IL LOGRITMO NTURLE L ugo l ss dll scss, cosdr mo l coord t succssv,, cos t t ch s ott goo ddzo do u crm t o p r t r d ll p oszo c lcol r u somm dll f orm : =. C p ro p o mo d + + + + + = IPERBOLE EQUILTER y = Q us t o t p o d p roblm rcorr s p sso f sc, d sm p o t rmod mc l v r bl p u ò ssr u t m p r t ur, u volum o pp ur u c lor, m t r l v r zo. rpp rs t Ch trprtzo gomtrc possmo dr d qusto tpo d ddzo? S gu rd mo ll q u t tà com d u msur dll lughzz dll b s d u r tt golo, d ll com msur dll q u t tà su l t zz p, oss mo lggr ll somm t or com p lssv l ddzo dll r d t t r tt gol d b s f ss d l t zz dcrsc t Q us t soo r tt gol ch s o tt goo cosdr do. l p rbol q ul t r y suddvddo l = ss dll scss p r t r d = sgmt d ugu l m p zz. T r cc do p o dll r tt vr t c l co l p d sull s t rmo d ds t r d c scu t rv llo, s t rc tt sull curv l msur y= dll l t zz. Ch rlzo c è fr l sommtor d rttgol l r sotts dl grfco dll prbol? Q u t o p ù p ccol soo sgm t ch d f scoo l b s, t t o p ù l somm dll r d r tt gol s vvc l v lor dll r s otts dll prbol. Co qusto trm td mo l r rcch us fr l grfco dll prbol, l ss dll sc ss, l rtt = l rtt vrt cl p ù str ch dl m t l ult mo vlor f o qul s dv fr l somm. ll r sotts dll rco dll prbol qu ltr comprs fr = d u vlor quluqu > s dà l om d lo gr tmo t ur l d v: s scr = l Com possmo clcolr l r sotts dll prbol? No o v tl zzr ttgol op q c u r s r u to, bb bb o b s g l t s u u u tt, l lo r o r s oo dff r t l omm è dff s c l d g t od mo l t o d ttgol, t tt s u r. I r uc u r succss r u q u v l t f r lo r o, ch po ss o g lm u u t pp o m l ott o d mo m o l r ss r r s s. C s r u u r r > p r d mo gl t m s r,, o pù ommdo t q ttà s u s ss u p t d r r =, m v p d z d ll p z u d c corrs o ot s cc ssv : =, =, =, = S v r f c su bto (vd f gur ) ch q u s t u ov r tt gol s oo q u v lt, s q u d o s p r d com lt zz l s tr mo d s s tr (ottdo così u r mggor ll sotts) s o s ll o d qu qu d pr d qu d d st r ( mo d o d v r vc u r m o r ).
N cs l r com c sc o s l du u u r u t: r f ror: r supror: = ( - ) = - = ( - ) = - = ( - ) = - RE INFERIORE - = - = - RE SUPERIORE = ( - ) = - r = - r = ( - ) - - = ( - ) = - = ( - ) = - - = ( - ) - = - Com s f rdr pccol l bs d rttgol pr pprossmr mglo l r sotts dll prbol? Q to ù l u m o u p r è oss mo pr d, tto ù l su otz s ccss v mgoo v c p p u r f l o o. r r d sm o p, s =.000 r s u l t:.000,.000,.000 così ch l p os z o d r ttgo l d ff r scoo sol o d u u tà s u ll qu r t c f r d c m l. Q u d, tto p ù s scg l v c o d tto mgl o st mo ppr oss m d o l sotts ll r d p rb o l p r ché r ttgol soo p ù f tt. Com possmo clcolr l vlor dl logrtmo turl d u quluqu umro p>? C o s v s o mo l to u udd f tt ll ss ll sc ss com ll o ost so d d qu pr p pr, oss mo t ov c to p r r d r u p otz d v c qu to vogl mo l m o u r p c s s coosc l l ogr tmo t l d u d d r r ur, c o è v l o u r d t l ch p=. I b s ll d f z o l l ogr tmo t l ur d s r à l r d f o d, qu st s pu ò c l co l somm o r d g l r ttgol qu vl t, c sc o com s u