UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE0 - Geometria a.a. 07-08 Prova scritta del 7-7-08 TESTO E SOLUZIONI Svolgere tutti gli esercizi.. Per R considerare il sistema lineare X + X + X 3 X 4 = 0 X + X + ( )X 3 + ( )X 4 = X + X 3 X 4 = X + X 3 X 4 = Determinare i valori di per i quali il sistema è (o no) compatibile e, in tal caso, calcolare esplicitamente le soluzioni. SOLUZIONE: Calcoliamo il rango della matrice dei coefficienti per poi applicare il Teorema di Kronecer- Rouchè-Capelli. Sia Si ha A =. 0 0 det(a) = + 3 = 0 se e solo se =,. Se, si ha r(a) = 4 e quindi anche r(a b) = 4 ed il sistema è compatibile con un unica soluzione, che possiamo calcolare con la regola di Cramer 0 0 0 0 X = = 0, X = + 3 = +, + 3 0 0 0 0 0 0 X 3 = = +, X 4 = + 3 =. + 3
Se =, consideriamo il minore di A 0 0 = 0 e quindi r(a) = 3. Orlando questo minore in (A b) si ottiene det(a) = 0 e 0 = + 3 = 0 0 0 da cui deduciamo che r(a b) = 3 e quindi che il sistema è compatibile anche nel caso =,. Quindi il sistema è compatibile per ogni. Nel caso =,, dal minore che calcola il rango di A, sappiamo che possiamo ignorare la seconda riga, porre X 4 = t e risolvere con la regola di Cramer, ottenendo X = t + t 0 + t 0 = t t +, X = X 3 = t 0 + t 0 + t t + t + t = t + + t +. = t + + t 3t +,. Siano un numero reale, U R 4 il sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo { X + Y Z = 0 Z + W = 0 e W R 4 il sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo { X + Y Z = 0 X + W = 0 (a) Determinare una base di U ed una di W. (b) Determinare le dimensioni di W + U e di W U. (c) Determinare tutti i vettori v R 4 tali che v W + U. SOLUZIONE:.
(a) La matrice di U è ( ) 0 0 0 0 0 e dato che 0 = 0, per calcolare la dimensione ed una base di U possiamo porre X = s, Y = t da cui otteniamo Z = s + t, W = s t e deduciamo che i vettori di U sono tutti del tipo (s, t, s + t, s t) = s(, 0,, ) + t(0,,, ). Dunque {(, 0,, ), (0,,, )} è una base di U e dim U =. Per calcolare la dimensione di W calcoliamo il rango della matrice ( ) 0 0 A =. 0 0 0 Si ha { se = 0 0 = da cui otteniamo che dim W = r(a) = se 0. Per la base di W risolviamo il sistema. Se = 0, posto Y = s, Z = t, W = u si ottiene X = t e quindi i vettori di W 0 sono tutti del tipo (t, s, t, u) = t(, 0,, 0) + s(0,, 0, 0) + u(0, 0, 0, ). Dunque, se = 0, {(, 0,, 0), (0,, 0, 0), (0, 0, 0, )} è una base di W 0 e dim W 0 = 3. Se 0, considerato il minore 0 = 0, possiamo porre Z = s, W = t ed ottenere X = t, Y = s+t e quindi i vettori di W sono tutti del tipo ( t, s + t, s, t) = t(,, 0, ) + s(0,,, 0) Dunque, se 0, {(,, 0, ), (0,,, 0)} è una base di W e dim W =. (b) Se = 0 i generatori di W 0 + U danno la matrice 0 0 B 0 = 0 0. 0 0 0 0 0 0 Dato che 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 3
si ha dim(w 0 + U) = r(b 0 ) = 4 e, per la formula di Grassmann, dim(w 0 U) = dim W 0 + dim U dim(w 0 + U) =. Se 0 i generatori di W + U danno la matrice Dato che det(b ) = 0 e 0 0 B =. 0 0 0 0 0 0 0 = 0 si ha, se 0, dim(w + U) = r(b ) = 3 e, per la formula di Grassmann, dim(w U) = dim W + dim U dim(w + U) =. (c) Se = 0 si ha W 0 + U = R 4, quindi non esiste un v R 4 tale che v W 0 + U. Se 0 sappiamo da (b) che W + U è generato dalle righe, 3 e 4 di B. Quindi v = (a, b, c, d) W + U se e solo se a b c d 0 0 0 0 0 ovvero se e solo se a + b c + ( )d 0. 3. Sia R. In uno spazio affine A di dimensione 4 sia O, e, e, e 3, e 4 un riferimento affine e siano X, Y, Z, W le coordinate. Siano r la retta passante per Q(,,, 0) e parallela a v = e + e e 4 e T il sottospazio con le seguenti equazioni: T : { X Y + W = 0 X + Y + Z = 0 Z W = (a) Determinare i valori di per i quali T e r T sono sottospazi affini di A. Calcolare la dimensione di T. (b) Determinare per quali valori di, se esistono, r è parallela a T. 4.
