Algebra Booleana ed Espressioni Booleane

Algebra Booleana ed Espressioni Booleane Che cosa è un Algebra? Dato un insieme E di elementi (qualsiasi, non necessariamente numerico) ed una o più operazioni definite sugli elementi appartenenti a tale insieme si definisce come Algebra l insieme formato da (E, op1, op2,, opn), dove per operazione definita su un insieme si intende che l operazione ha come sempre come risultato un valore che appartiene all insieme stesso. Ad esempio, se consideriamo l insieme N dei numeri interi positivi, la coppia (N, +) è una algebra, mentre non lo è la coppia (N,-). Nel caso di (N, +) l operazione somma applicata a due numeri interi positivi (o numeri naturali) restituisce sempre un numero intero e positivo (naturale), mentre se consideriamo (N,-) l operazione sottrazione non sempre restituisce un valore intero positivo (se il minuendo e maggiore del sottraendo il risultato non sarà più un numero naturale, ma sarà un numero relativo). Algebra Booleana L algebra booleana è un particolare tipo di algebra definita su un insieme di due soli elementi, che possono essere rappresentati in modi diversi ma dal significato equivalente. I due valori in questione sono 0 e 1. Esempi di possibili rappresentazioni dell insieme: {0, 1} {F, T} {Falso, Vero} Ecc. Allo 0 viene associato il significato di Falso e all 1 viene associato il significato di Vero (Vero e Falso vanno intesi nel senso matematico del termine, non nei termini del linguaggio comune anche se concettualmente sono la stessa cosa). Restano da definire le operazioni su questo insieme di valori: le tre principali operazioni sono AND OR NOT (congiunzione logica o prodotto logico) (disgiunzione logica o somma logica) (negazione logica) Definiamo ora il significato di queste operazioni. AND logico L operazione AND è una operazione binaria (con binaria si intende una operazione che richiede due operandi, come ad esempio la somma tra numeri naturali). Dati due valori booleani, l AND restituisce 1 se e solo se entrambi gli operandi sono 1, altrimenti il risultato è 0. Dato il numero finito di valori dell insieme su cui sono definiti questi operatori, è possibile per ciascuno di essi elencare in forma di tabella tutti i possibili casi che possono verificarsi. Tale tabella prende il nome di tabella di verità op1 op2 op1 AND op2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Pag. 1 di 15

Il significato della tabella è evidente: se volessimo calcolare 0 AND 0 o applichiamo la regola o prendiamo la riga in cui op 1 e op 2 sono entrambi a 0 ed il risultato sarà dato dal valore riportato nella terza colonna della riga. Quindi 0 AND 0=0. Dalla tabella di verità si deduce facilmente la ragione per la quale l AND viene anche chiamato prodotto logico. OR logico L operazione OR è anch essa una operazione binaria. Dati due valori booleani, l OR restituisce 1 se e solo se almeno uno dei due operandi vale 1, altrimenti il risultato è 0. Passiamo ad esaminare la tabella di verità corrispondente op 1 op 2 op 1 OR op 2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Quindi se volessimo calcolare 1 OR 0, come nel caso dell AND, o applichiamo la regola o consideriamo la riga della tabella in cui op 1 è 1 e op 2 è 0, da cui si ottiene che il risultato è 1. NOT logico L operazione NOT è una operazione unaria (una operazione unaria è una operazione che richiede un solo operando). Dato un valore booleano, il NOT restituisce l altro valore: NOT 0=1 e NOT 1=0. La tabella di verità corrispondente è Op NOT op 0 1 1 0 Espressioni Booleane Così come per i numeri, è possibile costruire espressioni a partire da lettere e operatori. Ad esempio, nel caso delle algebre su insiemi numerici, possiamo costruire monomi e polinomi: con il monomio xy intendiamo il risultato dell operazione prodotto del valore numerico rappresentato dalla lettera x per il valore numerico rappresentato dalla lettera y. Una espressione booleana la si costruisce nello stesso modo: - Le lettere rappresentano un generico valore booleano - l AND viene di solito omesso (come per il segno di prodotto nei monomi) - L OR viene indicato con il segno + - Per il NOT le notazioni sono varie, ad esempio si usa il segno ( a significa NOT a) oppure si mette un segno sopra la lettera o espressione su cui agisce il NOT ( significa NOT a) Gli operatori logici hanno, come gli operatori numerici, delle regole di precedenza: il Not ha precedenza massima, di seguito viene l AND e ultimo l OR. Esempio: Se scriviamo ab+bc, questa espressione booleana la sua corretta interpretazione è (a AND b)or(b AND c). N.B. Per alterare le regole di precedenza tra operatori booleani si utilizzano, come nel caso di espressioni numeriche, le parentesi. Pag. 2 di 15

