Diario Complementi di Probabilità a.a. 2007/2008

Diario Complementi di Probabilità a.a. 2007/2008 Testi di riferimento: Probability with martingales, D.Williams Probability and measure, P.Billingsley Esercizi con soluzione distribuiti a lezione 1. 23 ottobre, martedì Spazi di probabilità: la terna, le regole di calcolo e le proprietà della probabilità, una misura additiva che verifica l assioma di continuità è σ-additiva (dimostrazione). Esempi: la terna con un evento certo diverso da tutto Ω e la delta di Dirac in un singleton; gli spazi discreti, cioé Ω discreto con la σ-algebra delle parti; gli intervalli [0, 1) e [0, 1] con i boreliani e la misura di Lebesgue. 2. 24 ottobre, mercoledì Misure di probabilità su R: ogni m.p. determina una f.d.(dimostrazione); ogni f.d. determina una m.p. (idea della dimostrazione). Definizione delle classi di Dynkin, un d-sistema che è π-sistema è una σ-algebra (dimostrazione), il Lemma di Dynkin ovvero un d-sistema che contiene un π-sistema contiene la σ-algebra generata (senza dimostrazione). Due probabilità che coincidono su un π-sistema coincidono sulla σ-algebra generata (dimostrazione). Definizione di indipendenza per famiglie finite di σ-algebre. Condizione sufficiente con l uso di π-sistemi generatori (dimostrazione). Relazione con la nozione elementare di indipendenza di una famiglia di eventi (dimostrazione). 3. 26 ottobre, venerdì Costruzione della probabilità dello spazio di Bernoulli finito usando l indipendenza degli eventi. Richiamo delle definizioni di limsup e liminf di eventi e della catena di disuguaglianze per le probabilita di limsup e liminf. Relazione con il limsup e liminf delle indicatrici degli eventi. Lemma di Borel-Cantelli (enunciato). Esercitazione in classe n.1. Consegna del foglio per casa n.1. - 4. 30 ottobre, martedì Dimostrazione di Borel-Cantelli II enuciato. Introduzione dello spazio di Bernoulli infinito. Esempio di applicazione: ogni sequenza finita di teste e croci si ripete infinite volte con probabilità 1. Lemma dell indipendenza a pacchetti. Definizione di variabile aleatoria reale come applicazione misurabile da Ω in R boreliana. Le condizioni sufficienti affinché X sia una v.a. Le operazioni con le v.a. 1

5. 31 ottobre, mercoledì Ancora operazioni con v.a. e definizione di v.a. a valori nella retta estesa. Esempi: l indicatrice di un evento e come esempio la v.a. che legge 1 se esce testa all -n-mo lancio, la v.a. che conta le teste uscite nei primi n-lanci,le applicazioni a valori reali da uno spazio discreto, le v.a. semplici σ-algebra generata da una v.a. e da una famiglia di v.a. Esempi. Indipendenza di famiglie di v.a. e quindi indipendenza degli eventi come indipendenza delle indicatrici. Indipendenza delle v.a. sullo spazio di Bernoulli infinito parametrizzate da i che valgono 1 se all i-mo lancio esce T. Definizione di σ-algebra coda. Legge 0-1 di Kolmogorov, prima parte: enunciato. 2 novembre, venerdì non facciamo lezione, ma è in rete l Esercitazione in classe n.2. 6. 6 novembre, martedì Legge 0-1 di Kolmogorov Esempi di eventi e v.a. misurabili rispetto alla σ-algebra coda e in particolare il sottoinsieme dello spazio di Bernoulli infinito { la frequenza relativa delle teste converge a p } è un evento nella σ-algebra coda (di cui la LLN calcola la probabilità!). 7. 7 novembre, mercoledì Consegna del foglio per casa n.2. Legge di una v.a. Funzione di distribuzione o funzione di ripartizione. Esempio di due v.a. sulla stessa terna con stessa legge ma diverse per ogni ω. Legge e funzione di distribuzione di v.a. semplici, con densità. Un esempio di v.a. con funzione di distribuzione né discreta, né continua. Principali proprietà delle funzioni di distribuzione: salti al più numerabili della f.d. e (senza dimostrazione) esistenza q.o. della derivata prima e sua integrabilità. Parte a salti, parte continua, parte assol.continua, parte singolare di una d.f. Enunciato del teorema di Lebesgue. 8. 9 novembre, venerdì Esistenza di v.a., costruzione di Skorohod. Esercitazione in classe n.3. - 9. 13 novembre, martedì Applicazione del teorema di Skorohod all esistenza di una famiglia numerabile di v.a. indipendenti Definizione di media di una v.a.. Il comportamento asintotico delle medie di una sequenza di v.a. convergente P-q.c. deducibile da Beppo-Levi, Fatou, Lebesgue. 2

