Appunti di CALCOLO COMBINATORIO Giulia Fidanza Indice Premessa Le sequenze ordinate ed il Principio Generale. Sequenze ordinate................................. Il Principio Generale del Calcolo Combinatorio................ Disposizioni e Permutazioni 7 Combinazioni 0 5 Potenza di un binomio e coefficienti binomiali 5. Applicazioni della definizione di coefficiente binomiale............ 6 5. Applicazioni del binomio di Newton...................... 8 Premessa Il Calcolo Combinatorio studia metodi per calcolare il numero dei modi in cui si possono combinare tra loro elementi di uno o più insiemi, per rispondere a domande del tipo: Quante sono le possibili sestine del Superenalotto? E le schedine del Totocalcio? Nel lancio di una coppia di dadi a sei facce, in quanti modi, sommando i due numeri usciti, si può ottenere 7? ed? Le squadre del campionato di calcio 009/00 sono 0. Quanti sono i possibili podi, supponendo che non ci sia nessun ex aequo? Quante melodie di due battute si possono costruire utilizzando solo le semiminime di do, mi e sol? Quanti sono gli anagrammi (non necessariamente di senso compiuto della parola studiare? Quali sono i termini dello sviluppo di (a + b n? Quanti sono i numeri di tre cifre tutte dispari? In una classe di 5 alunni, quante sono le possibili coppie di rappresentanti? Una delle applicazioni immediate del Calcolo Combinatorio è il Calcolo delle Probabilità, fondamentale nella Statistica.
Le sequenze ordinate ed il Principio Generale Tutta la teoria del Calcolo Combinatorio si basa su un Principio Generale che introduciamo in questa sezione. Oggetto di tale Principio è il numero delle sequenze ordinate di certi elementi, per prima cosa cerchiamo quindi di capire che cosa sono le sequenze ordinate e che differenza c è tra una sequenza ordinata ed una non ordinata.. Sequenze ordinate Definizione. Una sequenza ordinata è un insieme su cui è definito un ordine. Osservazione. Due sequenze ordinate sono diverse se contengono elementi diversi o se contengono gli stessi elementi ma in ordine diverso, ad esempio: le parole lista ed elenco sono due sequenze ordinate diverse perché hanno elementi diversi (cioè lettere diverse; i numeri 5 e 5 sono due sequenze ordinate diverse perché, sebbene gli elementi (cioè le cifre siano gli stessi, il loro ordine è diverso; le parole pera e rape sono due sequenze ordinate diverse perché, sebbene gli elementi (cioè le lettere siano gli stessi, il loro ordine è diverso ; le due melodie (nella stessa chiave e sono due sequenze ordinate diverse perché, sebbene gli elementi (cioè le note siano gli stessi, il loro ordine è diverso. Abbiamo quindi visto che parole, numeri e melodie sono sequenze ordinate (rispettivamente, di lettere, di cifre e di note. Facciamo qualche esempio di sequenze non ordinate: le sestine del Superenalotto sono sequenze non ordinate (cioè semplicemente insiemi, ad esempio le due sestine {7, 5,,, 77, 8} e {, 8, 7,, 5, 77} sono identiche; il risultato del lancio di tre dadi a sei facce è una sequenza non ordinata, cioè un insieme, di tre numeri, ad esempio i risultati {, 6, } e {6,, } sono uguali; le coppie di rappresentanti in una classe sono sequenze non ordinate, ad esempio la coppia {maria, antonio} e la coppia {antonio, maria} sono identiche (supponendo naturalmente che nella classe ci siano una sola Maria ed un solo Antonio. Esercizio. Completa le seguenti tabelle, indicando per ogni coppia di sequenze, se sono uguali o diverse e perché: Sequenze ordinate Sono uguali Sono diverse Perché? ora mora ramo mora casa cassa enna enea Una parola che si ottiene da un altra parola cambiando l ordine delle sue lettere si chama anagramma di quella parola, ad esempio sono anagrammi della parola mite sia temi che time (che è priva di significato nella nostra lingua. In chiave di violino la prima è do re mi do e la seconda do do re mi.
