Fondamenti di Automatica Tracciamento dei Diagrammi di Nyquist L. Lanari Dipartimento di Ingegneria Informatica Automatica e Gestionale Antonio Ruberti Università di Roma La Sapienza Ultima modifica November 21, 212
Considerazioni generali il diagramma di Nyquist di F (s) è l immagine secondo la funzione di trasferimento F (s) del di Nyquist (particolare chiuso). Il di Nyquist è composto da: (a) l asse immaginario esclusi eventuali poli a parte reale nulla di F (s) (b) semicerchi di raggio infinitesimo che lasciano gli eventuali poli a parte reale nulla di F (s) a sinistra (c) un all infinito (semicerchio) L immagine di (a) è deducibile dai diagrammi di Bode e dalla proprietà F ( jω) = F (jω) (b) in corrispondenza ad ogni polo di F (s) a parte reale nulla di molteplicità m effettua m mezzi giri all infinito in senso orario p i polo di F (s) con molteplicità m t.c. [p i ] = mπ giri all in senso orario (c) è l origine se la F (s) è strattamente propria, Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 1
Considerazioni generali Il criterio di Nyquist permette di dedurre la stabilità del sistema ad anello chiuso, in uno schema a retroazione unitaria, a partire da informazioni relative al sistema ad anello aperto (qui rappresentato dalla funzione di trasferimento F (s)) Alcuni possibili percorsi di Nyquist u W(s) Sistema ad anello chiuso Sistema ad anello aperto u 1 y 1 F(s) y s=j! j 1! = 1 j! a! =! a! =! a 1! =! =! a j! a! =! a Nessun polo a ( ) = Uno o più poli in s = Uno o più poli in s = ±jω a I vari passi per la costruzione di un generico diagramma di Nyquist sono illustrati di seguito. Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 2
Generazione del diagramma di Nyquist F(s) F(s) s =j!!2[,1) immagine immagine 1 dai diagrammi di Bode! 1! = 1 da F( j!)= F * ( j!)! 1! = s =j!!2(1,] di Nyquist Passo 1 di Nyquist Passo 2 F(s) immagine 1 da F(s) strettamente propria! 1! =! = 1! = 1! = di Nyquist Passo 3 Diagramma di Nyquist finale Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 3
Esempio 1 5 1.2 2 5 1 Modulo (db) 1 15 2 25 Modulo.8.6.4 Fase (deg) 2 4 6 3 35.2 8 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagramma del modulo in db 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagramma del modulo 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagramma della fase j! 3.6 j! 2.4.2 j j! 1 j! 1 1 F (s) = 1 s 1.2.4 ω ω 7 6 ω 5 ω 3 ω 1 ω 2 j! 2 j! 3 Percorso di Nyquist ω 4.2.4.6.8 1 Diagramma di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 4
Esempio 2 Modulo (db) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Diagramma del modulo in db Modulo 1.2 1.8.6.4.2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Diagramma del modulo Fase (deg) 5 5 1 15 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Diagramma della fase j! 3.6 j! 2.4 j j! 1 1 j! 1 j! 2 j! 3 Percorso di Nyquist F (s) = 1 (s 1) 2 = 1 (s/1 1) 2.2.2.4.6 ω 5 ω 6 ω 4 ω 3.5 1 ω 1 ω 2 Diagramma di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 5
Esempio 3 Modulo (db) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagramma del modulo in db Modulo 1.2 1.8.6.4.2 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagramma del modulo Fase (deg) 5 5 1 15 2 25 3 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagramma della fase j! 3 j! 2 j j! 1 j! 1 1 F (s) = 1 (s 1) 2 (s 1) = 1 (s 1) 2 (s/1 1) j! 2 j! 3 Percorso di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 6
Esempio 3.6.4.5 Zoom.2 Zoom.2.4.6.5 1 Diagramma di Nyquist esatto.5.1.8.6.4.2 Dettaglio del diagramma di Nyquist 1! = 1! = 1! = Versione esatta e manuale del diagramma di Nyquist Diagramma di Nyquist manuale Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 7
Esempio 4 1.2 1 1 5 Modulo (db) 2 3 4 Modulo.8.6.4 Fase (deg) 1 15 2 25 5 6 1 2 1 1 2 Diagramma del modulo in db.2 1 2 1 1 2 Diagramma del modulo 3 35 1 2 1 1 2 Diagramma della fase j! 3 j! 2 j j! 1 j! 1 1 F (s) = 1(1 s) (s 1) 2 (s 1) = 1 (s 1) 2 (s/1 1) j! 2 j! 3 Percorso di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 8
Esempio 4 1.5 Zoom.5 1.5.5 1 Diagramma di Nyquist esatto.2.15.1.5.5.1.15.2 Zoom.25.1.5.5.1 Dettaglio del diagramma di Nyquist 1! = 1! = 1! = Versione esatta e manuale del diagramma di Nyquist Diagramma di Nyquist manuale Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 9
Esempio 5 4 Modulo (db) 3 2 1 1 2 3 4 5 Esatto Approx 6 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Diagramma del modulo in db Fase (deg) 5 1 15 2 25 Esatto Approx 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Diagramma della fase F (s) = 1 s(s 1) = 1 2 s(s/1 1) 2 presenza di un polo in s = di molteplicità m = 1 nella F (s) del sistema ad anello aperto il diagramma di Nyquist effettua m = 1 mezzo giro all infinito in senso orario nel passaggio da ω = a ω = Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 1
