Lezione Diagonalizzazione di matrici

Lezione 2 2. Diagonalizzazione di matrici Come visto nella precedente lezione, in generale, data una matrice A 2 K n,n con K = R, C,nonèimmediatocheesistasempreunabasecostituitadasuoiautovettori. Definizione 2. (Matrici diagonalizzabili). Siano K = R, C e A 2 K n,n. La matrice A si dice diagonalizzabile su K se esistono n autovettori di A linearmente indipendenti. Quando, come spesso accade, il campo su cui si lavora è fissato, si parla semplicemente di matrice diagonalizzabile omettendo l indicazione del campo. ÈchiarocheognimatricediagonaleD èdiagonalizzabile!infattise... 2... D = B @.... C.. A... n allora De j = j e j,dunqueesistonon autovettori di D linearmente indipendenti, precisamente e,...,e n 2 K n. Esempio 2.2. La matrice A = @ 2 2 2 A 2 R 3,3 3 3 dell Esempio 9.9 è diagonalizzabile: infatti in tale esempio abbiamo visto che A ha due autovalori ±3, conautospazirelativirispettivamentee A (3) = L((2,, 3)) R 3 e E A ( 3) = L((,, ), (,, )) R 3. Si noti che i vettori P = (2,, 3), P 2 = (,, ) e P 3 = (,, ) sono linearmente indipendenti: infatti la matrice 2 3 @ A avente tali vettori come righe, ha rango 3. Concludiamo che B =(P,P 2,P 3 ) èuna base di R 3 formata da autovettori di A. 25

26 Sia K = R, C; ricordiamochegliautovaloridiunamatricea 2 K n,n sono le radici,..., h 2 K del polinomio caratteristico p A (t). Inoltre ad ognuno degli autovalori i 2 K di A rimangono associati due numeri interi non negativi, la sua molteplicità algebrica m a (, A) elasuamolteplicitàgeometricam g (, A). La somma delle molteplicità delle radici di un polinomio è pari al grado del polinomio stesso. Quindi, se,..., h sono a due e a due distinti, risulta m a (,A)+ + m a ( h,a) 6 n, e, se vale l uguaglianza, tutte le radici di p A (t) devono essere in K. Quindi, se,..., h 2 K sono le radici di p A (t), tenendo conto della Proposizione 9.3, al massimo possiamo determinare m g (,A)+ + m g ( h,a) 6 m a (,A)+ + m a ( h,a) 6 n autovettori linearmente indipendenti. Se vale l uguaglianza, tutte le radici di p A (t) devono essere in K esideveaverem g (, A) =m a (, A) per ognuna di esse. In particolare, sia nel caso in cui non tutte le radici di p a (t) sono in K, chenel caso in cui lo sono, ma esiste almeno una di esse per cui m g (, A) <m a (, A), la matrice A non è diagonalizzabile. Esempio 2.3. Si considerino le matrici di R 3,3 2 A = @ A, A 2 = @ 2 A. 2 Nell Esempio 9. abbiamo visto che A ha come autovalori i numeri e 2 e che m a (2,A )==m g (2,A ), m a (,A )=2> =m g (,A ). Nell Esempio 9. abbiamo visto che A 2 ha come unico autovalore in R il numero echem a (,A 2 )==m g (,A 2 ).InvecesuCtale matrice ha i numeri, 2+i e 2 i come autovalori e m a (,A 2 )==m g (,A 2 ), m a (2+i, A 2 )==m g (2+i, A 2 ), m a (2 i, A 2 )==m g (2 i, A 2 ). Concludiamo che A non è diagonalizzabile su R. Per quanto riguarda A 2,è evidente che essa non è diagonalizzabile su R. Se, invece si pensa ad A 2 come matrice a coefficienti complessi, si verifica che E A2 (2 + i) =L((2i, i, 2)) ed E A2 (2 i) =L((2i, i +, 2)). Poiché risulta E A2 () = L((2,, )) eitrevettori (2i, i, 2), (2i, i +, 2), (2,, ) sono linearmente indipendenti, segue che A 2, come matrice a coefficienti in C, èdiagonalizzabile. Proposizione 2.4. Siano K = R, C e A 2 K n,n.se,..., h 2 K sono autovalori a due a due distinti di A e P i 2 E A ( i ), i =,...,h,vettorinonnulli,allorai P,...,P h sono linearmente indipendenti. Dimostrazione. Siano,..., h 2 K le radici di p A (t) in K adueaduedistinteesianop i 2 E A ( i ),peri =,...,h vettori non nulli. Se ci fosse una relazione di dipendenza lineare tra ivettorip,...,p h,unodilorosarebbecombinazionelinearediquellicheloprecedonoperla Proposizione 4.7, punto (ii).

