Capitolo 2: Scritti d esame 07 Pisa, 8 Gennaio 999. Studiare il comportamento della serie al variare del parametro α > /2. ( ) n n sin α n 2α 2. Sia ( ) f(x) = log + sin3 x. 2 (a) Determinare la derivata sesta e la derivata settima della funzione f(x) nel punto x = 0. (b) Dire se esistono, ed in caso affermativo calcolare, il massimo ed il minimo di f(x) al variare di x in R. (c) Determinare per quali valori del parametro α R l integrale improprio converge. 0 dx [f(x)] α 3. Calcolare l integrale x 2 + x (x 2 + 4) 2 dx. 4. Sia f : R R una funzione continua tale che per ogni x R. 4f 2 (x) 4f(x) + > 0 Dimostrare che se f(x 0 ) = 0 per un qualche x 0 R, allora f è itata superiormente in R. Scritto d esame Elettronica 999 0
08 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, Gennaio 999. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare x 0 cos x + cosh x 2 sin 2 x ln 2 ( + x + x 2 ). 2. (a) Risolvere la disequazione x 2 + x 5 2x e determinare per quali valori di x si ha l uguaglianza. (b) Studiare la successione definita per ricorrenza da al variare di α R. a n+ = a2 n + a n 5 2 a = α (c) Nel caso particolare α = /2, studiare il comportamento della serie a n. 3. Consideriamo la funzione f(x) = + 3 arctan x. x (a) Calcolare estremo superiore ed inferiore di f(x) al variare di x in ]0, + [, precisando se si tratta, rispettivamente, di massimo e minimo. (b) Stessa domanda al variare di x in N \ {0}. (c) Calcolare (se esiste) il ite della successione a n = n n f 2 (t) dt. 4. Sia f : [a, b] R. Dimostrare che se f ammette derivata seconda strettamente positiva in [a, b], allora f assume il valore massimo in uno degli estremi dell intervallo. Vale lo stesso risultato se f è soltanto non-negativa? Scritto d esame Elettronica 999
Capitolo 2: Scritti d esame 09 Pisa, Febbraio 999. Studiare il comportamento della serie n 4 + 3 α 2 αn + n 2 α 2. Studiare la funzione f(x) = x5 x 4 e tracciarne un grafico approssimativo. Determinare in particolare il dominio, il segno, le zone di crescenza/decrescenza, concavità/convessità, gli eventuali punti di massimo/minimo locale/globale e di flesso, le equazioni degli eventuali asintoti. 3. Dire se esiste (ed in caso affermativo calcolare) il et cosh t dt. x 0 + ln x x t 3 4. Sia f : R R una funzione che ammette derivata prima e seconda continue. (a) Dimostrare che se f( ) = f(0) = f() = 0, allora f si annulla in almeno due punti e f si annulla in almeno un punto. (b) Quale delle conclusioni del paragrafo (a) continua a valere se si assume che f( ) =, f(0) = 0, f() =? (c) Quale delle conclusioni del paragrafo (a) continua a valere se si assume che f( ) =, f(0) = 0, f() =? Scritto d esame Elettronica 999 2
0 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 5 Febbraio 999. Determinare il numero di soluzioni dell equazione al variare del parametro λ R. e x = λx 2 2. Studiare il comportamento della successione definita per ricorrenza da a n+ = 999 a n n, a = 4. Studiare quindi il comportamento della serie 2 n a n. 3. Dire se esiste (ed in caso affermativo calcolare) il ( x 0 + x arctan x + sin x α x 4. Studiare il comportamento degli integrali impropri 2 x 4 dx, e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore. 0 ), x 4 dx, Scritto d esame Elettronica 999 3
