PROBLEMI DI GEOMETRIA

PROBLEMI DI GEOMETRIA Lucio Guerra 1994 v. 1 2001 v. 2.7 Dipartimento di Matematica e Informatica - Università di Perugia

Indice 1. EQUAZIONI LINEARI 1 2. SPAZI VETTORIALI 2 3. APPLICAZIONI LINEARI 4 4. AUTOVETTORI 6 5. GEOMETRIA AFFINE in dimensione 3 7 6. SPAZI AFFINI 8 7. AFFINITÀ 9 8. GEOMETRIA EUCLIDEA in dimensione 3 10 9. ISOMETRIE 11 10. FORME BILINEARI 13 11. CONICHE 16 12. FASCI DI CONICHE 18 13. QUADRICHE 20

1. EQUAZIONI LINEARI 1.1. Determinare i valori del parametro a R per i quali il sistema lineare x + 2y + az = 1 3y + z = 0 x + ay z = 0 ammette soluzioni. 1.2. Determinare per quali valori del parametro k il seguente sistema è compatibile: x + z = 0 ky + z = 1 kx + y = 0 1.3. Determinare le condizioni sulla terna di numeri reali (a, b, c) necessarie e sufficienti affinchè il sistema x + z = a y z = b x + y = c sia compatibile. Sotto tali condizioni, esprimere poi la soluzione generale del sistema in funzione di a, b, c e di ulteriori parametri, se necessari. 1

2. SPAZI VETTORIALI 2.1. Sia S il sottospazio di R 3 definito dal sistema di equazioni x + 2y + z = 0 2x + y + 3z = 0 x 4y + 3z = 0 Determinare la dimensione e una base di S. 2.2. Sia S il sottospazio di R 3 generato dai vettori (1, 1, 0), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 0, 1). Determinare la dimensione e una base di S. 2.3. Considerati i vettori di R 4 u = (1, 1, 1, 1), u = (1, 1, 1, 1), sia U il sottospazio di R 4 generato da u, u, e sia inoltre V = {(x, y, z, t) R 4 : x + y + z + t = 0}. Dimostrare che si ha U V. Verificare che {u, u } è una base di U. Estendere questa base di U a una base {u, u, v} di V. 2.4. Si consideri in R 4 il sottospazio S = {(x, y, z, t) : y = z}. Considerati quindi i tre vettori di S (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), sia T S il sottospazio che essi generano. Estrarre una base per lo spazio T dal sistema di generatori assegnato. Estendere poi la base trovata a una base di S. Estendere infine questa base a una base dell intero R 4. 2.5. Considerati in R 3 i vettori u = (1, 1, 0), v = (1, 1, 1), w = (3, 1, 1), z = (0, 1, 0), definiamo il seguente sottospazio di R 4 S = {(a, b, c, d) : au + bv + cw + dz = 0} (l insieme delle relazioni di dipendenza lineare tra i dati vettori). Determinare la dimensione e una base di S. Può ciascuno dei dati vettori esprimersi come combinazione lineare dei rimanenti? 2

2.6. Considerati i vettori di R 3 v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (0, 1, 1), v 4 = (1, 0, 0), v 5 = (1, 1, 2), definiamo il seguente sottospazio di R 5 S = {(a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 ) : a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 + a 5 v 5 = 0} Determinare la dimensione e una base di S. Può ciascuno dei dati vettori esprimersi come combinazione lineare dei rimanenti? 2.7. Considerati i vettori di R 3 u = (1, 1, 2), u = (0, 1, 1), v = (2, 1, 1), v = (1, 0, 0), siano U il sottospazio generato da u, u, V il sottospazio generato da v, v. Calcolare le dimensioni dei sottospazi U, V, U + V, U V. 2.8. Dimostrare che R 3 = U V, dove: U = {(x, y, z) R 3 : x = y}, V = {(x, y, z) R 3 : x = z = 0}. 2.9. In R 4 i vettori u = (1, 0, 0, c), u = (a, 0, a, 0), v = (0, a, 0, a), v = (0, c, c, 0), determinano i sottospazi U = u, u, V = v, v. Trovare i valori di a, c per cui si ha una coppia di sottospazi con U V 0 e trovare quante coppie U, V si ottengono in questo modo. Per questi valori dei parametri determinare una base dello spazio intersezione. 3

