Lezione Determinanti

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1 Lezione 6 6 Determinanti In questa lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli e omettendo quasi tutte le dimostrazioni Definizione 6 (Sottomatrici) Siano K = R, C, A =(a i,j ) 6i6m 2 K m,n una 6j6n matrice e p, q 2 Z due interi positivi tali che 6 p 6 m e 6 q 6 n Una sottomatrice p q di A èunamatriceink p,q ottenuta da A considerando solo le entrate che si trovano all intersezione di p righe e q colonne In alternativa una sottomatrice p q può essere pensata come ottenuta da A cancellando m p righe e n q colonne fissate Esempio 62 Si consideri la matrice 2 3 A = 2 C 2,3 i 3 Le sottomatrici 2 2 di A sono 2, i 3, i Invece la matrice 2 3 i 3 non è sottomatrice di A Si consideri poi la matrice B 2/5A 2 R 3,3 5 5 Le sottomatrici 2 3 di B sono, 2/5, 5 5 2/

2 46 Daremo adesso una definizione induttiva del determinante Definizione 63 (Determinante) Sia K = R, C e A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n una matrice quadrata Il determinante di A èilnumerodik, indicatocondet(a) o A, definitocome segue Se n =, det(a, )=a, Se n > 2, det(a) =a, A, + a,2 A,2 + + a,n A,n = nx a,j A,j, (6) ove A i,j indica il prodotto di ( ) i+j per il determinante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la riga di indice i elacolonnadiindicej La formula (6) viene detta sviluppo di Laplace secondo la prima riga, mentre il numero A i,j viene detto complemento algebrico o cofattore dell entrata a i,j Osserviamo che il costo computazionale del calcolo di un determinante diviene sempre più oneroso man mano l ordine della matrice quadrata cresce: infatti per calcolare il determinante di una matrice A 2 K n,n bisogna calcolare n determinanti di matrici d ordine n, eperciascunodiessin determinanti di matrici quadrate d ordine n 2, ecosìvia Intotalequindipercalcolareildeterminantediunamatrice A 2 K n,n ènecessariomoltiplicare n! =n (n ) (n 2) 2 determinanti di matrici quadrate d ordine (cioè entrate di A) e sommarli dopo averli moltiplicati per un opportuna potenza di Diamo alcuni esempi di determinanti di matrici quadrate di dimensione piccola Esempio 64 Si consideri una matrice quadrata generale di dimensione 2 a, a A =,2 a 2, a 2,2 Calcolando i cofattori risulta A, =( ) + det(a 2,2 )=a 2,2 e A,2 =( ) +2 det(a 2, )= a 2,, quindi concludiamo che det(a) = a, a,2 a 2, a 2,2 = a, A, + a,2 A,2 = a, a 2,2 a,2 a 2, Per esempio, calcoliamo 2 i j= = 2 ( i) =+2i =2i,

3 = 2 4= 8= 7, = ( 4) 2 ( 2) = 4+4= Si consideri adesso una matrice quadrata generale di dimensione 3 a, a,2 a,3 A a 2, a 2,2 a 2,3 A a 3, a 3,2 a 3,3 Calcolando i cofattori risulta A, =( ) + a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3 = a 2,2 a 3,3 a 2,3 a 3,2, A,2 =( ) +2 a 2, a 2,3 a 3, a 3,3 = a 2, a 3,3 + a 2,3 a 3,, Concludiamo che A,3 =( ) +3 a 2, a 2,2 a 3, a 3,2 = a 2, a 3,2 a 2,2 a 3, A = quindi a, a,2 a,3 a 2, a 2,2 a 2,3 = a, A, + a,2 A,2 + a,3 A,3 a 3, a 3,2 a 3,3 = a, (a 2,2 a 3,3 a 2,3 a 3,2 )+a,2 ( a 2, a 3,3 + a 2,3 a 3, )+a,3 (a 2, a 3,2 a 2,2 a 3, ), A = a, a 2,2 a 3,3 + a,2 a 2,3 a 3, + a,3 a 2, a 3,2 (62) a,3 a 2,2 a 3, a, a 2,3 a 3,2 a,2 a 2, a 3,3 Per esempio, consideriamo la matrice A dell Esempio 5 Si ha = +2 2+( ) 3 ( ) = = 2 La formula (62) viene spesso chiamata regola di Sarrus ed esiste un metodo per ricordarsela, che consiste nel ricopiare le prime due colonne della matrice sulla destra in questo modo: a, a,2 a,3 a, a 2, a 2,2 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,3 A a 2, a 2,2 a 3, a 3,2

