Laboratorio di MatLab

Laboratorio di MatLab Algebra lineare e Geometria Alessandro Benfenati Ph.D. Student Departments of Mathematics - University of Ferrara alessandro.benfenati@unife.it 1/17

Sommario 1 Parametrizzazione delle coniche Ellisse Iperbole 2 Ortogonalizzazione Proiezioni e vettori ortogonali Gram-Schmidt 3 Autovalori ed autovettori Definizioni Determinazione degli autovalori e degli autovettori In MatLab 2/17

Parametrizzazione dell ellise Parametrizzazione delle coniche Ellisse Dalla geometria analitica: l ellisse è il luogo geometrico costituito da punti la cui somma delle distanze da due punti detti fuochi è costante. F 2 (0,0) b a F 1 x 2 y 2 a 2 b 1 2 dôo,f iõ sqrtôa 2 b 2 Õ La sua equazione parametrica è x acosôφõ y bsinôφõ per φ È Ö0,2πÖ 3/17

Parametrizzazione delle coniche Origine della parametrizzazione Ellisse Ricordando la formula fondamentale della trigonometria cosôαõ 2 sinôαõ 2 1α È R manipolando l equazione dell ellisse si ha x 2 y 2 a 2 b 1 2 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 ponendo x acosôφõ e y bsinôφõ b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 b 2 a 2 cosôφõ 2 a 2 b 2 sinôφõ 2 a 2 b 2 a 2 b 2 cosôφõ 2 sinôφõ 2 a 2 b 2 e quindi l uguaglianza è valida. 4/17

Parametrizzazione delle coniche Parametrizzazione dell iperbole Iperbole Dalla geometria analitica: l iperbole è il luogo geometrico costituito da punti la cui differenza delle distanze da due punti detti fuochi è costante. F 2 F 1 di asintoti x 2 a 2 y2 b 2 1 y b a x La sua equazione parametrica è x acoshôφõ y bsinhôφõ per φ È R 5/17

Parametrizzazione delle coniche Origine della parametrizzazione Iperbole Ricordando la formula fondamentale coshôtõ 2 sinhôtõ 2 1t È R dove coshôxõ ex e x, sinhôxõ ex e x 2 2 manipolando l equazione dell iperbole si ha x 2 a y2 2 b 1 2 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 ponendo x acoshôtõ e y bsinhôtõ b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 b 2 a 2 coshôtõ 2 a 2 b 2 sinhôtõ 2 a 2 b 2 a 2 b 2 coshôtõ 2 sinhôtõ 2 a 2 b 2 e quindi l uguaglianza è valida. 6/17

Proiezione Ortogonalizzazione Proiezioni e vettori ortogonali Def. (Proiezione) Dati due vettori u e v si definisce il vettore Proj uôvõ proiezione ortogonale di v su u il vettore Proj uôvõ u,v u ÐuÐ 2 u e 1 Proj e2 (v) v Proj u (v) v Proj e1 (v) e 2 7/17

Vettori ortonormali Ortogonalizzazione Proiezioni e vettori ortogonali Def. (Vettori ortonormali) Un insieme di vettori v 1,...,v n si dice ortonormale se v i,v j 0 per ogni i,j e Ðv ið 1 i 1,...,n Esempio La base canonica è un insieme di vettori ortonormali. B Øe 1,e 2,...,e nù Se la condizione Ðv ið 1 non è rispettata per ogni i, allora i vettori si dicono ortogonali. 8/17

Gram-Schmidt Ortogonalizzazione Gram-Schmidt Il processo di ortogonalizzazione di Graham-Schmidt consiste nel rendere ortogonale un insieme di vettori linearmente indipendenti. Sia V Øv 1,...,v nù l insieme di vettori l.i, si vuole creare un insieme di vettori ortogonali O Øo 1,...,o nù: 1 u 1 v 1; o 1 u1 Ðu 1Ð 2 u 2 v 2 Proj o1 Ôv 2Õ; o 2 u2 Ðu 2Ð 3 u 3 v 3 Proj o1 Ôv 3Õ Proj o2 Ôv 3Õ; o 3 u3 Ðu 3Ð...... k 1 ô k u k v k j 1 Proj oj Ôv k Õ; o k u k Ðu k Ð Ad ogni vettore v k si sottraggono le proiezioni sui precedenti k 1 vettori ortogonali, dopodichè si normalizza (dividendo per la propria norma) il vettore ottenuto. 9/17

