Laboratorio di Informatica

Transcript

1 Laboratorio di Informatica Facoltà di Ingegneria Clinica BCLR Dispense di Paolo Caressa e Raffaele Nicolussi. Lezione 5. Versione per Python 3. Docenti: Alberto Marchetti Spaccamela Raffaele Nicolussi Paolo Caressa

2 Esercizio 5.1 Scrivere una definizione di funzione MCD(x,y) che torni il massimo comune divisore fra due interi. Usare la definizione in un programma che chieda x, y e stampi il loro MCD. Esempi d uso: (usare l algoritmo di Euclide, cfr. prossima slide)

3 Esercizio 5.1 (continua) Il MCD di due numeri x e y è il più grande intero positivo che divide sia x che y. Per determinarlo supponiamo che x e y siano positivi. L idea è di usare le due seguenti proprietà del MCD: 1. MCD(x, x) = x 2. Se x > y allora MCD(x, y) = MCD(x y, y) altrimenti MCD(x, y) = MCD(x, y x) L algoritmo consiste quindi nell applicare la 2. finché x si mantiene diverso da y (dopo di che, per la 1. il MCD risulta essere x), e di sottrarre y a x ad ogni iterazione. Un esempio nella prossima pagina

4 Esercizio 5.1 (continua) Supponiamo x = 15 e y = 9. Poiché y < 0 poniamo y = y = ( 9) = 9. [ora x = 15, y = 9] Poiché x > y poniamo x = x y = 15 9 = 6. [ora x = 6, y = 9] Ora y > x quindi poniamo y = y x = 9 6 = 3. [ora x = 6, y = 3] Ora x > y quindi poniamo x = x y = 6 3 = 3. [ora x = 3, y = 3] Dato che x == y l algoritmo termina e il valore del MCD è 3.

5 Esercizio 5.1 (soluzione) Questa stringa funge da commento e può essere usata dai tool standard di Python per produrre documentazione automatica. (docstring)

6 Esercizio 5.1 (miglioramento) Una studentessa ha fatto notare che se si chiama la funzione MCD definita nel precedente programma con y = 0 e x > 0 (per esempio x=10 e y=0) il programma va in loop infinito: infatti si entra nel «while» in quanto x!= y, e si verifica la «if» in quanto x >y: solo che l esecuzione di «x = x y» lascia x invariato, in quanto y == 0 e quindi il loop si ripete all infinito!!! Anche se calcolare il MCD quando uno dei due numeri è zero non ha senso, una funzione non dovrebbe mai andare in loop infinito in modo inconsapevole: nella pagina seguente proponiamo una soluzione più «robusta»...

7 Esercizio 5.1 (soluzione migliore)

8 Esercizio 5.2 Scrivere la definizione di una funzione min_term(x,y) che accetti due interi (x,y), stampi un errore se y==0, altrimenti consideri la frazione x/y, la riduca ai minimi termini e stampi la frazione ridotta. Esempi d uso:

9 Esercizio 5.2 (soluzione) Tale e quale all esercizio 5.1!!

10 Esercizio 5.2 (osservazione) Copiare la definizione di MCD nel file che la usa ogni volta che ci serve è scomodo: meglio metterla in un file «aritmetica.py» e richiamarla con l istruzione (senza indicare l estensione del file «.py») from aritmetica import MCD Nelle slide seguenti si mostra sia il file aritmetica sia il programma precedente semplificato in questo modo.

11 Esercizio 5.2 (file «aritmetica.py») NB: eseguendo questo file non accade nulla (cioè viene definita la funzione MCD e basta).

12 Esercizio 5.2 (file «ex52bis.py»)

13 Esercizio 5.2 (ulteriori osservazioni) Notiamo che mentre la funzione MCD(x,y) torna un valore e quindi si può usare esclusivamente all interno di una espressione per generare un valore appunto, come in «x = MCD(n,m)», la funzione min_term(x,y) non torna un valore e quindi non può essere usata all interno di una espressione, ma piuttosto va usata come una istruzione. Quindi MCD(x,y) è analoga alla funzione di sistema input() che restituisce un valore e si usa a sinistra di una assegnazione per esempio, mentre min_term(x,y) è analoga a print() e quindi si usa come una istruzione e non per produrre un valore

14 Esercizio 5.2 (osservazioni degli studenti) Alcuni studenti hanno risolto l esercizio precedente definendo min_term(x,y) come una funzione che torna un valore, precisamente una stringa che contiene «a/b» dove a e b sono il numeratore x e il denominatore y dopo la riduzione ai minimi termini. Poiché in questo modo separano l elaborazione dall output, questa variante ci piace e la riportiamo nella slide seguente.

15 Esercizio 5.2 (osservazioni degli studenti)

16 Esercizio 5.3 L n-esimo numero di Fibonacci è definito dalle relazioni ricorsive: F 0 = 0 F 1 = 1 F k+2 = F k + F k+1 k =0, 1, 2,... Cioè i numeri di Fibonacci formano una successione in cui l n-esimo termine è la somma dei due termini immediatamente precedenti.

17 Esercizio 5.3 (esempio) Esempio: calcoliamo F 10. F 0 = 0 F 6 = F 4 + F 5 = = 8 F 1 = 1 F 7 = F 5 + F 6 = = 13 F 2 = F 0 + F 1 = = 1 F 8 = F 6 + F 7 = = 21 F 3 = F 1 + F 2 = = 2 F 9 = F 7 + F 8 = = 34 F 4 = F 2 + F 3 = = 3 F 10 = F 8 + F 9 = = 55 F 5 = F 3 + F 4 = = 5

18 Esercizio 5.3 Scrivere una definizione di funzione fibonacci(n) che dato n>=0 ritorni l n-esimo numero di Fibonacci F n. Aggiungere questa definizione al file «aritmetica.py» Scrivere un programma che importi dal file «aritmetica.py» sia la funzione MCD che la funzione fibonacci e che le usi per verificare la seguente notevole identità: MCD(F n, F m ) = F MCD(n,m) Per farlo deve chiedere due numeri interi e deve calcolare i due membri di questa equazione, stampandoli.

19 Esercizio 5.3 (definizione «fibonacci»)

20 Esercizio 5.3

21 Esercizi per casa 1. Definire una funzione mcm(x,y) che calcoli il minimo comune multiplo di due interi, inserirla nel file «aritmetica.py» e scrivere un programma che la importi e la usi per calcolare il mcm di due numeri chiesti all utente e stamparlo. 2. Scrivere un programma che verifichi, per tutti i valori interi 0 < x < 11 e 0 < y < 11, l identità MCD(x,y) mcm(x,y) = xy stampandone i due membri per ciascuna coppia (x,y). 3. Calcolare il limite F n+1 /F n per n : per farlo partite da n=1, calcolate i quozienti F 2 /F 1, F 3 /F 2,..., F n+1 /F n fino a che due di questi quozienti consecutivi non siano uguali. Stampate il valore del limite e il numero di iterazioni richieste a produrlo (questo limite si chiama «sezione aurea», cercatelo su Internet!!!).