Capitolo 8
Capitolo 8 8.1 Determinazione delle frequenze: sviluppo di un metodo In questo capitolo verrà descritto un metodo per l individuazione, attraverso un algoritmo, a partire da registrazioni di accelerometri, delle frequenze proprie di una struttura. Lo scopo è identificare in tempo reale, man mano che viene acquisito il segnale, le frequenze d interesse, risalire alle rigidezze interpiano tramite un Algoritmo Evolutivo e identificare l istante e il posizionamento del danneggiamento durante la prova sperimentale. In questo modo si è voluto automatizzare il processo di individuazione dei parametri modali di interesse. I segnali e la struttura analizzata sono quelli descritti nel precedente Capitolo 7. I dati che devono essere forniti all algoritmo sono: la storia di spostamento o accelerazione in formato testo; le caratteristiche della struttura (massa dei piani, modulo elastico del materiale e inerzia, numero e altezza delle colonne), che permetteranno di individuare, attraverso un semplice modello, il range entro cui andare a ricercare le frequenze proprie della struttura; tempo di campionamento. tc=0.005; % tempo di campionamento nomeprova='d_ne_y_010'; masse=[5000 5000 5000]; % masse dei piani in kg E=2.06e11; % modulo elastico del materiale L=2; % lunghezza delle colonne J=1.51e-5; % momento d'inerzia della trave HEB140 ki=6*12*e*j/l^3; % N/m (moltiplicato per 6 perche' le colonne della struttura sono 6) m=fix(hh/numeropunti); M=diag(masse); Kmodello=assembla([ki ki ki]); Vmodello=autovalori(M,Kmodello)'; % definizione del range di ricerca g=length(vmodello); delle frequenze sperimentali xy=vmodello(g); Figura 8.1: Trattamento dei segnali da parte dell algoritmo 122
L algoritmo prevede che, dai segnali acquisiti dagli accelerometri, siano analizzati m I punti alla volta, fino all analisi completa di tutto il segnale dove: I, che varia, è l indicatore delle iterazioni necessarie per acquisire completamente il segnale (I = punti totali del segnale/m) ; m numero dei punti acquisiti nella prima iterazione (in questo caso è stato scelto di acquisire 90 punti alla volta, ma è del tutto arbitrario). Di ogni vettore di m I punti, costruito con la funzione setval, ne viene fatta la PSD (densità spettrale di potenza) e la spsd (densità spettrale media) attraverso un ToolBox di Matlab chiamato Carica Andres. Attraverso il ToolBox, viene effettuata un analisi dei segnali di accelerazione o di spostamento, cioè il segnale nel dominio del tempo viene analizzato nel dominio delle frequenze: in questo modo ad ogni valore di frequenza viene fatto corrispondere un valore di PSD. Tutto ciò è valido sotto l ipotesi che la struttura sia eccitata con un rumore bianco (cioè con un segnale caratterizzato dall avere tutti i contenuti in frequenza), in modo che essa si possa comportare come un filtro per il segnale in ingresso incanalando l energia nei suoi modi propri. E stato infatti dimostrato che una struttura eccitata con caratteristiche di rumore bianco, risponderà in maniera più visibile vicino la frequenza risonante. Tutto ciò può essere appunto visto nella PSD, computata dai record di accelerazione o spostamento, dove le risonanze appaiono come picchi. In virtù di ciò l analisi del contenuto in frequenza di un qualunque segnale di risposta della struttura (spostamento o accelerazione) ci