Sequenze non ordinate Sono uguali Sono diverse Perché? {,, } {,, } {,, } {,, } {} {} {, } {, } {o,r,a} {m,o,r,a} {o,r,a} {ora} {r,a,m,o} {m,o,r,a} {mela,pera,banana} {frutta} Esercizio. Fai esempi di. due sequenze ordinate diverse con elementi diversi,. due sequenze ordinate diverse con gli stessi elementi,. due sequenze non ordinate diverse con elementi diversi,. due sequenze non ordinate diverse con gli stessi elementi (è possibile? perché?.. Il Principio Generale del Calcolo Combinatorio Introduciamo ora il Principio Generale attraverso alcuni esempi. Esempio. Quanti completi ha Lucy? Nell armadio di Lucy ci sono tre maglie di tre colori diversi: bianco, giallo e viola; ci sono inoltre quattro gonne di quattro colori diversi: bianco, blu, rosso e verde. Vogliamo calcolare il numero dei possibili completi maglia-gonna. Osserviamo che un completo maglia-gonna è una sequenza ordinata di due colori, il primo per la maglia ed il secondo per la gonna. Un modo per trovare il numero dei possibili completi è elencarli e poi contarli, e per essere sicuri di elencarli tutti costruiamo un grafo ad albero nel seguente modo: Primo passo: Rappresentiamo le tre possibili scelte per la maglia (bianco, giallo e viola come in Figura. Secondo passo: Per ogni possibile scelta per la maglia rappresentiamo le quattro scelte per la gonna come mostrato in Figura. Leggiamo ora tutti i completi della Figura, dall alto in basso, come mostrato nella Tabella. Come si vede, per ognuna delle maglie ci sono possibili gonne ed il numero dei completi è quindi Consideriamo ora anche i due paia di scarpe di Lucy, uno azzurro ed uno arancione, e calcoliamo il numero di completi maglia-gonna-scarpe. Costruiamo il grafo ad albero completando il grafo della Figura come mostrato in Figura. Per ogni possibile coppia maglia-gonna ci sono due possibili scelte per le scarpe, e quindi il numero dei completi maglia-gonna-scarpe è Prova a fare una tabella simile alla Tabella, aggiungendo in fondo una riga per le scarpe, verranno in tutto + colonne!
Figura Figura Figura completo n..... 5. 6. 7. 8. 9. 0... maglia viola viola viola viola gialla gialla gialla gialla bianca bianca bianca bianca gonna bianca blu rossa verde bianca blu rossa verde bianca blu rossa verde Tabella Esempio. Quanti sono i numeri di due cifre, la prima dispari e la seconda pari? Per la prima cifra ci sono 5 possibili scelte (,, 5, 7 e 9 ed altre 5 per la seconda (0,,, 6 ed 8, come mostrato nel grafo ad albero della figura Figura. Elenchiamo tutti i numeri trovati con il grafo, leggendolo da sinistra a destra, come mostrato nella Tabella (in verticale varia la prima cifra ed in orizzontale la seconda. In totale quindi i numeri che hanno la prima cifra dispari e la seconda pari sono 5 5 5 Figura 0 6 8 0 6 8 0 6 8 5 50 5 5 56 58 7 70 7 7 76 78 9 90 9 9 96 98 Tabella Esempio. Quanti sono i numeri di tre cifre dispari? Per ognuna delle tre cifre ci sono 5 possibili scelte (,, 5, 7 e 9, come mostrato nel grafo ad albero della figura Figura 5. I numeri di tre cifre tutte dispari sono 5 5 5 5 5 Figura 5 I tre esempi mostrati utilizzano la stessa strategia per contare il numero delle sequenze ordinate richieste, possiamo riassumere i concetti usati nel seguente:
