SOLDO D SANT VENANT: TOSONE La pariolarià del problema di Sain-Venan onsene di deerminare in modo semplie le soluioni del problema dell equilibrio elasio. Nel aso della orsione semplie si è in uno sao ensionale puramene angeniale: τ ¹ 0; τ ¹ 0; σ = σ = σ = τ = 0 τ σ τ τ σ σ τ τ τ τ τ Componeni non nulle Componeni nulle Appliando il meodo degli sposameni, sono soddisfae dapprima le equaioni indefinie di ompaibilià: u u u = 0 Þ u(, ); = 0 Þ u(, ); = 0 Þ u(, ); u ( ) u ( ),, + = 0 1
Nello spirio del meodo semi-inverso, è possibile ipoiare he la soluione abbia la seguene forma: SOLDO D SANT VENANT: TOSONE ( ) ϑ( ) u =-ϑ - u = - l =1 u = ϑω [ ( ) - + ], ϑ essendo: ϑ ω (, ) (, ) Angolo uniario di orsione, he esprime la roaione relaiva ra due seioni rasversali pose a disana uniaria Funione di ingobbameno, he definise ome si ingobba la seione rasversale Coordinae del enro di orsione C 2
SOLDO D SANT VENANT: TOSONE Una vola definia la forma della soluione in ermini di sposameno si oiene dalle equaioni osiuive: u ω ( ) τ ω ( ) τ u é, ù u u é, ù γ = + = ϑ - = ; γ = + = ϑ + = ê ú ê ú ë û ë û Sosiuendo le preedeni relaioni nelle equaioni indefinie di equilibrio si ha: τ ( ) ( ) τ ( ) γ ( ), γ,,, = = 0; = = 0 2 2 τ ( ) τ ( ) ω ( ) ω ( ),,,, + = 0 Þ + = 0 2 2 Assoiando all equaione di Laplae le ondiioni al onorno: ω (, ) ω(, ) τ ( n, ) + τ ( n, ) = 0 Þ n + n = n -n Equaione di Laplae si definise il osideo Problema di Neumann, he ammee soluione unia a meno di una osane arbiraria (basi libere). n al modo la soluione ω è una funione armonia e risula ompleamene definia.
TOSONE: SEZONE CCOLAE le seioni rasversali si manengono piane ω (, ) = 0 n queso aso per la simmeria polare si avrà: = 0. = Le omponeni dello sposameno assumono la forma u = ϑ u = ϑ u = 0 Dalla ondiione di equivalena sulle basi segue: = = da = A ò éæ u u ö ù + ç è ø da u u æ ö - + ê çè ø ú ë û A ( ) ò 2 2 A ò ( τ - τ ) = ϑ + da= ϑ P r ϑ = p ; φ= ϑl 4
TOSONE: SEZONE CCOLAE (le seioni rasversali si manengono piane) ϑ = p ; φ= ϑl τ = = τ ϑ ; p = ϑ= p τ = τ + τ = 2 2 r p φ = ϑl seione irolare piena τ ma τ ma = 2 ; P π = π 2 4 τ r r φ = ϑl 5
TOSONE: SEZONE CCOLAE l =1 ϑ ϑ angolo uniario di orsione seione irolare piena : τ = 2 π ; P π = 2 ma 4 ϑ u P r u α u= ϑ= ϑ 2 + 2 u = u os α=- ϑ; u = u sin α= ϑ ϑ si alola dalla ondiione di equivalena sulle basi r τ = r τ ma e i seione irolare ava: π 4 4 2 = ( ), τ = 2 π p e i ma 4 4 e ( e i ) 6
TOSONE: plasiià - roura Cerhio del ohr: a b p 2 σ min σ ma τ = 2 π ; P π = 2 ma 4 Z=N σ 2 =± ; τ = 0 π ma, min aeriale duile. Superfiie di roura σ ma σ min aeriale fragile. Superfiie di roura 7
TOSONE: SEZONE ETTANOLAE Le seioni non si manengono piane: 2 τ = τ = b= α ; = βab SOLUZONE APPOSSATA: ma 2 ab faore di rigidea orsionale ω (, ) ¹ 0 L 4 a T T a>b b 8
TOSONE SEZON APETE A SPESSOE SOTTLE: soluioni approssimae 1 ( ) = b sds τ ma = bs sl ( ) ; ma Seioni reangolari allungae 1 ; ; ab ab = ab τma = α = 2 2 Seioni di forma qualunque?(,) Le seioni non si manengono piane:?0 1 = ab ; = τ = b ; i i i i ma i,ma 9
L ANALOA DODNACA è saa inrodoa per omprendere qualiaivamene l andameno delle ensioni angeniali nella orsione. TOSONE: ANALOA DODNACA nremeno delle ensioni in orrispondena di resringimeni della seione: inagli o fori. Andameno ompleamene diverso delle ensioni angeniali nei asi di seione apere o hiuse. Seione hiusa (monoonnessa) Seione apera (bionnessa) 10
TOSONE: ANALOA DODNACA Tensioni angeniali quasi nulle in viinana di spigoli eserni (sporgeni). Vieversa ensioni elevae in orrispondena di spigoli inerni (rienrani). Per eviare onenraioni di ensioni elevae o spreo del maeriali gli spigoli vengono arroondai. 11
TOSONE: ANALOA DODNACA formula approssimaa di BEDT: seioni hiuse a spessore soile?(,) Le seioni non si manengono piane:?0 spessore b diamero del erhio biangene b s d o = r( stds ) ; T = τ( s) b( s) = osane τ() s = sl 2 Ω b s ( ) ds s ( a ) Tds= ( b ) b ds 1 dω= r( s) ds/2 r( s) ds = 2 dω Ω= r( sds ) 2 s l 12