Approfondimento Proprietà e teoremi dell Algebra di Boole Proprietà commutativa della somma e del prodotto Proprietà associativa della somma e del prodotto Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto Teoremi dell'unione Teoremi dell'intersezione Teoremi del complemento Teoremi dell'idempotenza Teoremi di De Morgan Teoremi dell'assorbimento Le proprietà ed i teoremi valgono (ovviamente) per qualsiasi valore assegnato alle variabili X, Y e Z. Si possono facilmente dimostrare a partire dalle tabelle di verità. Pag. 3 di 15

Valutazione di una espressione logica Una espressione logica si valuta tramite le tabelle di verità degli operatori. Vediamo, tramite un esempio, quale è la tecnica da utilizzare. Esempio: si vuole determinare la tabella di verità dell espressione ab+ Primo passo: - si determina il numero di variabili non ripetute presenti nell espressione. In questo caso ho tre variabili Secondo passo: - si costruisce una tabella elencando tutte le possibili combinazioni dei valori che le variabili possono assumere In questo caso specifico le variabili sono 3 (a, b e c) e quindi le possibili combinazioni saranno a b c 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 A partire dai valori che possono assumere la variabili, si cominciano a valutare le espressioni secondo l ordine di precedenza degli operatori: a b c ab 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Applichiamo le regole dell AND per i valori della prima e seconda colonna e quindi a b c ab 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 Applichiamo le regole del NOT per i valori della terza colonna Pag. 4 di 15

A questo punto siamo in grado di determinare, per ogni combinazione dei valori assunti dalle variabili dell espressione, il risultato a b c ab ab+ 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Applichiamo le regole dell OR per la quarta e quinta colonna Data una espressione booleana siamo ora in grado, costruendone la tabella di verità, di conoscere il valore restituito dall espressione, dati i valori assegnati alle variabili. Nell esempio appena visto, assegnati i valori a=0, b=1 e c=0 il valore restituito dall espressione ab+ è 0. Pag. 5 di 15

Espressioni booleane e linguaggio di programmazione VB.NET Le espressioni booleane sono utilizzate dai linguaggi di programmazione per prendere decisioni. I costrutti di programmazione in cui vengono utilizzate sono quelli di selezione e iterazione. Nel linguaggio VB.net il costrutto di selezione è l IF, che ha la seguente sintassi IF <condizione> THEN [ELSE ENDIF <comando1> <comando2>] Quando si parla di condizione, in molti linguaggi di programmazione, si intende una espressione che restituisce un valore booleano Vero o Falso (più correttamente True o False, dato che la quasi tutti i linguaggi sono stati progettati in inglese). Come è fatta allora una condizione? Partiamo dalle condizioni più semplici, cioè da una costante booleana. Esempio 1 IF true THEN <comando1> ENDIF IF true THEN <comando1> ELSE <comando2> ENDIF Senza entrare nel dettaglio del comando IF, è chiaro che, in entrambi i casi considerati, venga eseguito il comando1 (la valutazione di una costante ha come risultato la costante stessa!) Esempio 2 pippo=true.. IF pippo THEN <comando1> Endif.. pippo=true.. IF pippo THEN <comando1> Else <comando2> Endif La variabile pippo è di tipo booleano, e quindi, quando andiamo a valutare l espressione che determina la condizione dell IF, verrà eseguito il comando1 in quanto pippo è uguale a true (in entrambi gli IF). Pag. 6 di 15