3. APPLICAZIONI LINEARI 3.1. Sia f : R 3 R l applicazione definita da x y z f(x, y, z) = 1 1 1 1 2 1. Dimostrare che f è lineare. Determinare la dimensione e una base di Ker(f). 3.2. Dimostrare che l applicazione f : R 3 R 3 definita da f(x, y, z) = (x y, y + z, z x) è un automorfismo di R 3 e determinare l applicazione inversa f 1. 3.3. Considerata l applicazione lineare L : R 3 R 3 tale che L(1, 0, 0) = (1, 0, 1), L(0, 1, 0) = (2, 3, 1), L(0, 0, 1) = (0, 1, 1), determinare il valore L(x, y, z) che L assume su un vettore arbitrario (x, y, z) R 3. Calcolare quindi le dimensioni ed esplicite basi di Ker(L) e Im(L). 3.4. Per ogni k R, sia f k : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f k (x, y, z) = (ky kz, x + y + z, kx + ky). Per quali valori di k il vettore (0, 2, 0) appartiene all immagine di f k? 3.5. Considerata in R 3 la base B = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)), detta C la base canonica, scrivere le due matrici del cambiamento di base M B,C e M C,B. 3.6. Sia M lo spazio vettoriale delle matrici 2 2 a coefficienti reali, e sia E la base di M costituita dai vettori ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 1 0 0 E 1 =, E 0 0 2 =, E 1 0 3 =, E 0 0 4 =. 0 1 Posto A = ( 1 1 ), si consideri l applicazione lineare L : M M 0 1 definita da L(X) = A X. Determinare la matrice M E,E (L). 4

3.7. Detto M lo spazio vettoriale delle matrici 2 2 a coefficienti reali, sia A M e si consideri l applicazione lineare L : M M definita da L(X) = A X. Dimostrare che Im(L) coincide con l insieme delle matrici Y M le cui colonne sono combinazioni lineari delle colonne di A. Dedurre che dim(im(l)) = 2 rg(a). 3.8. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare tale che f(x, y, z) = (x y, y z, z x) Determinare una base di Ker(f). Dimostrare che si ha R 3 = Ker(f) Im(f). 5

4. AUTOVETTORI 4.1. Considerata la matrice a coefficienti reali A = a u 1 0 a v, 0 0 b determinare le condizioni sui coefficienti necessarie e sufficienti affinchè si abbia una matrice simile alla matrice diagonale con coefficienti diagonali 0, 1, 1. 4.2. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3, in cui è fissata una base (i, j, k). Si consideri l insieme H delle applicazioni lineari f : V V che possiedono un autovalore il cui autospazio contiene i, j. Dimostrare che H è un sottospazio di Hom(V, V ). Determinare condizioni sui vettori f(i), f(j), f(k) necessarie e sufficienti affinchè una applicazione lineare f H sia diagonalizzabile. 4.3. Sia A una matrice 2 2 a coefficienti reali avente il polinomio caratteristico p A (t) = (t 1) 2. Dimostrare che A non è diagonalizzabile se non coincide con la matrice unità. Dimostrare che in ogni caso A è simile a una matrice triangolare. 4.4. Data la matrice a coefficienti reali 1 a 0 0 0 1 b 0 0 0 1 c 0 0 0 1 determinare per quali valori di a, b, c si ha una matrice diagonalizzabile rispetto alla quale il vettore (0, 0, 1, 0) è un autovettore. 4.5. Considerata la matrice a coefficienti reali 1 a 0 1 0 1 0 b 1 determinare per quali valori di a, b si ha una matrice simile alla matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, 0. 6