permette di individuare i suoi parametri modali [Ventura,1994] [Felber,1994]. Queste frequenze possono essere valutate anche dalla spsd: ogni segnale processato è stato lisciato applicando una funzione chiamata smoothv, la quale smussa i picchi della PSD utilizzando una finestra pesata. Tale operazione consiste nel sostituire ad un certo numero di punti, un unico punto in modo da ottenere una visione più chiara dei risultati. In ogni vettore preso in considerazione verrà trovato il valore dalla spsd la cui ordinata è massima, si risale (attraverso la funzione find) alla posizione numerica che occupa nel vettore di accelerazione acquisito e con la funzione getdelt si ricava la frequenza relativa al punto in cui c è il massimo [Cavallo, 2002]. 123
dt=(getdelt(10000+i)); Freqmodo= xy-1.2; posfreqmodo=ceil((freqmodo/dt)+1); fb=fix(2*i/3); auxa=(aux(ceil(1:posfreqmodo))); auxa(1:fb)=0*aux(1:fb); picco1=max(auxa); % per evitare picchi intorno allo zero % trova il massimo valore del vettore posizpicco1=find(auxa==max(auxa)); % trova la posizione del vettore in cui aux è massimo freq1=abs(((posizpicco1)-1))*dt; if posizpicco1<fb; auxa=(aux(fb:(length(aux))/2)); picco1=max(auxa); % trova il massimo valore del vettore posizpicco1=find(auxa==max(auxa)); freq1=abs(((posizpicco1)-1))*dt; end aux4=auxa; a=posizpicco1-b; b=posizpicco1+b; ma=length(aux4); % condizioni da imporre per l eliminazione dei punti in prossimità della frequenza appena individuata if a<=0 & b>ma; aux4(1:ma)=0*auxa(1:ma); elseif a>0 & b>ma; aux4(posizpicco1-b:ma)=0*auxa(posizpicco1-b:ma); elseif a<0 & b<ma; aux4(1:posizpicco1+b)=0*auxa(1-posizpicco1+b); elseif a>0 & b<ma; aux4(posizpicco1-b:posizpicco1+b)=0*auxa(posizpicco1- B:posizpicco1+B); end Figura 8.2: Individuazione di un massimo Ciò permette di individuare la prima frequenza propria. La ricerca delle successive frequenze viene fatto con un processo di azzeramento della spsd attorno al massimo appena trovato con un parametro B che dipende dal numero di punti acquisiti fino a quell istante (vedere Figura 7.10 a)). Nei punti rimasti si effettuerà la ricerca dell ordinata massima a cui corrisponderà la seconda frequenza interessata (vedere Figura 7.10 b)). In questo modo si procede alla ricerca di tutti i periodi attinenti la struttura (vedere Figura 7.10 c)). Si riporta qui di seguito uno schema per chiarire il processo. 124
a) b) c) Figura 8.3: Processo di individuazione delle frequenze La ricerca delle rigidezze interpiano non è effettuata per tutti i vettori contenenti le frequenze proprie che sono state trovate dall algoritmo, ma solo per quelli la cui norma pesata tra il vettore I e I+1 è al di sotto di un certo valore. Questo lo si fa per non rendere troppo oneroso il processo. if I<=1; diff(i,:)=v(i,:); nor=1 elseif I>=2 diff(i,:)=v(i-1,:)-v(i,:); nor=sqrt(((diff(i,:))./ V(I-1,:))*((diff(I,:))./(V(I-1,:)))'); nor end while nor<0.06; disp(v(i-1,:)) disp(v(i,:)) nor=nor+1; % se la norma è < di 0.06 allora trasferisci i vettori in Vexact Figura 8.4: Individuazione delle frequenze da dare all Algoritmo Genetico 125