4 " " " " " 48 quindi calcolare il determinante come la differenza tra la somma dei prodotti dei termini collegati dalle frecce rosse che partono dall alto a sinistra dirette verso il basso a destra, meno la somma dei prodotti dei termini collegati dalle frecce blu che partono dall alto a destra dirette verso il basso a sinistra: a, a,2 a,3 a, a,2 a 2, a 2,2 a 2,3 a 2, a 2,2 " a 3, a 3,2 a 3,3 a 3, a 3,2 Il lettore verifichi che in questo modo si riottiene la formula (62) Attenzione! La regola di Sarrus vale solo per matrici quadrate di ordine 3 Se ad esempio volessimo ripetere il procedimento per matrici 4 4, otterremmouna somma algebrica di otto prodotti Avevamo però già osservato che per calcolare il determinante di una matrice di ordine n ènecessariosommaren! prodotti, e ovviamente 4! = 24 èbenpiùgrandedi8 Un altro aiuto mnemonico riguarda il segno per cui bisogna moltiplicare il determinante della sottomatrice cofattore (i, j) nel calcolo di A i,j :allamatrice si può associare la matrice di segni a, a,2 a,3 a,4 a 2, a 2,2 a 2,3 a 2,4 A = a 3, a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 4, a 4,2 a 4,3 a 4,4 C A , + + C A così per determinare il segno ( ) i+j èsufficienteguardarelacorrispondenteentrata di posizione (i, j) della matrice dei segni Osservazione 65 In base alla definizione, se A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n ètriangolare inferiore, il calcolo del suo determinante si riduce al prodotto delle entrate sulla

5 49 diagonale Infatti a, a 2, a 2,2 a 3, a 3,2 a 3,3 a n, a n,2 a n,3 a n,n a 2,2 a 3,2 a 3,3 = a, a n,2 a n,3 a n,n a 3,3 = a, a 2,2 = = a, a 2,2 a 3,3 a n,n a n,3 a n,n Per esempio 3 p /5 =3 ( 5) /5 = Ciò vale anche per le matrici diagonali, e in particolare det(i n )= 62 Proprietà del determinante Per semplificare il calcolo del determinante è utile un metodo che si basa sul buon comportamento dei determinanti rispetto alle operazioni elementari di riga e che descriveremo in questo paragrafo Proposizione 66 Sia K = R, C SeA 2 K n,n,valgonoleseguentiproprietà: (DR) se A èottenutadaa sommando ad una riga un multiplo di un altra, si ha che det(a ) = det(a); (DR2) se A èottenutadaa moltiplicando una riga per una costante 2 K, siha che det(a )= det(a); (DR3) se A èottenutadaa scambiando due righe diverse, si ha che det(a ) = det(a) Osserviamo che la proprietà (DR3) ci permette di sviluppare il determinante della matrice A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n secondo una riga qualsiasi Si può perciò parlare dello sviluppo di Laplace secondo la riga di indice i dato dalla formula: det(a) =a i, A i, + a i,2 A i,2 + + a i,n A i,n = nx a i,j A i,j j= Esempio 67 Quanto visto nell Osservazione 65 può essere esteso anche a matrici triangolari superiori, è sufficiente sviluppare il determinante secondo l ultima riga, invece che secondo la prima