Capitolo 2: Scritti d esame Pisa, 3 Maggio 999. Calcolare ( n ) ( n 2 + 4 n 2 sin n + n n sin ). n 2 2. Dimostrare che x 4 x 2 per ogni x R. Determinare quindi la più piccola costante λ R tale che per ogni x R. x 4 λx 2 3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da: a n+ = a n(sin a n + 3) n, a = 999. (a) Dimostrare che a n 0 per ogni n N. (b) Calcolare il ite di a n. (c) Studiare il comportamento della serie n α a n 4. Studiare il comportamento dell integrale improprio sin x x 3 + x 4 dx. Nel caso in cui converga, calcolarne il valore. Scritto d esame Elettronica 999 4
2 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 2 Giugno 999. Studiare il comportamento dell integrale improprio 0 arctan x x 3α dx 2. Calcolare n + n n4 + n n3 +. 3. (a) Studiare il comportamento della successione definita per ricorrenza da: a n+ = a 3 n 3a 2 n + 3a n, a = α, nei due casi particolari α = 3 e α = /3. (b) Dire se esistono (ed in caso affermativo determinare) dei valori di α per cui a n 0. 4. Consideriamo l equazione n arctan x = x 2. (a) Dimostare che, per ogni n N, tale equazione ammette un unica soluzione x n strettamente positiva. (b) Dimostrare che la successione x n è monotona e calcolarne il ite. (c) Studiare la convergenza della serie x n. Scritto d esame Elettronica 999 5
Capitolo 2: Scritti d esame 3 Pisa, 2 Luglio 999. Calcolare l estremo superiore e l estremo inferiore della funzione f(x) = arctan(x 50 arctan x) al variare di x in [0, + [, precisando se si tratta, rispettivamente, di massimo e minimo. 2. Determinare per quali valori reali dei parametri α, β, γ, il e αx + β cos x + γ sin 2 x x 0 + esiste ed è reale. 3. (a) Risolvere la disequazione x 3 ln( + x 2 ) x e determinare per quali valori di x si ha l uguaglianza. (b) Studiare la successione definita per ricorrenza da (c) Studiare il comportamento della serie a n+ = ln( + a 2 n) a = 999. a n. 4. Studiare il comportamento degli integrali impropri 5 0 dx x x 3, 2 dx x x 3, e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore. Scritto d esame Elettronica 999 6
4 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 6 Settembre 999. Studiare il comportamento della serie ( nα ) + n 2 2. Consideriamo la funzione f(x) = sin 3 x sin x 3. Calcolare f (0), f (0), f (0), f IV (0), f V (0). Stabilire se nel punto x = 0 la funzione data ha un massimo relativo, un minimo relativo, oppure un flesso. 3. (a) Determinare la piú piccola costante λ > 0 tale che 4x 4 + 3 λ e x2 per ogni x R (se serve, utilizzare il fatto che e e 4, 48). (b) Determinare la piú grande costante µ > 0 tale che per ogni x [0, ]. 4. Calcolare il valore degli integrali 4x 4 + 3 µ e x2 2π 2π x sin x dx, 2π 2π sin x x sin x dx. Scritto d esame Elettronica 999 7
Capitolo 2: Scritti d esame 5 Pisa, 20 Settembre 999. Sia f(x) = arctan x 4 3. (a) Determinare estremo inferiore ed estremo superiore di f al variare di x in N = {, 2, 3,...}, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo. (b) Determinare per quali valori λ R l equazione ammette esattamente tre soluzioni. f(x) = λ 2. Consideriamo la funzione f(x) = cos 3 x cos x 3. Calcolare f (0), f (0), f (0), f IV (0), f V (0). Stabilire se nel punto x = 0 la funzione data ha un massimo relativo, un minimo relativo, oppure un flesso. 3. (a) Risolvere la disequazione x 3 x 24 0 e determinare per quali valori di x si ha l uguaglianza. (b) Studiare la successione definita per ricorrenza da a n+ = 3 24 + a n a = 999. 4. Calcolare il valore degli integrali 2π 2π x cos x dx, 2π 2π sin x x cos x dx. Scritto d esame Elettronica 999 8