Quando è verificata questa condizione l ultimo vettore di frequenze trovato verrà individuato come V exact e darà inizio al processo di individuazione delle rigidezze interpiano. In questa metodologia l algoritmo di ottimizzazione usato è Differential Evolution. L identificazione della matrice della rigidezza opera nel dominio delle frequenze ed è basata su un funzione di costo attraverso la quale si effettua un confronto fra le frequenze esatte (V exact ), introdotte nel genetico e quelle calcolate dal DE (V gen ). Le informazioni fornite al genetico sono quindi le frequenze appena individuate e le masse della struttura. L Algoritmo Genetico genererà una popolazione casuale di rigidezze. Il campo per la ricerca delle rigidezze, come è già stato detto, è generato in maniera casuale entro certi limiti. Questi limiti, indicati con minx e maxx potranno essere cambiati manualmente: minx=0*ones(1,ndof); maxx=60000000*ones(1,ndof); rand('state',sum(100*clock)); for i=1:npop, pop_start(i,:)=minx+(maxx-minx).*rand(1,n); end Figura 8.5: Campo di ricerca Nell ottica di valutazione dell evoluzione del danno si può considerare un vettore kaspe in cui sono messe le rigidezze valutate al momento della prima misurazione su una struttura. Il campo verrà fatto variare tramite dei coefficienti tramite il minx e maxx Questo può essere pensato poiché nelle misurazioni successive ci si aspettano dei valori uguali o eventualmente minori di rigidezza dovuti ad un danneggiamento kaspe=[150000000 150000000 150000000]; minx=(kaspe./6).*ones(1,ndof); maxx=(kaspe.*6).*ones(1,ndof); rand('state',sum(100*clock)); for i=1:npop, pop_start(i,:)=minx+(maxx-minx).*rand(1,n); end Figura 8.6: Alternativa per il campo di ricerca 126
In questo campo verranno ricercati i valori di rigidezze attraverso gli operatori di selezione, crossover, mutazione. Lo spazio di ricerca per i valori di rigidezza si è notato può essere molto ampio, dimostrando la capacità dell Algoritmo Genetico nell individuazione della soluzione ottima per il sistema e la rapidità di convergenza. L ipotesi che sta alla base del processo di identificazione delle rigidezze interpiano della struttura, è il comportamento shear-type della struttura. Avendo una struttura di n piani, ipotizzandone diaframmi infinitamente rigidi nel loro piano e colonne infinitamente rigide assialmente, il comportamento nello spazio sarà descritto da 3*n gdl, mentre nel piano da n gdl. Per la struttura a tre piani la matrice di rigidezza sarà: k1+ k2 K = k2 0 k2 k2 + k3 k3 0 k3 k3 (8.1) dove: k 1 rigidezza interpiano relative al primo interpiano; k 2 rigidezza interpiano relative al secondo interpiano; k 3 rigidezza interpiano relative al terzo interpiano; Il principio di ricerca real-time delle frequenze e dei parametri di rigidezza è stato applicato ad una serie di dati, dimostrando che l applicazione dell algoritmo è fattibile sia per segnali in spostamento che per l acquisizione di accelerazioni. 127
8.2 Applicazione a dati sperimentali 8.2.1 Applicazione a storie di accelerazioni Dal database dell ELSA Laboratory sono state scaricate le prove denominate DamDet Pavia. Ogni test dinamico effettuato sulla struttura Baby Frame ha avuto una durata complessiva di 252,665 secondi e le storie temporali di accelerazione sono state acquisite con un intervallo di campionamento pari a 0,005 secondi. Queste prove sono state utilizzate per validare il metodo sopraesposto per l individuazione delle 3 frequenze fondamentali della struttura nella direzione di eccitazione dello shaker e per valutare l individuazione, da parte dell Algoritmo