ARITMETICA E RICORSIONE

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1 ARITMETICA E RICORSIONE Non esiste, in logica, alcun meccanismo per la valutazione di funzioni, operazione fondamentale in un linguaggio di programmazione I numeri interi possono essere rappresentati come termini Prolog. Il numero intero N è rappresentato dal termine: s(s(s(...s(0)...))) N volte prodotto(x, Y, Z) "Z è il prodotto di X e Y" prodotto(x, 0, 0). prodotto(x,s(y), Z):- prodotto(x, Y, W), somma(x, W, Z). Non utilizzabile in pratica: predicati predefiniti per la valutazione di espressioni 1 PREDICATI PREDEFINITI PER LA VALUTAZIONE DI ESPRESSIONI L insieme degli atomi Prolog contiene tanto i numeri interi quanto i numeri floating point. I principali operatori aritmetici sono simboli funzionali (operatori) predefiniti del linguaggio. In questo modo ogni espressione può essere rappresentata come un termine Prolog. Per gli operatori aritmetici binari il Prolog consente tanto una notazione prefissa (funzionale), quanto la più tradizionale notazione infissa TABELLA OPERATORI ARITMETICI Operatori Unari -, exp, log, ln, sin, cos, tg Operatori Binari +, -, *, \, div, mod +(2,3) e 2+3 sono due rappresentazioni equivalenti. Inoltre, 2+3*5 viene interpretata correttamente come 2+(3*5) 2

2 PREDICATI PREDEFINITI PER LA VALUTAZIONE DI ESPRESSIONI Data un espressione, è necessario un meccanismo per la valutazione Speciale predicato predefinito is. T is Expr ( is(t,expr)) T può essere un atomo numerico o una variabile Expr deve essere un espressione. L espressione Expr viene valutata e il risultato della valutazione viene unificato con T Le variabili in Expr DEVONO ESSERE ISTANZIATE al momento della valutazione 3 ESEMPI :- X is 2+3. yes X=5 :- X1 is 2+3, X2 is exp(x1), X is X1*X2. yes X1=5 X2= X= :- 0 is 3-3. yes : - X is Y-1. Y non è istanziata al momento della valutazione No (NOTA: Alcuni sistemi Prolog danno come errore Instantion Fault) :- X is 2+3, X is 4+5. no 4

3 ESEMPI :- X is 2+3, X is 4+1. yes X=5 In questo caso il secondo goal della congiunzione risulta essere: :- 5 is 4+1. che ha successo. X infatti è stata istanziata dalla valutazione del primo is al valore 5. :- X is 2+3, X is X+1. no NOTA: non corrisponde a un assegnamento dei linguaggi imperativi. Le variabili sono write-once 5 ESEMPI Nel caso dell'operatore is l'ordine dei goal cioè rilevante. (a) :- X is 2+3, Y is X+1. (b) :- Y is X+1, X is 2+3. Mentre il goal (a) ha successo e produce la coppia di istanziazioni X=5, Y=6, il goal (b)fallisce. Il predicato predefinito "is" è un tipico esempio di un predicato predefinito non reversibile; come conseguenza le procedure che fanno uso di tale predicato non sono (in generale) reversibili. 6

4 TERMINI ED ESPRESSIONI Un termine che rappresenta un'espressione viene valutato solo se è il secondo argomento del predicato is p(a,2+3*5). q(x,y) :- p(a,y), X is Y. :- q(x,y). yes X=17 Y=2+3*5 (Y=+(2,*(3,5))) Valutazione di Y NOTA: Y non viene valutato, ma unifica con una struttura che ha + come operatore principale, e come argomenti 2 e una struttura che ha * come operatore principale e argomenti 3 e 5 7 OPERATORI RELAZIONALI Il Prolog fornisce operatori relazionali per confrontare i valori di espressioni. Tali operatori sono utilizzabili come goal all'interno di una clausola Prolog ed hanno notazione infissa OPERATORI RELAZIONALI >, <, >=, =<, ==, =/= disuguaglianza uguaglianza 8