Principio Generale del Calcolo Combinatorio Il numero delle sequenze ordinate tali che: per il primo elemento ci sono r scelte, per il secondo elemento ci sono s scelte, per il terzo elemento ci sono t scelte, e così via, è il prodotto del numero delle scelte per ogni elemento di una sequenza, cioè r s t... Se il numero totale delle sequenze è grande, fare il grafo diventa un impresa inutilmente lunga, conviene allora ricorrere direttamente al Principio Generale. Esempio. Quante sono le parole di quattro lettere (anche prive di senso che si possono formare con le cinque vocali? Per ognuna delle quattro lettere della parola abbiamo 5 scelte: a, e, i, o ed u. Per il Principio Generale il numero totale delle parole si ottiene moltiplicando tra loro i numeri delle singole scelte, cioè 5 5 5 5 5 65 Esempio 5. In un ufficio lavorano 5 uomini e 7 donne. Quante sono le possibili delegazioni sindacali formate da un uomo ed una donna? Ogni delegazione è formata da un uomo, 5 scelte possibili, ed una donna, 7 scelte possibili, quindi, per il Principio Generale il numero totale delle delegazioni è 5 7 5 Quesito (n. 0 del 006, sessione straordinaria. Una classe è formata da 8 alunni, di cui 6 femmine e maschi. Tra le femmine c è una sola Maria e fra i maschi un solo Antonio. Si deve formare una delegazione formata da due femmine e due maschi. Quante sono le possibili delegazioni comprendenti Maria e Antonio? Svolgimento: Una delegazione del tipo richiesto è una sequenza del tipo maria - antonio - altra ragazza - altro ragazzo Il numero di tali delegazioni è dato, per il Principio Generale, dal prodotto del numero delle scelte per i singoli elementi, date in tabella: elemento maria antonio altra ragazza altro ragazzo Il numero totale delle delegazioni è quindi numero di scelte possibili (tra le femmine c è una sola Maria (tra i maschi c è un solo Antonio 5 ( 6, Maria è già stata scelta (, Antonio è già stato scelto 5 65 5
Esercizio. In una compagnia di quattro amici (Antonio, Benedetta, Carlo e Diana bisogna scegliere un capo e un vice. In quanti modi può essere effettuata la scelta? Risolvi con il Principio Generale e poi disegna il grafo ad albero (per brevità, usa solo le iniziali dei nomi. [ ] Esercizio. Per andare da Amsterdam a Berlino si possono seguire quattro diversi itinerari. In quanti modi è possibile fare un giro da Amsterdam fino a Berlino e ritorno? E se al ritorno non si vuole ripercorrere la stessa strada dell andata? Risolvi con il Principio Generale e poi disegna il grafo ad albero, per ciscuno dei due casi (per brevità, usa solo le iniziali dei nomi. [ 6, ] Esercizio 5. Quanti numeri di tre cifre si possono formare utilizzando solo le cifre,, e, anche ripetute? E non ripetute? [ 6, ] Esercizio 6. Per giocare al totocalcio, com è noto, bisogna scegliere un pronostico (che può essere, X o per ciascuna delle partite sulla schedina. Quante schedine diverse è possibile, teoricamente, compilare? [ 59 ] Quesito (0-00. Sono dati gli insiemi A {,,, } e B { a, b, c }. Quante sono le applicazioni (le funzioni di A in B? Svolgimento: Una funzione da A a B è una legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B, mostriamo di seguito esempi di funzione da A {,,, } a B { a, b, c }: funzione funzione funzione A a b c B A a b c B A a b c B f ( b f ( a f ( c f ( c f ( c f ( c f ( b f ( c f ( a f ( a f ( b f ( c Come si vede dagli esempi, una funzione è univocamente determinata dalle immagini degli elementi del dominio: f(, f(, f(, f( Il numero delle funzioni è quindi dato, per il Principio Generale, dal prodotto del numero delle scelte di ogni singola immagine, in tabella: elemento possibili immagini numero di scelte possibili a, b, c a, b, c a, b, c a, b, c Il numero totale delle funzioni è quindi 8 6
