8 a Esercitazio: soluzioni Monica Bonacina (monica.bonacina@unibocconi.it) Responsabile Esercitazioni del corso di Microeconomia A-K, a.a. 29-2 Stefania Migliavacca (Stefania.Migliavacca@enicorporateuniversity.eni.it) Responsabile Esercitazioni del corso di Microeconomia L-Z, a.a. 29-2 Questa esercitazio è suddivisa in 2 parti: esercizi da svolgere ad esercitazio ed esercizi consigliati dal vostro libro di testo. Part I Esercizi da svolgere ad esercitazio Esercizio. Il responsabile del corso di Microeconomia è un fanatico di teoria dei giochi e deve decidere se introdurre tale teoria l programma del corso (G) oppure no (NG). Il corso però è diventato opzionale, e lo studente Tipo deve decidere se inserire (I) il corso l proprio piano di studi oppure no (NI). Suppote che studente Tipo e professore prendano le rispettive decisioni simultaamente e che le utilità dei due siano le seguenti:. Se lo studente sceglie di iscriversi al corso di microeconomia e la teoria dei giochi è in programma, l utilità del professore è pari a e quella dello studente Tipo è pari a ; 2. Se lo studente sceglie di iscriversi al corso di Microeconomia ed il professore decide di escludere la teoria dei giochi dal programma, l utilità del professore è pari a 7 mentre quella dello studente Tipo è pari a. 3. Se lo studente Tipo decide di non iscriversi al corso di Microeconomia la sua utilità è pari ad x ; in questo caso, l utilità del professore è pari a, se la teoria dei giochi è comunque inserita l programma, e pari a se non lo è. () Rappresentate il gioco attraverso una matrice mettendo in alto lo studente Tipo. (2) Individuate il valore del parametro x in corrispondenza del quale la strategia I (inserire il corso di Microeconomia) è dominante per lo studente Tipo. (3) Suppote ora che x sia pari a 7 ed individuate l equilibrio o gli equilibri di Nash del gioco. (4) L equilibrio individuato al punto precedente è Pareto-e ciente? Motivate la vostra risposta.
Esercizio. Soluzio. () Il professore ha a disposizio due strategie: G (inserisco teoria dei giochi l programma) ed NG (non inserisco teoria dei giochi l programma). Analogamente lo studente Tipo ha a disposizio le strategie: I (mi iscrivo al corso di microeconomia) e NI (non mi iscrivo al corso di microeconomia). La rappresentazio del gioco è Prof. Studente Tipo I NI x G NG x 7 (2) Il professore gode di una strategia dominante, G, in quanto questa gli assicura un payo superiore al payo ottenuto scegliendo la strategia NG indipendentemente dalla scelta dello studente Tipo. Scegliendo la strategia G il professore infatti ottie un utilità pari a se lo studente Tipo sceglie I (se avesse scelto la strategia NG avrebbe ottenuto solo 7), e pari ad se lo studente Tipo sceglie NI (se avesse scelto la strategia NG avrebbe ottenuto ). La strategia I è dominante per lo studente Tipo se gli assicura un utilità almeno pari a quella che egli otterrebbe scegliendo la strategia NI, qualunque sia la scelta del professore. Quindi è cessario che: (A) se il professore sceglie G, l utilità che lo studente ottie scegliendo I supera quella che lo studente otterrebbe scegliendo NI; (B) se il professore sceglie NG, l utilità che lo studente ottie scegliendo I supera quella che lo studente otterrebbe scegliendo NI; x {z } (A) e x {z } (B) da cui x da cui si evince che la strategia I è dominante per lo studente Tipo solo se l utilità l caso in cui non si iscrivesse al corso di Microeconomia fosse al massimo pari a (x ). (3) Se x=7 allora la rappresentazio del gioco in forma di matrice diventa Prof. Studente Tipo I NI 7 G NG 7 7 e l equilibrio di Nash è rappresentato dalla coppia di strategie fg; N Ig: il professore decide di inserire teoria dei giochi l programma di Microeconomia e lo studente Tipo decide di non inserire Microeconomia l suo programma di studi. I payo s (livelli di utilità) associati alle suddette strategie sono e 7. Prof. Studente Tipo I NI 7 G NG 7 7 2