6 5 Per esempio = Continuando con le proprietà notevoli dei determinanti si ha la seguente proposizione Proposizione 68 Sia K = R, C SeA 2 K n,n,alloradet( t A)=det(A) Poiché ogni operazione elementare di riga su t A equivale ad un analoga operazione elementare di colonna su A, dalle Proposizioni 66 e 68 segue subito il seguente risultato Proposizione 69 Sia K = R, C SeA 2 K n,n,valgonoleseguentiproprietà: (DC) se A èottenutadaa sommando ad una colonna un multiplo di un altra, si ha che det(a )=det(a); (DC2) se A èottenutadaa moltiplicando una colonna per una costante 2 K, si ha che det(a )= det(a); (DC3) se A èottenutadaa scambiando due colonne diverse, si ha che det(a )= det(a) Osserviamo che i risultati delle proposizioni precedenti implicano in particolare che è possibile sviluppare il determinante di A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n,secondouna colonna qualsiasi Quindi si può parlare di sviluppo di Laplace secondo la colonna di indice j dato dalla formula: det(a) =a,j A,j + a 2,j A 2,j + + a n,j A n,j = nx a i,j A i,j j= L idea generale per calcolare il determinante di una matrice quadrata A 2 R n,n è la seguente Prima si trasforma con operazioni elementari di tipo (E) A in A, matrice ridotta per righe Poi si trasforma con scambi di colonna A in A,matrice triangolare superiore; se si devono operare h di tali scambi si ha det(a) =det(a )= ( ) h det(a ), in forza delle Proposizioni 66 e 69 Si noti che, per la generica matrice A 2 K n,n,talemetodopermettediridurreil numero di operazioni da n n! acirca2n 3 /3 Illustriamo questa tecnica con un esempio

7 Esempio 6 Si consideri la matrice quadrata di dimensione 3 dell Esempio 64 Possiamo ripetere il calcolo del determinante osservando che R 3!R 3 +R ========= C $C ====== R 3!R 3 3R ========= 2 2 C 2 $C 3 ====== ( ) =( ) 2 ( ) 2= 2 Osserviamo che anche la proprietà (DR) ha un importante conseguenza: consideriamo A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n,edindichiamoconr i la sua riga di indice i, cioè la matrice R i = a i, a i,2 a i,n Supponiamo, per semplicità, che esistano,, n 2 K tali che l ultima riga si scrive come R n = R + + n R n Allora con operazioni elementari di riga (E) della forma A Rn!Rn R n R n! A si ottiene una nuova matrice A avente la riga di indice n nulla Sviluppando il determinante secondo l ultima riga si ottiene allora det(a) =det(a )= Un discorso analogo vale sostituendo nel ragionamento sopra la parola riga con la parola colonna ed utilizzando la proprietà (DC) Un caso ancor più particolare è quello in cui la matrice di cui dobbiamo calcolare il determinante ha due righe o due colonne uguali; allora le Proposizioni 66 e 69 ci dicono subito che tale determinante è necessariamente nullo Esempio 6 Si consideri la matrice 7 2 A 7 7/35A p 2 34 Poiché le colonne C j di A sono legate dalla relazione C 2 = 7C +C 3 segue da quanto visto sopra che det(a) = Per esercizio si verifichi la nullità di det(a) calcolandolo con uno qualsiasi dei metodi sopra descritti Esempio 62 (Determinante di Vandermonde) Un altra applicazione interessante della Proposizione 66 è il calcolo dei cosiddetti determinanti di matrici di Vandermonde o, più semplicemente, determinanti di Vandermonde, che si utilizzano nel contesto dell interpolazione polinomiale