Disposizioni e Permutazioni Definizione. Una disposizione semplice di classe di n oggetti ( n è una sequenza ordinata di lunghezza degli n oggetti dati, senza ripetizioni. Esempio 6. I numeri di cifre dispari tutte distinte, come ad esempio 5, 975, 79 e 7, sono disposizioni semplici di classe delle 5 cifre dispari {,, 5, 7, 9 }. Esempio 7. Le parole composte da vocali distinte, come ad esempio ae, ei, uo e oa, sono disposizioni semplici di classe delle 5 vocali { a, e, i, o, u }. Teorema. Il numero delle disposizioni semplici di classe di n oggetti ( n è : D n, n (n (n... (n + } {{ } fattori Dimostrazione. Per definizione, una disposizione semplice è una sequenza ordinata (senza ripetizioni contiamo quindi il numero di scelte per ogni elemento per poi applicare il Principio Generale. Per il primo elemento ci sono n scelte, per il secondo elemento le scelte si riducono ad n, perché bisogna escludere l elemento scelto per primo, per il terzo elemento si hanno n scelte perché bisogna escludere i due elementi scelti per primo e secondo, e così via. Schematizziamo il procedimento appena descritto in tabella: numero dell elemento... numero di scelte n n n n... n ( n + Per il Principio Generale, il numero totale delle disposizioni semplici di classe di n oggetti, che indichiamo con D n,, è il prodotto del numero di scelte dei singoli elementi della disposizione, quindi: cioè la tesi. D n, n (n (n... (n + Esempio 8. Quante sono le parole composte da vocali distinte? QED Soluzione. Una parola composta da vocali distinte è una disposizione semplice di classe (la classe della disposizione è la lunghezza della parola delle n 5 vocali ( a, e, i, o, u, quindi il numero delle parole composte da vocali distinte è : D 5, 5 0 Esempio 9. Quanti sono i numeri di cifre dispari tutte distinte? Soluzione. Un numero di cifre dispari tutte distinte è una disposizione semplice di classe (la classe della disposizione è la lunghezza del numero delle n 5 cifre dispari (,, 5, 7, 9, quindi i numeri del tipo richiesto sono: D 5, 5 60 Esercizio 7. Quanti numeri di cifre tutte diverse si possono formare con le 7 cifre, 6,, 5, 7 e 9? [D, 7 6 5 0] 7
Esempio 0. Quante parole di 5 lettere, anche prive di significato, si possono comporre con le lettere dell alfabeto? [D,5 0 9 8 7 880] Esempio. Devi scegliere operai da una squadra di 9 per presidiare un impianto che ha differenti postazioni di lavoro. Ogni posizione deve avere un solo operaio. In quanti differenti modi puoi configurare la squadra di lavoro? [D 9, 9 8 7 6 0] Esempio. Ad una gara partecipano 5 concorrenti; calcola il numero dei possibili podi. [D 5, 5 70] Trattiamo ora un caso speciale di disposizioni: Definizione. Una permutazione di n oggetti è un ordinamento degli n oggetti. Una permutazione di n oggetti è quindi una disposizione semplice di classe n degli n oggetti, questo ci permette di contare il numero di permutazioni di n oggetti ricorrendo al Teorema, nel seguente modo: Corollario (al Teorema. Il numero delle permutazioni di n oggetti è: P n n (n (n... Dimostrazione. Poiché una permutazione di n oggetti è una disposizione semplice di classe n degli n elementi dati, il numero di tali permutazioni, che indichiamo con P n, è, per il Teorema: P n D n,n n (n (n... Dato che per n si ha n + n n +. QED Definizione. Il numero delle permutazioni di n oggetti viene anche chiamato n fattoriale, ed indicato con n!, quindi: n! n (n (n... Osservazione. Con questa nuova notazione possiamo scrivere E si pone convenzionalmente 0!. P n n! Esempio. Quanti sono i possibili ordinamenti delle cifre, e? Soluzione. n quindi: P! 6 In questo caso possiamo anche elencarli (sono pochi:,,,, e. Osservazione. Dagli esempi precedenti si può notare come il fattoriale di un numero diventi molto grande all aumentare del numero stesso: 8