5. GEOMETRIA AFFINE in dimensione 3 In questi esercizi l espressione lo spazio indica uno spazio affine reale di dimensione 3, in cui si intende fissato un sistema di riferimento. 5.1. Dati i piani di equazioni cartesiane α : x + 2y + z = 0 α : x z + 2 = 0 β : x + 4y + 3z 2 = 0 β : x + 3y + 2z 1 = 0 verificare che α, α non sono paralleli, β, β non sono paralleli, e dimostrare che le due coppie di piani α, α e β, β individuano la stessa retta intersezione: α α = β β. 5.2. Considerate nello spazio le rette { x + z + 1 = 0 r : s : x y 1 = 0 { y + z 1 = 0 x z = 0 e il punto A (1, 1, 1), verificare che r, s sono sghembe e determinare le equazioni cartesiane della retta t passante per A e incidente r, s. 5.3. Considerati nello spazio i piani α : x + y z + 1 = 0 α : x 2y + z = 0 β : 2x y + 1 = 0 si verifichi che α, α non sono paralleli, e si dimostri che la retta intersezione α α è contenuta in β. 5.4. Scrivere l equazione cartesiana del piano che contiene l asse delle y e passa per il punto di intersezione dei piani x + y 1 = 0 y + z = 0 x y + z 1 = 0 5.5. Si dimostri che la famiglia di piani dello spazio (a + b + c) x + (2a + 2b c) y + ( a b + c) z + (3a + 3b c) = 0, al variare della terna di numeri reali (a, b, c), costituisce un fascio di piani, determinando anche equazioni della retta asse del fascio. 7

6. SPAZI AFFINI 6.1. Sia A uno spazio affine reale di dimensione 4, in cui è fissato un riferimento affine. I punti p 0 (1, 1, 1, 0), p 1 (2, 1, 1, 1), p 2 (1, 2, 2, 0), p 3 (2, 2, 2, 1) generano un sottospazio S. Si consideri inoltre il sottospazio T = {p (x, y, z, t) : x y + z t = 1}. Calcolare le dimensioni di S, T. Verificare che S è parallelo a T. Determinare una traslazione τ tale che τ(s) T. 6.2. In uno spazio affine reale di dimensione tre, in cui è fissato un riferimento, si considerino le rette r : x + y 1 = 0 y + z 2 = 0 s : y = 0 x + y z = 0 Determinare una traslazione T nella direzione del vettore v (1, 1, 0) tale che le rette r e T(s) siano complanari. Calcolare l equazione del piano che contiene queste due rette. 6.3. In uno spazio affine reale A di dimensione 4, in cui è fissato un riferimento, i cinque punti a (0, 0, 1, 1), b ( 1, 1, 0, 0), c (1, 1, 0, 0), d (0, 1, 1, 0), e (1, 1, 1, 1), generano una retta R = a, b e un piano P = c, d, e. Dimostrare che l insieme R P è contenuto in un sottospazio S di dimensione 3. 6.4. Dati in uno spazio affine reale A 3 un riferimento R = (O, U 1, U 2, U 3 ) e un riferimento R = (O, U 1, U 2, U 3 ) individuato rispetto al primo per mezzo delle coordinate O (1, 0, 1), U 1 (0, 1, 1), U 2 ( 1, 1, 1), U 3 (1, 0, 0), si scrivano le equazioni che legano i due sistemi di coordinate di un punto arbitrario (x, y, z) rispetto a R, (x, y, z ) rispetto a R. 8