(c) Determinare (se esistono) per quali valori di esiste un piano p in A tale che p è parallelo a T ed a r. SOLUZIONE: (a) Consideriamo la matrice del sistema che definisce T : (B c) = 0 0 0 0. 0 0 Si ha 0 0 0 = + 0 quindi r(b) = r(b c) = 3 per ogni. Per il teorema di Kronecer-Rouché-Capelli, T per ogni, dunque T è un sottospazio per ogni e dim T = dim A r(b) =. Come è noto l intersezione di due sottospazi affini è un sottospazio affine se e solo se è non vuota. Dobbiamo quindi verificare se r T =. Per questo scriviamo le equazioni parametriche di r : X = + t Y = + t r :, t R. Z = W = t Sostituendo nelle equazioni di T si ottiene { + t ( + t) t = 0 r T : + t + = 0 + t = da cui deduciamo t = + = 0 + = 0 che si verifica subito essere incompatibile. Ne segue che r T = per ogni e quindi che r T non è mai un sottospazio affine di A. (b) La giacitura di T è data dalle soluzioni del sistema omogeneo { X Y + W = 0 giac(t ) : X + Y + Z = 0 Z W = 0. Considerato il minore 0 0 0 = + 0 5
possiamo porre X = t e trovare che le soluzioni sono X = t, Y = + +t, Z = W = + t e quindi giac(t ) =< e + + e + + e 3 + + e 4 >=< ( +)e +( )e (+)e 3 (+)e 4 >. Ma r ( ( ) 0 ) = + dato che 0 =, + = non sono mai simultaneamente nulli. Pertanto r non è mai parallelo a T. (c) Dato che r non è mai parallelo a T, per determinare p, basta prendere un qualsiasi punto R A e prendere come giacitura la somma giac(t ) + giac(r ) (che ha ovviamente dimensione ). Si conclude che per ogni esiste un piano p in A che è parallelo a T ed a r. 4. Sia R. Sia v = (0,, 0, ) R 4 e sia F : R 4 R 4 un applicazione lineare tale che v è autovettore di F con autovalore ed inoltre F (E +E ) = E v, F (E E 3 ) = ( )E +E 4, F (E E 4 ) = E +(+)E E 3 +( )E 4 dove E, E, E 3, E 4 è la base canonica di R 4. (a) Determinare il polinomio caratteristico e gli autovalori di F. (b) Scelto un autovalore λ di F con molteplicità algebrica, trovare una base per l autospazio di F associato a λ. (c) Determinare i valori di per i quali F è diagonalizzabile. SOLUZIONE: (a) Osserviamo che v, E + E, E E 3, E E 4 sono linearmente indipendenti, e dunque una base e di R 4, in quanto 0 0 0 0 = 0. 0 0 0 0 Per determinare la matrice associata ad F osserviamo intanto che, per ipotesi, F (v) = v è già espresso nella base e. Si ha inoltre av + b(e + E ) + c(e E 3 ) + d(e E 4 ) = (b + c)e + (a + b + d)e ce 3 + (a d)e 4 = 6
se e solo se = E v = E E E 4 b + c = a + b + d = c = 0 a d = che ha soluzione a = 3, b =, c = 0, d =. Pertanto Analogamente F (E + E ) = 3 v + (E + E ) + 0(E E 3 ) (E E 4 ). av+b(e +E )+c(e E 3 )+d(e E 4 ) = (b+c)e +(a+b+d)e ce 3 +(a d)e 4 = ( )E +E 4 se e solo se b + c = 0 a + b + d = c = 0 a d = che ha soluzione a =, b = 0, c = 0, d =. Pertanto Inoltre F (E E 3 ) = ( )v + 0(E + E ) + 0(E E 3 ) (E E 4 ). av + b(e + E ) + c(e E 3 ) + d(e E 4 ) = (b + c)e + (a + b + d)e ce 3 + (a d)e 4 = se e solo se = E + ( + )E E 3 + ( )E 4 b + c = a + b + d = + c = a d = che ha soluzione a =, b = 0, c =, d =. Pertanto F (E E 4 ) = v + 0(E + E ) + (E E 3 ) + (E E 4 ). Ne segue che 3 0 0 0 M e (F ) =. 0 0 0 0 7
Pertanto il polinomio caratteristico di F è T 3 0 T 0 0 P F (T ) = = (T )(T )(T T + ). 0 0 T 0 T Quindi gli autovalori di F sono, e ± 4 quando 4 0, ovvero quando o. Vediamo se ci possono essere coincidenze: si verifica subito che quindi ± 4 = se e solo se =, ± 4 = se e solo se = 5 Autovalori di F e loro molteplicità algebrica (m.a.) < < λ = (m.a. ), λ = (m.a. ) = λ = (m.a. ), λ = (m.a. ), λ 3 = (m.a. ) < o >, 5 λ = (m.a. ), λ = (m.a. ), λ 3 = 4 (m.a. ), λ 4 = + 4 (m.a. ) = λ = (m.a. 3), λ = (m.a. ) = 5 λ = (m.a. ), λ = (m.a. ), λ 3 = (m.a. ) (b) Consideriamo l autovalore λ 3 = nel caso = e calcoliamo la base di V (F ). Come sappiamo tutti gli autovettori di F con autovalore sono soluzioni del sistema (M e (F ) ( )I 4 )X = 0 dove X = t (x, y, z, w). Si ottiene 3x 3 y 5 z + w = 0 y = 0 z + w = 0 y z w = 0 che ha per soluzioni x = t, y = 0, z = t, w = t. Quindi gli autovettori di F associati all autovalore sono tutti del tipo tv t(e E 3 )+t(e E 4 ) = t( v (E E 3 )+(E E 4 )) = t( E E +E 3 3E 4 ). Ne segue che una base di V (F ) è { E E + E 3 3E 4 } e pertanto dim V (F ) =. (c) Se = si ha m.g.() = 4 r ( 3 3 0 0 0 0 ) = < m.a.() = 3 0 0 0 8
Se = 5 si ha m.g.() = 4 r ( 0 3 0 0 0 ) = < m.a.() =. 0 0 0 Dato che, per la (b), si ha che se = allora m.g.( ) = < m.a.( ) = e che nel caso < < la somma delle molteplicità geometriche è < 4, mentre nel caso < o >, 5 ci sono 4 autovalori distinti, si deduce che F è diagonalizzabile se e solo se < o >, 5 9