Fattorizzazione QR Ortogonalizzazione Gram-Schmidt Il procedimento di Gram-Schmidt è alla base della fattorizzazione QR di una matrice A: ovverossia su può scrivere la matrice A È M m nôrõ (con le colonne l.i.) come A QR dove Q È M m môrõ è ortogonale e R È M m nôrõ è triangolare. Con questa scomposizione è possibile risolvere in maniera numericamente stabile i sistemi lineari malcondizionati. Malcondizionamento Sia dato il sistema lineare Ax b con Å 2.0 3.0 A 2.0 3.1 b 5.0 5.1 Å Ha soluzione x Ô1,1Õ. Se si perturbano i dati iniziali nel seguente modo: Å Å 2.000 3.000 5.000 Ã b 1.999 3.000 4.990 allora la soluzione diventa x Ô10, 5Õ. 10/17

Eigenvalues and Eigenvectors Autovalori ed autovettori Definizioni Def. Data una matrice A È M nôrõ si definisce autovettore di autovalore λ il vettore u tale che Au λu L azione di A sull autovettore u consiste nel modificare modulo ed eventualmente verso, lasciando inalterata la direzione. Av Data A 3 6 2 2 Å v il vettore v in figura è un suo autovettore di autovalore 6. 11/17

Polinomio caratteristico Autovalori ed autovettori Determinazione degli autovalori e degli autovettori Per determinare autovalori ed autovettori, si procede esaminando la definizione: Au λu Au λu 0 ÔA λiõu 0 La teoria dei sistemi lineari dice che per non avere l unica soluzione (banale) u 0 è necessario porre detôa λiõ 0 Def. (Polinomio caratteristico) La quantità detôa λi Õ prende il nome di polinomio caratteristico della matrice A. Una volta trovati gli autovalori λ, si sostituiscono in ÔA λiõu 0 e si calcolano gli autovettori u associati risolvendo il sistema lineare. 12/17

Autovalori ed autovettori Proprietà degli autovalori e degli autovettori Se Au λu, allora ÔA µiõu Ôλ µõu A k u λ k u A 1 u 1 λ u PÔAÕu PÔλÕu per ogni polinomio P Def. (Similitudine) Sia S invertibile. Due matrici A e B si dicono simili se A S 1 BS Determinazione degli autovalori e degli autovettori La similitudine corrisponde ad un cambiamento di base. Def. (Matrici diagonalizzabili) Una matrice A si dice diagonalizzabile se esiste S invertibile tale che A SDS 1 dove D è diagonale. In altre parole, A è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale. 13/17

Autovalori ed autovettori Proprietà degli autovalori e degli autovettori Determinazione degli autovalori e degli autovettori Theorem Una matrice A di ordine n è diagonalizzabile se e soltanto se possiede n autovettori linearmente indipendenti. Theorem Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Dall ultimo risultato si ricava che una matrice è diagonalizzabile se i suoi autovalori sono distinti. Se una matrice A è diagonalizzabile, allora possiamo scrivere A U 1 DU dove le colonne di U sono gli autovettori di A, mentre D è una matrice diagonale sulla cui diagonale sono presenti gli autovalori di A. 14/17

Autovalori ed autovettori Calcolo degli autovalori in MatLab In MatLab >> A = [ 3 6; 2 2]; >> I = eye(size(a)); >> syms l >> P_c = A-l*I; Si inizializza la matrice A, si crea la matrice identità I d della stessa dimensione di A. Viene inizializzata la variabile simbolica l e si crea la matrice A li d. Si salvano in e_values le radici del polinomio caratteristico, che consistono negli autovalori della matrice A. Si ricorda >> e_values=solve(det(p_c),l); che essi sono ancora valori simbolici. >> b =[0;0]; >> P1=subs(P_c,l,... double(e_values(1))); >> rref([p1,b]) Si crea il vettore nullo dei termini noti, e con subs si sostituisce il primo autovalore trovato in A li d : in questo modo è noto che il sistema non ha un unica soluzione, quindi viene utlizzato il comando rref per visualizzare la soluzione dipendente dal parametro. >> u1 = [2,1] ; >> u1 = u1/norm(u1) Un volta trovata la soluzione, si crea l autovettore e se necessario si normalizza. 15/17

Autovalori ed autovettori Calcolo degli autovalori in MatLab In MatLab In realtà in MatLab è presente una funzione che calcola automaticamente eigenvalues e eigenvectors: eig(a). >> [U,D] = eig(a) Le colonne dela matrice U sono gli autovettori della matrice A, mentre D è una matrice diagonale in cui sono presenti gli autovalori. >> [U,D] = eig(a) U = 0.8944-0.8321 0.4472 0.5547 D = 6 0 0-1 Verifichiamo che A UDU 1 : >> U*L*inv(U) ans = 3.0000 6.0000 2.0000 2.0000 16/17

Interpretazione geometrica Autovalori ed autovettori In MatLab Data la matrice Å 0 1 A 2 0 di autovettori e relativi autovalori Å 1 3 2 u,, v 1 Å 2,, λ u 2, λ v 2 3 3 3 si nota che u e v sono direzioni privilegiate: la figura viene dilatata di un fattore 2 e ruotata: Au v u (0,0) Av 17/17