(4) L equilibrio di Nash fg; NIg non è Pareto-e ciente in quanto se i giocatori si accordassero e scegliessero fn G; Ig, otterrebbero entrambi un utilità maggiore (7> e >7). Esercizio 2. I ciclisti rivali Astrix e Obix, in preparazio della gara che li vede grandi favoriti, devono decidere se assumere EPO (AE) o no (NE). I controlli antidoping sono pochi e poco e caci e la probabilità di essere colti in fallo è nulla. Le utilità dei ciclisti sono le seguenti.. Nel caso in cui entrambi decidano di assumere EPO, l utilità attesa di ciascuno è di. 2. Se uno solo dei due ciclisti assume EPO, egli otterrà un utilità di (l utilità dell avversario che non assume EPO sarà ). 3. In se ssuno dei due fa uso del farmaco, ciascuno otterrà un utilità di. (a) Utilizzate un gioco in forma di matrice (mettendo OBIX in alto) per rappresentare la situazio in cui i due ciclisti decidono simultaamente se assumere EPO (AE) o no (NE). (b) Individuate e caratterizzate la soluzio del gioco. (c) Se alla gara successiva i controlli antidoping fossero più stringenti e se Astrix e Obix tessero conto dei danni dell EPO alla loro salute, il gioco simultao (rappresentato in forma di matrie) diventerebbe: Astrix Obix ae ae 2 2 3 3 Individuate l equilibrio o gli equilibri di Nash e commentate il risultato ottenuto. (d) Le autorità preposte al controllo delle attività sportive decidono di imporre una penale su tutti gli utilizzatori di EPO. alcolate di quanto si dovrebbe contrarre l utilità dei fruitori di EPO per e etto della penale al di disincentivare l uso del farmaco (fate riferimento al gioco indicato al punto c). Esercizio 2. Soluzio. (a) Entrambi i ciclisti hanno a disposizio due strategie: AE (assumo EPO) e NE (non assumo EPO). La rappresentazio del gioco in forma di matrice è Obix ae Astrix ae (b) Esiste un unico equilibrio di Nash che è anche equilibrio in strategie dominanti, fae; AEg. In corrispondenza del suddetto equilibrio ambedue i giocatori 3
ottengono un utilità pari a. Astrix Obix ae ae Si noti che l equilibrio di Nash qui individuato è e ciente l senso di Pareto (non sarebbe possibile migliorare la condizio di uno dei due ciclisti senza peggiorare la situazio del rivale). (c) Questo gioco si caratterizza per due equilibri di Nash, fae; AEg ed fne; NEg. Si noti che, anche se il secondo esito (ossia fne; NEg) rappresenta un miglioramento paretiano per entrambi i giocatori (3 > ), non è possibile escludere l uso di EPO da parte di entrambi i ciclisti. Astrix Obix ae ae 2 2 3 3 (d) Indichiamo con T la contrazio di utilità derivante dall implementazio della penale. Il gioco in forma di matrice diventa Astrix Obix ae T ae T 2 T 2 T 3 3 ed NE è una strategia dominante per entrambi i corridori se T e 3 2 T da cui una contrazio minima dell utilità dei ciclisti per e etto della penale sull uso di EPO pari a (T ). Esercizio 3. Nel comu di Paderno Dugnano ci sono due sole pizzerie, la pizzeria da Salvatore e la pizzeria da Matteo. Per fronteggiare la crisi di vendite i due proprietari stanno pensando di introdurre un servizio di consegna a domicilio.. Se una sola delle due pizzerie introduce il servizio, la pizzeria che lo introduce ottie un pro tto pari a, mentre l altra pizzeria subisce una perdita pari a -. 2. Se entrambe introducono il servizio, la perdita per entrambe è pari a -. 3. Se ssuna delle due pizzerie introduce il servizio, entrambe ottengono pro tti nulli. 4
Suppote che la pizzeria da Matteo e la pizzeria da Salvatore debbano decidere se introdurre il servizio simultaamente. (a) Quali sono le strategie a disposizio delle due pizzerie? (b) Rappresentate il gioco in forma di matrice indicando la pizzeria da Matteo in alto. (c) Determinate gli equilibri di Nash di questo gioco. Discutete il risultato ottenuto. (d) Suppote che lo Stato introduca un sussidio in somma ssa di per incentivare l introduzio di un servizio di consegna a domicilio. Discutete dell e cacia della manovra. Esercizio 3. Soluzioni. (a) iascuna pizzeria ha a disposizio due strategie: introdurre il servizio a domicilio (I) o non introdurre il servizio di consegna a domicilio (NI). (b) La matrice dei payo in questo caso è Salvatore Matteo i i ni ni (c) Nessun giocatore dispo di una strategia dominante e gli equilibri di Nash del gioco sono fi; NIg e fni; Ig. Dunque una sola delle pizzerie introdurrà un servizio di consegna a domicilio ovvero Salvatore Matteo i i ni ni (d) A seguito della politica Statale, la matrice dei payo diventa Salvatore Salvatore Matteo i + i + + ni Matteo i i ni ni + ni Dunque la strategia I diventa per entrambi i giocatori una strategia dominante (qualsiasi sia la scelta del rivale, I assicura al giocatore il massimo pro tto) ed il solo equilibrio di Nash del gioco è ora fi; Ig. Il sussidio in somma ssa è e cace per incentivare un servizio di consegna a domicilio.
