Prova scritta intercorso unedì 7 aprie 3 Laurea in Scienza e Ingegneria dei Materiai anno accademico -3 Istituzioni di Fisica dea Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Tempo a disposizione: ore e minuti Uso degi appunti o di ibri: NON AMMESSO; uso dea cacoatrice: AMMESSO ) Una massa m =. kg, sospesa con un fio di unghezza =.9 m in modo da formare un pendoo sempice (figura ), compie osciazioni di energia E =.7 J (dove energia potenziae è posta uguae a zero nea condizione di riposo). Trascurando ogni forma di attrito, stimate (a) i periodo e (b) ampiezza dee osciazioni (in termini di angoo), discutendo (c) sua bontà dee approssimazioni da voi eventuamente adottate per queste stime. Si assuma ora che e osciazioni de pendoo discusse in precedenza siano state ottenute appicando aa massa sospesa, iniziamente ferma nea sua posizione di equiibrio, una piccoa forza esterna osciante in modo armonico per un certo tempo τ. La forza appicata oscia proprio aa frequenza di risonanza e ha un ampiezza F =.9 3 N. Cacoare (d) i tempo τ necessario a raggiungere ampiezza di osciazione cacoata per a risposta (b), considerando sempre trascurabii gi attriti. [punti: a = 5/; b = 3/; c = /; d = /] Figura (esercizio ) m C Figura (esercizio ) ) Un corpo C di massa m = kg compie osciazioni armoniche di frequenza angoare ω = rad/s e ampiezza A =. cm. I corpo C è coegato rigidamente a primo pendoo di una catena semi-infinita di pendoi (figura ) avente e seguenti caratteristiche: (i) tutte e masse dei pendoi dea catena sono uguai e pari a m = g; (ii) tutte e moe dea catena sono uguai e di costante eastica k e =. N/m; (iii) a distanza dei punti di equiibrio di due pendoi consecutivi dea catena è pari a x = 4. cm e coincide con a unghezza a riposo dee moe; (iv) i fii di sospensione dei pendoi sono moto unghi. Ignorando per i momento ogni effetto dea catena di pendoi su moto de corpo C, determinate: (a) a unghezza d onda de onda che si induce sua catena e (b) a sua potenza media. Considerando ora anche i fatto che energia dee onde generate viene in effetti sottratta a corpo C, e cui osciazioni quindi si smorzano progressivamente proprio come se subisse effetto di un attrito viscoso, determinate (c) i tempo caratteristico di attenuazione dee osciazioni de corpo C (attenzione: non dimenticate che anche a potenza media de onda generata decresce progressivamente, con attenuarsi dee osciazioni de corpo C). [punti: a = 6/; b = 3/; c = /] 3) Scrivete un saggio di circa mezza pagina su uno dei seguenti due argomenti, a vostra sceta (ma NON ENTRAMBI). [punti: ] a. I fenomeno dea risonanza. b. Cosa succede quando due onde finite, iniziamente separate e che si propagano una contro atra, coidono?
Souzioni dei due esercizi Esercizio L equazione de moto de pendoo può essere derivata facimente daa F=ma proiettata sua traiettoria curviinea: d ϑ m = mg sin ϑ () dove θ denota angoo de pendoo rispetto aa verticae. Assumendo che e osciazioni siano piccoe, in modo da poter sostituire i sinθ con θ, a () diventa equazione de osciatore armonico, con frequenza angoare data da ω = g = 3. rad/s () I periodo è aora dato da T = π/ω =. s (3) (risposta a) L ampiezza angoare θ dee osciazioni può essere ricavata da energia E in modo esatto. Infatti energia potenziae gravitazionae è data da U = mg ( cosθ) (4) (senza approssimazioni). L ampiezza (semiampiezza) dee osciazioni θ coincide con i punti in cui energia cinetica si annua perché i moto sta invertendo a sua direzione, per cui energia è tutta potenziae. Perciò possiamo porre: E = U(θ ) = mg( cosθ ) = mg sin (θ /) (5) da cui E ϑ = arcsin =. rad mg (6) (risposta b) Notiamo che anche se avessimo usato energia potenziae nea sua forma approssimata quadratica U = ½ mgθ avremmo ottenuto o stesso risutato. Inotre potevamo utiizzare un atro approccio approssimato basato su energia cinetica. Infatti se θ è ampiezza angoare dee osciazioni, si ha i seguente andamento (per piccoe osciazioni) de moto: θ = θ cos(ωt+ϕ) (7) In termini di unghezza de arco descritto da pendoo ne suo moto, si ha x(t) = θ(t), che derivato fornisce a veocità v(t) = ω θ sin(ωt+ϕ) (8)