5 CONFRONTO TRA ESPRESSIONI Passi effettuati nella valutazione di: Expr1 REL Expr2 dove REL e un operatore relazionale e Expr1 e Expr2 sono espressioni vengono valutate Expr1 ed Expr2 NOTA: le espressioni devono essere completamente istanziate I risultati della valutazione delle due espressioni vengono confrontati tramite l operatore REL 9 OPERATORI PIU IN DETTAGLIO Le espressioni possono essere rappresentate sia utilizzando la notazione a termini del Prolog, sia in modo più convenzionale In Prolog è possibile definire operatori ed assegnare agli operatori regole di associatività e precedenza Quando ci troviamo ad analizzare un'espressione del tipo 2+3*5 siamo in grado di interpretare univocamente tale stringa come la somma tra 2 ed il prodotto tra 3 e 5 grazie alla convenzione sulla priorità degli operatori che impone che * e piu prioritario del +. 10

6 PRIORITA DEGLI OPERATORI 2+3* * 5 Il concetto di precedenza (priorità) non è sufficiente per rendere non ambigua la lettura di un'espressione ASSOCIATIVITA DEGLI OPERATORI Serve il concetto di associatività: infatti per l espressione ho due possibili interpretazioni (5-2)-2 5-(2-2) Nel caso degli operatori aritmetici +, *, - e / si assume per convenzione che siano associativi a sinistra, ossia si privilegia la prima lettura dell'espressione 12

7 OPERATORI Un operatore e caratterizzato da: nome numero di argomenti (operatori binari e unari) priorità (o precedenza rispetto ad altri operatori) associatività un operatore può essere non associativo: operatore relazionale = associativo a destra associativo a sinistra Date queste proprietà, è sempre possibile trasformare in modo non ambiguo un'espressione con operatori in un albero 13 ESEMPIO Sia data l'espressione aritmetica 2*3+5+4*8*2 (con + con priorità minore di * ed entrambi associativi a sinistra). + Albero di 2*3+5 Albero di 4*8*2 14

8 ESEMPIO Sia data l espressione aritmetica 2*3+5+4*8*2 (con + con priorità minore di * ed entrambi associativi a sinistra). + * + 5 * * ESEMPIO Una volta costruito l'albero corrispondente a una espressione con operatori, il passaggio da tale albero al termine (in notazione funzionale) che rappresenta tale espressione è immediato Il termine corrispondente all'albero dell'esempio precedente è: +(+(*(2,3),5),*(*(4,8),2)) 16

9 PREDICATO OP In Prolog esiste un predicato predefinito per la definizione di operatori. op(priorita, TIPO, NOME) definisce un operatore con nome NOME, priorità PRIORITA e tipo TIPO NOME: atomo alfanumerico con primo carattere alfabetico oppure una lista di tali atomiche vengono definiti con lo stesso tipo e priorità; PRIORITA è un numero (generalmente tra 0 e 1200) e specifica la priorità dell'operatore; TIPO specifica il numero degli argomenti e la regola di associatività dell'operatore 17 PREDICATO OP op(priorita, TIPO, NOME) TIPO specifica il numero degli argomenti e la regola di associatività dell'operatore e puo assumere uno dei seguenti valori fx, fy (per operatori unari prefissi) xf, yf (per operatori unari postfissi) xfx, yfx, xfy (per operatori binari) dove f indica la posizione dell'operatore, x indica un argomento che è o un atomo o un'espressione tra parentesi o un'espressione il cui operatore principale ha priorità strettamente minore di quella dell'operatore che si sta definendo, y indica un argomento che è o un atomo o una espressione tra parentesi o una espressione il cui operatore principale ha priorità minore o uguale di quella dell'operatore che si sta definendo. 18

10 OPERATORI BINARI Nel caso di operatori binari si può stabilire un interessante legame tra il tipo dell'operatore e le regole di associatività; in particolare TIPO=xfx operatore non associativo TIPO=yfx operatore associativo a sinistra per cui, se op ha tipo yfx, l espressione E 1 op E 2 op...op E n viene interpretata come (..( E 1 op E 2 ) op E 3 )...) op E n ) ossia come il termine op(op(...op( E 1,E 2 ), E 3,...), E n ) TIPO=xfy operatore associativo a destra per cui, se op ha tipo xfy, l espressione E 1 op E 2 op...op E n viene interpretata come E 1 op (E 2 op op(e n-1 op E n ) ) ossia come il termine op(e 1,op(E 2,op(..op(E n-1, E n )) 19 ALTRI OPERATORI Anche i connettivi logici, congiunzione ; disgiunzione :- implicazione sono definiti come operatori Prolog. In Prolog non esiste, infatti, alcuna distinzione tra dati e programmi per cui anche le congiunzioni e le clausole sono dei termini. 20