Genetico, del danneggiamento. In questa sede il danneggiamento è stato simulato con l eliminazione dei controventi al primo piano. Sono state considerate tutte le prove derivanti dagli accelerometri posti in direzione longitudinale e per ognuna di esse sono stati valutati con l algoritmo i parametri di rigidezza. Si riportano qui di seguito i risultati ottenuti. Struttura non danneggiata : Tempo (s) Punti acquisiti 1 fre. (Hz) 2 fre. (Hz) 3 fre. (Hz) 0,45 90 0 13,3333 20 0,9 180 3,3333 3,3333 3,3333 8,1 1620 4,0741 13,4568 19,0123 8,55 1710 4,0936 13,4503 19,0643 252 50400 4,0516 13,6706 19,2143 252,45 50490 4,0523 13,67 19,2078 Tabella 8.1: Risultati dell acquisizione con 90 punti alla volta relativa alla struttura non danneggiata In questa tabella sono stati riportati i valori di frequenze individuati con l algoritmo. Si può notare, anche dalle figure, come l individuazione delle frequenze con pochi punti acquisiti possa risultare difficoltosa. Mano a mano che sono acquisiti un maggior 128
numero di punti si arriverà alla definizione di quelle frequenze che caratterizzano la struttura. Figura 8.7: spsd con 90 punti acquisiti (0,45 sec) e spsd con 1620 punti acquisiti (8,1 sec) Figura 8.8: spsd con 50490 punti acquisiti Struttura danneggiata: Tempo (s) Punti acquisiti 1 fre. (Hz) 2 fre. (Hz) 3 fre. (Hz) 0,45 90 6,6667 15,5556 22,2222 0,9 180 3,3333 3,3333 12,2222 9,9 1980 2,9293 10,101 18,6869 10,35 2070 2,8986 10,0483 18,744 252 50400 2,9895 10,0179 18,553 252,45 50490 2,9841 10,0198 18,5516 Tabella 8.2: Risultati dell acquisizione con 90 punti alla volta relativa alla struttura danneggiata 129
Figura 8.9: spsd con 90 punti acquisiti (0,45 sec) e spsd con 1980 punti acquisiti (9,9 sec) Figura 8.10: spsd con 50490 punti acquisiti Si riportano in queste due tabelle i risultati per tutte le prove considerate: Caso Freq DANNEGGIATO (Hz) k DANNEGGIATO k1 k2 k3 NE_X_011 2,98 10,02 18,55 7,12E+06 1,08E+07 3,03E+07 NE_X_007 2,98 10,01 18,55 7,18E+06 1,08E+07 3,03E+07 NE_X_003 2,98 10,01 18,54 7,18E+06 1,08E+07 3,03E+07 SW_X_009 2,98 10,01 18,55 7,18E+06 1,08E+07 3,03E+07 SW_X_005 2,98 10,02 18,54 7,18E+06 1,08E+07 3,03E+07 SE_X_012 2,98 10,03 18,54 7,18E+06 1,08E+07 3,03E+07 NW_X_017 2,96 10,02 18,55 7,12E+06 1,08E+07 3,03E+07 S_X_018 2,98 10,02 18,33 7,12E+06 1,08E+07 3,03E+07 Tabella 8.3: Tabella riassuntiva delle frequenze e delle rigidezze individuate dall Algoritmo Genetico per le acquisizioni relative alla struttura danneggiata 130
Caso Freq NON DANNEG (Hz) k NON DANNEGGIATO k1 k2 k3 NE_X_011 4,05 12,97 19,2 2,30E+07 1,01E+07 3,29E+07 NE_X_007 4,05 13,67 19,21 2,80E+07 9,35E+06 3,35E+07 NE_X_003 4,05 13,67 19,21 2,78E+07 9,04E+06 3,64E+07 SW_X_009 4,05 13,67 19,19 2,80E+07 9,35E+06 3,35E+07 SW_X_005 4,05 13,67 19,31 2,78E+07 9,04E+06 3,64E+07 SE_X_012 4,03 13,7 19,21 2,80E+07 9,35E+06 3,35E+07 NW_X_017 4,04 12,92 19,99 2,30E+07 1,01E+07 3,29E+07 S_X_018 4,05 13,67 20 2,75E+07 9,45E+06 3,64E+07 Tabella 8.4: Tabella riassuntiva delle frequenze e delle rigidezze individuate dall Algoritmo Genetico per le acquisizioni relative alla struttura non danneggiata Il danneggiamento, come detto, è stato simulato con l eliminazione di controventi posti al primo piano: in effetti si nota una significativa variazione di rigidezza riferita al primo interpiano. Il vantaggio di questo metodo per l identificazione del danno sta nel fatto che non è necessario costruire un modello preciso agli elementi finiti. Confrontando semplicemente i valori dei parametri di rigidezza si è in grado di stabilire la posizione del danneggiamento. 131