10. 14 novembre, mercoledì Consegna del foglio per casa n.3. Calcolo della media in termini della legge della v.a. Esempi:indicatrice, v.a. semplice, v.a. con densità. Rappresentazione della media di una v.a. nonnegativa come integrale della funzione di sopravvivenza. Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Jensen. Momenti assoluti di ordine p. Spazi L p e loro monotonia. Proprietà degli spazi L p : ogni X appartenente a L p è q.c. finita, le v.a. q.c. limitate sono in L p, qualsiasi sia p. 11. 16 novembre, venerdì L p è spazio vettoriale e la semi-norma X p : disuguaglianza di Schwartz e disuguaglianza di Minkowski nel caso p=2, Hoelder e Minkowski nel caso generale (solo enunciato). Covarianza,varianza,varianza della somma. La media del prodotto nel caso v.a. indipendenti e in L 1. V.a. indipendenti sono scorrelate. Esercitazione in classe n.4. 12. 20 novembre, martedì Legge forte dei grandi numeri con il momento quarto. Legge forte con il momento quarto e medie diverse. Il polinomio di Bernstein e la disuguaglianza di Chebyshev. Una condizione equivalente alla convergenza q.c. di una successione di v.a. 13. 21 novembre, mercoledì unicità del limite q.c., la somma finita di successioni che convergono q.c. converge q.c., Legge forte di Rajchmann Confronto tra la legge forte con il momento quarto e quella di Rajchmann. La legge forte di Kolmogorov (senza dimostrazione). Convergenza in probabilità e relazioni con la convergenza q.c. (con dimostrazione) La convergenza q.c. implica quella in L p quando c è uniforme dominazione con una v.a. in L p. Il quadro delle convergenze. Esempio di convergenza in probabilità che non è q.c. 14. 23 novembre, venerdì Consegnato foglio per casa n.4 Esercizi sulla convergenza q.c. (Esercitazione in classe n.6): trasformazioni continue di sequenze q.c. convergenti. In generale le medie di sequenze q.c. convergenti non convergono alla media del limite: controesempio Esercitazione in classe n.5-3

15. 27 novembre, martedì La convergenza in probabilità (e quindi quella q.c. e in L p ) implica la convergenza delle medie di funzionali continui e limitati. Convergenza in legge come la convergenza delle medie di funzionali continui e limitati. Equivalenza con la convergenza delle funzioni di distribuzione nei punti di continuità della distribuzione limite. Se c è convergenza in legge convergono anche le medie di funzionali continui a meno di un insieme di misura limite nulla. Equivalenza della convergenza in legge con la convergenza della misura di boreliani con frontiera di misura limite nulla. Unicità del limite in legge. 16. 28 novembre, mercoledì Consegna del foglio per casa n.5. Esempio nel caso di convergenza in legge della non convergenza delle d.f. nei punti di discontinuità. Esempio di convergenza in legge di v.a discrete a v.a.continua. Convergenza in legge ad una costante implica convergenza in probabilità. Teorema di Helly-Bray. 30 novembre, venerdì non si fa lezione a causa dello sciopero 4 dicembre, martedì Ogni misura di probabilità sulla retta è tight. Una sequenza di d.f. tight ammette una sottosequenza debolmente convergente ad una d.f.. Data una sequenza tight se tutte le sottosequenze debolmente convergenti convergono allo stesso limite allora quello è anche limite debole della sequenza. Richiamo definizione di funzione caratteristica di v.a. (reale). Richiamo proprietà; in particolare (senza dimostrazione) dell uniforme continuità. Primo enunciato del Teorema di Lévy (senza dimostrazione). Teorema di convergenza di Lévy (con dimostrazione). 17. 5 dicembre, mercoledì mattina Funzione caratteristica della somma di v.a. indipendenti. Elenco delle principali c.f. Derivabilità della funzione caratteristica. Espansione di Taylor al II ordine in θ = 0 della funzione caratteristica di una v.a. con momento secondo. CLT di Lindeberg-Lévy. 18. 5 dicembre, mercoledì pomeriggio Discussione sulla condizione di Lindeberg per il CLT in assenza di di equidistribuzione degli addendi. Esercitazione in classe n.7 4