11 OPERATORI PREDEFINITI IN PROLOG :- op(1200, xfx, [ :-, ->]). :- op(1200, fx, [ :-,?-]). :- op(1100, xfy, [ ;]). :- op(1050, xfy, [->]). :- op(1000, xfy, [, ]). :- op( 900, fy, [not, spy, nospy]). :- op( 700, xfx, [=, is, =.., =:=, =\=, <, >, =<, >=]). :- op( 500, yfx, [+, -]). :- op( 500, fx, [+, -]). :- op( 400, yfx, [*, /, //]). :- op( 300, xfx, [mod]). :- op( 200, xfx, [^]). 21 ESEMPIO Consideriamo alcuni esempi di espressioni: 2+3+4*5 +(+(2,3),*(4,5)) 3=4=5 tale espressione non è legale in quanto il tipo dell'operatore = è xfx per cui entrambi gli argomenti devono essere espressioni con priorità strettamente minore di quella di =. In altri termini, l'espressione non è legale in quanto = non è associativo. 3=4+5 =(3, +(4,5)) a,b;c,d,e ;(, (a,b),, (c,, (d,e))) 22

12 ESEMPIO: while..do Introdurre un costrutto di iterazione di tipo while: while C do S con il seguente significato informale "fintanto che la condizione C è vera, invoca la procedura S" Supponiamo che S possa essere una qualunque condizione, anche un ulteriore costrutto di iterazione; si considera quindi come legale una espressione del tipo while C1 do while C2 do S imponendo l'interpretazione while C1 do (while C2 do S) 23 ESEMPIO: while..do Gli operatori while e do possono essere definiti come operatori Prolog. while deve essere definito come un operatore unario prefisso a priorità minore della priorità di do che a sua volta deve essere definito come un operatore binario associativo a destra. Si ha cioè: :- op(200, fx, while). :- op(300, xfy, do). 24

13 ESEMPIO: while..do Si ha allora che una espressione del tipo (while C1) do (while C2) do S viene interpretata secondo la seguente struttura di parentesi (while C1) do ((while C2) do S) ossia come il termine do((while C1), do((while C2),S)) 25 ESEMPIO: while..do Insieme di regole Prolog per tali operatori: while C do S :- C,!, S, while C do S. while C do S. 26

14 ESEMPI Calcolare la funzione abs(x) = x abs(x,y) "Y è il valore assoluto di X" abs(x,x) :- X >= 0. abs(x,y) :- X < 0, Y is -X. Si consideri la definizione delle seguenti relazioni: pari(x) = true se X è un numero pari false se X è un numero dispari dispari(x) = true se X è un numero dispari false se X è un numero pari pari(0). pari(x) :- X > 0, X1 is X-1, dispari(x1). dispari(x) :- X > 0, X1 is X-1, pari(x1). 27 CALCOLO DI FUNZIONI Una funzione può essere realizzata attraverso relazioni Prolog. Data una funzione f ad n argomenti, essa può essere realizzata mediante un predicato ad n+1 argomenti nel modo seguente f:x 1, x 2,..., x n y diventa f(x1,x2,...,xn,y) :- <calcolo di Y> Esempio: calcolare la funzione fattoriale così definita: fatt: n n! (n intero positivo) fatt(0) = 1 fatt(n) = n * fatt(n-1) (per n>0) fatt(0,1). fatt(n,y):- N>0, N1 is N-1, fatt(n1,y1), Y is N*Y1. 28

15 CALCOLO DI FUNZIONI Esempio: calcolare il massimo comun divisore tra due interi positivi mcd: x,y MCD(x,y) (x,y interi positivi) MCD(x,0) = x MCD(x,y) = MCD(y, x mod y) (per y>0) mcd(x,y,z) "Z è il massimo comun divisore di X e Y" mcd(x,0,x). mcd(x,y,z) :- Y>0, X1 is X mod Y, mcd(y,x1,z). 29 TERMINI E LA LORO MANIPOLAZIONE Esistono operatori predefiniti per manipolare i termini Operatori relazionali per il confronto di espressioni aritmetiche tutti gli operatori sono binari e non associativi; gli argomenti di tali operatori sono espressioni che vengono valutate prima del confronto: E 1 =:= E 2 i valori delle due espressioni E 1 ed E 2 sono uguali; Si noti che il goal :- E 1 = E 2 provocherebbe un tentativo di unificare i due termini senza la loro valutazione. 30

