Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 Algebre di Boole Stefano Ferrari UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO DIPARTIMENTO DI TECNOLOGIE DELL INFORMAZIONE Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 1/13 George Boole(1815 1864) Nel 1854, pubblica An investigation intothelawsofthought,onwhich are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. Boole riduce la logica a semplice algebra, incorporandola nella matematica. Evidenzia l analogia tra i simboli algebrici e quelli delle forme logiche. L algebra booleana trova applicazioni nella progettazione dei calcolatori. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 2/13 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 1
Algebra booleana Un algebra booleana è basata su: un insieme di elementi K dueoperazionichiusesu K(+, ) una funzione complemento( ) Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 3/13 Assiomi(1) 1. almeno due elementi a, b K : a b 2.chiusuradi +e a, b K : a + b K a b K Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 4/13 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 2
Assiomi(2) 3. proprietà commutativa a, b K : a + b = b + a a b = b a 4. proprietà associativa a, b, c K : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (a b) c = a (b c) = a b c Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 5/13 Assiomi(3) 5.esistenzadeglielementineutridi +e! 0 K : a + 0 = a, a K! 1 K : a 1 = a, a K 6. proprietà distributiva a, b, c K : a + (b c) = (a + b) (a + c) a (b + c) = (a b) + (a c) Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 6/13 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 3
Assiomi(3) 7. complemento a K a K : a + a = 1 a a = 0 Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 7/13 Proprietà Idempotenza a + a = a e a a = a LeggidiDeMorgan a + b = a b e a b = a + b Doppio complemento a = a Elementonullo a + 1 = 1 e a 0 = 0 Tali proprietà possono essere verificate per: dimostrazione; analisi esaustiva. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 8/13 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 4
Principio di dualità I teoremi dell algebra booleana possono essere dimostrati a coppie, scambiando tra loro: leoperazioni, + ; gli elementi neutri, 0 1. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 9/13 TeoremadiDeMorgan(1) LaleggediDeMorganpuòesseregeneralizzataan termini. X 1 + X 2 +... + X n = X 1 X 2... X n Dimostrazione per induzione: caso base: sidimostraveroilcasoconilnumerominimodielementi; passo di induzione: siipotizzaveroilteoremaper n 1elementi; si utilizza l ipotesi aggiuntiva per dimostrare il teorema per n elementi. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 10/13 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 5
TeoremadiDeMorgan(2) Dimostrazione per induzione: caso base: X 1 + X 2 = X 1 X 2 (LeggediDeMorgan) passo di induzione: Seperipotesi,èveroche: X 1 +... + X n 1 = X 1... X n 1 allora: (X 1 +... + X n 1 ) + X n = = (X 1 +... + X n 1 ) X n = X 1... X n 1 X n Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 11/13 Cardinalità Si può dimostrare che in ogni algebra booleana finita, ilnumerodielementidi Kèunapotenzadidue. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 12/13 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 6
Esempi Molte formalizzazioni rispondono agli assiomi dell algebra di Boole. Sono algebre di Boole: l algebra binaria; l algebra di insiemi; lo spazio degli eventi(calcolo delle probabilità); i circuiti logici; la logica proposizionale. Stefano Ferrari Università degli Studi di Milano Fondamenti di Informatica per la Sicurezza Algebre di Boole a.a. 2008/09- p. 13/13 Stefano Ferrari Fondamenti di Informatica per la Sicurezza a.a. 2008/09 7