Esempio 5! =! =! = 1 1! = 1! = 1 Percorso di Nyquist! = Diagramma di Nyquist manuale 2.3 Zoom 1.5 1.5 Zoom.2.1.5 1 1.5.1.2 2.5.5 1 Diagramma di Nyquist esatto.2.1.1 Dettaglio del diagramma di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 11
Esempio 6 4 Modulo (db) 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagramma del modulo in db Fase (deg) 5 1 15 2 25 Esatto Approx 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagramma della fase F (s) = 1 (s 1)(s 2 1) presenza di una coppia di poli in s = ±j di molteplicità m = 1 nella F (s) del sistema ad anello aperto il diagramma di Nyquist effettua m = 1 mezzo giro all infinito in senso orario in corrispondenza sia al passaggio da ω = 1 a ω = 1 che da ω = 1 a ω = 1 Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 12
Esempio 6! = 1! = 1! = 1 j! = 1! = 1 1 1! = 1! = 1! = j! = 1! = 1! = 1 Percorso di Nyquist Diagramma di Nyquist manuale Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 13
Esempio 7 4 Modulo (db) 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Diagramma del modulo in db Fase (deg) 5 1 15 2 25 Esatto Approx 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Diagramma della fase F (s) = s 2 1 s(s 1)(s 1) presenza di un polo in s = di molteplicità m = 1 nella F (s) del sistema ad anello aperto il diagramma di Nyquist effettua m = 1 mezzo giro all infinito in senso orario nel passaggio da ω = a ω = Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 14
Esempio 7! = s=j!! = 1 j 1 1! = 1 Percorso di Nyquist! = Diagramma di Nyquist manuale 8 6 4.1.5 Zoom 2 Zoom 2 4.5 6 8 8 6 4 2 2 4 Diagramma di Nyquist esatto.1.1.5.5.1 Particolare del diagramma di Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 15
Esempio 8 4 3 Esatto Approx Si richiede di studiare la stabilità del sistema ad anello chiuso rappresentato in figura al variare del guadagno K positivo. F (s) = s 1 s(s/1 1) Diagrammi di Bode tracciati per K = 1 Modulo (db) 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Diagramma del modulo in db u W(s) Sistema ad anello chiuso Sistema ad anello aperto u 1 y 1 K F(s) y Fase (deg) 5 1 15 2 π 25 Esatto Approx 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 Diagramma della fase Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 16
Esempio 8 Come evidenziato dai diagrammi di Bode tracciati per K = 1, alla pulsazione per la quale la fase vale 18 il modulo vale 1 (o db); pertanto il corrispondente diagramma di Nyquist passerà esattamente per il punto di coordinate ( 1, ) quando K = 1.! = Per valutare l effetto della variazione del guadagno K positivo sul diagramma di Nyquist, si può o 1/K! = 1! = 1 traslare il diagramma del modulo (in db) della quantità K db e riportare tali variazioni sul diagramma di Nyquist mantenendo la scala costante;! = Diagramma di Nyquist manuale Pertanto per o, equivalentemente, variare la scala e parametrizzare la posizione del punto rispetto al quale contare il numero di giri di F (jω). Ciò è possibile in quanto il numero di giri intorno al punto ( 1, ) di KF (jω) è uguale al numero di giri di F (jω) intorno al punto ( 1/K, ). < K < 1 si ha N = 1 P = 1, il sistema ad anello chiuso è instabile K = 1, N non è definito e il sistema ad anello chiuso non è stabile asintoticamente (il criterio di Routh applicato al denominatore della funzione di trasferimento del sistema ad anello chiuso dimostra che si ha stabilità semplice). K > 1 si ha N = 1 = P = 1, il sistema ad anello chiuso è stabile asintoticamente. Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 17
Esempio 9 4 3 F 1 F 2 F 1 F 2 Modulo (db) 2 1 1 2 3 4 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagrammi del modulo in db F 1 (s) = F 2 (s) = 1 s(s 1) 1 s 5 (s 1) Fase (deg) 1 2 3 4 5 6 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Diagrammi della fase! =! = 1! = 1! = 1 1! = 1! = 1! = Diagramma di Nyquist manuale di F 1 (s) N =! = Diagramma di Nyquist manuale di F 2 (s) N = 2 Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 18
Harry Nyquist Harry Nyquist, nato a Nilsby (Svezia) il 7 Febbraio 1889, è morto a Harlingen (Texas, USA) il 4 Aprile 1976. Nyquist emigrò negli Stati Uniti nel 197 e conseguì il dottorato di ricerca nel 1917 all Università di Yale. Fu immediatamente assunto dalla A.T.&T. Company e lavorò sia alla sezione Ricerca e Sviluppo sia ai Bell Laboratories. I suoi contributi spaziano dalla Teoria delle Telecomunicazioni alla Teoria del Controllo. Nella Teoria del Controllo, il contributo più noto è il Teorema di Nyquist sulla stabilità dei sistemi a retroazione. Harry Nyquist Fondamenti di Automatica Diagrammi di Nyquist 19