2 Problemi di Ricerca

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1 Esercizio 2.1 Formalizzare come problema di ricerca il problema delle 8 regine. Esercizio 2.2 Analizzare l algoritmo di ricerca a lunghezza iterativa. Tale algoritmo incrementa iterativamente il limite al costo dei cammini. Se viene generato un cammino il cui costo è maggiore del limite imposto esso viene scartato. Ad ogni nuova iterazione il limite viene settato al valore più piccolo di costo di cammino scartato al passo precedente. Più nello specifico dire se è completo, ottimo e determinare le complessità spaziale e temporale nel caso di branch factor b, di costo unitario e di profondità della soluzione ottima d. Ha senso adottare questo algoritmo anziché quello a costo uniforme? Esercizio 2.3 Mostrare che la strategia di ricerca in profondità e di ricerca in ampiezza sono un casi particolari della strategia best first. Esercizio 2.4 Dimostrare che se h 1 (x),..., h m (x) sono euristiche ammissibili, allora h max (x) := max i h i (x) è ammissibile. Ci sono dei problemi nell applicare tale euristica? Esercizio 2.5 Consideriamo il problema di guidare un robot all esterno di un labirinto la cui planimetria è sconosciuta. Il robot parte dal centro del labirinto e rivolto verso nord. Le azioni ammissibili sono di girare verso una data direzione (nord, sud, ovest, est) oppure procedere in linea retta per una data distanza (si ferma prima di colpire un muro). 1

2 1. Formulare il problema come un problema di ricerca. Quanto è grande lo spazio di ricerca? 2. Riformulare il problema incorporando il fatto che gli unici punti in cui dobbiamo svoltare sono gli angoli e all intersezione dei corridoi. Lo spazio di ricerca diventa più piccolo in questo caso? 3. Riformulare il problema incorporando il fatto che in ogni punto del labirinto possiamo muoverci in una delle direzioni fino ad un punto di svolta. 4. Rispetto al problema reale quali semplificazioni abbiamo fatto? Esercizio 2.6 Mostrare un istanza di problema in cui l algoritmo di approfondimento iterativo (APPI) è inefficiente rispetto a quello in profondità (PROF). Cercare di generalizzare per capire quali problemi dovremmo trattare con l uno o con l altro a seconda del branch factor b, della profondità della soluzione d e della profondità d utilizzata dall algoritmo di ricerca in profondità. Possiamo a priori di aver trovato una soluzione dire quale dei due è più efficiente? Esercizio 2.7 Formalizzare come problema di ricerca il seguente problema dei recipienti. Sono disponibili due recipienti, uno da 3 litri e uno da 5 litri. Entrambi sono inizialmente vuoti. L obbiettivo è quello di avere uno dei due recipienti con esattamente un litro d acqua attingendo il minor quantitativo di acqua da una fonte. Le azioni possibili sono quelle di riempire completamente uno dei recipienti, svuotarlo completamente oppure riempire un recipiente con il contenuto dell altro fino a che non è completamente vuoto o l altro è completamente pieno. Applicare gli algoritmi di ricerca in ampiezza e in profondità a tale problema. Esercizio 2.8 Dire quali delle seguenti sono vere o false e motivare le risposte. 1. La ricerca in profondità esplora almeno tanti nodi quanto la ricerca A eseguito con un euristica ammissibile. 2. h(n) = 0 è un euristica ammissibile per il problema dello spaccaquindici. 3. A non è utilizzabile nella robotica in quanto sia le percezioni che le azioni sono continue. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 2

3 4. La ricerca in ampiezza è completa anche se delle azioni hanno costo nullo. Esercizio 2.9 Considerate uno spazio degli stati in cui lo stato iniziale abbia il numero 1 e ogni stato k ha due successori 2k e 2k Disegnare lo spazio degli stati da 1 a Supponete che lo stato obbiettivo sia lo stato 12. Scrivere l ordine di visita dei nodi per la ricerca in ampiezza, in profondità e ad approfondimento iterativo. 3. La ricerca bidirezionale può essere applicata in maniera in questo caso. 4. Posso pensare ad una procedura che trovi la soluzione senza utilizzare un albero di ricerca? Rispondere alle domande motivando adeguatamente. Esercizio 2.10 Dire quali delle seguenti sono vere o false e motivare le risposte. 1. Gli algoritmi di ricerca locale necessitano di tempo costante per trovare una soluzione. 2. In un problema di ottimizzazione convesso la ricerca hill climbing è ottimo. 3. In un problema di ottimizzazione concavo la ricerca hill climbing è completo. 4. Gli algoritmi genetici sono completi. Esercizio 2.11 Dire il nome dei seguenti casi speciale. Giustificare le risposte. 1. Local beam con k = Local beam con un solo stato iniziale e k = Simulated annealing con T = Simulated annealing con T = Algoritmo genetico con popolazione N = 1. Esercizio 2.12 A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 3