27 Sia q il minimo intero per cui ciò accade: allora P q = P + + q P q ed almeno uno fra,..., q deve essere non nullo, altrimenti P q = n,.segueche q P + + q q P q = q ( P + + q P q ) da cui si ricava = q P q = AP q = A( P + + q P q ) = AP + + q AP q = P + + q q P q, ( q )P + + q ( q q )P q = n,. Poiché, per ipotesi, P,...,P q sono linearmente indipendenti e q i 6=, i =,...,q, segue che deve essere = = q =. Concludiamo questo paragrafo con il seguente risultato fondamentale. Proposizione 2.5. Siano K = R, C e A 2 K n,n.lamatricea èdiagonalizzabile su K se e solo se valgono le due seguenti condizioni: (i) tutte le radici di p A (t) sono in K; (ii) per ogni radice 2 K di p a (t), risultam a (, A) =m g (, A). Dimostrazione. Se la matrice A èdiagonalizzabile,abbiamogiàdimostratochedevonovalerele affermazioni (i) ed (ii). Viceversa, supponiamo che le due condizioni siano verificate. Siano,..., h le radici a due a due distinte di p A (t) esia(p j,,...,p j,mj ) una base di E A ( j ),perj =,...,h (quindi m j = m g ( j,a)). Per ipotesi i vettori vale che Quindi per verificare che m g (,A)+ + m g ( h,a)=m a (,A)+ + m a ( h,a)=n. B =(P,,...,P,m,P 2,,...,P 2,m2,...,P h,mh ) èunabasedik n basta verificare che tali vettori sono linearmente indipendenti. Supponiamo per assurdo che esista una relazione di dipendenza lineare fra tali vettori, diciamo, P, + +,m P,m + 2, P 2, + + 2,m P 2,m2 + + h,mh P h,mh = n,. Sappiamo che j, P j, + + j,m P j,mj 2 E A ( j ) per ogni j =,...,h,quindideduciamoche j, P j, + + j,m P j,mj = n,,incontraddizioneconilfattoche(p,j,...,p mj,j) èbasedi E A ( j ). Osservazione 2.6. Chiariamo il motivo per cui si parla di matrici diagonalizzabili. Supponiamo che K = R, C esiaa2k n,n diagonalizzabile. Siano,..., n le radici, non necessariamente distinte, di p A (t) (che sono tutte in K per ipotesi) e P j 2 E A ( j ) autovettori linearmente indipendenti di A. Sia P 2 K n,n la matrice avente P j come j esima colonna: allora AP j = j P j, j =,...,n. Quindi AP = PD ove D èlamatricediagonaleaventenell ordine,..., n come entrate diagonali. Per costruzione P è invertibile. Concludiamo che se A 2 K n,n è diagonalizzabile allora esiste P 2 K n,n invertibile tale che P AP = D sia diagonale.