7. AFFINITÀ 7.1. Sia A 3 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R 3. Scrivere le equazioni della affinità f : A 3 A 3 tale che f(0, 0, 0) = (1, 0, 1), f(1, 0, 0) = (2, 1, 1), f(0, 1, 0) = (1, 1, 2), f(0, 0, 1) = (2, 1, 2). 7.2. Sia A 2 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R 2. Sia f : A 2 A 2 l affinità definita da f(x, y) = (ax+u, by+v) dove ab 0, a b. Dimostrare che esiste una retta R tale che f(r) = R. Trovare per quali valori dei coefficienti l affinità f ha una unica retta fissa R. 7.3. Sia A 3 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R 3. Considerati i punti a = (1, 1, 1), b = (2, 0, 1), c = (1, 0, 1), d = (1, 0, 2), a = ( 1, 0, 1), b = (1, 1, 1), c = (0, 1, 0), d = (0, 2, 1), sia f : A 3 A 3 l affinità tale che f(a) = a, f(b) = b, f(c) = c, f(d) = d. Scrivere le equazioni di f rispetto al riferimento canonico. Trovare se esistono una retta R avente la direzione del vettore v = (1, 0, 0) e un piano P parallelo al piano a, b, c tali che l intersezione f(r) P sia un punto. 7.4. Sia A uno spazio affine reale di dimensione tre, costruito sullo spazio vettoriale V, in cui sia fissato un riferimento. Sia f : A A una affinità, associata all isomorfismo ϕ : V V. Supponiamo che il polinomio caratteristico di ϕ sia p(t) = (T λ)(t 2 + 1) e che l autospazio di λ contenga il vettore v di coordinate (1, 1, 1). Sia P A il piano di equazione ax + by + cz + d = 0. Trovare condizioni sui parametri affinchè esista una retta R A tale che la retta f(r) sia parallela a R e al piano P. 7.5. Sia A 2 lo spazio affine standard costruito sullo spazio vettoriale R 2. Sia f : A 2 A 2 l affinità definita da f(x, y) = (x + cy + u, y + v). Determinare le condizioni sui coefficienti c, u, v necessarie e sufficienti affinchè esista una retta R tale che f(r) = R. Dimostrare che l insieme delle rette fisse di f, quando qualcuna esiste e quando f id, è un fascio di rette parallele. 9

8. GEOMETRIA EUCLIDEA in dimensione 3 In questi esercizi l espressione lo spazio indica uno spazio affine euclideo di dimensione 3, in cui si intende fissato un sistema di riferimento ortonormale. 8.1. Nel piano, in cui è fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A (1, 1), B ( 3 + 1, 3 + 1), C (2, 2). Si dimostri che A, B, C determinano un triangolo non degenere, e si determinino gli angoli α = CÂB, β = A ˆBC, γ = BĈA. 8.2. Considerati nello spazio { x + y + z 1 = 0 la retta r : e il piano π : x y + z 2 = 0, 2x y + 3z = 0 si mandino dal punto P (0, 1, 1) la retta PA perpendicolare a r e incidente r in A, e la retta PB perpendicolare a π, la quale interseca π in B. Si calcoli l area del parallelogramma non degenere individuato dai vettori PA, PB applicati in P. 8.3. Considerata la retta r di equazioni cartesiane { x + 3y 2z 1 = 0 r : 2x + y + z 2 = 0, dopo aver verificato che su di essa esistono due punti distinti A, B che hanno distanza uguale a 1 dal punto P (1, 0, 1), si calcoli l area del parallelogramma non degenere individuato dai vettori PA, PB applicati in P. 8.4. Si dimostri che esiste una (unica) retta r passante per il punto A (1, 3, 2), la quale incontri la retta s che esce dall origine e contiene il vettore v (1, 1, 2), e sia inoltre perpendicolare al vettore w (2, 0, 1). Quindi, detto B il punto di intersezione tra r ed s, si dica perchè il parallelepipedo individuato dai tre vettori AB, v, w applicati in A è non degenere, e se ne calcoli il volume. 10

9. ISOMETRIE 9.1. Nel piano euclideo E 2 é fissato un riferimento cartesiano R = (O, i, j). Considerati i punti A ( 1, 1), B (0, 1), C (0, 2), A (2, 2), B (2, 1), C (3, 1), sia f : E 2 E 2 l affinità tale che f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C. Scrivere le equazioni di f rispetto a R e verificare che f é una isometria. 9.2. Siano E uno spazio euclideo di dimensione 3, V lo spazio vettoriale associato. Una affinità f : E E induce un isomorfismo ϕ : V V. Considerato in E un riferimento cartesiano (O, i, j, k), posto u = i + j, sia f l affinità che tiene fissi i punti della retta O, u e che soddisfa ϕ(j) = k, ϕ(k) = j. Scrivere le equazioni di f rispetto al dato riferimento. Verificare che f non è una isometria. 9.3. In uno spazio vettoriale euclideo V di dimensione tre sia u V un vettore fissato e sia U = u il sottospazio perpendicolare. Sia f : V V una trasformazione lineare che ha u come autovettore con autovalore 1/2 e che trasforma il sottospazio U in sè stesso in modo tale che la restrizione U U sia una rotazione. Calcolare det f e dire se f è una trasformazione unitaria. 9.4. Sia E uno spazio euclideo di dimensione 3, costruito sullo spazio vettoriale V, in cui è fissato un riferimento cartesiano (O, i, j, k). Una affinità f : E E ha un isomorfismo associato ϕ : V V. Posto u = i + j, sia f l affinità che tiene fissi i punti del piano P = O, u, k e che soddisfa ϕ(i) = j. Scrivere le equazioni di f rispetto al dato riferimento. Verificare che f è la riflessione rispetto al piano P. 9.5. Sia E uno spazio euclideo di dimensione 3, costruito sullo spazio vettoriale V, in cui è fissato un riferimento ortonormale (O, i, j, k). Posto u = i + j verificare che si ha j = 1 u + 2 2 2 j dove j è un vettore unitario perpendicolare a u. Sia f : E E la rotazione con centro O tale che ϕ(u) = u e ϕ(j ) = 2 2 (j + k) dove ϕ indica l automorfismo di V associato a f. Scrivere le equazioni della rotazione f rispetto al dato riferimento. 11