8 52 Dati x,x 2,,x n 2 R, lamatrice di Vandermonde relativa a x,x 2,,x n è x x 2 x n 2 x n x 2 x 2 2 x n 2 2 x n 2 x 3 x 2 3 x n 3 2 x n 3 B x n x 2 n x n n 2 x n n A x n x 2 n x n n 2 x n n Il determinante della matrice di Vandermonde è detto determinante di Vandermonde relativo a x,x 2,,x n esidenotaconv (x,x 2,,x n );percalcolarloinfunzione dei numeri x,x 2,,x n si può procedere con operazioni elementari Per esempio se n =4,allora x x2 V (x,x 2,x 3,x 4 ) C 4!C 4 x C ========== 3 x 2 x 2 2 x 3 2 x x 2 2 x 3 x 2 3 x 3 3 x x 2 3 x 4 x 2 4 x 3 4 x x 2 4 x C 3!C 3 x C ========== 2 = x x 2 x 2 x 2 2 (x 2 x )x 2 2 x 3 x 2 3 (x 3 x )x 2 3 x 4 x 2 4 (x 4 x )x 2 4 x 2 (x 2 x )x 2 (x 2 x )x 2 2 x 3 (x 3 x )x 2 (x 3 x )x 2 3 x 4 (x 4 x )x 2 (x 4 x )x 2 4 C 2!C 2 x C ========== x 2 x (x 2 x )x 2 (x 2 x )x 2 2 x 3 x (x 3 x )x 2 (x 3 x )x 2 3 x 4 x (x 4 x )x 2 (x 4 x )x 2 4 = x 2 x (x 2 x )x 2 (x 2 x )x 2 2 x 3 x (x 3 x )x 3 (x 3 x )x 2 3 x 4 x (x 4 x )x 4 (x 4 x )x 2 4 =(x 2 x )(x 3 x )(x 4 x ) x 2 x 2 2 x 3 x 2 3 x 4 x 2 4 L ultimo determinante è ancora di Vandermonde, precisamente è V (x 2,x 3,x 4 ) ma di dimensione più piccola, cioè n =3Ripetendoilragionamentootteniamoalla fine che V (x,x 2,x 3,x 4 )=(x 2 x )(x 3 x )(x 4 x )(x 3 x 2 )(x 4 x 2 )(x 4 x 3 ) In generale lo stesso procedimento induttivo permette di dimostrare la formula V (x,x 2,,x n )= Y i,j=,,n i>j (x i x j ) (62)

9 53 Per esempio abbiamo = V (, 2, 2,, ), quindi V (, 2, 2,, ) =(2 )( 2 )( )( )( 2 2)( 2)( 2)( +2)(2)()=288 Si noti che la formula (62) permette di affermare che V (x,x 2,,x n )=se esoloseglix,x 2,,x n non sono tutti distinti Concludiamo il paragrafo con altro importante risultato: il Teorema di Binet, di cui omettiamo la dimostrazione Proposizione 63 (Teorema di Binet) Sia K = R, C Se A, B 2 K n,n sono matrici quadrate, allora det(ab) =det(a)det(b) Attenzione: det(a + B) 6= det(a)+det(b) Esempio 64 Si considerino le matrici E, = e E 2,2 = Chiaramente det(e, ) = det(e 2,2 ) = e det(e, + E 2,2 ) = det(i 2 ) = ; in particolare det(e, )+det(e 2,2 ) 6= det(e, + E 2,2 ) 63 Ancora sull inversa di matrici In questo paragrafo illustreremo il legame fra la nozione di determinante, di invertibilità e di inversa di una matrice quadrata A 2 K n,n, K = R, C Definizione 65 (Matrice aggiunta) Siano K = R, C e A =(a i,j ) 6i,j6n 2 K n,n una matrice quadrata Definiamo aggiunta di A la matrice adj(a) la cui entrata di posizione (i, j) èil complemento algebrico A j,i dell entrata a j,i Data una matrice A 2 K n,n,consideriamoilprodottodia per la sua aggiunta: B = A adj(a) Perdefinizione,lasuaentratab i,j di indice (i, j) èilprodottodella riga di indice i di A per la colonna di indice j di adj(a), cioè