0!!!! 6! 5! 5 0 6! 6 5 70 7! 7 6 5 500 8! 8 7 6 5 00 9! 9 8 7 6 5 6880 0! 0 9 8 7 6 5 68800 Esempio. Quante sono le parole composte esattamente dalle 5 vocali, senza ripetizioni? Soluzione. n 5 quindi: P 5 5! 5 0 Esercizio 8. In quanti modi si possono appendere quadri in fila alla stessa parete? [P! 6] Esercizio 9. All ufficio postale ci sono 5 sportelli in apertura e 5 persone in attesa. In quanti modi possono disporsi agli sportelli? [P 5 5! 0] Esercizio 0. Nel palio di Siena corrono 0 cavalli e l ordine alla partenza è stabilito da una estrazione a sorte. Calcola quante sono le possibili configurazioni alla partenza. Osservazione. Osserviamo che: Quindi D n, n(n (n... (n + n(n... (n ( (n (n ( +... (n (n ( +... n(n... (n ((n... n! (n! P n P n P n D n, P n [P 0 0! 68800] Cioè il numero di permutazioni di n oggetti è il prodotto tra il numero di disposizioni semplici di classe degli n oggetti dati ed il numero di permutazioni degli n oggetti restanti, in accordo con il Principio Generale. Quesito (0-00 sst. Alla finale dei 00m piani partecipano 8 atleti, fra i quali figurano i nostri amici Antonio e Pietro. Calcolare il numero dei possibili ordini di arrivo che registrino i nostri due amici fra i primi tre classificati. Soluzione. Se Antonio e Pietro figurano tra i primi tre classificati, allora un qualsiasi insieme di vincitori della gara è composto da Antonio, Pietro ed uno tra i sei rimanenti atleti, quindi ci sono 6 possibili insiemi di vincitori. Inoltre, per ogni insieme di vincitori il numero dei podi (cioè gli ordinamenti è P. Infine, per ogni podio, il numero dei possibili ordini di arrivo dei rimanenti 5 atleti è P 5. Per il Principio Generale, i possibili ordini di arrivo complessivi del tipo richiesto sono: 6 P P 5 6 6 0 0 9
Combinazioni Definizione 5. Una combinazione semplice di classe di n oggetti ( n è un insieme composto da degli n oggetti dati, senza ripetizioni. Esempio 5. Le sestine del Superenalotto sono combinazioni semplici di classe 6 di 90 oggetti. Esempio 6. Le delegazioni di rappresentanti di una classe formata da alunni sono combinazioni semplici di classe di elementi. Teorema. Il numero delle disposizioni semplici di classe di n oggetti ( n è : C n, n!!(n! Dimostrazione. Scriviamo la tesi in un altro modo: C n, n!!(n! n! (n!! D n, P D n, C n, P Al primo membro c è il numero di disposizioni semplici di classe di n oggetti, cioè il numero di sequenze ordinate di elementi su n. Una sequenza ordinata di elementi su n è un insieme di elementi su n con un ordinamento, quindi il numero di tali sequenze si può ottenere moltiplicando tra loro il numero dei possibili insiemi di elementi su n per il numero dei possibili ordinamenti su elementi, cioè a dire moltiplicando tra loro il numero delle possibili combinazioni di elementi su n per il numero delle permutazioni su elementi, che è il secondo membro della tesi. QED Definizione 6. Il numero delle combinazioni semplici di classe di n oggetti viene anche chiamato coefficiente binomiale n su : ( n n!!(n! Osservazione 5. Con questa nuova notazione possiamo scrivere ( n C n, Osservazione 6. C n, è il numero dei possibili sottoinsiemi di elementi su n. Osserviamo che scegliere un insieme di elementi su n equivale a scegliere l insieme degli n non scelti, quindi il numero dei possibili sottoinsiemi di elementi su n è uguale al numero dei possibili sottoinsiemi di n elementi su n, cioè C n, C n,n Tale relazione ha anche un immediata dimostrazione algebrica, poiché n (n : ( ( n n! C n,!(n! n! n (n!(n (n! C n n,n Esempio 7. Una classe è formata da 5 alunni, quante sono le possibili coppie di rappresentanti? Soluzione. Una coppia di rappresentanti è una combinazione semplice di classe di 5 elementi, quindi il numero di tale delegazioni è C 5, ( 5 5!!! 0 7 5! 05!