9.6. Sia E 3 lo spazio euclideo standard, costruito sullo spazio vettoriale R 3 con il prodotto scalare standard. Sia f : E 3 E 3 l isometria tale che f(x) = A X dove A è la matrice 0 2 6 1 3 2 1 6 3 1 3 2 3 e dove X indica la colonna delle coordinate di un punto. Verificare che f è una rotazione. Determinare l asse della rotazione. Verificare che f è la rotazione di angolo π/2 intorno all asse. 9.7. In uno spazio euclideo di dimensione tre è fissato un riferimento ortonormale. Sia r la retta passante per il punto a (1, 0, 1) e avente la direzione del vettore u (2, 1, 2), sia s la retta per l origine o avente la direzione del vettore v (0, 1, 0). La retta oa è la perpendicolare comune alle rette r, s. Definiamo la rotazione f con centro o tale che ϕ(v) = 1 u dove ϕ indica l automorfismo associato. Determinare la 3 retta ruotata f(r) calcolando il punto f(a) e il vettore ϕ(u). 2 3 2 3 12

10. FORME BILINEARI 10.1. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 in cui è fissata una base i, j, k. Sia f la forma bilineare simmetrica su V tale che f(i, i) = 0, f(j, j) = 1, f(k, k) = 1, f(i, j) = 2, f(j, k) = 1, f(k, i) = 3. (1) Determinare una base i, j, k di V che diagonalizza f. (2) Dimostrare che non esiste una base diagonalizzante in cui i = i. 10.2. Tema identico al precedente tranne che per i valori f(i, i) = 0, f(j, j) = 0, f(k, k) = 0, f(i, j) = 1, f(i, k) = 0, f(j, k) = 1. 10.3. Considerata la matrice simmetrica A = 1 0 1 0 1 2 1 2 3 determinare una matrice invertibile P GL(3) tale che P t AP sia diagonale. 10.4. Nello spazio euclideo R 3, dotato del prodotto scalare ordinario, si costruisca una base ortogonale (u, v, w) il cui primo vettore sia u = (2, 1, 2); si scriva quindi la matrice che rappresenta il prodotto scalare rispetto alla base trovata. 10.5. Nello spazio vettoriale R 3 si consideri la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 xy. Determinare la forma bilineare simmetrica associata b(x, y, z; x, y, z ). Provare che q è definita positiva (ovvero b è un prodotto scalare). Costruire una base di R 3 ortonormale rispetto a q. 10.6. Si consideri la forma quadratica q : R 4 R definita da q(x, y, z, w) = a x 2 + 2 xy + a y 2 + 2bzw con a, b R. Determinare una forma canonica di q con i coefficienti funzioni di a, b. Trovare per quali valori dei parametri la forma q ha positività = negatività = 2. 13