10 54 b i,j = a i, a i,2 a i,n A j, A j,2 A j,n C A = a i,a j, + a i,2 A j,2 + + a j,n A i,n (63) Se i = j la formula (522) implica che b i,i =det(a) Consideriamo ora l entrata b i,j con i 6= j: per fissare le idee scegliamo i =2e j =(gli altri casi sono analoghi) Si ha b 2, = a 2, A, + a 2,2 A,2 + a 2,2 a 2,3 a 2, a 2,3 = a 2, ( ) + a 3,2 a 3,3 + a 2,2 ( ) 2+ a 3, a 3,3 + = Concludiamo che a 2, a 2,2 a 2,3 a 2, a 2,2 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,3 b i,j = R!R R 2 ========= ( det(a) a 2, a 2,2 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,3 se i = j se i 6= j In maniera simile, utilizzando la formula (63), otteniamo anche che adj(a)a = det(a)i n Abbiamoquindidimostratolaseguenteproposizione Proposizione 66 Sia K = R, C SeA 2 K n,n èunamatricequadrata,allora A adj(a) =adj(a)a =det(a)i n Esempio 67 Consideriamo ancora la matrice dell Esempio 64 (e dell Esempio 6) 2 A A 2 3 Possiamo calcolare quindi A, =, A,2 =, A,3 =, A 2, = 5, A 2,2 =3, A 2,3 = A 3, =, A 3,2 =, A 3,3 =, 5 adj(a) 3 A Si può verificare direttamente che A adj(a) = adj(a)a = 2I 3 =

11 55 Dalla Proposizione 66 otteniamo il seguente importante corollario Corollario 68 Sia K = R, C Se A 2 K n,n èunamatricequadrata,alloraa è invertibile se e solo se det(a) 6= Intalcasosihadet(A )=(det(a)) einoltre A = adj(a) (632) det(a) Dimostrazione Supponiamo che A sia invertibile; cioè che esista la matrice inversa A che, come sappiamo, soddisfa la relazione AA = I n Calcolando il determinante di ambo i membri di tale relazione, dal Teorema di Binet segue che =det(aa )=det(a)det(a ), dunque det(a ) 6= esihadet(a )=(det(a)) Viceversa sia det(a) 6= Allora A det(a) adj(a) = det(a) A adj(a) = det(a) (det(a)i n)=i n, cioè A èinvertibileevalelaformula(632) Esempio 69 Sia ancora una volta A la matrice degli Esempi 5, 64, 6; nell Esempio 67 abbiamo calcolato la sua aggiunta 5 adj(a) 3 A, quindi A /2 5/2 /2 /2 3/2 /2 A, /2 /2 /2 che coincide con quanto avevamo calcolato nell Esempio 5 risolvendo l equazione matriciale AX = I 3 64 Il metodo di Cramer Consideriamo un sistema di Cramer, ovvero un equazione matriciale AX = B con A 2 K n,n matrice invertibile; sappiamo che tale equazione ha come unica soluzione la matrice X = A B Supponiamo ora che B 2 K n,,ovverochel equazione AX = B sia, di fatto, un sistema di equazioni lineari Il fatto che la matrice X = t x x 2 x n sia soluzione significa che vale l identità di matrici numeriche x C + x 2 C x n C n = B dove, come già fatto in precedenza, indichiamo con C j la j esima colonna di A, cioè C j = t a,j a 2,j a n,j

12 56 Sia A j la matrice ottenuta da A sostituendo a C j la matrice B Si noti che sottraendo alla j esima colonna di A j le matrici x j C h per h =,,n ed h 6= j, otteniamo una matrice b A j che ha tutte le colonne uguali a quelle di A tranne la j esima che coincide con x j C j Tenendo conto della Proposizione 69 (precisamente di (DC) e (DC2)) segue l uguaglianza det(a j )=x j det(a) Proposizione 62 (Metodo di Cramer) Siano K = R, C, A 2 K n,n una matrice invertibile e B 2 K n, Sia poi =det(a) e j =det(a j ) il determinante della matrice ottenuta da A sostituendo la colonna B alla j esima colonna Allora il sistema AX = B ha come unica soluzione la matrice t 2 n Esempio 62 Si consideri il sistema lineare 2 x 2 A 2A, 2 3 x 3 3 avente come matrice incompleta la matrice A dell Esempio 5 Nell Esempio 64 abbiamo calcolato =det(a) = 2 Inoltre = = 6, 2 = =2, 3 = = Quindi l unica soluzione di tale sistema è 6 2 A A 2