è v sto, d r = l cso f o r r, o ppur = l cso s o up r r : lp= l = = D qul proprtà god l logrtmo turl così dfto? C osd mo ch v l o r u r m q= p ù g r d d p=, c o è du r, (ch è ch l somm l ogr tm ). d S t r ov: m >, c l co l mo l somm d ll c o è : + ( ) + m = + = + = m = m l l m ( m ) l l lp+ lq= l( pq) Q u sto m p o r tt r s u l tto c d c ch l l ogr tmo t ur l è u f u z o l qu l, d to u u m r o p, produc u l tro, ch m to lp, ch g od d ll propr tà d cu g odo o gl spo t. V d mo d c pr co u s mpo. Sc gl mo u q u l u q u um ro, po mo, ch d moc q u l spo t d bb ss r l v t o p r ott r p, d q u l spo t d bb v c ss r l v t o p r ott r l v l or q. ch s o co osc mo l rspos t q u st dom d, d ll propr tà d gl spo t s pp mo ch
l spo t d d r p r v r p somm t o ll spo t d d r p r v r q è u g u l ll spo t d d r p r v r l prodo tto pq. S o d s mpo: p= 6, q= 8, pq= 6 8= 8 L spo t cu l v r p r v r 6 è, l spo t d d r p r v r 8 è, com s v rf c su b to l spo t d ch produc l prodotto è 6 8= 8 l somm d gl spo t trov t + = 7, f tt 7 = 8. Poss mo du q u lgg r l propr tà trov t p r l o g rtm tur l q u sto modo: lp lq lpq spot spot spot + = pr ottr p pr ottr q pr ottr pq M qul è l umro ch f d bs, qullo, coè, cu l logrtmo turl st ssgdo gl spot? Vsto ch l ostr sc l t d l è st t d l tutto r b tr r, rm cor p rto l pro b l m d c pr q u l s l um ro b s l q u l l l o g r tmo tur l ss g gl spo t. P r com c r dc mo ch com sm b o l o m t m tco p r q u sto um ro co g to l comu tà d m t m tc h sc l to:, ch sso v d tto umro d uto bb mo mostrto sopr s g f c qu d ch: Npro. Q - Il logr tmo turl d p R f or sc l spot l qul b sog lvr pr ottr p. - usto spot Q, lp, è ugu l ll r rcch us f r l pr b ol, l ss dll sc ss, l rtt = l rtt = p, c o è = p..6.6 = lp p= P o mo ch d smp o s p=, ch qu lcuo bb m surto, co l mtodo d rttgol, l r sotts dll pr b ol f r = d =, trovdo u v lor ch, rrotodto du dc ml, è=.6. R su ltrà llor:.6 = l=.6 = = ; d grl: = lp = p P r trovr l vlor dl umro d N pro b strà qu d vdr pr qul sc ss dll pr b ol prt r d = v l propr o =. I tl cso f tt : l r sotts = l = = Esst u formul ch prmtt d clcolr l umro d Npro? C om s è dtto, l r d rttgol s vv c qull sotts dll pr b ol quto p ù l umro è pross mo d, prché così t mo v c f r loro l su potz succss v,, l sudd v s o rttgo l d v smpr p ù f tt l crscr d. S vog l mo clcolr l r f o d u vlor, l potz -sm dv prò dr cdr propro su d sso, coè =, qusto dpdtmt dl umro d rttgol. Qusto è poss b l s d volt volt s scgl u vlor d ch s lgto d dll rlzo:
= = E f cl f tt v rf cr, co u clcoltrc, ch l rdc - sm d u umro t d dv t r q u t o pù c rs c l umro c, oè. Q u l t o è mos t r t o u smpo c o l umro = 0. C o q u s t s c l t gl s t rm d r tt go l soo: = = =, = =, = =, = = ch q u t o po t z d u umro ch s f prossmo d q udo c r s c, dvgoo 6.9 0.7.9 0. 