10.7. Sia f ( la forma ) bilineare simmetrica su R 2 rappresentata dalla a c matrice A = rispetto alla base canonica. Dimostrare che c b 1. se f è definita positiva allora a > 0, b > 0, ab c 2 > 0, 2. viceversa se a > 0, ab c 2 > 0 allora f è definita positiva. 10.8. Determinare la segnatura della matrice simmetrica reale 1 a 0 a 0 b 0 b 1 al variare dei coefficienti a, b. Trovare se esistono valori dei coefficienti per cui si ha una matrice simile alla matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, 1. 10.9. Su R 3 si consideri la forma bilineare simmetrica v, v tale che v, v = x 2 + y 2 + z 2 2c xz se v = (x, y, z), dove c è un parametro reale. Determinare condizioni su c necessarie e sufficienti affinchè si abbia un prodotto scalare. Sotto queste condizioni, detto U il sottospazio generato dai vettori (0, 1, 1), (1, 0, 0), determinare una base ortogonale e 1, e 2, e 3 tale che e 1, e 2 U. 10.10. Si consideri la forma quadratica q : R 3 R definita da q(x, y, z) = (x + hy) 2 + h(y + z) 2 dove h 0 è un coefficiente reale. Detta A la matrice di q rispetto alla base canonica, determinare una congruenza D = M t AM in cui D è diagonale e M è invertibile. Trovare per quali valori di h esiste una congruenza in cui D è la matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, 0. 10.11. Su R 3 si consideri la forma bilineare simmetrica f tale che f(v, v) = 2 (xy + yz + zx) se v = (x, y, z). Determinare una base ortonormale di R 3 che diagonalizza f. Dimostrare che esiste una base rispetto alla quale la forma è rappresentata dalla matrice diagonale con coefficienti diagonali 1, 1, 2. 14

10.12. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 in cui è fissata una base i, j, k. Sia q la forma quadratica su V tale che q(v) = x 2 + y 2 + 2a xy + 2yz se v (x, y, z), dove a è un parametro reale. Determinare a in modo che i vettori i + j e j + k risultino ortogonali rispetto a q. Per questo valore di a determinare un vettore u tale che la successione i+j, j+k, u sia una base di V che diagonalizza q. 10.13. Su R 4 si consideri la forma bilineare simmetrica f associata alla forma quadratica q(x, y, z, w) = 2 (xy + yz + zw + wx) Verificare che f ha rango 2. Determinare una base ortonormale i, i, j, j tale che i vettori i, i formino una base del sottospazio {v : f(v, w) = 0 w}. Determinare una base ortonormale di R 4 che diagonalizza f. 15

11. CONICHE In questi esercizi, nel piano affine reale o nel piano euclideo si intende fissato un riferimento, affine oppure ortonormale, rispettivamente. 11.1. Nel piano euclideo si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + ay) 2 + 2 (ax y) + 1 = 0 al variare del parametro reale a. Dimostrare che si ha sempre una parabola (non degenere). Scrivere per la famiglia una equazione canonica metrica X 2 + 2pY = 0 con p funzione di a. Trovare se esistono valori dei parametri per cui si ha una conica isometrica alla conica y 2 +2x = 0. 11.2. Nel piano euclideo si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + h) 2 + (hy + 1) 2 + h = 0 al variare di h 0. Dimostrare che si ha una famiglia di coniche non degeneri a centro. Scrivere per la famiglia una equazione canonica metrica ux 2 +vy 2 +1 = 0 con u, v funzioni di h. Trovare se esistono valori di h per cui si ha una conica isometrica alla conica x 2 y 2 +1 = 0. 11.3. Si consideri la famiglia di coniche di equazione x 2 + 2a xy + y 2 + 2by + 1 = 0. al variare di a, b R. Determinare quale condizione sui parametri perchè si abbia una conica a centro. Sotto questa condizione scrivere una equazione canonica ux 2 +vy 2 +1 = 0 con u, v funzioni di a, b. Trovare se esistono valori dei parametri per cui si ha una conica isometrica alla conica x 2 + 2y 2 + 1 = 0. 11.4. Si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + ay) 2 + bx + y + 1 = 0 al variare di a, b R. Determinare i coefficienti a, b per cui si ha una conica simmetrica rispetto alla retta x y = 0. Per questa conica scrivere una equazione canonica metrica. 11.5. Si consideri la famiglia di coniche di equazione (x + ty)(tx + y) + (x + y) + 1 = 0 al variare di t R. Determinare il valore di t per cui si ha una parabola (non degenere) e trovare se questa parabola sia isometrica alla parabola y = x 2. Determinare il tipo affine a cui appartengono le altre coniche non degeneri della famiglia. 16

