lezione 3 AA Paolo Brunori

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1 AA Paolo Brunori

2 econometria: la ricerca dei processi che generano i dati - domenica era brutto tempo - se mi fermo alla pasticceria a fare colazione troverò: più coda del solito? meno? la stessa? - cosa determina quante persone decidono di fare colazione al bar un certo giorno a una certa ora?

3 dove siamo arrivati? - quello che vogliamo fare è capire se i dati ci possono insegnare qualcosa su come funzionano i fenomeni socioeconomici - il primo passo - una volta identificata un possibile modello di funzionamento di un fenomeno - consiste nell approssimare la relazione fra causa ed effetto con un apporssimazione lineare - il fenomeno che ci interessa (felicità percepita nel nostro esempio) si avvicina ad un andamento costituito da una costante e una funzione crescente di una variable indipendente (PIL pro capite) - questa relazione è riscontrabile nei dati? di quanto aumenta la felicità per ogni dollaro in più di PIL?

4 la migliore approssimazione lineare: retta dei minimi quadrati - per Ordinary Least Squares in inglese - migliore la capacità di spiegare i dati della retta minori gli errori commessi - u i = Y i [β 0 + β 1 X i ] è l errore di interpolazione per l osservazione i-esima - gli stimatori dei minimi quadrati ˆβ 0, ˆβ 1 minimizzano: (Y i β 0 β 1 X i ) 2 = ui 2 1=1 1=1

5 l errore di previsione di un modello lineare felicità ( ) CR DK MX IS CA CH CO FI VE PA SE AU NL DO OM IE IL GT TM MT BEDEAT NI AR CY GB HN PH UY SI ES BR UZPY EC TH CL PL SVJM BZ MY CZ IT PE KZ GR FRJP BO ZA SK SA MWLA JO CN EE VNID KR PK RO TR HR MU KG BAAZ LT PT MN DZ BT RS RU IN EG TN BY LV HU TD GH LB NP BD NG MDMA LS ME YE TJ LKUA ZM SD RWKH MRIQAM ML MK BW CF AL BG GN UG SN LR BF CI GE AO ET GA KM HT CM NE MZ MG KE SL NO AE US u_i KW HK SG LU QA BJ BI TG TZ PIL pro capite 2011 fonte: World Bank (2011), World Happiness Report (2015)

6 interpretazione del modello lineare in generale β 0 : intercetta, è il valore che ipotizziamo abbia la Y quando X = 0 β 1 : pendenza, mi dice di quanto aumenta Y quando X aumenta di un unità u i : errore, mi indica di quanto sbaglio ad approssimare linearmente la relazione che lega X e Y

7 β 0, β 1 - per ottenere gli stimatori ˆβ 0, ˆβ 1 dei due coefficienti si pongono pari a zero le due derivate parziali: (Y i β 0 β 1 X i ) 2 = 0 β 0 1=1 (Y i β 0 β 1 X i ) 2 = 0 β 1 1=1 - la dimostrazione potete trovarla sul libro (e in fondo a queste slide) - le soluzioni sono semplici e vanno ricordate

8 β 0, β 1 dove ˆβ 0 = Ȳ ˆβ 1 X X, Ȳ sono le medie delle due variabili nel campione ˆβ 1 = 1 n1=1 n (Y i X i ) Ȳ X ni=1 Xi 2 X = 2 1 n ni=1 (X i X)(Y i Ȳ ) ni=1 (X i X) 2

9 retta dei minimi quadrati felicità ( ) CR MX DK IS CO CA VEPA FI SE CH DO OM AU IE NL IL NI GT TM AR MT CY BEDEAT HN PH BR UY SIES GB UZPY EC CL BZ SV JM TH PL PEKZ MY GR CZ IT BO FR JP MWLA ID JOCN ZA EE SK SA PK VN RO HR KR KG BA DZ AZ MU TR MN LT PT BT TD GH INEG TN RS BY LV RU HU NP BD LB LS NG MD MA ME RW ZM SD YE TJ LKUA KH MRIQAM CF ML AL MK BG BW LR GN UG BF SN CI ET GE AO GA NE KM HT CM MG MZ KE SL BI BJ TG TZ AE US NO HK KW SG LU QA PIL pro capite 2011 fonte: elaborazione su dati World Bank e WHR i parametri stimati sono: ˆβ0 = 5.19, ˆβ 1 = come possono essere interpretati?

10 interpretazione β 0, β 1 - β 0 : se un paese ha PIL pro capite=0 la media della risposta della domanda di Cantril è β 1 : per ogni dollaro in più di PIL mi aspetto un aumento di della media dell indacatore di Cantril (equivalente a dire che per ogni 10 mila dollari in più l aumento è di 0.5 punti

11 Come potete ottenere queste stime in pratica? - otteniamo i dati - sistemiamo i dati in modo leggibile da un software

12 i dati caricati su R dataset ottenuto unendo informazioni da: World Bank (2011), World Happiness Report (2015)

13 Come potete ottenere queste stime in pratica? - il nostro modello è: cantril = β 0 + β 1 GDP_pc - per alcuni paesi la variabile indipendente GDP_pc (PIL pro capite) non è disponibile - per questi dati non è possibile stimare la retta di regressione - utilizziamo quelli per i quali osserviamo sia Y che X

14 Come potete ottenere queste stime in pratica? - il modo più ovvio è ricorrere alle formule: ni=1 (X i ˆβ 1 = X)(Y i Ȳ ) ni=1 (X i X) 2 ˆβ 0 = Ȳ ˆβ 1 X - calcoliamo X e Ȳ e poi utilizziamo la formula - i passaggi che vi faccio vedere ora sono disponibili sul file nella pagina del corso