Da questa formua si vede che a veocità massima è v max = ωθ. Questa veocità si raggiunge quando energia potenziae si annua, cioè ne punto più basso quando i pendoo è verticae. In questo punto energia è tutta cinetica e si può porre E = ½ m v max = ½ m ω θ = ½ mg θ (9) (dove abbiamo usato ne utimo passaggio a ()) da cui possiamo dedurre θ. Da questo approccio riotteniamo ancora o stesso risutato trovato prima. Discutiamo ora dee approssimazioni. Se si adotta approccio esatto, a domanda (b) non richiede approssimazioni. Invece per trovare i periodo abbiamo dovuto supporre che e osciazioni siano piccoe, in modo da sostituire i sinθ con θ. Adesso siamo nea condizione di verificare se approssimazione è buona e quanto. Le osciazioni infatti hanno un ampiezza θ di. rad. La differenza assouta ε tra sinθ e θ è de ordine di ε θ 3 /3! = θ 3 /6. L errore reativo associato a questa approssimazione è quindi de ordine di ε/θ = θ /6 3 =.%. E presumibie che questo sia anche ordine di grandezza de errore su periodo dovuto a approssimazione. (risposta c) Se i pendoo viene soecitato con una forza osciante perfettamente risonante con a frequenza propria ω de pendoo, equazione de moto (per piccoe osciazioni) diventa a seguente: d ϑ + ω ϑ = F cos( ωt) m () La souzione cos(ωt) (o in notazione compessa exp(iωt)) non funziona come è facie verificare. I trucco da usare in questi (pochi) casi in cui e souzioni esponenziai non funzionano o non sono sufficienti è di cercare una souzione de tipo θ(t) = a t exp(iωt) (in notazione compessa), dove a è una costante compessa da determinare. Se si fa questo e poi si torna aa notazione reae, si trova a seguente souzione (che c è anche negi appunti): F ϑ ( t) = t sin( ωt) () mω Questa souzione non può essere vaida per sempre perché diverge, ma va bene per descrivere un fenomeno che dura un tempo imitato (purché e osciazioni rimangano piccoe in questo tempo) e se gi attriti sono trascurabii. La souzione () è una souzione particoare dea (). Per trovare a souzione generae dovremmo sommargi a souzione generae de omogenea associata aa (). Tuttavia, a () già soddisfa e nostre condizioni iniziai (cioè θ() = e dθ/() = perché a massa è iniziamente ferma nea sua posizione di equiibrio), per cui i termine mancante (a souzione de omogenea associata) andrà poi comunque annuato (cioè si pongono e costanti indeterminate A oppure B e C uguai a zero) per soddisfare e condizioni iniziai. Perciò a () è proprio a souzione da usare ne nostro caso. La () descrive osciazioni a cui ampiezza aumenta inearmente ne tempo, con a egge A(t) = (F /mω) t () Ponendo questa ampiezza uguae aa θ cacoata precedentemente, otteniamo i tempo τ: τ = mωθ /F = s (3) (risposta d)
Esercizio I primo pendoo dea catena è coegato rigidamente a corpo C, per cui compie esattamente o stesso moto. La egge generae sue onde generate da un estremo dea catena è a seguente: ξ(x,t) = ξ (t x/v ), dove v è a veocità dee onde sua catena. Ne nostro caso ξ = A cos(ω t) per cui si ottiene ξ = A cos(ω t kx) () dove abbiamo introdotto a costante k = ω /v che corrisponde a numero d onde angoare. La () mostra che onda generata è armonica con a stessa frequenza ω e a stessa ampiezza A dee osciazioni de corpo C (comunque questo risutato potevamo assumero anche direttamente come punto di partenza). La veocità v dee onde sua catena può essere ricavata daa formua K ke v = = x =.4 m/s = 4 cm/s ρ m () dove K = k e x è i moduo eastico dea catena e ρ = m/ x è a sua densità ineare di massa. La unghezza d onda è a questo punto data immediatamente da v πv λ = = =.5 m = 5 cm (3) (risposta a) ν ω (in aternativa si poteva ricavare λ attraverso i numero d onde k = π/λ). Dato che onda è armonica, a sua potenza media è data daa formua de P = v = v ρ ω A = v mω A =.5 mw (4) (risposta b) dx x (se uno non si ricorda direttamente questa formua o quea equivaente con Kk a posto di ρ ω, non è difficie ricavarsea con pochi passaggi, purché ci si ricordi che a densità di energia cinetica è ½ ρ ( ξ/ t) e che a densità di energia potenziae è uguae aa densità di energia cinetica). Se ora teniamo conto de fatto che energia de onda viene in effetti sottratta a osciatore armonico, è chiaro che e osciazioni di quest utimo devono progressivamente smorzarsi. Possiamo anaizzare questo smorzamento con un discorso puramente energetico (dove energia considerata è mediata su un cico di osciazione). Infatti, energia de osciatore armonico può essere scritta come segue E = mv max = mω A (5) dove adesso assumiamo che ampiezza A sia funzione de tempo, cioè A (t), a causa de progressivo smorzamento. La potenza media de onda, data daa (4) con A funzione de tempo, coincide con a perdita di energia de osciatore per unità di tempo, ossia con a derivata temporae di E cambiata di segno (perché è una diminuzione di energia):
de m = P = E m x (6) v dove ne secondo passaggio abbiamo combinato a (4) e a (5) per scrivere anche i secondo membro in termini de energia E invece che de ampiezza A. L equazione (6) può essere risota facimente e a souzione è esponenziae decrescente E = E exp( t/τ) (7) dove i tempo caratteristico τ è dato da τ = m x m v = s (8) (risposta c) Ovviamente questo è i tempo con cui decresce energia de osciatore. L ampiezza A dee osciazioni decresce esponenziamente con un tempo caratteristico che è esattamente i doppio (cioè τ = s), perché è proporzionae aa radice quadrata de energia.