Esercizio 4. matrice. Si consideri il seguente gioco simultao rappresentato in forma di Franco S D Pippo A 3 Y 8 9 3 B 7 8 2 2 4 (a) Per quali valori di Y Franco dispo di una strategia dominante? (b) Suppote che Y= ed individuate gli equilibri di Nash (o l equilibrio di Nash, l caso fosse unico). Esercizio 4. Soluzio. (a) Franco dispo di tre strategie: S, e D. Una strategia è dominante se assicura al giocatore un payo maggiore di quello di qualsiasi altra strategia indipendentemente dalla scelta del rivale. Stanti i payo delle strategie S e, queste non potranno mai essere strategie dominanti per Franco. Ma la strategia D è una strategia dominante per Franco se Y (b) Se Y= il gioco in forma di matrice diventa e l equilibrio di Nash è fb; Dg Franco S D Pippo A 3 8 9 3 B 7 8 2 2 4 Franco S D Pippo A 3 8 9 3 B 7 8 2 2 4 Esercizio. Nel paese di Isolandia sono presenti due unici produttori (A e B). Le imprese possono decidere di cooperare () o non cooperare (N). Tale scelta è e ettuata simultaamente e comporta i seguenti esiti.. Se le due imprese cooperano, ciascuna ottie un pro tto pari a 2k. 2. Se entrambe non cooperano, ciascuna ottie un pro tto pari ad /2. 3. Se, in, una sola coopera essa otterrà un pro tto pari a k (mentre l impresa rivale che non coopera otterrà + k). 6
(a) Si rappresenti il gioco in forma di matrice indicando in alto l impresa B. (b) Per quali valori di k la coppia di strategie f; g rappresenta un equilibrio di Nash? (c) Per quali valori di k la coppia di strategie fn; Ng rappresenta un equilibrio di Nash? (d) Per quali valori di k f; Ng e fn; g sono equilibri di Nash del gioco? Esercizio. Soluzio. (a) Le due imprese hanno a disposizio le medesime strategia: (cooperare) e N (non cooperare). La rappresentazio del gioco in forma di matrice è Impresa a N Impresa b 2K 2K K + K N +K K /2 =2 (b) ooperare è una strategia dominante per l impresa A se il pro tto che la stessa ottie scegliendo è superiore a quello che otterrebbe scegliendo N, qualsiasi sia la scelta della rivale. Analiticamente è cessario che 2k > + k e k > =2 ovvero se k > : Vista la simmetria tra le imprese (stessi payo e stesse strategie), la medesima condizio deve valere per l impresa B. Veri chiamo che è una strategia dominante se k >. Imponiamo k=2 e sostituiamo lla matrice dei payo. Otteniamo Impresa a N 2 3 Impresa b 4 4 N 3 2 /2 =2 da cui il seguente equilibrio di Nash in strategie dominanti: f; g Impresa a N 2 3 Impresa b 4 4 N 3 2 /2 =2 (c) Non cooperare è una strategia dominante per l impresa A (e stante la simmetria anche per l impresa B) se il pro tto che la stessa ottie scegliendo N è superiore a quello che otterrebbe scegliendo, qualsiasi sia la scelta della rivale. Analiticamente è cessario che + k > 2k e =2 > k ovvero se k < =2: Veri chiamo che è una strategia dominante se k < =2. Imponiamo k=/4 e 7
