Economia Industriale: esercizi su COLLUSIONE E FUSIONI

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1 Università Carlo Cattaneo - LIUC Economia Industriale: esercizi su COLLUSIONE E FUSIONI 21 Dicembre 2011

2 Ho mal di gola, vi chiedo dunque silenzio assoluto. Lezione di oggi: Garavaglia C. (2006), Economia Industriale: (variazione su) esercizi 6.5 e Altri esercizi consigliati: Garavaglia, cap. 6, cap. 11. Prossimi ricevimenti: 21/12 e 22/12, h 14-16; 9/1 h 10-12, 4 piano, edi cio torre; per qualsiasi dubbio scrivetemi a fedele@eco.unibs.it. A brevissimo saranno disponibili online (sul sito del corso e sul mio sito: esercizi addizionali con tracce di soluzione.

3 Esercizio 6.5 p. 89 Nel mercato degli antistaminici (percepiti come perfetti sostituti dai consumatori), ci sono tre imprese, A, S e P, che competono à la Cournot. La funzione di costo totale di ciascuna impresa è pari a TC i (q i ) = 40q i, con i = A, S, P. La funzione di domanda di mercato è p (Q) = 160 Q, dove Q = q A + q S + q P è la quantità totale di antistaminici. (i) Trovate le funzioni di risposta ottima di ogni impresa. La funzione di risposta ottima dell impresa A, ad esempio, è la quantità ottima (= che massimizza il pro tto) prodotta dall impresa A in funzione della quantità prodotta dalle rivali, q S e q P. Le imprese sono simmetriche (= hanno la stessa funzione di costi), dunque hanno la stessa funzione di risposta ottima. Il pro tto impresa A, de nito come la di erenza fra ricavi e costi totali, è π A = p (Q) q A TC A (q A ) = [160 (q A + q S + q P )] q A 40q A

4 Concorrenza à la Cournot: l impresa A sceglie la quantità q A che massimizza il suo pro tto. Per trovarla calcoliamo la derivata di π A rispetto a q A e la poniamo uguale a zero: π A q A = 160 (q S + q P ) 2q A 40 = 0. Otteniamo: q A = 120 (q S + q P ). (1) 2 Data la simmetria fra le imprese, le funzioni di risposta ottima delle altre due imprese saranno identiche (mutatis mutandis): q S = 120 (q A + q P ) 2 e q P = 120 (q A + q S ). 2 (ii) Calcolate quantità, prezzo e pro tti di equilibrio di ciascuna impresa. Le imprese sono simmetriche, dunque producono la stessa quantità in equilibrio, che indichiamo con q = q A = q S = q P. Per calcolarla sostituiamo q in (1), così ottenendo q = 30 = q A = q S = q P.

5 La quantità di equilibrio di mercato è Q = q A + q S + q P = 3q = 90. Il prezzo di equilibrio è p (Q ) = 160 Q = = 70 Il pro tto di ciascuna impresa i, i = A, S, P, è pari dunque a πi = p (Q ) qi TC i (qi ) = = 900 (iii) Supponete che le imprese colludano e calcolate i pro tti di equilibrio di ciascuna impresa. Collusione signi ca che le imprese coinvolte si accordano sulla quantità da produrre in modo da massimizzare la somma dei loro pro tti. 1 Dato che le imprese hanno la stessa funzione di costo il problema di determinare la quantità di equilibrio con collusione, che indichiamo con q C dove C sta per collusione, è il seguente: max q C π C = p (q C ) q C TC (q C ). Le tre imprese si comportano come se fossero un unica impresa (=monopolista) che decide la quantità che massimizza il suo pro tto. 1 Nella realtà, gli accordi riguardano spesso il prezzo: qui stiamo considerando concorrenza à la Cournot quindi ci concentriamo sulla quantità.

6 Per trovarla calcoliamo la derivata di π C = (160 q C ) q C 40q C rispetto a q C e la poniamo uguale a zero: Otteniamo: π C q C = 160 2q C 40 = 0. q C = 60. Sostituendo qc nella funzione di domanda otteniamo il prezzo di equilibrio: p (qc ) = = 100 Il pro tto complessivo sarà dunque: π C = = Dato che le imprese sono simmetriche è ragionevole ipotizzare che si dividano equamente il pro tto, ovvero ciascuna ottiene π C 3 = Le imprese, accordandosi sulla quantità da produrre, la riducono in modo da aumentare il prezzo e realizzare pro tti più alti: π C 3 = 1200 > 900 = π i!!