Esempio 8. Calcolare quanti sono i possibili ambo del Superenalotto. Soluzione. Un ambo su 90 numeri è una combinazione semplice di classe di 90 elementi, il numero dei possibili ambo è: C 90, ( 90 90 89 88!! 88! 5 90 89 005 Esercizio. Usando quattro colori, quante diverse maglie a righe di due colori è possibile produrre? E di tre colori? [C, 6, C, ] Esercizio. In quanti modi diversi l insegnante di educazione fisica può scegliere in una classe di 5 alunni 6 giocatori per una squadra di pallavolo (senza tener conto dei ruoli? [C 5,6 505] Esercizio. Quante sono le diagonali di un poligono con 8 lati? (Suggerimento: una diagonale è un segmento che unisce due vertici non consecutivi. [C 8, 8(num. lati 0] Esercizio. Quanti diversi incontri di pugilato possono essere disputati tra sette pugili? [C 7, ] Esercizio 5. In un campionato di calcio, quante partite (di andata e di ritorno vengono giocate in un girone di sei squadre? [ C 6, 0] Esercizio 6. Quante partite di doppio ( contro a tennis possono disputare 8 persone? [ C 8, C 6, 0] Quesito (9-00 sst. In una classe di 5 alunni bisogna estrarre a sorte una rappresentanza di elementi. Calcolare quante sono le possibili terne di rappresentanti. Soluzione. Una terna di rappresentanti è una combinazione semplice di classe di 5 elementi, quindi il numero di tale delegazioni è C 5, ( 5 5!!! 5! 00! Quesito (0-005 ssp. Una classe è formata da 7 alunni: 5 femmine e maschi. Si deve costituire una delegazione di 5 alunni di cui femmine e maschi. Quante sono le possibili delegazioni? Soluzione. Ogni delegazione è formata da una sottodelegazione di femmine ed una di maschi, quindi, per il Principio Generale, il numero totale delle delegazioni è il prodotto del numero delle sottodelegazioni femminili per il numero delle sottodelegazioni maschili. Si ha quindi: Numero delegazioni C 5, C, ( 5 ( 5! 0!!!! 0! 5 5 7 6 000
Quesito (0-005 sst. Calcolare quante sono le possibili cinquine che si possono estrarre da un urna contenente i numeri naturali da a 90, ognuna delle quali comprenda però i tre numeri, e. Soluzione. Per ogni cinquina del tipo richiesto, sui 90 numeri disponibili sono fissati (, e e gli altri due numeri vanno presi sugli 87 rimanenti; quindi il numero delle cinquine su 90 numeri contenenti, e è uguale al numero degli ambo su 87 numeri e cioè: C 87, ( 87 87 86 85! 87 86! 85! 7 Quesito (9-00. Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri e 90. Soluzione. Per ogni cinquina del tipo richiesto, sui 90 numeri disponibili sono fissati ( e 90 e gli altri numeri vanno presi sugli 88 rimanenti; quindi il numero delle cinquine su 90 numeri contenenti e 90 è uguale al numero delle terne di 88 numeri e cioè: C 88, ( 88 88 87 86 85!! 85! 88 87 9 86 0976
5 Potenza di un binomio e coefficienti binomiali Perché il numero delle combinazioni semplici si chiama coefficiente binomiale? Di cosa è coefficiente? Che c entrano i binomi? In questa sezione partiamo dalla risposta a queste domande. Ricordiamo che un binomio è un polinomio con due soli termini, come ad esempio a+b. I coefficienti binomiali forniscono un modo semplice per scrivere lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio, come mostrato nel seguente Teorema. L n-esima potenza del binomio a + b è : ( ( ( ( (a + b n n a n n + a n n b + a n b n + 0 ( a n b n +... + n b n che si scrive anche, in forma più sintetica: n ( (a + b n n 0 a n b (binomio di Newton dove il simbolo n 0 sommare tutti i termini si ( legge sommatoria per da 0 ad n ed indica che si devono n a n b per ogni valore dell indice compreso tra 0 ed n. Dimostrazione. Iniziamo con l osservare che la potenza n-sima del binomio (a + b è il prodotto del binomio per se stesso n volte: (a + b (a + b (a + b... (a + b } {{ } n fattori Ad esempio, (a + b (a + b (a + b (a + b (a + b. Sviluppiamo