Esercizi di ripasso. Sia P r : R R l endomorfismo che manda ogni vettore v R nella sua proiezione ortogonale sulla retta r passante per l origine di equazione x y =. Calcolare una matrice per P r. Determinare l immagine del vettore v = ( ) ( ) 6 vettori u = e w = 5 ( 7 Soluzione. Se fissiamo la base canonica di R : N = allora la matrice di P r è (v. Capitolo del testo) ( 9 ) 6 6 ( ) x Allora l immagine di un generico vettore x = è y ( 9 6 6 Per esempio il vettore x = ( ) 6 (v. figura ) ) ( ) x = y ( ) 7 ) e la controimmagine dei ( ) 9x + 6y 6x + y si trasforma in P r (x) = (( ) ( )),, ( ) 78/ 5/ =
Per quanto riguarda la controimmagine: ricordiamo che la controimmagine di un vettore w è l insieme dei vettori che vengono trasformati in esso. Nel nostro caso è chiaro che ogni vettore viene trasformato in qualche vettore che giace sulla retta. Per questo motivo, il vettore ( 6 5 ) ( ) ha controimmagine vuota, mentre il vettore ha controimmagine non vuota. Occorre determinare tutti i vettori tali / ( ) x y che ( 9 6 6 ) ( ) x = y In definitiva, dobbiamo risolvere il sistema { 9 x + 6 y = 6 x + y = ( ) / Procediamo alla riduzione ( 9 ) ( ) ( ) ( ) 6 9 6 9 9 6 6 6 6 6 ( Abbiamo quindi infinite soluzioni della forma t + ) 9 (è una retta t data in forma parametrica). La controimmagine del vettore w (rosso
nella figura ) è costituita da tutti i vettori che hanno punto iniziale nell origine e punto terminale sulla retta di equazioni parametriche appena calcolata, per esempio i vettori in blu nella figura.. Nel caso di una rotazione del piano di un angolo θ in senso antiorario i calcoli sono più facili in quanto l applicazione è biiettiva: abbiamo quindi un isomorfismo. Verificare con un disegno che l immagine di un vettore v è il vettore v ruotato di un angolo θ in senso antiorario. Mentre la controimmagine di un vettore w (cioè l insieme dei vettori da cui proviene) è costituito daun solo vettore che si ottiene ruotando w di un angolo θ in senso orario.. Determinare l applicazione lineare L : R R tale che i vettori, siano nel nucleo dell applicazione e che L = l immagine di. Calcolare e la controimmagine (detta anche pre-immagine o immagine inversa) di e di.
Soluzione. Osserviamo che i tre vettori assegnati sono linearmente indipendenti, infatti la matrice ha determinante. Allora le nostre ipotesi ci forniscono direttamente una matrice di L rispetto alla base costituita da questi vettori per il primo spazio e la base canonica per il secondo spazio: (l ultima freccia (all apparenza superflua, è quella che ci dà le coordinate del vettore immagine rispetto alla base fissata, qui ovvio perché abbiamo preso la base canonica.) e La matrice dell applicazione è quindi M(L) = Per calcolare L( ) occorre prima trovare le coordinate di in termini della base fissata del primo spazio:
= a + b + c Questo è un sistema lineare che ha per soluzione a =, b =, c = 5. Quindi L( ) = 5 = 5 5 L immagine dell applicazione è il sottospazio di R generato da ed è quindi costituito da tutti i vettori aventi uguali coordinate. Il vettore ha quindi controimmagine vuota. Mentre il vettore ha controimmagine non vuota. Si ottengono risolvendo il sistema a b c = ossia c = dove questo valore è la coordinata dei vettori della controimmagine rispetto alla base fissata. Questi invece, espressi nella base canonica, sono della forma: = a + b + cioè a b a + b + 5
Per esempio, il vettore è nella controimmagine. 8 Osservazione. Può essere utile confrontare il metodo di calcolo del nucleo di una applicazione con quello del calcolo della controimmagine di un qualche vettore w. In effetti, il nucleo non è altro che la controimmagine di. Per il calcolo del nucleo si studia un SLO, per il calcolo della controimmagine si studia un sistema, non più omogeneo, ma che ha la stessa matrice dei coefficienti di quello usato per il nucleo.. Determinare l applicazione ( ) lineare L : P R( in ) cui il vettore x è nel nucleo di L, L() = e L((x ) ) =. Calcolare L(x + x ) ( ) e calcolare la controimmagine di. Soluzione. I vettori, x, (x ) sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base di P. Le condizioni date quindi determinano univocamente l applicazione lineare. Ne possiamo calcolare la matrice prendendo la base ordinata B = (, x, (x ) ) per il primo spazio e la base (ordinata) canonica N per il secondo spazio. Otteniamo da cui la matrice ( ) ( ) ( ) ( ) x ( ) ( ) (x ) M(L) = ( ) Volendo ora calcolare L(x + x ) occorre prima esprimere il vettore (x + x ) come combinazione lineare della base scelta, trovando così le sue coordinate. x + x = a() + b(x ) + c(x ) = cx + (b c)x + a b + c 6
confrontando i coefficienti dei due polinomi abbiamo il sistema lineare a b + c = b c = c = da cui a =, b =, c =. Possiamo allora calcolare ( ) ( ) L(x + x ) = =. In alternativa, si poteva calcolare come segue L(x+x ) = L( () (x )+(x ) ) = L() L(x )+L((x ) ) ( ) ( ) ( ) = + = come sopra. Per trovare la controimmagine di ( ( ) bisogna risolvere il sistema ) x y = z ( ) Se il sistema risultasse incompatibile vuol dire che il vettore appartiene a Im L. Tuttavia il sistema { x + z = x + z = è compatibile. Infatti usando il metodo di Gauss, abbiamo ( ) ( ) ossia il sistema { x + z = z = 7 ( ) non
da cui x = y = t z = Questa terna di numeri va interpretata come le coordinate di un polinomio rispetto alla base B per cui essa corrisponde al polinomio + t(x ) La controimmagine cercata quindi è costituita da { + t(x ) t R} 8