8.2.2 Applicazione a storie di spostamenti La validazione del metodo, oltre che con storie di accelerazioni, è stato applicato anche a registrazioni di storie di spostamenti. I test analizzati sono stati: prova d68 : Snap Back; prova d79 : Snap Back con TMD bloccato; prova d80 : Snap Back con TMD bloccato; Le prove che sono state effettuate sulla struttura sono: snap back: chiamata anche prova di rilascio, la struttura viene ancorata tramite un cavo ad un muro di reazione e deformata attraverso la tensione del cavo. Successivamente, in un determinato istante, viene rimosso improvvisamente il cavo. Tale prova a spostamento impresso è del tutto equivalente ad una prova ad impatto in cui alla struttura è impressa una forza impulsiva [Cavanna, 2004]; snap back con TMD bloccato: questa prova è del tutto simile alla precedente in quanto lo smorzatore a massa accordata (TMD: Tuned Mass Dumper), che usualmente ha la funzione di oscillare secondo il primo modo della struttura facendo sì che essa subisca spostamenti ridotti, è bloccato. In questo tipo di prova quindi la presenza dello smorzatore aumenta solo la massa del piano ove è stato collocato a causa del suo peso che si aggira attorno ai 100 Kg. Ogni test dinamico effettuato sulla struttura Baby Frame nella sola direzione di eccitazione, ha avuto una durata complessiva di 135,84 secondi e le storie temporali di spostamento sono state acquisite con un intervallo di campionamento pari a 0,005 secondi. Della struttura in esame è stato fatto un modello agli elementi finiti con SAP, in modo da poter confrontare i valori di frequenze ottenute dalle PSD. La struttura è di tre piani, le colonne sono costituite da profilati in acciaio Fe360 del tipo HEB 140 saldati a profili IPE 180 che costituiscono le travi di piano. Il primo e il secondo piano hanno una massa di 8960 kg, il terzo di 8880 kg. 132
Massa per il primo e il secondo piano: 8960 kg Massa per il terzo piano: 8880 kg Peso per unità di volume del cls non armato : 23,5631 kn/m3 Area del solaio: 2,5 m 8 m = 20 m 2 Altezza equivalente della piastra del primo e del secondo piano 190 mm Altezza equivalente della piastra del primo e del secondo piano 188 mm Si riportano i risultati trovati dal SAP dall analisi modale. In neretto sono riportate le frequenze di interesse per l analisi nel piano di eccitazione dello strumento. N modo Modo Freq. (Hz) Periodo (s) 1 traslaz y 2,1458 0,4660 2 traslaz x 3,0057 0,3327 3 torsione 3,1951 0,313 4 traslaz y 6,2021 0,1612 5 traslaz x 9,2963 0,1076 6 traslaz y 9,3398 0,1071 7 torsione 9,4158 0,1062 8 torsione 14,5540 0,06871 9 traslaz x 15,2672 0,0655 Tabella 8.5: Risultati analisi modale Strumentazione al primo piano: Tempo (s) Punti Primo piano acquisiti 1 fre. (Hz) 2 fre. (Hz) 3 fre. (Hz) 0,45 90 0 6,6667 15,555 0,9 180 3,3333 3,3333 15,5556 42,75 8550 2,3626 9,4737 14,8538 43,2 8640 2,8935 9,6528 14,4907 135 27000 2,9556 9,9556 14,7926 135,45 27090 2,9531 9,952 14,7951 Tabella 8.6: Risultati dell acquisizione dei sensori posizionati al primo piano con 90 punti alla volta 133