4 Considerare il seguente ambiente per la navigazione robotica. 1. Un agente che implementi Hill climbing potrebbe rimanere bloccato? 2. Esistono delle figure geometriche che possono bloccare tale robot? 3. Utilizzare il simulated annealing potrebbe risolvere il problema precedente? 4. È sensato utilizzare algoritmi di ricerca locale in questa situazione? Motivare le risposte. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 4

5 Answers Soluzione dell esercizio 2.1 Insieme degli stati: disposizioni delle regine (da zero a otto) sulla scacchiera Stato iniziale: scacchiera vuota Azioni ammissibili: posso fare l azione di posizionare una regina in una casella libera solo se non minaccia un altra regina Modello di transizione: stati con k < 8 regine e stati con k + 1 regine disposte sulla scacchiera Test obbiettivo: ci sono otto regine sulla scacchiera Costo di passo: uno per ogni regina messa sulla scacchiera L ultimo elemento è fittizio. Potenzialmente non è necessario dare un costo di passo in quanto nel problema delle 8 regine l unico risultato importante è la disposizione finale. Soluzione dell esercizio 2.2 Completezza: come per la ricerca in lunghezza esso è completo Ottimalità: poiché espande in ordine cammini il cui costo aumenta, il primo obbiettivo che incontra sarà quello di costo minimo Complessità temporale: db + (d 1)b b d = O(b d ) Complessità spaziale: db + (d 1)b b d = O(b d ) Quando arriviamo alla profondità della soluzione ottima avremo eseguito l algoritmo a costo uniforme e anche molte altre iterazioni in cui non avremo trovato alcuna soluzione, quindi questo algoritmo è sicuramente più inefficiente di quello a costo uniforme. Soluzione dell esercizio 2.3 Se definiamo come funzione di uno stato n la funzione g(n) = 1 d dove d è la profondità del nodo esploro prima i nodi meno profondi, quindi sto esplorando in ampiezza. Invece se uso g(n) = d esploro prima i nodi più profondi, quindi sto esplorando in profondità. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 5

6 Soluzione dell esercizio 2.4 Se tutte le euristiche sono ammissibili, allora ho che h i (x) < c(x), i, dove c(x) è il costo per arrivare all obbiettivo. Se la condizione vale i, essa varrà anche per il valore del massimo. Da qui l euristica del massimoè, anch essa, ammissibile. L unico problema che potrebbe verificarsi è se il numero delle euristiche è troppo elevato e quindi il calcolo della nuova euristica risulta troppo complesso computazionalmente. Soluzione dell esercizio Insieme degli stati: coppie posizione e direzione del robot Stato iniziale: posizione centrale e direzione nord Azioni ammissibili: girare verso una posizione o procedere in linea retta per una data distanza Modello di transizione: deterministico Test obbiettivo: sempre zero a meno di non arrivare all ingresso del labirinto Costo di passo: spazio percorso (o energia utilizzata) Lo spazio di ricerca in questo caso è uno spazio continuo, difficile da trattare con tecniche standard 2. In questo caso lo spazio diventa discreto. Rispetto alla prima formulazione abbiamo delle azioni discrete per quanto riguarda lo spostamento e quindi uno spazio degli stati discreto (ogni posizione in cui si può effettuare un cambio di direzione). In particolare, se ci sono n intersezioni nel labirinto, ho 4n possibili stati. 3. Non dobbiamo più preoccuparci di tenere nello stato la direzione, sarà il sistema di orientamento del robot a dover tenere conto dell orientamento. 4. Stato: altri agenti nell ambiente, imperfezioni nell ambiente (terreno, agenti atmosferici). Azioni: rotazione di esattamente 90 gradi, possibili collisioni, energia finita del robot. Soluzione dell esercizio 2.6 Con un problema con branch factor b = 1 avremo che APPI necessita di d d 2 passi, mentre quello di PROF risolve il tutto in d passi. Se il branch factor fosse b = 2 e la profondità della soluzione ottima d = 5 avremmo che APPI necessita di A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 6