Vediamo ora il caso di espressioni logiche espresse mediante predicati. I predicati che possono essere utilizzati per costruire una espressione avente come risultato un valore booleano sono: =, >=, <=, < > (nell ordine uguale, maggiore o uguale, minore o uguale, diverso) Quando si utilizzano questi predicati bisogna che i tipi delle espressioni che si vanno a confrontare siano compatibili True=a+2 è una espressione senza senso (confrontiamo un booleano con un numero) 2=5 è una espressione corretta (confrontiamo due numeri) La valutazione dell espressione in cui compare uno di questi predicati darà un risultato booleano True o False. Esempio a+b > c varrà True se il valore di a sommato al valore di b è maggiore del valore di c, altrimenti varrà False N.B. La valutazione di una espressione booleana NON comporta la modifica di alcuna delle variabili presenti nell espressione stessa Uso degli operatori logici E possibile l uso degli operatori logici AND, OR, NOT non solo con variabili booleane, ma anche con espressioni. Vediamo qualche esempio (per ipotesi le variabili tappo e pippo sono booleane, mentre a,b e c numeriche) tappo AND pippo (a+b > c) AND pippo (a+b=c) OR (b=c) vengono messi in AND i valori logici delle variabili tappo e pippo viene messo in AND il valore logico risultante dalla valutazione dell espressione a+b>c con il valore logico della variabile pippo viene messo in OR il valore logico risultante dalla valutazione dell espressione a+b=c con il valore logico risultante dalla valutazione di b=c Esempio 3 pippo=true a=2 b=3 IF pippo AND (b=a) THEN <comando1> Endif.. c=1 b=3 a=-1 IF (a=c)or b>0 THEN <comando1> Else <comando2> Endif Pag. 7 di 15

Il comando ELSEIF In VB.net, oltre che nel comando IFTHEN e IFTHENELSE, esiste la possibilità di concatenare più IF. Il comando in questione è strutturato in questo modo IF <condizione 1> THEN <comando 1> ELSEIF <condizione 2> THEN <comando 2> ELSEIF <condizione 3> THEN <comando 3>.. [ELSE <comando n>] ENDIF Bisogna fare attenzione ad usare questo costrutto. Il funzionamento è il seguente: si verificano le condizione nell ordine in cui queste sono scritte fino a quando se ne incontra una con valore logico TRUE. A questo punto viene eseguito il comando corrispondente e si passa all ENDIF. Questo implica che anche se possono essere presenti delle altre condizioni logiche vere (successive alla prima che ha valore logico true), queste non verranno valutate. La parte finale racchiusa tra parentesi quadre è opzionale, cioè può non essere presente. Esempio.. IF a=0 THEN a=a+1 ELSEIF a=0 OR b=1 THEN b=b+a ELSEIF b=1 THEN c=2 ENDIF In questo esempio se il valore di a è 0, verrà eseguita solo l istruzione a=a+1 e poi si passerà alla prima istruzione successiva a ENDIF. Si noti che nel caso esaminato anche la seconda condizione è vera, ma questa non verrà valutata. Si verifica la stessa cosa nel caso in cui a sia diversa da zero e b uguale ad 1: il comando eseguito sarà b=b+a e poi si passerà all istruzione successiva all ENDIF. Osservazione molto importante: NOT(a AND b) non è equivalente a (NOT a) AND (NOT b) Le espressioni logiche sono utilizzate, oltre che nell IF, anche nei cicli. Il Vb.NET mette a disposizione, oltre al FOR, altri quattro tipi di cicli il do whileloop, il do. loop while, il do until.loop, e il doloop until. Pag. 8 di 15

Il ciclo FOR Il ciclo for viene tipicamente utilizzato quando è noto a priori il numero di volte (o comunque il numero massimo) di volte che una sequenza di istruzioni deve essere eseguita. La sua sintassi è FOR <variabile contatore=valore iniziale> TO <valore limite> [STEP incremento] <istruzione 1> <istruzione n> NEXT [<variabile contatore>] /* Le parti inserite all interno delle parentesi quadre sono opzionali */ Vediamo un esempio: calcolo della somma dei primi 10 numeri interi (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) cont è la variabile contatore, e in questo caso viene inizializzata a 1. DIM cont, somma AS INTEGER FOR TO 10 NEXT 10 è il valore limite N.B. L inizializzazione viene eseguita una volta sola Significato Incremento della variabile cont, e poi si torna al FOR 1) la variabile cont viene inizializzata a 1 2) il valore di cont viene confrontato con il valore limite (10 in questo caso) - se il valore di cont è maggiore di 10 (maggiore del valore limite) si esce dal FOR, cioè si passa ad eseguire l istruzione successiva al NEXT - se il valore di cont è invece minore o uguale a 10, si vanno ad eseguire le istruzioni interne del FOR (corpo del FOR). Si esegue quindi il passo 3) 3) esecuzione delle istruzioni del FOR 4) Quando si esegue l istruzione NEXT, la variabile contatore viene incrementata di una unità (nel caso in cui non si sia specificato alcuno STEP) e poi si va ad eseguire di nuovo il passo 2). Osservazioni a) E possibile definire un incremento diverso da 1. Nella sintassi del FOR, infatti si può osservare che vi è una parte opzionale (STEP). Se specificato, lo STEP (passo) definisce l incremento della variabile contatore da eseguire ogni volta che si esegue l istruzione NEXT Esempio: consideriamo un problema simile al precedente: vogliamo calcolare la somma dei valori interi pari compresi tra 1 e 10 (2+4+6+8+10) Pag. 9 di 15