7 (iv) Supponiamo che l impresa A devii dall accordo collusivo senza che le altre se ne accorgano. Calcolate la quantità ottimale scelta dall impresa A e il suo pro tto in tale evenienza. L impresa A sceglie la quantità q DEV, DEV sta per deviazione, che massimizza il suo pro tto quando le altre imprese, non sapendo della deviazione di A, continuano a produrre la quantità ottima di collusione, ovvero q C 3 = 20. Per trovare q DEV è su ciente sostituire q S = 20 e q P = 20 in 120 (20+20) (1): q DEV = 2, ovvero q DEV = 40. In tal caso il pro tto dell impresa A è π DEV = ( ) = Se le rivali non si accorgono della deviazione, l impresa A aumenta la sua quantità, il prezzo diminuisce ma non tanto (perché le rivali continuano a produrre la quantità ottima di collusione, che è bassa) così A realizza pro tti più alti. All impresa A NON conviene colludere: πdev = 1600 > π C 3 = 1200!

8 (v) Supponete ora che le imprese competano nel corso del tempo (per un numero inde nito di periodi): se l impresa A devia dall accordo in un periodo, le rivali hanno modo di accorgersi, perché nel periodo successivo osservano una riduzione del prezzo. Immaginate che le rivali S e P adottino la seguente strategia: se l impresa A ha prodotto q C 3 = 20 nel periodo precedente, ovvero ha rispettato l accordo, allora le rivali continuano a produrre 20; se l impresa A ha invece deviato producendo qdev = 40 nel periodo precedente, ovvero non ha rispettato l accordo, allora le rivali producono la quantità di Cournot qi = 30 di lì in avanti. Per quale valore del tasso di sconto δ 2 (0, 1) l accordo collusivo è sostenibile? Il tasso di sconto si applica quando si vuole conoscere il valore attuale di ussi di cassa futuri. Se l impresa A devia, ottiene 1600 nel primo periodo, poi viene scoperta dunque le altre producono la quantità di Cournot qi = 30, nel qual caso la risposta ottima dell impresa A è produrre 30 (sostituite q S = q P = 30 in (1)), ed il suo pro tto è πi = 900.

9 Il valore attuale scontato del pro tto dell impresa A quando devia è dunque δ900 + δ δ (2) dove δ sconta il valore odierno del pro tto di domani, δ 2 sconta il valore odierno del pro tto di dopodomani, ecc. Se invece l impresa A non devia mai, ottiene sempre il pro tto di collusione 1200: in questo caso il valore attuale del pro tto dell impresa A è δ δ (3) Per accertarsi che l accordo collusivo regga bisogna veri care che il valore (3) sia più alto di quello da deviazione, il valore (2). Il valore (2) si può riscrivere come δ + δ 2 + δ dove la somma δ + δ 2 + δ = j=1 δj = 1 δ δ (è una serie geometrica convergente). 2 Dunque (2) è pari a δ δ. 2 La regola generale è n t=m δ t = δm δ n+1 1 δ.

10 Il valore (3) si può riscrivere come δ + δ 2 + δ dove 1 + δ + δ 2 + δ = δ δ = 1 1 δ δ. L accordo collusivo regge, dunque, se δ 1 δ < δ. quindi (3) è pari a Risolvendo rispetto a δ si ottiene δ > 7 4 = 0.57: se δ è abbastanza alto, ovvero se il futuro conta, l impresa preferisce colludere. (vi) Supponete ora che le imprese rivali abbiano modo di accorgersi se l impresa A devia dall accordo solo dopo due periodi. Per quale valore del tasso di sconto δ 2 (0, 1) l accordo collusivo è sostenibile? Come sopra, vanno confrontati due valori: il valore attuale del pro tto da collusione, che è sempre δ, e quello da deviazione, che ora è δ δ δ (4)

11 più grande perché le rivali si accorgono un periodo dopo della deviazione. L accordo collusivo regge se δ δ2 1 δ < δ Risolvendo rispetto a δ si ottiene δ > 2 7 p 7 = La condizione su δ è ora più stringente (ci vuole un δ minimo più alto) perché all impresa A conviene di più deviare. (vii) Se le imprese competessero à la Bertrand, la collusione sarebbe più o meno facile da rispettare rispetto alla competizione à la Cournot, qualora le rivali adottassero la stessa strategia descritta sopra in caso di deviazione? E possibile dimostrare che anche con concorrenza à la Bertrand il prezzo di collusione è p qc = 100 ed il pro tto è pari a πc 3 = 1200 (veri carlo!). Il pro tto di deviazione π DEV si ottiene nel modo seguente: supponendo sia l impresa A a deviare, questa, ssando un prezzo p DEV = p qc ε, cattura l intera domanda di mercato.