11.6. Si consideri la famiglia di coniche di equazione (x a)(y b) y = 0 al variare di a, b R. Determinare le coniche della famiglia che sono isometriche alla conica x 2 y 2 + 1 = 0. Trovare se di queste coniche che sono isometriche alla conica data qualcuna si ottiene come traslata della conica data. 11.7. Nel piano affine euclideo in cui è fissato un riferimento cartesiano si consideri la famiglia di coniche di equazione x 2 + 2a xy + y 2 y 1 = 0 al variare del parametro reale a. Determinare la conica della famiglia che è simmetrica rispetto a una retta di equazione x 2y = f e determinare la costante f per cui si ha la simmetria. Di questa conica scrivere una equazione canonica metrica. 11.8. Nel piano affine reale si consideri la famiglia di coniche C α : (x + αy) 2 + α(y + 1) 2 + α = 0 al variare del parametro reale α 0. Trovare per quali valori di α esiste una affinità f α che porta la conica C α sulla conica C : xy = 1. Per ogni tale α determinare una affinità f α. 17

12. FASCI DI CONICHE In questi esercizi, il piano affine reale A 2 si considera incluso nel completamento proiettivo P 2. Inoltre si intende fissato un sistema di riferimento, rispetto al quale si hanno coordinate affini (x, y) e coordinate omogenee (X,Y,T). 12.1. Sia F il fascio di coniche di equazione x 2 + (k 1)y 2 + 2x (4k 2)y + (4k + 1) = 0. Determinare le coniche degeneri di F, i punti base di F, il tipo delle coniche non degeneri di F, al variare di k. 12.2. Sia F il fascio di coniche di equazione (x 2 y) + ky 2 = 0. Determinare i punti base di F (con molteplicità). Scrivere l equazione cartesiana del luogo descritto dai centri delle coniche di F. 12.3. Considerato il fascio di coniche piane kx 2 + (2 k)y 2 + 2xy k = 0 si determinino le coniche degeneri del fascio e di ciascuna le rette componenti, i punti base del fascio, il tipo delle coniche non degeneri del fascio. 12.4. Scrivere l equazione del fascio F delle coniche aventi centro in (1, 1) e passanti per i punti impropri degli assi coordinati. Determinare le coniche degeneri di F e classificare le coniche non degeneri di F. 12.5. Scrivere l equazione della iperbole equilatera avente la retta 2x+ y = 0 come asintoto, avente il centro sull asse x, e passante per (1, 1). Determinare infine le direzioni degli assi di tale iperbole. 12.6. Scrivere l equazione della ellisse avente all infinito la coppia di punti immaginari coniugati le cui coordinate omogenee soddisfano X 2 + 2Y 2 = 0, avente centro nel punto di coordinate affini (1, 1), e passante per l origine. Determinare infine gli assi di tale ellisse. 18

12.7. Scrivere l equazione della conica C passante per i cinque punti di coordinate e classificare tale conica C. ( 1, 1), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0) 12.8. Determinare l equazione cartesiana della conica C avente con la conica C : (x 1)(y + 1) y = 0 quattro intersezioni coincidenti nel punto P (1, 0) (C è iperosculatrice a C in P) e avente centro sulla retta x + 1 = 0. Classificare la conica C. 12.9. Scrivere l equazione della conica C avente con la conica C : x 2 y 2 + y = 0 tre intersezioni coincidenti nell origine (C osculatrice a C nell origine), e tangente in P (1, 1) alla retta x = 1. Classificare la conica C. 12.10. Considerate le coniche piane di equazioni rispettive C : x 2 2xy x + y = 0, C : x 2 x + y = 0, determinare le coniche degeneri del fascio F generato da C, C, e determinare l intersezione C C. 12.11. Scrivere l equazione della iperbole equilatera avente la retta x = 1 come asintoto, avente il centro sulla retta x = y, e passante per l origine. Determinare infine gli assi di simmetria di tale iperbole. 12.12. Scrivere l equazione cartesiana della parabola avente come asse di simmetria la retta y = 2x, avente vertice nell origine e passante per il punto di coordinate (1, 1). Determinare quindi il punto proprio di tale parabola in cui la tangente è parallela alla retta x = y. 12.13. Scrivere l equazione della parabola tangente in (0, 0) alla retta 2x + y = 0, passante per (1, 1) e per il punto improprio della retta x 2y = 0. Determinare quindi l asse ed il vertice di tale parabola. 12.14. Scrivere l equazione del fascio formato dalle coniche del piano passanti per i punti (0, 0), (1, 1) e tangenti alla conica di equazione x 2 + y 2 + 2x 1 = 0 nel punto (0, 1). Determinare quindi le coniche degeneri del fascio, l unica iperbole equilatera del fascio, il suo centro e i suoi asintoti. 19