16 TERMINI E LA LORO MANIPOLAZIONE Esistono operatori predefiniti per manipolare i termini Operatori relazionali per il confronto di espressioni aritmetiche tutti gli operatori sono binari e non associativi; gli argomenti di tali operatori sono espressioni che vengono valutate prima del confronto: E 1 =/= E 2 i valori delle due espressioni E 1 ed E 2 sono diversi; E 1 > E 2 E 1 >= E 2 E 1 < E 2 E 1 =< E 2 i valori delle due espressioni E 1 ed E 2 sono nella relazione specificata ; 31 UNIFICAZIONE E UGUAGLIANZA TRA TERMINI Due diversi operatori per effettuare la verifica se due termini sono unificabili o uguali. T 1 = T 2 verifica se T 1 e T 2 sono unificabili. Viene generata la sostituzione che unifica i due termini (e vengono pertanto legate le variabili nei due termini). T 1 == T 2 verifica se T 1 e T 2 sono uguali (sintatticamente identici). Se i due termini contengono due variabili in posizioni equivalenti, perché i termini siano uguali, le due variabili devono essere la stessa variabile. Non viene generata alcuna sostituzione. T 1 \== T 2 verifica se T 1 e T 2 non sono uguali (sintatticamente identici). 32

17 UNIFICAZIONE E UGUAGLIANZA TRA TERMINI :- f(x,g(a)) = f(h(c),g(y)). yes X=h(c) Y=a :- 2+3 = 5. no :- f(a,b) == f(a,b). yes :- f(a,x) == f(a,b) no :- f(a,x) == f(a,x). yes :- f(a,x) == f(a,y). no 33 VERIFICA DEL TIPO DI UN TERMINE Esistono operatori per effettuare la verifica del tipo di un termine. Dato un termine T, determinano se T è un atomo, una variabile o una struttura composta. atom(t) "T è un atomo non numerico" number(t) "T è un numero (intero o reale) integer(t) "T è un numero intero" atomic(t) "T è un atomo o un numero (ossia T non è una struttura composta) var(t) "T è una variabile non istanziata" nonvar(t) "T non è una variabile " 34

18 VERIFICA DEL TIPO DI UN TERMINE :- atom(pippo). yes :- atomic(pippo). yes :- number(1). yes :- atomic(1). yes :- atom(1). no :- var(x). yes :- nonvar(p(a,x)). yes :- X=f(Y),nonvar(X). yes 35 ACCESSO ALLE COMPONENTI DI UN TERMINE In Prolog e possibile accedere alle componenti di un termine tramite il predicato functor functor(term, FUNCTOR, ARITY) il termine TERM ha come funtore principale FUNCTOR con numero di argomenti ARITY Esempio: functor(f(3,x), f, 2) 36

19 ACCESSO ALLE COMPONENTI DI UN TERMINE Esistono 4 usi fondamentali di functor(term,functor,arity) se tutti gli argomenti sono istanziati, viene effettuata la verifica che il funtore principale di TERM sia FUNCTOR con ARITY argomenti (ARITY deve essere un numero intero); se solo TERM è istanziato, allora FUNCTOR e ARITY vengono istanziati; vengono cioè estratte le caratteristiche del termine (il suo nome ed il numero dei suoi argomenti). se TERM è una variabile e FUNCTOR e ARITY sono istanziati rispettivamente a un atomo e un numero intero (altrimenti viene segnalato errore a tempo di esecuzione), allora TERM viene istanziata al termine che ha FUNCTOR come funtore principale e ARITY argomenti. se TERM e almeno uno tra ARITY e FUNCTOR sono istanziati, l'argomento variabile viene a sua volta istanziato. 37 ACCESSO ALLE COMPONENTI DI UN TERMINE :- functor(f(a,b,c),f,3). yes :- functor(f(a,b),f,a). yes F=f A=2 :- functor(f(g(x),y,2),f,a). yes F=f A=3 :- functor(t,f,2). yes T = f(_1,_2) :- functor(a,f,a). yes F=a A=0 Si noti che un atomo è definito per uniformità come un termine con zero argomenti. 38