15 Misure di bontà del - quanto bene la retta interpola i dati? - R 2 della regressione è la frazione ( della varianza ) campionaria di Y spiegata da X var(ŷi)/var(y i ) - somma dei quadrati spiegata (ESS: Explained Sum of Squares) = n i=1 (Ŷi Ȳ )2 - somma dei quadrati totali (TSS) = n i=1 (Y i Ȳ )2 R 2 = ESS TSS

16 misure di bontà del - somma dei quadrati dei residui (SSR) = n i=1 û 2 i R 2 = ESS TSS = 1 SSR TSS - se β 1 = 0 R 2 = 0 - se Ŷi = Y i i = 1,..., n allora R 2 = 1

17 Quanto bene il reddito spiega la felicità? - torniamo all analisi empirica - quanto sbagliamo ad approssimare la relazione fra X e Y? - guardiamo ai residui u i

18 Quanto bene il reddito spiega la felicità? - il grafico riporta la distribuzione degli errori della stima di Y dato X - come possiamo giudicare se si tratta di errori grandi o meno? Histogram of (ols1$residuals) Frequency (ols1$residuals)

19 Quanto bene il reddito spiega la felicità? - proviamo ad usare il buon senso, l errore in valore assoluto in media è pari a in aggregato il 38.42% della variabilità è spiegata dal modello

20 assunzioni che rendono valido quanto detto fino ad ora - questo metodo per stimare i parametri della retta ( ˆβ 0, ˆβ 1 ) non è sempre valido - perché i parametri siano una buona stima di quelli veri, β 0, β 1, devono essere soddisfatte alcune condizioni

21 assunzioni che rendono valido quanto detto fino ad ora 1) la distribuzione di u i condizionata a X i ha media nulla 2) X, Y sono indipendentemente e identicamente distribuite 3) valori estremi (outlier) devono essere improbabili

22 la distribuzione di u i condizionata a X i ha media nulla 1) E(u i X i ) = 0 i = 1,..., n - gli altri fattori che confluiscono in u e determinano Y sono non sono sistematicamente legati a X

23 la distribuzione di u i condizionata a X i ha media nulla 1) E(u i X i ) = 0 i = 1,..., n

24 X, Y i.i.d. - campionamento semplice dalla stessa popolazione (età e altezza degli studenti di uniba) allora ogni osservazione si distribuisce alla stessa maniera - se sono estratti in modo casuale sono anche indipendenti - esistono casi di non-indipendenza: nel caso dei dati della Banca Mondiale ad esempio sono mancanti i valori di PIL per paesi molto arretrati - in questi casi il campionamento non è casuale, il campione non rappresenta la popolazione

25 gli outlier sono improbabili - outlier: misure fuori dall intervallo normale - potrebbero essere dovuti a errori di imputazione dei dati

26 ˆβ 0, ˆβ 1 sono stimatori non-distorti - ˆβ 0, ˆβ 1 sono variabili casuali: il loro valore dipende dal campione selezionato - se valgono le condizioni il loro valore si distribuisce attorno al vero valore (β 0, β 1 ) - come accade per la media di un campione: la media campionaria è uno stimatore non distorto della vera media della popolazione - così accade per i parametri ˆβ 0, ˆβ 1 se si verificano le condizioni

27 Le slide che seguono non fanno parte della parte essenziale del programma d esame. Se avete la curiosità di capire come si ottengono gli stimatori dei minimi quadrati potete consultarle.

28 β 0, β 1 si pongono pari a zero le due derivate parziali: β 0 (Y i β 0 β 1 X i ) 2 = 2 (Y i β 0 β 1 X i ) = 0 1=1 1=1 β 1 (Y i β 0 β 1 X i ) 2 = 2 (Y i β 0 β 1 X i )X i = 0 1=1 1=1

29 ˆβ 0, ˆβ 1 dividendo per n: 1 n (Y i ˆβ 0 ˆβ 1 X i ) = 0 Ȳ ˆβ 0 ˆβ 1 X = 0 1=1 1 n 1=1 (Y i X i ) ˆβ 0 X ˆβ1 1 n Xi 2 = 0 i=1

30 ˆβ 0, ˆβ 1 sostituiamo ˆβ 0 = Ȳ ˆβ 1 X nella seconda equazione: 1 n 1 n 1=1 ) 1 (Y i X i ) (Ȳ ˆβ1 X X ˆβ1 n Xi 2 = 0 i=1 ( ) (Y i X i ) Ȳ X ˆβ 1 1 Xi 2 n X 2 = 0 1=1 i=1 ˆβ 1 = 1 n1=1 n (Y i X i ) Ȳ X ni=1 Xi 2 X 2 1 n

31 ˆβ 1 = 1 n1=1 n (Y i X i ) Ȳ X ni=1 (X i ni=1 Xi 2 X = X)(Y i Ȳ ) 2 ni=1 (X i X) 2 1 n numeratore: (X i X)(Y i Ȳ ) = n (X i Y i X i Ȳ XY i + XȲ ) = i=1 i=1 (X i Y i ) Ȳ X i X Y i + N XȲ = i=1 i=1 i=1 (X i Y i ) Ȳ N X XN Ȳ + N XȲ = n (Y i X i ) N Ȳ X i=1 1=1

32 ˆβ 1 = 1 n1=1 n (Y i X i ) Ȳ X ni=1 Xi 2 X = 2 1 n deniminatore ni=1 (X i X)(Y i Ȳ ) ni=1 (X i X) 2 (X i X) 2 = (Xi 2 2X i X + X 2 ) = i=1 i=1 Xi 2 2 X X i + N X 2 = Xi 2 N X 2 i=1 i=1 i=1