12 La domanda di mercato è q DEV e si ottiene dalla curva di domanda: (p DEV ) s 100 = 160 q DEV da cui q DEV = 160 s 100 =s 60 (s 100 indica 100 ε dove ε è piccolo a piacere). Il pro tto di deviazione è dunque π DEV = (s 100) =s 3600 Deviare qui conviene di più rispetto a prima: 3600 > Tuttavia, dal periodo successivo le rivali ssano il prezzo di Bertrand, ovvero prezzo pari a costo marginale, con l e etto che le imprese faranno pro tti nulli di lì in avanti: π i = 0. In questo caso l accordo collusivo regge se δ0 + δ < δ Risolvendo rispetto a δ si ottiene δ > 2 3 = Si ha 0.67 > 0.57: la collusione è più facilmente sostenibile con Cournot. Esiste infatti un intervallo per il tasso di sconto, dato da (0.57, 0.67), tale per cui la collusione sarebbe sostenibile solo se le imprese competessero à la Cournot.

13 Tale risultato non è generale (vale se ci sono n 3 imprese nel mercato). Infatti, indicando con πdev, π C e π i i pro tti da deviazione, collusione e concorrenza, rispettivamente, la condizione che ci assicura convenienza dell accordo collusivo si può scrivere come: π C 1 1 δ > π DEV + δ π i 1 δ, dove il lato sinistro della disequazione sopra è quanto si ottiene colludendo e il lato destro quanto si ottiene deviando. (a) In generale πi è maggiore con Cournot, dunque dovrebbe essere più facile colludere quando c è concorrenza à la Bertrand. (b) Tuttavia πd è maggiore con Bertrand, dunque dovrebbe essere più facile colludere quando c è concorrenza à la Cournot.

14 Intuizione di (a): qualora le imprese deviassero nella competizione à la Cournot, la punizione sarebbe il ritorno all equilibrio à la Cournot con pro tti positivi per tutte le imprese. Invece, la punizione in caso di deviazione nella competizione à la Bertrand porterebbe le imprese ad avere per sempre pro tti nulli. Tale punizione rende meno desiderabile l incentivo a deviare nel caso di concorrenza à la Bertrand e quindi l accordo collusivo risulterebbe maggiormente sostenibile con Bertrand. Intuizione di (b): qualora le imprese deviassero nella competizione à la Bertrand, il premio sarebbe più grande rispetto al caso di Cournot perché chi devia diventa monopolista per un periodo. Tale premio rende più desiderabile l incentivo a deviare nel caso di concorrenza à la Bertrand e quindi l accordo collusivo risulterebbe più sostenibile con Cournot. Nel nostro esempio prevale il secondo e etto. Vedere l esercizio 6.4, dove n = 2 e vale il risultato opposto.

15 Ricapitolando, un accordo collusivo è più facilmente sostenibile: 1 quando n = 2 se le imprese competono à la Bertrand (solo con duopolio il pro tto di Cournot, ottenuto dalle imprese dopo che una ha deviato, è su cientemente alto da tentare molto le imprese; in altre parole solo con duopolio il "castigo" per aver deviato quando la concorrenza è à la Cournot è "poco castigo"). 2 quando n 3 se le imprese competono à la Cournot.

16 Tre imprese competono à la Cournot. Esercizio 11.6 p. 174 La funzione di costo totale di ciascuna impresa è pari a TC i (q i ) = 30q i + F, con i = 1, 2, 3. La funzione di domanda di mercato del bene omogeneo prodotto dalle 3 imprese è p (Q) = 150 Q, con Q = q 1 + q 2 + q 3. (i) Determinate il pro tto di ciascuna impresa in funzione dei costi ssi F. Lascio a voi la risoluzione, ormai consueta. Il risultato è un pro tto per tutte e tre le imprese pari a π i = 900 F. Supponete che le imprese 1 e 2 si fondano e siano così in grado di sfruttare risparmi nei costi ssi: la nuova funzione dei costi totali dell impresa fusa M è TC M (q M ) = 30q M + F M, con F M < 2F e dove q M indica la quantità prodotta dall impresa derivante dalla fusione delle imprese 1 e 2.