tale prodotto, sommando tra loro tutti i monomi ottenuti dalla moltiplicazione di un termine per ogni binomio: (a + b (a + b (a + b (a + b (a + b a a a a+ ( volte a +a a a b + a a b a + a b a a + b a a a+ ( volte a ed volta b +a a b b + b b a a + a b a b + b a b a + a b b a + b a a b+ ( volte a e volte b +a b b b + b a b b + b b a b + b b b a+ ( volta a e volte b +b b b b ( volte b Infatti (a + b a + a b + 6a b + ab + b. Il coefficiente di un qualsiasi monomio dello sviluppo, consideriamo ad esempio a b, è il numero di addendi che si ottengono scegliendo volte a ( esponente di a ed volta b ( esponente di b, cioè scegliendo a in dei binomi (di conseguenza b nel restante binomio. Effettuare questa scelta equivale a scegliere dei binomi da cui prendere a, cioè un insieme di elementi su, tale coefficiente è pertanto il numero di combinazioni di elementi su, e infatti: (!!! è il coefficiente di a b nello sviluppo di (a + b Questo ragionamento si può fare per ogni binomio ottenendo la tesi nel caso n : ( ( ( ( ( (a + b a + a b + a b + ab + b 0
n ( 0 a b Facciamo ora lo stesso ragionamento ma nel caso generale di (a + b n. Consideriamo un generico monomio dello sviluppo di (a + b n : a b n, con n. Tale monomio ha come coefficiente il numero di addendi che si ottengono scegliendo volte a (ed automaticamente n volte b, cioè scegliendo degli n fattori disponibili da cui prendere a, quindi il coefficiente di a b n è il numero di combinazioni di elementi su n, cioè (a + b n 0. Si ha così la tesi: ( a n n + ( a n n b + ( a n b n + ( a n b n +... + n b n QED Un modo per trovare i coefficienti dello sviluppo di (a + b n era già noto ai matematici del XIV secolo attraverso la costruzione di quello che in Italia viene chiamato triangolo di Tartaglia (dal matematico italiano Niccolò Fontana, detto Tartaglia a causa di un accentuata balbuzie, vissuto tra il 99 ed il 557. Il triangolo di Tartaglia è un triangolo numerico infinito in cui in ogni riga il primo e l ultimo numero sono e gli altri numeri si ottengono dalla somma dei due numeri della riga superiore immediatamente sopra ad esso, come mostrato in Figura. L n-sima riga fornisce i coefficienti dello sviluppo del binomio (a + b n : Riga Riga Riga 0 Riga Riga Riga 5 Riga 6 Riga 7 Riga 8 Riga 9 Riga 0 Riga Riga Riga Riga Quindi, guardando la XIV riga si ha: Figura (a + b a + a b + 6a b + ab + b (a+b a +a b+9a b +6a b +00a 0 b +00a 9 b 5 +00a 8 b 6 +a 7 b 7 + +00a 6 b 8 + 00a 5 b 9 + 00a b 0 + 6a b + 9a b + ab + b in Francia è il triangolo di Pascal ed in Germiania il triangolo di Stiefel.
Allora, il -esimo numero dell n-sima riga, cioè ( il coefficiente di a n b nello sviluppo di n (a + b n, è proprio il coefficiente binomiale, e infatti la costruzione del triangolo di Tartaglia corrisponde a delle proprietà dei coefficienti binomiali: Triangolo di Tartaglia Il primo numero dell n-sima riga è. L ultimo numero dell n-sima riga è. Coefficiente binomiale 0 n n! 0!n! n! n!0! Per, n >, il -simo numero dell n-sima riga si ottiene dalla somma del -simo e del -simo numero dell n -sima riga. + La dimostrazione della terza proprietà è la richiesta del Quesito (9-005 sst. Dimostrare la seguente formula: ( n + dove n, sono numeri naturali tali che 0 < < n. Essa spiega una delle regole sulle quali è basata la costruzione del triangolo di Tartaglia (da Niccolò Fontana, detto Tartaglia, 505 ca. 557: enunciarla. Soluzione. Per la dimostrazione della formula è sufficiente ricorrere alla definizione di coefficiente binomiale: ( ( n n (n! (n! + +!(n! (!(n +! (n! (!(n! + (n! (!(n (n! n(n! (!(n (n! n!!(n! La regola a cui fa riferimento è quella enunciata nella tabella. (n!(n + (!(n (n! ( n Osserviamo infine che il triangolo di Tartaglia è simmetrico rispetto alla sua altezza, questa proprietà ha la sua gemella per i coefficienti binomiali, dimostrata nell Osservazione 6 a pag.0: n Passiamo ora alla risoluzione dei quesiti della maturità riguardanti i coefficienti binomiali ed il binomio di Newton. sst sessione straordinaria 5