Possiamo anche questa volta usare il FOR, definendo un opportuno STEP DIM cont, somma AS INTEGER FOR cont=2 TO 10 STEP 2 NEXT b) Il valore iniziale, il valore limite e lo STEP non devono essere necessariamente delle costanti, ma possono anche essere delle espressioni c) Le istruzioni interne al ciclo FOR, dette corpo del FOR, possono anche non essere mai eseguite. Questo accadrà quando il valore limite specificato è minore del valore iniziale assegnato alla variabile contatore e non è specificato lo STEP Esempio: FOR 5 TO 10 NEXT In questo caso il corpo del FOR non verrà eseguito, perché 15 è maggiore di 10 Nel caso in cui si specifica un valore di STEP il discorso precedente non è, in generale, più valido. Esempio FOR 5 TO 10 STEP -1 NEXT In questo caso il corpo del FOR viene eseguito, in quanto lo STEP negativo significa che il FOR terminerà quando il valore di CONT sarà minore del valore limite I cicli DO WHILE e DO WHILE Il cicli WHILE eseguono una sequenza di istruzioni in base alla verifica di una condizione logica, non necessariamente numerica (e quindi non necessariamente si dovrà testare un contatore). Vediamo nel dettaglio le due istruzioni DO WHILE La sintassi del ciclo in questione è la seguente DO WHILE <condizione logica> <istruzione 1> <istruzione n> Pag. 10 di 15

Le istruzioni all interno del DO WHILE vengono eseguite finché la condizione logica è vera. Quando la condizione logica diventa falsa, si esce dal ciclo. In dettaglio: quando si entra nel DO WHILE si testa la condizione; se il risultato booleano è TRUE allora si eseguono le istruzioni del DO WHILE (corpo del WHILE). L istruzione forza il programma a tornare all istruzione DO WHILE, e quindi avverrà nuovamente il test per verificare se la condizione è TRUE o FALSE. Nel momento in cui la condizione diventa FALSE il ciclo terminerà e si passerà ad eseguire l istruzione successiva alla. Esempio A=1 B=10 DO WHILE A<B A=A+5 Condizione logica Corpo del WHILE Differenze con il FOR - La condizione è più generale, non legata all uso di contatori - L istruzione non esegue alcunché (a differenza della NEXT), ma forza solamente il programma a tornare ad eseguire di nuovo il test del WHILE - Nel caso in cui le istruzioni del corpo del WHILE non modifichino in alcun modo l espressione del test, è possibile che il ciclo non termini e di conseguenza il programma si blocca in ciclo infinito. Analogie con il FOR - Il ciclo DO WHILE, così come il ciclo FOR, potrà non essere mai eseguito. Questo accade nel caso in cui la condizione logica iniziale è falsa E sempre possibile, dato un comando FOR, costruire un comando WHILE equivalente. Non è vero, in generale, il contrario. Esempio: Somma dei primi 10 interi naturali (1+2+3+4++10) FOR TO 10 DO WHILE cont<11 NEXT DO WHILE Il comando DO WHILE è simile al comando precedente. L unica differenza consiste nel fatto che mentre nel DO WHILE il test della condizione associata al WHILE viene eseguito all inizio del ciclo, in questo caso le istruzioni del ciclo saranno eseguite sempre almeno una volta. Inoltre, come nel comando precedente, il ciclo viene eseguito fino a quando la condizione espressa nel WHILE è vera; non appena il test dà valore falso, si esce dal ciclo e si passa ad eseguire l istruzione successiva. Pag. 11 di 15