28 Viceversa, se ciò accade, procedendo a ritroso con il ragionamento sopra, si verifica che A èdiagonalizzabile,chep ha per colonne n autovettori di A linearmente indipendenti e che l elemento j esimo sulla diagonale di D è esattamente l autovalore corrispondente alla colonna j esima di P. B Quindi le matrici diagonalizzabili sono tutte e sole le matrici A 2 K n,n per cui esiste P 2 K n,n invertibile tale che P AP sia diagonale. Una definizione importante in algebra lineare è la seguente. Definizione 2.7 (Matrici simili). Siano A, B 2 K n,n due matrici. La matrice A si dice simile a B, esiscrivea B, seesistep 2 K n,n invertibile tale che P AP = B. B In base alla definizione sopra, segue che una matrice A 2 K n,n èdiagonalizzabile su K se e solo se è simile ad una matrice diagonale in K. Esempio 2.8. Riprendiamo la matrice A dell Esempio 9.3 A = 2 2 R 2,2. 3 4 Come visto nell Esempio 9.8, i suoi autovalori sono 2 e 5 e E A (2) = L((2, )), E A ( 5) = L((, 3)). Consideriamo adesso la matrice 2 P = ; 3 essa è invertibile e AP = P D,ovveroP AP = D, con 2 D =. 5 Allo stesso risultato saremmo arrivati prendendo in luogo della matrice P sopra indicata la matrice 2 2 P 2 =. 6 Invece presa risulta P 3 = P 3 AP 3 = 2 3 5. 2

29 Esempio 2.9. Riprendiamo la matrice A dell Esempio 9.9 2 2 A = @ 2 A 2 R 3,3. 3 3 Abbiamo visto che i suoi autovalori sono ±3 echegliautospazirelativisonorispettivamente E A (3) = L((2,, 3)) e E A ( 3) = L((,, ), (,, )). Consideriamo adesso le tre matrici 2 P = @ A, P 2 = @ 3 2 2 3 A, P 3 = @ 4 2A. 6 Per i =, 2, 3, lematricip i sono invertibili e P i 3 D = @ 3 3 A, D 2 = @ 3 3 3 AP i = D i,con 3 A, D 3 = @ 3 A. 3 2.2 Diagonalizzazione di matrici simmetriche Come visto nel paragrafo precedente, il fatto che una matrice sia diagonalizzabile o meno non può essere, in generale, stabilito a priori, ma solo dopo lo studio dei suoi autospazi. Esiste però una classe di matrici la cui diagonalizzabilità è assicurata da un risultato generale di cui omettiamo la dimostrazione e su cui torneremo nelle prossime lezioni. Proposizione 2.. Sia A 2 R n,n una matrice simmetrica. Allora A èdiagonalizzabile su R. Per le matrici simmetriche a coefficienti reali è, dunque, assicurata la diagonalizzabilità su R, cioè l esistenza di una matrice invertibile P 2 R n,n tale che P AP = D 2 R n,n sia diagonale. Esempio 2.. Si consideri la matrice A = @ A. Risulta p A (t) = t t t = t 3 +3t +2= (t +) 2 (t 2) : concludiamo che gli autovalori di A sono e 2. Inoltre per la Proposizione 2. sappiamo che m a (,A)=m g (,A)=2e m a (2,A)=m g (2,A)=.

2 Per determinare l autospazio E A ( ) risolviamo il sistema x @ A @ ya = @ A, z ottenendo E A ( ) = L((,, ), (,, )). Similmente, per determinare E A (2) risolviamo il sistema 2 x @ 2 A @ ya = @ A, 2 z quindi E A (2) = L((,, )). Posto P = @ A, risulta P AP = @ A. 2 Osservazione 2.2. Per renderci conto dell importanza della Proposizione 2. osserviamo che, spesso, è assai difficile determinare esattamente gli autovalori di una matrice: può però essere utile poterne determinare la diagonalizzabilità. Per esempio la matrice p / 3/2 2 A = B @ 3/2 7 7 3/4 7 3 e p 2 7 3/4 e èsenzadubbiodiagonalizzabilesur perché simmetrica a coefficienti reali. C A 2.3 Il teorema di Cayley Hamilton Siano K = R, C ed A 2 K n,n una matrice; poiché dim K (K n,n )=n 2,len 2 + matrici I n, A, A 2,...,A n2,a n2 sono necessariamente linearmente dipendenti, che significa che esistono altrettanti scalari n 2, n 2, n 2 2...,, 2 K tali che A n2 + A n2 + + n 2 2A 2 + n 2 A + n 2I n = n,n. Si consideri il polinomio p(t) = t n2 + t n2 + + n 2 2t 2 + n 2 t + n 2 2 K[t] :