sostituiamo lla matrice dei payo. Otteniamo Impresa a Impresa b =2 =2 N =4 =4 N =4 =4 /2 =2 da cui il seguente equilibrio di Nash in strategie dominanti: fn; Ng Impresa a Impresa b =2 =2 N =4 =4 N =4 =4 =2 =2 (d) A nchè f; Ng e fn; g siano equilibri di Nash del gioco è cessario che. il pro tto che l impresa A ottie scegliendo quando B sceglie N sia maggiore di quello che A otterrebbe scegliendo N, e che 2. il pro tto che l impresa B ottie scegliendo quando A sceglie N sia maggiore di quello che B otterrebbe scegliendo. Analiticamente quanto sopra si traduce lle seguenti disuguaglianze k > =2 e + k > 2k ovvero se > k > =2: Veri chiamo che f; Ng e fn; g sono equilibri di Nash se > k > =2. Imponiamo k=3/4 e sostituiamo lla matrice dei payo. Otteniamo Impresa a da cui i suddetti equilibri di Nash Impresa a Impresa b 3=2 3=2 N 3=4 7=4 Impresa b 3=2 3=2 N 3=4 7=4 N 7=4 3=4 /2 =2 N 7=4 3=4 /2 =2 Si noti che in questo caso ssun giocatore dispo di una strategia dominante. 8
Esercizio 6. Due imprese, A e B, devono decidere il prezzo di vendita del proprio prodotto. I prezzi praticabili sono solo tre: p = 4, p 2 = 3 e p 3 = 2. I costi totali di produzio l breve periodo delle imprese sono T BP (q A ) = 2q A e T BP (q B ) = 2q B : La domanda di mercato è Q D = p. L impresa che ssa il prezzo più basso si appropria dell intera domanda di mercato. Se i prezzi scelti sono uguali, la domanda è divisa in parti uguali. (a) ostruire la matrice dei payo suppondo che la scelta del prezzo venga e ettuata simultaamente. (b) Determinare l equilibrio (o gli equilibri) di Nash del gioco. Esercizio 6. Soluzio. (a) I costi marginali (e medi variabili) delle due imprese sono M A = AV A = M B = AV B = 2 Se entrambe le imprese scelgono p = 4, la quantità complessivamente (ed individualmente) prodotta è Q = 4 = 6 e q = Q 2 = 3 ed i pro tti di ciascuna impresa sono = p q 2q = (4 2) 3 = 6 Se entrambe le imprese scelgono p 2 = 3, la quantità complessivamente (ed individualmente) prodotta è Q 2 = 3 = 7 e q 2 = Q2 2 = 7 2 ed i pro tti di ciascuna impresa sono 2 = p 2 q 2 2q 2 = (3 2) 7 2 = 7 2 Se entrambe le imprese scelgono p 3 = 2, la quantità complessivamente (ed individualmente) prodotta è Q 3 = 2 = 8 e q 3 = Q3 2 = 4 ed i pro tti di ciascuna impresa sono 3 = p 3 q 3 2q 3 = (2 2) 4 = Se una delle due imprese sceglie p 3 = 2 e l altra sceglie un prezzo maggiore, entrambe ottengono un pro tto nullo (anche se la prima serve l intero mercato producendo Q 3 = 8 unità di output). Se una delle imprese sceglie p 2 = 3 e l altra sceglie un prezzo maggiore, la seconda ottie un pro tto nullo (in quanto non produce) mentre la prima serve l intero mercato (Q 2 = 7) ed ottie La matrice dei payo è quindi = p 2 Q 2 2Q 2 = 7 p 6 6 impresa b p 2 7 p 3 impresa a p p 2 p 3 7 7/2 7=2 9
(b) Gli equilibri di Nash sono fp 2 ; p 2 g e fp 3 ; p 3 g impresa a p p 2 p 3 6 7 p 6 7=2 impresa b p 2 7 7=2 p 3 Si noti che le imprese se potessero accordarsi sceglierebbero la coppia di startegie fp ; p g che massimizza i loro pro tti ma non costituisce un equilibrio di Nash del gioco. Esercizio 7. L impresa Hein&Ken (H) e l impresa Biperoni (B) sono oligopolisti l mercato della birra. Le loro funzioni di costo totale sono: T H (q H ) = 4q H e T B (q B ) = 4q B La domanda di mercato è Q D = p=2, e le due imprese competono scegliendo la quantità da produrre. (a) Trovate le funzioni di risposta ottima delle due imprese e disegnatele avendo cura di speci care le intercette e le pendenze. (b) alcolate l equilibrio sul mercato della birra (prezzi, quantità e pro tti di entrambe le imprese). Suppote che venga brevettato un nuovo processo produttivo che consente di ridurre i costi