La sintassi del ciclo in questione è la seguente DO <istruzione 1> <istruzione n> WHILE <condizione logica> Esempio: Somma dei primi 10 interi naturali (1+2+3+4++10) Confronto tra WHILE e WHILE DO DO WHILE cont<11 WHILE cont<11 In conclusione la scelta di utilizzare il DO WHILE o il DO WHILE è indifferente solo nel caso in cui si abbia la certezza che il ciclo da codificare venga effettuato almeno una volta. Per quanto riguarda l equivalenza con il ciclo FOR vale quanto detto in precedenza per il ciclo DO WHILE, con la differenza che nel caso il ciclo non debba essere mai eseguito bisognerà utilizzare necessariamente un IF esterno da cui far dipendere l esecuzione del ciclo. In entrambi i comandi, per forzare l uscita dal ciclo, è possibile utilizzare l istruzione EXIT DO. I cicli DO UNTIL e DO UNTIL Il cicli UNTIL, così come i cicli WHILE, eseguono una sequenza di istruzioni in base alla verifica di una condizione logica, non necessariamente numerica. Esaminiamone ora la sintassi. DO UNTIL La sintassi del ciclo in questione è la seguente DO UNTIL <condizione logica> <istruzione 1> <istruzione n> Le istruzioni all interno del ciclo DO UNTIL vengono eseguite fintantoché la condizione logica è falsa. Quando la condizione espressa diventa vera si uscirà dal ciclo. Inoltre, come nel caso del WHILE, non è necessario effettuare test con contatore e sarà sempre possibile scrivere il codice equivalente per un FOR. E Pag. 12 di 15

anche possibile, come per il FOR, che i comandi del ciclo non vengano mai eseguiti, nel caso in cui la condizione d testare sia vera. Esempio: Somma dei primi 10 interi naturali (1+2+3+4++10) Confronto tra implementazioni (FOR, DO WHILE e DO UNTIL) FOR TO 10 NEXT DO WHILE cont<11 DO UNTIL cont>10 Osservazione: Così come nei cicli WHILE la condizione da verificare non è vincolata al test di un contatore. DO UNTIL Il comando DO UNTIL è simile al comando precedente, con l unica differenza che mentre nel comando precedente il test della condizione associata all UNTIL veniva eseguito all inizio del ciclo, le istruzioni del ciclo saranno eseguite almeno una volta. Inoltre, come nel comando precedente, il ciclo viene eseguito fino a quando la condizione espressa nell UNTIL diventa vera. La sintassi del ciclo in questione è la seguente DO <istruzione 1> <istruzione n> UNTIL <condizione logica> Esempio: Somma dei primi 10 interi naturali (1+2+3+4++10). Confronto tra implementazione mediante DO UNTIL e DO UNTIL DO UNTIL cont > 10 DO UNTIL cont>10 Osservazione: anche per i cicli UNTIL vale quanto detto per i cicli espressi con il WHILE: la scelta di adottare uno dei due è indifferente solo nel caso in cui si è certi che l iterazione viene eseguita almeno un volta. Pag. 13 di 15

Vediamo ora in una unica tabella raissuntiva tutte le codifiche equivalenti dello stesso esempio proposto: somma dei primi 10 numeri interi (1+2+3+4++10) FOR TO 10 NEXT DO WHILE cont<11 DO WHILE cont<11 DO UNTIL cont>10 DO UNTIL cont>10 Conclusioni Esiste anche un altro ciclo in Vb.net mantenuto per compatibilità con VB 6, che è equivalente al do while..loop e che ha una sintassi leggermente differente ma il cui comportamento è pressoché lo stesso. E inoltre molto importante sottolineare che non ci sono restrizioni alla tipologia di comandi che possono far parte del corpo di un ciclo, e quindi potremo definire cicli annidati (l uno dentro l altro, non necessariamente dello stesso tipo). Questa necessità è più comune di quanto si possa credere (si pensi ad esempio agli ordinamenti in cui si hanno due cicli annidati). Pag. 14 di 15

Tabella Riassuntiva per i cicli vb.net FOR DO WHILE DO WHILE DO UNTIL DO UNTIL Condizione Test Contatore Espr. logica qualsiasi Espr. logica qualsiasi Espr. logica qualsiasi Espr. logica qualsiasi Ciclo eseguito almeno una volta No No Si No Si Uscita dal ciclo Contatore > Limite Contatore < Limite (in funzione dello STEP) Espr logica=false Espr logica=false Espr logica=true Espr logica=true Possibilità di avere un ciclo infinito No (*) Si Si Si Si Istruzione per uscita forzata dal ciclo EXIT FOR EXIT DO EXIT DO EXIT DO EXIT DO (*) In effetti è possibile che anche il ciclo FOR sia infinito, se nelle istruzioni del ciclo si effettuano modifiche alla variabile contatore. Pag. 15 di 15