quanto osservato sopra viene spesso riassunto affermando che A è radice di p(t) o, anche, che p(a) = n,n. 2 Poiché le matrici A, A 2,...,A n2,a n2 non sono arbitrarie, ma sono potenze di una stessa matrice, è lecito domandarsi se non esista un polinomio di grado più basso di cui A sia radice: a questa domanda risponde il seguente risultato, di cui omettiamo la dimostrazione. Proposizione 2.3 (Teorema di Cayley Hamilton). Siano K = R, C e A 2 K n,n.alloraa èradicedip A (t). Ciò significa che se il polinomio caratteristico di A è allora vale p A (t) =( ) n t n + a t n + a 2 t n 2 + + a n t + a n, p A (A) =( ) n A n + a A n + a 2 A n 2 + + a n A + a n I n = n,n. (2.3.) Tale osservazione permette di introdurre un nuovo metodo di inversione di matrici. Infatti A èinvertibileseesolosea n =det(a) 6=,dunquedall equazione (2.3.) otteniamo ( ) n A n a A n 2 a 2 A n 3 + a n I n A = I n, a n cioè A = a n ( ) n A n a A n 2 a 2 A n 3 + a n I n. (2.3.2) Esempio 2.4. Si consideri la generica matrice 2 2 a b A =. c d Allora p A (t) =t 2 (a + d)t + ad bc, dunquesead bc 6=,seguedallaformula (2.3.2) che A = ad bc ( A +(a + d)i d b 2)=. ad bc c a Esempio 2.5. Si consideri la matrice 2 2 A = @ 2 A. 3 3 Abbiamo visto che p A (t) = (t 3)(t +3) 2 = t 3 3t 2 +9t +27 nell Esempio 9.9, quindi A ha autovalori ±3 con m a (3,A)=e m a ( 3,A)=2,inparticolare det(a) =3( 3) 2 =27,sicchéA èinvertibile: inoltreabbiamoanchevistochea è diagonalizzabile, e nell Esempio 2.9 abbiamo trovato P 2 R 3,3 invertibile tale che

22 3 P AP = D = @ 3 A, 3 quindi A = PDP da cui si ottiene A 2 = PDP PDP = PD 2 P = P (9I 3 )P =9PP =9I 3, perciò A = 27 (A2 3A 9I 3 )= 9 A = @ 9 2 2 2 A. 3 3 Un altra interessante conseguenza del Teorema di Cayley Hamilton riguarda le matrici nilpotenti; ricordiamo dal paragrafo 2.3 che una matrice A 2 K n,n si dice nilpotente se A N = n,n per qualche intero positivo N. Corollario 2.6. Sia K = R, C. UnamatriceA 2 K n,n ènilpotenteseesolose ha come unico autovalore e m a (,A)=n. Dimostrazione. A 2 K n,n ha come unico autovalore e m a (,A)=nse e solo se t n divide il polinomio caratteristico p A (t) di A cioè se e solo se p A (t) =( ) n t n. Supponiamo intanto che p A (t) =( ) n t n : dalla Proposizione 2.3 segue allora che n,n = p A (A) =( ) n A n,cioèa ènilpotente. Viceversa, supponiamo che esista un intero positivo N tale che A N = n,n. Questa è un uguaglianza su K C. Se 2 C èunaqualsiasiradicedip A (t), allora èunautovaloredia vista come matrice ad entrate complesse, dunque esiste X 2 C n, \{ n, } tale che AX = X. Moltiplicando ambo i membri di tale identità per A N otteniamo allora che n,n = A N X = N X da cui segue che =èl unicaradiceinc di p A (t), necessariamenteconmolteplicitàn. Esempio 2.7. Si consideri la matrice 2 5 8 A = @ 4 7 A. 2 Il suo polinomio caratteristico è p A (t) = 2 t 5 8 4 t 7 2 t = t 3, quindi A 3 = 3,3,cioèA ènilpotente.