19. 7 dicembre, venerdì Consegna del foglio per casa n.6. V.a. n-dimensionali: legge, d.f., esistenza. Applicazioni del teorema di Fubini nello studio di n v.a.: condizioni equivalenti all indipendenza di n v.a.; v.a. n-dimensionali con densità e densità marginali; v.a. indipendenti con densità e equivalenza con la fattorizzazione della densità congiunta. Cenni alla funzione caratteristica in più variabili e all estensione delle definizioni e dei teoremi di convergenza in più variabili. Esercitazione in classe n.8 20. 11 dicembre, martedì Definizione di media condizionata e interpretazione. Esistenza (senza l uso del Teorema di Radon-Nycodim) come proiezione ortogonale per v.a. in L 2 e poi per passaggio al limite. Principali proprietà: unicità, monotonia, linearità, passaggi al limite, disuguaglianza di Jensen. 21. 12 dicembre, mercoledì Condizionamenti successivi. Probabilità condizionata. Problema della versione regolare. Distribuzione condizionata e relazione con la media condizionata. caso condizionamento a G = σ(z), con Z v.a. e media condizionata come funzione di Z (dimostrazione con Z semplice, richiamo al Teorema delle classi monotone) 22. 14 dicembre, venerdì Media e probabilità condizionata. Densità condizionata elementare Correzione Esercitazione in classe n.8-23. 18 dicembre, martedì Definizioni, principali proprietà, esempi per le martingale, supermartingale, submartingale a tempo discreto.martingala trasformata mediante un processo prevedibile. Tempi d arresto.martingala stoppata 24. 19 dicembre, mercoledì Teorema di Doob per le supermartingale. Teorema di convergenza per le supermartingale limitate in L 1. 25. 21 dicembre, venerdì Dimostrazione del Lemma degli attraversamenti di Doob. Martingale in L 2 : cnes per la limitatezza in L 2 e convergenza. Condizione sufficiente per la convergenza q.c. della somma di v.a. indipendenti in L 2 di media nulla. 5

- 26. 8 gennaio, martedì Decomposizione di Doob per processi adattati, processo crescente associato al quadrato di una martingala in L 2 Applicazione alla covergenza di somme infinite di v.a. indipendenti, in L 2, di media nulla: se le v.a. sono equilimitate in n e ω e la somma converge allora la serie delle varianze è finita. 27. 9 gennaio, mercoledì Uniforme integrabilità per una famiglia di v.a. Uniforme integrabilità e limitatezza in L 1. Convergenza q.c.. e in L 1 per le martingale uniformemente integrabili. Due condizioni sufficienti per l uniforme integrabilità. Una martingala è uniformemente integrabile se e solo se è regolare. Il limite di martingala regolare come condizionamento all informazione completa. 28. 11 gennaio, venerdì Errata corrige sulla dimostrazione della convergenza di mg. uniformemente integrabili e nuova condizione equivalente alla uniforme integrabilità. Disuguaglianza di Doob per le submartingale. Lemma tecnico. Convergenza in L p per le martingale limitate in L p e disuguaglianza di Doob. 29. 15 gennaio, martedì Una proprietà delle medie condizionate: ciò che è indipendente si può tralasciare nel condizionare. La LLN forte di Kolmogorov dimostrata con le martingale. 30. 16 gennaio, mercoledì Esercizi sulle martingale: supermartingale di media costante sono martingale, una condizione sufficiente con i t.d.a. affinché processi adattati in L 1 siano martingale, le derivate di Radon-Nikodym sono martingale, il prodotto di v.a. indipendenti di media 1 sono martingale, la martingala esponenziale. 6