,, a i 1, a i+1,, a n ) è in grado di selezionare l azione a i tale che (a i, a i ) = arg max ai A i u A u i (g(a i, a i )). Quando abbiamo solo due giocatori è possibile descrivere in maniera compatta il gioco come una matrice dove le righe (a 1, a 2,, a n ) sono le azioni disponibili per il giocatore 1, le colonne (b 1, b 2,, b m ) sono le azioni disponibili per il giocatore 2 e ogni entry (i, j) contiene l utilit associata dai due giocatori al profilo (a i, b j ). b 1 b 2 b 3 a 1 u 1 (a 1, b 1 ), u 2 (a 1, b 1 ) u 1 (a 1, b 2 ), u 2 (a 1, b 2 ) u 1 (a 1, b 3 ), u 2 (a 1, b 3 ) a 2 u 1 (a 2, b 1 ), u 2 (a 2, b 1 ) u 1 (a 2, b 2 ), u 2 (a 2, b 2 ) u 1 (a 2, b 3 ), u 2 (a 2, b 3 ) a 3 u 1 (a 3, b 1 ), u 2 (a 3, b 1 ) u 1 (a 3, b 2 ), u 2 (a 3, b 2 ) u 1 (a 3, b 3 ), u 2 (a 3, b 3 ) Definiamo una soluzione come il profilo di azioni seguito dai giocatori nello svolgimento del gioco. Perciò le soluzioni sono gli elementi presi dall insieme (A 1 A 2 A n ). Nella maggior parte dei casi siamo interessati a soluzioni che hanno specifiche proprietà. Per esempio, potremmo essere interessati a soluzioni stabili, dove ogni giocatore, una volta osservate le azioni degli altri giocatori, non è interessato a cambiare la sua azione. Esempio 1: Il dilemma del prigioniero Due sospettati di un crimine vengono rinchiusi in celle separate ed interrogati. Se confessano entrambi, ognuno verrà condannato a quattro anni di carcere. Se confessa uno solo, questi sarà liberato e la sua testimonianza verrà utilizzata contro l altro, che verrà condannato a cinque anni. Se nessuno dei due confessa entrambi verranno accusati solo di crimini minori, punibili con due anni di galera. Ognuno di essi preferisce stare in carcere il minor tempo possibile. Questa situazione può essere descritta come un gioco strategico con due giocatori, dove ognuno di essi ha due possibilità: confessare o non confessare. Il gioco è completamente descritto dalla seguente matrice, talvolta detta matrice dei payoff : C N C 4, 4 0, 5 N 5, 0 2, 2 A prima vista potrebbe sembrare che la migliore strategia per i sospettati sia mettersi d accordo per non confessare (ed essere condannati a soli due anni). Tuttavia, l ipotesi che gli agenti siano razionali e cerchino di avere una condanna quanto più piccola possibile convincerà ognuno di essi, al momento di scegliere, che l altro non rispetterà l accordo per cercare di ottenere uno
6 Lecture 1: Introduzione alla teoria dei giochi sconto di pena e quindi anch egli lo infrangerà di conseguenza. Di conseguenza, possiamo dire che in questo gioco esiste un unica soluzione stabile ed è (C, C). Osserviamo che la formulazione del gioco non è limitata a un contesto specifico ma può essere applicata a un vasto campo di situazioni in cui i giocatori hanno due possibili strategie e le loro preferenze sono strutturate come la precedente matrice dei payoff. Il prossimo esempio è preso da un contesto completamente differente (il routing del traffico su internet) ma avrà la stessa matrice dei payoff, ragion per cui è possibile analizzare il comportamento dei giocatori nello stesso modo dei sospetti del precedente gioco. Esempio 2: ISP Routing Game Consideriamo due ISP che hanno bisogno di scambiare dati l un con l altro. Si assuma che ogni provider ha la sua rete e che queste reti siano connesse come illustrato nella figura. Figure 1: L ISP routing game Le due reti sono connesse attraverso due peering points C ed N. Quindi se ISP 1 vuole inviare dati da s 1 ao t 1 deve scegliere se mandarlo attraverso C o N. Tipicamente gli ISP sono egoisti e tendono a inviare dati attraverso il percorso pi breve (o economico). Tuttavia in questo caso in cui un ISP seleziona un percorso diretto alle altre reti implicitamente condiziona il carico su di esse. Quindi, nel nostro esempio ISP 1 può scegliere di inviare il traffico da s 1 a t 1 attraverso il più vicino nodo C pagando 1 spingendo l altro a pagare 5 o mandare i suoi dati attraverso il più lontano nodo N pagando 2 facendo in modo che il suo collega paghi lo stesso costo. ISP 2 ha le stesse possibili strategie per inviare dati da s 2 a t 2. Possiamo facilmente vedere che in questo esempio abbiamo due giocatori con due strategie alternative e che la matrice dei payoff che descrive il gioco Ë uguale a quella del Dilemma del Prigioniero. References [1] Ariel Rubinstein Martin L. Osborne. A course in Game Theory. MIT Press, 1994. [2] Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, and Vijay V. Vazirani. Algorithmic Game Theory. Cambridge University Press, 2007.
Lecture 1: Introduzione alla teoria dei giochi 7 [3] Tim Roughgarden. An algorithmic game theory primer. 2008.