U.M.I. - I. T. C. G. Pitagora - Calvosa Castrovillari OLIMPIADI DI MATEMATICA 2012- DISTRETTO DI COSENZA Gara a squadre del 2 Febbrio 2012 Istruzioni 1) La prova consiste di 17 problemi divisi in 3 gruppi. 2) Nei quesiti dal numero 1 al numero 12 sono proposte 5 possibili risposte, indicate con le lettere A, B, C, D, E. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere riportata, per ogni quesito, in fondo a questa pagina nella relativa finestrella. Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. 3) I problemi 13 e 14 richiedono una risposta che è data da un numero intero che va indicato nelle relativa finestrella. Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema privo di risposta vale 1 punto. 4) I problemi 15, 16 e 17 richiedono, invece, una dimostrazione. Ti invitiamo a formulare le soluzioni in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicoletto. Tali problemi verranno valutati con un punteggio da 0 a 12. 5) Il file-soluzioni va inviato entro 15 minuti dalla fine del tempo concesso. Avete 2 ore di tempo. Buon Lavoro! SQUADRA: Indirizzo: Capitano Nome: E-mail: SCUOLA: Nome e Cognome degli altri Componenti la squadra 1) 2) 3) 4) Cognome: Città: Risposte ai primi 14 quesiti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 PUNTEGGIO (da riempirsi a cura del responsabile) Valutazione esercizi da 1 a 14 A risposta esatta: x5 Valutazione esercizio n.15 Valutazione esercizio n.16 Valutazione esercizio n.17 Senza risposta: x1 PUNTEGGIO TOTALE
Problemi a risposta multipla 5 punti 1. In una certa Base di numerazione, il numero è divisibile per 20 (espresso in forma decimale) qualunque siano le cifre,, di tale sistema di numerazione. Quale tra i seguenti numeri può essere il valore di? (A) 10 (B) 5 (C) 8 (D) 14 (E) 3 2. Quante sono le soluzioni dell equazione: 4 +5 +20 =1000 con,, interi non negativi? (A) 500 (B) 503 (C) 1275 (D) 1326 (E) 2550 3. Se si prende come unità di lunghezza 100 km, il triangolo delle Bermude ha, come misure dei suoi lati, numeri interi consecutivi e il suo angolo più piccolo è la metà del suo angolo più grande. Quale sarà il suo perimetro? (A) 400 km (B) 1200 km (C) 600 (D) 900km (E) 1500 km 4. L acqua di un fiume scorre con velocità di 3km/h. Una barca a motore impiega 3 ore per percorrere 12 km controcorrente e successivamente ritornare al punto di partenza. Qual è la velocità della barca in acqua ferma? (A) 9 km/h (B) 12km/h (C) 15km/h (D) 6 km/h (E) 10km/h 5. Nell orologio di Gabriele la lancetta delle ore e quella dei minuti avanzano a velocità costante; chiaramente la prima compie un giro ogni 12 ore, la seconda ogni ora. Purtroppo le lancette sono identiche tra loro, quindi Gabriele ha parecchi problemi a determinare l ora esatta. In quali momenti della giornata non è possibile determinare l ora corrente semplicemente guardando l orologio (supponendo di potere misurare con precisione infinita la posizione delle lancette)? (0, 11). (A) = ( ), h= ( ) (B) = ( ), h= ( ) (C) = ( ), h= ( ) (D) = ( ), h= ( ) (E) = ( ), h= ( ) 6. Ci sono 3 borse, ognuna contenente 6 gettoni; una ne contiene 5 bianchi e 1 nero, un altra 4 bianchi e 2 neri, la terza 3 bianchi e 3 neri. Da due delle borse (non si sa da quali) si estraggono 2 gettoni che risultano 1 bianco e 1 nero. Qual è la probabilità di estrarre un gettone bianco dalla borsa rimanente? (A) (B) (C) (D) (E) 7. In una classe vi sono 6 maschi e 4 femmine. Le ragazze si odiano tutte tra loro pure essendo amiche dei ragazzi che sono amici tra loro. Si dica in quanti modi N possono disporsi in fila in modo che 2 ragazze non siano vicine tra loro. (A)608.400 (B) 302.400 (C) 160.000 (D) 604.800 (E) 151.200 8. Qual è la probabilità che i 5 numeri estratti su una sola ruota in occasione di una estrazione del lotto siano in ordine crescente? (A) (B) (C) (D) (E)
9. Da un comune mazzo di 40 carte numerate, quattro a quattro, da 1 a 10 togliamo due carte che portano il numero 7. Scegliendo a caso due carte tra le restanti 38, qual è la probabilità che abbiano lo stesso numero? (A) (B) (C) (D) (E) 10. Un triangolo rettangolo ha i lati in progressione geometrica e si sa che il cateto minore a è tale che =1000. Quanto vale l area del quadrato costruito sull ipotenusa in,trascurando i decimali? (A) 2618 (B) 2628 (C) 3618 (D) 2576 (E) 2620 11. Sappiamo che tre numeri primi x, y, z sono tali che + =676, qual è il valore di? (A) 2001 (B) 3335 (C) 2093 (D) 1615 (E) 3289 12. Per quanti valori del parametro reale l equazione 6 ( +1) =0 ammette tre radici reali in progressione aritmetica? (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 6 (E) infiniti Problemi a risposta intera 5 punti 13. Sviluppando la frazione si ricava un numero del tipo + 3. Quanto vale? 14. Una sveglia digitale ha un display di 4 cifre. Quanti minuti al giorno compare il numero 13 in una qualsiasi configurazione, come ad esempio quelle rappresentate? 1 3 1 5 1 1 3 5 1 5 1 3
15. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Si dimostri che per ogni coppia di reali positivi, tali che + =1 si ha: + 1 ++ 1 25 2 Capitano Nome: Cognome
16. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO In un pentagono convesso i lati,, sono uguali. Inoltre ogni diagonale del pentagono è parallela ad un lato. Dimostrare che è un pentagono regolare. A E B D C Capitano Nome: Cognome
17. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Si consideri una scacchiera 10x10 e in ogni sua casella siano indicati ordinatamente i numeri da 1 a 100 incominciando dalla prima casella in alto a sinistra, andando verso destra fino a terminare la prima riga e poi proseguendo con la seconda riga sempre da sinistra a destra, fino ad arrivare alla centesima casella in basso a destra. Supponiamo ora di cambiare i segni a 50 di questi numeri con la condizione che in ogni riga e in ogni colonna ci siano tanti numeri positivi quanti negativi. Si dimostri che, dopo tale cambiamento, la somma di tutti i numeri è zero. Capitano Nome: Cognome