di produzio. iascuna impresa può decidere di acquistare o non acquistare il brevetto. (c) alcolate il pro tto delle due imprese l caso in cui solo una impresa decida di acquistare il brevetto (in questo caso i costi dell impresa che acquista il brevetto diventano T (q) = q mentre quelli della rivale rimangono invariati). (d) alcolate il pro tto delle due imprese l caso in cui entrambe decidano di acquistare il brevetto. (e) Suppote che la decisio di acquistare (A) o non acquistare (NA) il brevetto sia simultaa e che il brevetto costi 3. Fornite una rappresentazio del gioco in forma di matrice. (f) Vi aspettate che entrambe le imprese acquistino il brevetto? Perchè? Discutete il risultato ottenuto. Esercizio 7. Soluzioni. (a) La funzio di domanda inversa è p = 2Q () dove Q = q H + q B. I pro tti () delle due imprese sono rispettivamente H = ( 2q H 2q B )q H T H (q H ) e B = ( 2q H 2q B )q B T B (q B ) (2) da cui le seguenti funzioni di risposta ottima per l impresa H @ H @q H =! 4q H 2q B 4 =! q H = 2 q B (3) e, simmetricamente, per l impresa B Gra camente @ B @q B =! 2q H 4q B 4 =! q B = 2 q H (4)
qb 3 Funzio di risposta ottima di H Bisettrice 2 Funzio di risposta ottima di B /2 3 qh (b) L equilibrio sul mercato della birra è ottenuto risolvendo il sistema qb = 2 q H q H = 2 q B () da cui q B = 2 3 = qh = 2 ; (6) 3 = quindi la quantità di birra complessivamente venduta è il prezzo è Q = q B + q H = 2; (7) p = 2Q = 6 (8) e ciascuna impresa (le due imprese sono simmetriche, producono la stessa quantità ed ottengono pro tti analoghi) ottie pro tti pari a = p q T (q ) = (6 4) = 2 (9) dove l apice è impiegato per indicare i valori di equilibrio delle variabili. Gra camente l equilibrio di ournot è qb 3 Funzio di risposta ottima di H Bisettrice Equilibrio Funzio di risposta ottima di B 3 qh
(c) Se l impresa H decide di acquistare il brevetto, i suoi pro tti diventano H = ( 2q H 2q B )q H q H per e etto della contrazio i costi totali di produzio; quindi la sua funzio di risposta ottima diventa @ H @q H =! 4q H 2q B =! q H = 4 2 2 q B mentre resta invariata la funzio della rivale che non acquista il brevetto; dunque l equilibrio sul mercato della birra diventa qh = 4 2 2 q B q q B = 2 q! H = 2 H qb = da cui Q = 2; p = ; H = 8; B = dove l apice è impiegato per indicare i valori di equilibrio delle variabili. Gra - camente 4 qb 3 Nuova funzio di risposta ottima di H Bisettrice Nuovo equilibrio 2 Funzio di risposta ottima di B /2 4/2 3 qh Essendo divenuta più e ciente della rivale, l impresa H produce di più ed ottie maggiori pro tti. Il caso in cui è l impresa B ad acquistare il brevetto è ottenuto in maniera simmetrica. (d) Se entrambe le imprese acquistano il brevetto, le funzioni di risposta ottima sono da cui q H = 4 2 2 q B e q B = 4 2 2 q H q = ; Q = 3; p = 4; = 4 dove l apice è impiegato per indicare i valori di equilibrio delle variabili. (e) La matrice dei payo, stanti le strategie a disposizio ed i pro tti ai punti 2