20 ACCESSO ALLE COMPONENTI DI UN TERMINE In Prolog e possibile accedere agli argomenti di un termine tramite il predicato arg arg(pos, TERM, ARG) ARG e l argomento in posizione POS nel termine TERM Il primo argomento di tale predicato deve sempre essere istanziato a una espressione aritmetica al momento della valutazione. 39 ACCESSO ALLE COMPONENTI DI UN TERMINE Esistono 3 usi fondamentali di arg(pos,term,arg) se sia TERM sia ARG sono istanziati al momento della valutazione, viene effettuata la verifica che l'argomento in posizione POS di termine sia unificabile con ARG; se TERM è istanziato a un termine T e ARG è una variabile, allora ARG viene istanziata al termine che è l'argomento in posizione POS in T; se ARG è istanziata, allora l'argomento in posizione POS di TERM viene unificato con ARG; in questo modo è possibile 'inserire' un termine come argomento in una data posizione di TERM. Si noti che se TERM ha un numero di argomenti minore di POS, si ha un fallimento. 40

21 ACCESSO ALLE COMPONENTI DI UN TERMINE :- arg(1,f(a,b),a). yes A=a :- arg(1+2*3,p(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j),a). yes A=g :- arg(1,f(g(x),b),a). yes A=g(_1) :- arg(2,p(a,y),b). yes Y=b :- arg(1+1,p(a,g(x)),g(b)). yes X=b :- arg(x,p(a,b),a). Error in arithmetic expression 41 ACCESSO ALLE COMPONENTI DI UN TERMINE In Prolog e possibile trasformare un termine nella lista delle sue componenti tramite il predicato =.. TERMINE =.. [FUNCTOR, ARG1, ARG2,..., ARGn] "Il termine TERMINE ha FUNCTOR come funtore principale e ARG1, ARG2,..., ARGn come argomenti" 42

22 ACCESSO ALLE COMPONENTI DI UN TERMINE Esistono 2 usi fondamentali di TERMINE =.. [FUNCTOR, ARG1, ARG2,..., ARGn] TERMINE è istanziato e il secondo argomento è una variabile; tale variabile viene unificata con la lista che ha il funtore principale di TERMINE come testa e la lista degli argomenti di TERMINE come coda; TERMINE è una variabile e il secondo argomento è una lista (che ha un atomo non numerico come testa, altrimenti la valutazione fallisce) nel qual caso viene costruito il termine che ha come funtore principale la testa della lista e come argomenti gli elementi del resto della lista. 43 ACCESSO ALLE COMPONENTI DI UN TERMINE :- f(a,b) =.. [f,a,b]. yes :- a =.. L yes L=[a] :- f(h(a),b) =.. [FUNCTOR ARGLIST]. yes FUNCTOR=f ARGLIST=[h(a),b] :- T =.. [g,1,x,h(a)]. yes T=g(1,_1,h(a)) :- T =.. [f [1,2,3]]. yes T=f(1,2,3). 44

23 ESEMPIO Dati due termini T 1 e T 2, determinare la loro generalizzazione più specifica (MSG), ossia il termine più specifico di cui sia T 1 sia T 2 sono istanze. T 1 T 2 MSG X X X X Y Z a a a a b X f(x) g(z) Y f(x,a) f(b,y) f(x,y) 45 ESEMPIO msg(t1,t2,t1):- var(t1), var(t2), T1==T2,!. msg(t1,t2,_) :- var(t1),var(t2),!. msg(t1,t2,t1):- var(t1),nonvar(t2),!. msg(t1,t2,t2):- nonvar(t1),var(t2),!. msg(t1,t2,_) :- nonvar(t1), nonvar(t2), functor(t1,f1,n1), functor(t2,f2,n2), (F1 \== F2; N1 =/=N2),!. msg(t1,t2,t3):- nonvar(t1), nonvar(t2), functor(t1,f,n), functor(t2,f,n), T1 =.. [F ARGS1], T2 =.. [F ARGS2], msg_list(args1,args2,args), T3 =.. [F ARGS]. 46

