Crittografia e teoria dell informazione

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Cornelio Nanni
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1 Crittografia e teoria dell informazione Fisica dell Informazione L. Gammaitoni

2 Problema: Esiste un cifrario assolutamente sicuro? Questo problema fu affrontato da C. Shannon negli anni Copia dell articolo su:

4 Alcuni concetti introdotti da Redundancy D Shannon È una misura di quanto un testo/file può essere compresso senza perdita dell informazione Esempio: in inglese q è sempre seguita da u, quindi u può essere omessa quando si codifica qu Un testo letterario ha una D fino al 75%, cioè può essere compresso fino al 25% della sua lunghezza senza perdita di informazione (Shamir, 1992). Una sequenza casuale di lettere ha una D uguale a zero.

5 La redundancy D può anche essere definita come la differenza tra la quantità d informazione (entropia) di un messaggio casuale U e la entropia del messaggio vero E: D = U-E

6 Schema matematico di un sistema di criptoanalisi Insieme dei messaggi Insieme delle Trasformazioni (cifrari) Insieme dei criptogrammi Per ogni messaggio ho una probabilità a priori, nota solo al mittente e una probabilità a posteriori nota ad eventuali origliatori

7 Problema della criptoanalisi: ridurre la probabilità a posteriori di un dato messaggio fino a uno Ovvero scartare tutti i possibili falsi messaggi che possono aver generato quel crittogramma Abbiamo già visto che se la chiave ha una lunghezza inferiore (cioè una quantità d informazione o entropia) inferiore al messaggio allora posso tentare con un attacco brute force.

8 Shannon ha mostrato che se la quantità d informazione (entropia) della chiave è superiore o uguale alla redundancy del messaggio allora il crittografo è sicuro. Il più semplice esempio di crittografo sicuro è il ONE TIME PAD In questo caso la lunghezza della chiave costituita da caratteri casuali è pari alla lunghezza in caratteri del messaggio da cifrare. Il cifrario non è altro che la sostituzione del carattere originario con la somma di questo con il carattere della chiave (modulo il numero delle lettere nell alfabeto).

9 esempio Se come one time pad volessi usare un libro noto, avrei una redundancy del 75% (ovvero una compressibilità ed il mio cifrario non sarebbe sicuro). Per raggiungere la sicurezza potrei usare quattro testi indipendenti interpolati casualmente.

10 Da quello che si è detto si vede che il problema della generazione di un crittografo sicuro è ricondotto alla possibilità di cogenerare una sequenza di numeri casuali, lunga quanto è lungo il messaggio e che sia identica tanto per il mittente che per il destinatario ma ignota a tutti gli altri Un bel problema.

11 Quantum cryptography Un sistema per distribuire in modo sicuro chiavi casuali mediante sistemi quantistici fu inizialmente proposto da Bennet e co-workers 1 nel 1984 e si basava sull impiego di fotoni e della loro polarizzazione. Concetto di polarizzazione 1 C. H. Bennett and G. Brassard, in Proceedings of the IEEE International Conference on Computers, Systems and Signal Processing, IEEE, New York (1984).

12 A quantum cryptography system allows two people, say Alice and Bob, to exchange a secret key. Alice uses a transmitter to send photons in one of four polarizations: 0, 45, 90 or 135 degrees. Bob uses a receiver to measure each polarization in either the rectilinear basis (0 and 90) or the diagonal basis (45 and 135); according to the laws of quantum mechanics he cannot simultaneously make both measurements.

13 The key distribution requires several steps. Alice sends photons with one of the four polarizations, which she chooses at random For each photon, Bob chooses at random the type of measurement: either the rectilinear type (+) or the diagonal type (X).

14 Bob records the result of his measurements but keeps it a secret. After the transmission, Bob tells Alice the measurement types he used (but not his results) and Alice tells him which were correct for the photons she sent. This exchange may be overheard. Alice and Bob keep all cases in which Bob should have measured the correct polarization. These cases are then translated into bits (1s and 0s) to define the key.

15 Meccanismi di correzione e controllo Una parte dei bit possono essere scambiati pubblicamente per conoscere se la comunicazione è stata origliata, poiché l intercettazione dei fotoni distrugge l informazione e i bit non coincidono più.

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