7 = 124 passi, mentre se specificassimo d = 6 a PROF avremmo = b d, ovvero un numero minore di passi. In generale avremo che APPI è più efficiente di PROF se db+(d 1)b b d d 2 b d b d ovvero se d 2 b d d (con d > d). In problemi generali non conosciamo la profondità della soluzione. Altrimenti potremmo impostare da subito la profondità d di PROF. Soluzione dell esercizio 2.7 Insieme degli stati: riempimento dei due recipienti con un numero intero di litri, litri di acqua attinta dalla fonte Stato iniziale: recipienti vuoti, acqua attinta nulla Azioni ammissibili: come specificato, riempire e svuotare completamente uno dei recipienti, svuotare un recipiente nell altro fino a che non è completamente vuoto o l altro è completamente pieno Modello di transizione: deterministico Test obbiettivo: positivo solo per lo gli stati in cui uno dei recipienti ha un litro di acqua Costo di passo: quantità di acqua attinta alla fonte Rappresentando come una coppia di valori interi (l 1, l 2 ) la quantità di acqua nei due recipienti abbiamo (considerando una ricerca su grafo). La soluzione trovata è (0, 0) (0, 3) (3, 0) (3, 3) (5, 1). Soluzione dell esercizio FALSO: una ricerca in profondità potrebbe trovare la soluzione (anche subottima) in d passi (profondità della soluzione), mentre la ricerca A garantisce di trovare la soluzione ottima che potrebbe essere ad una profondità maggiore. 2. VERO: h(n) = 0 rappresenta sempre una scelta ammissibile per l euristica, avendo come assunzione di avere i costi di passo positivi. Tuttavia non è particolarmente utile come euristica non essendo in grado di discriminare tra i differenti stati. 3. FALSO: A è spesso usato nella robotica dopo che è stato discretizzato lo spazio degli stati e delle azioni. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 7

8 4. VERO: ciò che conta per la completezza è la profondità della soluzione e non il costo. Soluzione dell esercizio Ricerca in ampiezza: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Ricerca in profondità: 1, 2, 4, 8, 9, 5, 10, 11, 3, 6, 12. Ricerca ad approfondimento iterativo: prima iterazione 1, 2, 3, seconda iterazione: 1, 2, 4, 5, 3, 6, 7, terza iterazione come la ricerca in profondità. 3. Possiamo applicarla solo se conosciamo il nodo obbiettivo. Conoscendo la soluzione potenzialmente possiamo anche conoscere il path da applicare in quanto possiamo calcolare il genitore di ogni nodo. 4. La procedura parte dal nodo obbiettivo k e, iterativamente calcola k/2 fino ad arrivare a 1. Soluzione dell esercizio FALSO: altrimenti useremmo solo tali algoritmi per fare ricerca. 2. VERO: in un problema convesso (o concavo) andare nella direzione della derivata ci permette di arrivare alla soluzione ottima. 3. VERO: arriviamo sempre ad una soluzione. 4. FALSO: solo se assumiamo che ci sia abbastanza randomicità (mutazione), altrimenti potremmo rimanere in un ottimo locale. In generale tali algoritmi non hanno garanzie di completezza n `di ottimalità. Soluzione dell esercizio Hill climbing in quanto in ogni nodo prendo il successore più promettente A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 8

9 2. Ricerca in ampiezza, in quanto ad ogni turno espando tutti i successori che sono anche i nodi con profondità minima nell albero di ricerca. 3. Hill climbing, in quanto se il nodo successore ha una funzione di valutazione negativa non verrà mai scelto. 4. Una ricerca casuale, in quanto accetta ogni possibile successore. 5. Innanzitutto non può fare operazioni di crossover. Quindi l unica operazione è quella di modifica casuale della descrizione dello stato, che equivale a fare una ricerca casuale nello spazio degli stati. Soluzione dell esercizio Dipende dalle azioni ammesse al robot. Se ti trovassimo in un punto in cui la distanza è minore di tutte le distanze degli stati raggiungibili rimarremmo in un minimo locale di distanza. È molto improbabile che ciò accada in quanto dovrebbe accadere che l ostacolo sia messo perpendicolarmente al vettore che collega il robot con l obbiettivo 2. Le figure concave in generale possono bloccare il robot in minimi locali. 3. No/Sì perchè la figura concava potrebbe trovarsi molto vicina all obbiettivo, quando la temperatura è ormai troppo bassa perché si sfugga dalla concavità. Se la temperatura è ancora abbastanza alta potrebbe aiutare. 4. Se vogliamo come output il percorso del robot NO, se vogliamo solo far uscire il robot dal labirinto SÌ. A.A Intelligenza Artificiale - UniBG Page 9