b), c) e d) ed il costo del brevetto, è ovvero impresa H impresa H impresa B a 4-3 a 4-3 8-3 na na 8-3 2 2 impresa B a na a 2 na 2 (f) Acquistare il brevetto è una strategia dominante per le due imprese. L equilibrio di Nash del gioco al punto e) è fa; Ag. Si noti che l acquisto comporta una contrazio dei pro tti delle due imprese. impresa H impresa B a na a 2 na 2 P.S. Ragazzi, questo esercizio è particolarmente lungo, non spaventatevi, gli esercizi dell esame conterrano al più 4 sottopunti (e non sei come in questo caso). Esercizio 8. Il mercato dell elettricità di New Light ity è dominato da due sole imprese, l impresa ElettriSpa (E) e l impresa LuceSpa (L). Le loro funzioni di costo totale di breve periodo sono rispettivamente T E (q E ) = 2q E e T L (q L ) = 3q L Le due imprese competono scegliendo simultaamente la quantità da produrre. La domanda inversa di mercato è p = Q, dove Q = q E + q L. (a) Siete in grado di stabilire se le due imprese in equilibrio produrranno la stessa quantità o meno, SENZA fare calcoli? (b) Trovate le funzioni di reazio delle due imprese e disegnatele, indicando pendenze e intercette. (c) alcolate la quantità prodotta da ciascuna impresa, la quantità totale e il prezzo di equilibrio di mercato. (d) Se le due imprese concorressero sul prezzo (alla Bertrand), quale sarebbe l equilibrio di mercato in termini di quantità, prezzo e pro tti delle due imprese? Se ssuna delle due imprese decide di acquistare il brevetto entrambe otterranno pro tti pari a = 2 (vedi punto b). Se solo una delle due imprese decide di acquistare il brevetto essa otterrà pro tti pari a 8, mentre la rivale otterrà pro tti pari a (punto c). Se entrambe acquisteranno il brevetto, ciascuna otterrà 4. 3
Esercizio 8. Soluzio. della rivale, (a) Dal momento che l impresa ElettriSpa è più e ciente M E = 2 < M L = 3 possiamo dire con certezza che q E > q L. (b) I pro tti () delle due imprese sono rispettivamente E = ( q E q L )q E 2q E e L = ( q E q L )q L 3q L da cui le seguenti funzioni di risposta ottima per l impresa E e per l impresa L @ E @q E =! 2q E q L 2 =! q E = 4 2 q L @ L @q L =! 2q L q E 3 =! q L = 7 2 2 q E Gra camente ql 8 Funzio di risposta ottima di E Bisettrice 7/2 2 Funzio di risposta ottima di L /2 4 7 qe (c) La quantità prodotta da ciascuna impresa è ottenuta risolvendo il sistema qe = 4 q L = 7 2 2 q L 2 q E da cui q E = 3 q L = 2 quindi la quantità complessivamente venduta è il prezzo è e le due imprese ottengono pro tti pari a Q = q E + q L = ; () p = Q = () E = 9 e L = 4 (2) 4
dove l apice è impiegato per indicare i valori di equilibrio delle variabili. Si noti che malgrado la minore e cienza, anche l impresa LuceSpa produce ed ottie pro tti positivi. (d) In caso di concorrenza à la Bertrand, l impresa più e ciente (ElettricSpa) può escludere la rivale dal mercato scegliendo un prezzo al di sotto del costo marginale della rivale. In particolare, l impresa LuceSpa sceglierebbe un prezzo mentre ElettricSpa dichiarerebbe p L = M L = 3 p E = M L " = 3 " > M E dove " è un numero positivo e molto piccolo. Dal momento che il prezzo praticato da ElettricSpa è inferiore a quello di LuceSpa, tutti i consumatori si acquisteranno da ElettricSpa che produrrà Q = p E = 3 + " = 7 + " 7 ed otterrà pro tti E = (p E 2)Q 7 mentre la rivale non produrrà e non otterrà pro tti.
Part II Esercizi consigliati dal libro di testo Frank, R.H. (2) Microeconomia, McGraw-Hill, Milano, 2 - apitolo 3, pp. 48, 48, 482.. Domande di ripasso: Tutte esclusa domanda 7. 2. Problemi: Tutti esclusi e 7. 6