60.07 00.0 smpr p ù v c fr l oro. U smo or q us t c oord t pr c lc o l r l r supror d fror d fo dvdu t d c orrspod t r tt go l : f = = ( ) sup = = P r t rovr l v l or d dobbmo dvdur q u l umro pr l q ul l r so tt s v l. P o ché, q ul u q u s, l r so tt s è smpr c omprs fr l v l or fror q u ll o supror c, oè f < < sup, dobbmo p r q u l v l or d, l c rs c r d, l r fror s m t mor d p r qul vlor l r sup ror s mt mggor d : r fror f = < > = < = + < + r supror sup = > > > + > + + + 0.708....700... 0.769....796... 0.78....78... 0.787....78... 6 0.788....788... Q ud o s pprossm d l d u c o zo d d voo ss r s mpr trmb v rf c t, qu d sst u f s c d um r, qu ll c o mpr s f r + +, p r qul s h f< c ot m por m t sup>. M c o m s v d d ll tb ll d str, qu d o c r s c molto, qu st f s c s v f c d o s mpr pù str tt, d u tl c o mportm to c c o d u c c o c lu d r h c d u vlor t d oo c o c d r l c r s c r d, f o d v d d ur l um ro h c stmo c r c d o : + lm.788 < < + = + = L ultm s c rttur è d tt pssggo l lmt d l ftto ch s st u u co vlor v rso c u l d u spr ss o s vvc o q u do dv f t m t g r d. P roc d u r m t m tch p ù rff t mostr o po ch tl u m ro è rr z o l. Prché psmo ch qusto umro dbb sstr? P rché l cr sc r d c s oo d ff tt oppost ch u s comp s o: ù dv. P l vto, p ù g l cr m t d v oo g p ccol, p r u vlor f t m t r g d d, ss t d oo dv r z ro. C osì l somm tor d ll r d r tt g ol s tr bb dd z o d o d ll q u ttà ll, l ch u port r bb su pporr ch l r su ltto fcc z ro.
. Qu do l l u h g zz d t d d u llrs p rò, l loro u m ro cr sc orm m t, d l l m t dv f to. Qu sto s co d o ff tto, cotr s t t r sp tto l p r m o, mp d s c ll s omm tor d dr u r su ltto llo u. E u po com scomporr u tort ll s brcol u po rcomporl : p ù soo u m ros p ù soo p ccol, m l l oro rcompos z o prod c u s mpr l tort comp l t! Com s complt l dfzo d logrtmo turl? P o ss mo q u sto p u to comp l t r l d f z o d lo rtmo g t rl d u u u m ro r l m odo d s t d r l s o c u mp o d z o ch vlor, dov l 0< < p r c d t d f z o b s t su ll r o s pp l cv. S dc ch y è logrtmo turl d, s scrv y= l, s y è l spot d ssgr l umro d Npro y =.788 pr vr : = Com possmo clcolr? Rptdo pss sgut pr ugug l r d l r so tts s pu ò ottr u formu l ch cost d l vr l umro d Npro d u qu l uqu potz r l. I mpomo ftt ch v l g l r sotts, l s trmo d dstr srà ugu l d supror: = = lm + = +. C os drmo pr smp l ctà so l o l formu l pr l r d smp o s vog l c l co l r : u v l or pprossmto d l l mt s pu ò ottr prddo u ch poss cosdrrs ftmt grd rsptto, com = 0000, d cu: 0000 = lm. + + 0000 Esst u smbolo pr l r sotts d u curv? L r o ttut co qusto procdmto d sudd v so rttgo l d u pssggo l l mt, v scrtt modo sttco ttrvrso u l ttr s ll ugt d cp g l strm d prtz d rr vo. L mp zz, d vu t ftsm, d ll bs d rttgo l, v dct dcdo co l s mbo l o d l posto d qu ll o d ll crmto : r so tts d p fo lm p = + + + + + = = d s l gg tgrl d p d d-. Com s ott l r sotts fr du rtt quluqu? S voglm o ott r l r fr du scss q u l u q u >, B>, è b s t fr l d ff r z d ll du r c l c ol t pr t r d : B d = lb l= l B d ov l u lt m o pss ggo sfru tt l pr o prtà d gl sp o t d s mpo l r. s ott s d ll p r bol y= fr = d = v l l 0.96 = B