Come si nota dalla tabella, man mano che vengono acquisiti punti, la definizione della densità migliore e più facile sarà l individuazione da parte dell algoritmo delle frequenze proprie della struttura. Le frequenze riportate in neretto sono quelle che vengono ritrovate anche dal modello FEM precedentemente illustrato. Si riportano per chiarimento le seguenti figure che riportano le spsd dei punti acquisiti: Figura 8.11: spsd con 90 punti acquisiti (0,45 sec) e spsd con 8640 punti acquisiti (43,2 sec) Come risulta dalle figure, le frequenze con 90 punti non sono distinguibili, incominceranno ad esserlo con 8640, cioè solo andando ad acquisire un maggior numero di punti. I fenomeni riscontrati con la strumentazione posta al primo piano, sono visibili anche nelle misurazioni effettuate ai piani successivi. E da notare inoltre che le frequenze sono individuate dopo circa 40 secondi, quando la durata complessiva delle prove è di 135,45 secondi. Figura 8.12: spsd con 27090 punti acquisiti 134
Strumentazione al secondo piano: Tempo (s) Punti Secondo piano acquisiti 1 fre. (Hz) 2 fre. (Hz) 3 fre. (Hz) 0,45 90 0 8,8889 15,5556 0,9 180 1,1111 6,6667 13,3333 45 9000 2,9333 9,9778 14,8 45,45 9090 2,9263 9,923 14,8515 135 27000 2,9556 9,9556 14,7778 135,45 27090 2,9531 9,952 14,773 Tabella 8.7: Risultati dell acquisizione dei sensori posizionati al secondo piano con 90 punti alla volta Figura 8.13: spsd con 90 punti acquisiti (0,45 sec) e spsd con 9000 punti acquisiti (45 sec) Figura 8.14: spsd con 27090 punti acquisiti 135
Strumentazione al terzo piano: Tempo (s) Punti Terzo piano acquisiti 1 fre. (Hz) 2 fre. (Hz) 3 fre. (Hz) 0,45 90 0 8,8889 15,5556 0,9 180 1,1111 6,6667 15,5556 44,1 8820 2,9025 9,9093 14,7392 44,55 8910 2,9405 9,8316 14,8373 135 27000 2,9556 9,9556 14,7778 135,45 27090 2,9531 9,952 14,773 Tabella 8.8: Risultati dell acquisizione dei sensori posizionati al terzo piano con 90 punti alla volta Figura 8.15: spsd con 90 punti acquisiti (0,45 sec) e spsd con 8820 punti acquisiti (44,1 sec) Figura 8.16: spsd con 27090 punti acquisiti 136
Nei grafici riportati delle spsd si nota una migliore definizione delle frequenze da individuare, man mano che sono acquisiti maggiori punti. La ricerca delle frequenze fatta dall algoritmo si basa proprio su questo: il parametro B adottato dall algoritmo, che azzera l intorno della frequenza individuata, infatti cresce al crescere dei punti acquisiti del segnale. Ciò per poter andare a eliminare un numero di punti tale da individuare le zone di minimo che si formano tra due picchi successivi. Una volta che l algoritmo ha acquisito le tre frequenze di interesse, queste sono mandate automaticamente al genetico: valori delle rigidezze interpiano trovate dall Algoritmo Evolutivo sono: Prove FREQUENZE (Hz) d68 2,955 9,9558 14,7605 d79 2,9385 9,9541 14,72297 d80 2,9326 9,5689 14,72377 Tabella 8.9: Risultati delle acquisizioni: frequenze individuate Prove k1x10e7 (N/m) k2x10e7 (N/m) k3x10e7 (N/m) d68 2,601 0,9017 3,5587 d79 2,6181 0,8842 3,5457 d80 2,2766 0,9412 3,5263 Tabella 8.10: Risultati delle rigidezze individuate dall Algoritmo Genetico Come si può vedere dai risultati ottenuti, l individuazione delle frequenze avviene indifferentemente sia con dati di spostamento che di accelerazione. I parametri di rigidezza trovati individuano nel genetico un mezzo veloce per l identificazione strutturale. 137