24 ESEMPIO msglist(l1,l2,l) " L è la lista delle generalizzazioni più specifiche delle coppie di elementi delle liste L1 e L2 in ugual posizione" msg_list([],[],[]). msg_list([t1 REST1], [T2 REST2], [T REST]) :- msg((t1,t2,t), msg_list(rest1,rest2,rest). 47 RICORSIONE E ITERAZIONE Il Prolog non fornisce alcun costrutto sintattico per l'iterazione (quali, ad esempio, i costrutti while e repeat) e l'unico meccanismo per ottenere iterazione è la definizione ricorsiva. Una funzione f è definita per ricorsione tail se f è la funzione "più esterna" nella definizione ricorsiva o, in altri termini, se sul risultato della chiamata ricorsiva di f non vengono effettuate ulteriori operazioni La definizione di funzioni (predicati) per ricorsione tail può essere considerata come una definizione per iterazione Potrebbe essere valutata in spazio costante mediante un processo di valutazione iterativo. 48

25 RICORSIONE E ITERAZIONE Si dice ottimizzazione della ricorsione tail valutare una funzione tail ricorsiva f mediante un processo iterativo ossia caricando un solo record di attivazione per f sullo stack di valutazione (esecuzione). In Prolog l'ottimizzazione della ricorsione tail è un po' più complicata che non nel caso dei linguaggi imperativi a causa del: non determinismo della presenza di punti di scelta nella definizione delle clausole. 49 RICORSIONE E ITERAZIONE (a) (b) p(x) :- c1(x), g(x). p(x) :- c2(x), h1(x,y), p(y). p(x) :- c3(x), h2(x,y), p(y). Due possibilità di valutazione ricorsiva del goal :-p(z). se viene scelta la clausola (a), si deve ricordare che (b) è un punto di scelta ancora aperto. Bisogna mantenere alcune informazioni contenute nel record di attivazione di p(z)(i punti di scelta ancora aperti) se viene scelta la clausola (b) (più in generale, l'ultima clausola della procedura), non è più necessario mantenere alcuna informazione contenuta nel record di attivazione di p(z) e la rimozione di tale record di attivazione può essere effettuata 50

26 QUINDI... In Prolog l'ottimizzazione della ricorsione tail è possibile solo se la scelta nella valutazione di un predicato "p" è deterministica o, meglio, se al momento del richiamo ricorsivo (n+1)-esimo di "p" non vi sono alternative aperte per il richiamo al passo n-esimo (ossia alternative che potrebbero essere considerate in fase di backtracking Quasi tutti gli interpreti Prolog effettuano l'ottimizzazione della ricorsione tail ed è pertanto conveniente usare il più possibile ricorsione di tipo tail. 51 RICORSIONE NON TAIL Il predicato fatt è definito con una forma di ricorsione semplice (non tail). Casi in cui una relazione ricorsiva può essere trasformata in una relazione tail ricorsiva fatt1(n,y):- fatt1(n,1,1,y). fatt1(n,m,acc,acc) :- M > N. fatt1(n,m,accin,accout) :- ACCtemp is ACCin*M, M1 is M+1, Accumulatore fatt1(n,m1,acctemp,accout). Accumulatore in ingresso in uscita 52

27 RICORSIONE NON TAIL Il fattoriale viene calcolato utilizzando un argomento di accumulazione, inizializzato a 1, incrementato ad ogni passo e unificato in uscita nel caso base della ricorsione. ACC 0 =1 ACC 1 = 1 * ACC 0 = 1 * 1 ACC 2 = 2 * ACC 1 = 2 * (1*1)... ACC N-1 = (N-1) *ACC N-2 = N-1*(N-2*(...*(2*(1* 1))...)) ACC N = N * ACC N-1 = N*(N-1*(N-2*(...*(2*(1* 1))...))) 53 RICORSIONE NON TAIL Altra struttura iterativa per la realizzazione del fattoriale fatt2(n,y) "Y è il fattoriale di N fatt2(n,y) :- fatt2(n,1,y). fatt2(0,acc,acc). fatt2(m,acc,y) :- ACC1 is M*ACC, M1 is M-1, fatt2(m1,acc1,y). 54

28 RICORSIONE NON TAIL Calcolo del numero di Fibonacci: definizione fibonacci(0) = 0 fibonacci(1) = 1 fibonacci(n) = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) per N >1 Programma Prolog fib(0,0). fib(1,1). fib(n,y) :- N>1, N1 is N-1, fib(n1,y1), N2 is N-2, fib(n2,y2), Y is Y1+Y2. 55