5. Applicazioni della definizione di coefficiente binomiale Quesito (7-009. Si dimostri l identità + con n e naturali e n >. n + Soluzione. Bata ricordare la definizione di coefficiente binomiale: ( n + Quesito (6-008. Se n! ( +!(n! n! ( +!(n! n! ( +!(n! n n n!!(n (n! n + n!!(n! n +,, con n > sono in progressione aritmetica, qual il valore di n? n + Soluzione. Ricordiamo che una successione di numeri è in progressione aritmetica se la differenza tra ciascun termine e il suo precedente è costante, nel nostro caso si deve avere: ( ( ( ( n n n n Che, per la definizione di coefficiente binomiale, diventa: n!!(n! n!!(n! n!!(n! n!!(n! Osserviamo che, essendo n > tutti i fattoriali esistono. Ricordiamo che (n! (n (n! ed (n! (n (n (n! e portiamo n! a fattor comune (n! 0 per poi semplificarlo: ( ( n! (n! (n n! (n (n (n! 6 (n Rimane quindi da risolvere una l equazione frazionaria in n: (n (n (n 6 (n Il cui campo di esistenza, che è R \ {, }, contiene il dominio del problema, D N >. Risolviamola: (n 6 6(n (n n 6 n n n + n + (n (n (n 6(n (n n 9n + 0 9 ± 5 7 e n 9 5 n, 9 ± 8 56 n 9 + 5 9 ± 5 La seconda soluzione,, non è accettabile perché non appartiene al dominio, la soluzione è quindi 7, facciamo la verifica: ( 7 7! ( 7!6! 7, 7!!5! 7 6 ( 7, 7!!! 7 6 5 5 6 E infatti 7 5. 6
Quesito (8-007. Si risolva lequazione: 5 Soluzione. Affinché i coefficienti binomiali esistano si deve avere n N n n n 5 Quindi il dominio del problema è D N 5. Per la definizione di coefficiente binomiale l equazione diventa: n! (n! 5!(n!!(n 5! Ricordando che!!, n! n(n (n! ed (n! (n (n 5! si ha: Risolviamo quindi: n(n (n!!(n (n 5! 5 (n!! (n 5! n(n (n 5 n(n 5(n n 6n + 60 0 n, 8 ± 6 60 8 ± n 0 e n 6 L equazione ha quindi due soluzioni, 0 e 6, facciamo la verifica: ( ( 0 8 n 0 5 0! 8! 5!6!!5! 0 9 8 7 6!! 6! n 6 6 5!!! Quesito (0-007 ssp 5. Si risolva la disequazione: 5 8 7 6 5!! 5! ( 0 5!!! ( x 5 0 9 5 6 90 90 6!! 5!!!! ( 8 6 5 > 5 ( x 5 5 5 Soluzione. Il dominio della disequazione è D N. Ricordando la definizione di coefficiente binomiale, la disequazione diventa: x!!(x! > 5 x!!(x! Ricordando la definizione di fattoriale possiamo fare le seguenti semplificazioni: x(x (x (x! 5 x(x (x!! (x!! (x! Ottenendo: x(x (x > 5x(x x(x (x > 5x(x x(x (x 5x(x > 0 x(x (x 5 > 0 5 ssp sessione suppletiva x(x (x 9 > 0 7
0 9/ sgn(x(x (x 9 sgn(x 9/ sgn(x sgnx S [(0, (9/, ] D N 5 5. Applicazioni del binomio di Newton Quesito (5-006. Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a + b n è uguale a n per ogni n N. Soluzione. Ricordando la formula del binomio di Newton: n ( (a + b n n a n b Nel caso in cui a b si ha la tesi: n ( ( + n n 0 0 n n Quesito (9-005 ssp. Le parti letterali dei termini dello sviluppo del binomio (a + b 0, ordinati secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b sono rispettivamente: n 0 a 0, a 9 b, a 8 b, a 7 b, a 6 b, a 5 b 5, a b 6, a b 7, a b 8, ab 9, b 0 Elencare i loro coefficienti e giustificare in modo esauriente la risposta. Soluzione. Ricordando la formula del binomio di Newton per n 0: (a + b 0 0 0 a n b i coefficienti di tali termini (nell ordine dato sono: ( 0 0! ( 0 0 0!0! ; 0! ( 0!9! 0 ; 0!!8! 0 9 5 ( 0 0!!7! 0 9 8 ( 0 0 ; 0! 6!6! 0 9 8 7 0 ( 0 0! 5 5!5! 0 9 8 7 6 5 0 ( ( ( ( 0 0 0 0 0 ; 0 6 7 ( ( ( ( ( ( 0 0 0 0 0 0 5 ; 0 ; 8 9 0 0 Quesito ( - 00 ssp. Calcolare se esiste un numero n per il quale risulti n ( n.08.576 0 8
Soluzione. Ricordando la formula del binomio di Newton: Nel caso in cui a b si ha: n ( (a + b n n 0 n ( n n 0 a n b Bisogna quindi vedere se esiste un numero n N tale che n.08.576. Con l ausilio della calcolatrice troviamo che 0.08.576, quindi n 0. 9