13. QUADRICHE In questi esercizi, lo spazio affine reale A 3 si considera incluso nel completamento proiettivo P 3. Inoltre si intende fissato un sistema di riferimento, rispetto al quale si hanno coordinate affini (x, y, z) e coordinate omogenee (X,Y,Z,T). 13.1. Scrivere l equazione della quadrica avente nell origine un punto semplice con piano tangente z = 0, tagliata dal piano improprio secondo la conica X 2 + Y 2 + Z 2 = 0, e passante per (0, 0, 1). Classificare tale quadrica. 13.2. Classificare la quadrica Q : x 2 y 2 + z x = 0 e la conica C sezione di Q con il piano P : x + y + z = 0. 13.3. Classificare la quadrica di equazione x 2 + 2y 2 + z 2 2y + 1 = 0. 13.4. Scrivere l equazione della quadrica avente nell origine un punto semplice con piano tangente y = 0, avente all infinito la conica di equazione (X Y )(Y Z) = 0, e passante per il punto (0, 1, 0). Classificare tale quadrica. 13.5. Verificare che la conica C ottenuta come intersezione della quadrica Q di equazione x 2 xy + z 1 = 0 con il piano π di equazione x + y z = 0 é una conica non degenere (π non é tangente a Q). 13.6. Scrivere l equazione della quadrica Q avente all infinito la conica X 2 + Y 2 Z 2 = 0, avente in P (1, 0, 1) un punto semplice con piano tangente x z = 0 e passante per A (0, 0, 1). Classificare Q. 13.7. Scrivere l equazione della quadrica generale tagliata dal piano yz secondo la conica y 2 + z 2 2y + 1 = 0, x = 0, tangente al piano improprio nel punto improprio dell asse x, e passante per il punto (1, 0, 0). Classificare tale quadrica. 13.8. Verificare che la quadrica di equazione 3x 2 + y 2 + z 2 2(x + z) = 0 é un ellissoide a punti reali. Determinare le rette (immaginarie) contenute nella quadrica che passano per l origine. 20

13.9. Scrivere l equazione della quadrica avente nell origine un punto semplice con piano tangente x + y = 0, avente all infinito la conica di equazione (X Z)(Y Z) = 0, e passante per il punto di coordinate (0, 1, 1). Classificare infine tale quadrica. 13.10. Determinare la quadrica Q avente una equazione del tipo x 2 + xy + a(y + z) = 0 e contenente la curva C : x = t, y = t 2, z = t 3. Classificare infine tale quadrica Q. 13.11. Sia Q la quadrica di equazione y 2 + xy + xz + yz + y + z = 0. Verificare che Q é degenere di rango 2. Scrivere equazioni cartesiane della retta d luogo dei punti doppi di Q. Detti A, B i punti di intersezione di Q con l asse y, verificare che i piani α, β contenenti la retta d e passanti per A, B (rispettivamente) sono i piani componenti di Q. 13.12. Scrivere l equazione della quadrica avente all infinito la conica X 2 Y Z = 0, avente nel punto (0, 1, 0) un punto semplice con piano tangente x + y z 1 = 0, e passante per il punto (1, 1, 0). Classificare tale quadrica. 21