17 (ii) Determinate il pro tto dell impresa M in funzione dei costi ssi F M. A fusione avvenuta restano nel settore due sole imprese. Esse si comportano come duopolisti à la Cournot. La condizione di massimizzazione del pro tto dell impresa M nata dalla fusione sarà data da: max q M π M = (150 q M q 3 ) q M (30q M + F M ) La funzione di risposta ottima si ottiene calcolando la derivata del pro tto rispetto a q M e ponendola uguale a zero: π M q M = 150 2q M q 3 30 = 0 Risolvendo rispetto a q M si ottiene q M = 120 q 3 2. Analogamente per l impresa 3 si ottiene la funzione di risposta ottima: q 3 = 120 q M 2. Le funzioni sono uguali perché le imprese hanno gli stessi costi variabili (anche se diversi costi ssi): la derivata di un numero (= i costi ssi) è zero!!

18 Dato che le due risposte ottime sono uguali, le due imprese produrranno la stessa quantità in equilibrio, che indichiamo con q M = q 3. Sostituendo tale uguaglianza in q M = 120 q 3 2 si ottiene q M = q 3 = 40. Da cui il pro tto dell impresa M: π M = ( ) 40 ( F M ) = 1600 F M (iii) A quanto deve ammontare il risparmio sui costi ssi a nché per le imprese 1 e 2 sia conveniente fondersi? La risposta è determinata dal confronto tra la somma dei pro tti prima, 2πi, e il pro tto dopo la fusione, π M. Come ricavato al punto (i), nel caso di un triopolio à la Cournot con imprese simmetriche, ciascuna impresa ottiene un pro tto pari a πi = 900 F. Dopo la fusione, l impresa neo-nata realizza un risparmio di costi variabili ed un pro tto pari a πm = 1600 F M. Risolviamo la disequazione πm 2π i : 1600 F M > 2 (900 F )

19 Il risparmio sui costi ssi è pari a 2F F M > 0. Risolvendo la disequazione sopra rispetto a 2F F M si ha 2F F M > 200: se il risparmio è superiore a 200 allora la fusione è pro ttevole. (Notate che se non ci sono risparmi, ovvero 2F F M = 0, la fusione non è pro ttevole). Supponete ora che non ci siano costi ssi e che le imprese 1 e 2 fondendosi siano in grado di sfruttare risparmi nei costi variabili: la nuova funzione dei costi totali dell impresa fusa M è TC M (q M ) = γ30q M, dove γ < 1 indica il risparmio e q M indica la quantità prodotta dall impresa derivante dalla fusione. (iv) Determinate il pro tto dell impresa M. A fusione avvenuta restano nel settore due sole imprese. Esse si comportano come duopolisti à la Cournot. La condizione di massimizzazione del pro tto dell impresa M nata dalla fusione sarà data da: max q M π M = (150 q M q 3 ) q M γ30q M La funzione di risposta ottima si ottiene calcolando la derivata del pro tto rispetto a q M e ponendola uguale a zero: π M q M = 150 2q M q 3 γ30 = 0

20 Risolvendo rispetto a q M si ottiene q M = 150 γ30 q 3 2. La funzione di risposta ottima dell impresa 3 si ottiene calcolando la derivata del pro tto π 3 = (150 q M q 3 ) q 3 30q 3 rispetto a q 3 e ponendola uguale a zero. Si ottiene così la funzione di risposta ottima: q 3 = 120 q M 2. Mettiamo a sistema le due funzioni di risposta ottima: ( q M = 150 γ30 q 3 2 q 3 = 120 q M 2 Sostituendo la seconda equazione nella prima: q M = 150 γ q M 2 2 e risolvendo rispetto a q M si ottiene qm = 60 quantità di equilibrio prodotta dall impresa M. 20γ, che è la Sostituendo questo valore nella seconda equazione si ottiene q3 = γ, che è la quantità di equilibrio prodotta dall impresa 3. Notate che qm è decrescente in γ: maggiore è il risparmio sui costi variabili (γ #) maggiore è la quantità prodotta dall impresa M (qm "); q 3 è invece crescente in γ.

21 Perché qm diventa pari a q 3 se γ = 1? (Pensateci). Il pro tto πm di equilibrio dell impresa M è dunque [150 (60 20γ) ( γ)] (60 20γ) γ30 (60 20γ) Riarrangiando si ha π M = 400 (3 γ)2. Notate che πm è decrescente in γ. (v) A quanto deve ammontare il risparmio sui costi variabili a nché per le imprese 1 e 2 sia conveniente fondersi? Come sopra, occorre che i pro tti congiunti post-fusione siano maggiori della somma dei pro tti delle due imprese pre-fusione: π M > 2π i : 400 (3 γ) ) (3 γ) ) (3 γ) 3 p 2 La soluzione è dunque γ 3 3 p2 = Se il risparmio sui costi variabili è su cientemente alto (γ su cientemente basso), nell esempio almeno pari al 12%, allora le imprese hanno convenienza a fondersi.