Question 1: algorithms, data structures, problem classes, and algorithmic techniques

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1 Question 1: alg. s, data struct. s, problem classes, and alg. techniques Question 1: algorithms, data structures, problem classes, and algorithmic techniques What is a dynamic data structure? (4 points). Cos è una struttura dati dinamica? (4 punti). c 2006 Marco Bernardo 1/18

2 Question 1: alg. s, data struct. s, problem classes, and alg. techniques A dynamic data structure is a data structure whose size changes dynamically during the execution of the algorithm because of the insertion and the removal of elements. Examples of dynamic data structures are lists, queues, stacks, trees, and graphs. Una struttura dati dinamica è una struttura dati la cui dimensione cambia dinamicamente durante l esecuzione dell algoritmo a causa dell inserimento e della rimozione di elementi. Esempi di strutture dati dinamiche sono le liste, le code, le pile, gli alberi e i grafi. c 2006 Marco Bernardo 2/18

3 Question 2: algorithm complexity Question 2: algorithm complexity Why is the running time usually computed in the worst case? (4 points). Perché il tempo d esecuzione viene di solito calcolato nel caso pessimo? (4 punti). c 2006 Marco Bernardo 3/18

4 Question 2: algorithm complexity Computing the running time in the worst case is useful to derive an upper bound to the time that the algorithm will take to complete its execution independently of the specific instance of its input data. Il calcolo del tempo d esecuzione nel caso pessimo è utile per derivare un limite superiore al tempo che l algoritmo impiegherà per completare la sua esecuzione a prescindere dalla specifica istanza dei suoi dati di input. c 2006 Marco Bernardo 4/18

5 Question 3: algorithm correctness Question 3: algorithm correctness Explain the difference between precondition and postcondition (4 points). Spiegare la differenza tra precondizione e postcondizione (4 punti). c 2006 Marco Bernardo 5/18

6 Question 3: algorithm correctness In a Hoare triple the precondition represents the state of the computation (for instance the values of the variables) at the beginning of the execution of the algorithm. The postcondition represents instead the state of the computation at the end of the execution of the algorithm. In una tripla di Hoare la precondizione rappresenta lo stato della computazione (ad esempio i valori delle variabili) all inizio dell esecuzione dell algoritmo. La postcondizione rappresenta invece lo stato della computazione alla fine dell esecuzione dell algoritmo. c 2006 Marco Bernardo 6/18

7 Question 4: arrays Question 4: arrays Explain the difference between linear search and binary search for an array (4 points). Spiegare la differenza tra ricerca lineare e ricerca binaria per un array (4 punti). c 2006 Marco Bernardo 7/18

8 Question 4: arrays The linear search algorithm considers one after the other all the values contained in the elements of the array. The search terminates as soon as an element is found that contains the searched value or the end of the array is reached without finding the searched value. In the worst case the complexity thus grows linearly with respect to the number of elements of the array. The binary search algorithm requires that the array has been previously sorted and, by virtue of this, is able to half at each step the search space. In fact, the algorithm compares the searched value with the one contained in the element the occupies the central position in the array. If the two values are different, the search continues only in the left half or only in the right half of the array depending on whether the searched value is less than or greater than the one with which it has been compared. In the worst case the complexity thus grows logarithmically with respect to the number of elements of the array. L algoritmo di ricerca lineare considera uno dopo l altro tutti i valori contenuti negli elementi dell array fino a trovare un elemento contenente il valore cercato oppure fino ad arrivare alla fine dell array senza aver trovato il valore cercato. Nel caso pessimo la complessità cresce quindi linearmente rispetto al numero di elementi dell array. L algoritmo di ricerca binaria richiede che l array sia stato preventivamente ordinato e in virtù di questo riesce a dimezzare ad ogni passo lo spazio di ricerca. Infatti, l algoritmo confronta il valore cercato con quello contenuto nell elemento che occupa la posizione centrale dell array. Se i due valori sono diversi, la ricerca continua solo nella metà sinistra o solo nella metà destra dell array a seconda che il valore cercato sia minore o maggiore di quello con cui è stato confrontato. Nel caso pessimo la complessità cresce quindi logaritmicamente rispetto al numero di elementi dell array. c 2006 Marco Bernardo 8/18

9 Question 5: lists, queues, stacks, and trees Question 5: lists, queues, stacks, and trees Explain the difference between queue and stack (4 points). Spiegare la differenza tra coda e pila (4 punti). c 2006 Marco Bernardo 9/18

10 Question 5: lists, queues, stacks, and trees A queue is a linear dynamic data structure in which, in accordance with the first in, first out principle, all the insertions take place at one extremity, while all the removals take place at the opposite extremity. A stack is a linear dynamic data structure in which, in accordance with the last in, first out principle, all the insertions and all the removals take place at the same extremity. Una coda è una struttura dati dinamica lineare in cui, in ottemperanza al principio first in, first out, tutti gli inserimenti avvengono ad una estremità, mentre tutte le rimozioni avvengono all estremità opposta. Una pila è una struttura dati dinamica lineare in cui, in ottemperanza al principio last in, first out, tutti gli inserimenti e tutte le rimozioni avvengono presso la medesima estremità. c 2006 Marco Bernardo 10/18

11 Question 6: graphs Question 6: graphs Why are simple paths the only paths to be considered when tackling the shortest path problem? (4 points). Perché i cammini semplici sono gli unici cammini da considerare quando si affronta il problema del cammino più breve? (4 punti). c 2006 Marco Bernardo 11/18

12 Question 6: graphs The reason is that cycles, which cannot be included in simple paths, do not lead to the identification of the shortest path between two given vertices. In fact, cycles with negative weight cause the problem solution to diverge, while cycles with non-negative weight do not provide any improvement with respect to the minimization problem. Il motivo è che i cicli, i quali non possono essere inclusi nei cammini semplici, non conducono alla individuazione del cammino più breve tra due vertici dati. Infatti, i cicli di peso negativo fanno divergere la soluzione del problema, mentre i cicli di peso non negativo non forniscono alcun miglioramento rispetto al problema di minimizzazione. c 2006 Marco Bernardo 12/18

13 Question 7.a: complexity/correctness exercises Question 7.a: complexity/correctness exercises Prove that 2 n 15 = O(n) (6 points). Dimostrare che 2 n 15 = O(n) (6 punti). c 2006 Marco Bernardo 13/18

14 Question 7.a: complexity/correctness exercises 2 n 15 = O(n) c, n 0 > 0. n n 0. 2 n 15 c n 2 n 15 c n (c 2) n c = 3, n 0 = 1 c 2006 Marco Bernardo 14/18

15 Question 7.b: complexity/correctness exercises Question 7.b: complexity/correctness exercises Compute the asymptotic complexity of the following algorithm (6 points): for (i = 1; (i <= m); i += 2) for (j = 1; (j <= n); j += 3) for (k = 1; (k <= p); k += 4) sum += a[i][j][k]; Calcolare la complessità asintotica del seguente algoritmo (6 punti): for (i = 1; (i <= m); i += 2) for (j = 1; (j <= n); j += 3) for (k = 1; (k <= p); k += 4) sum += a[i][j][k]; c 2006 Marco Bernardo 15/18

16 Question 7.b: complexity/correctness exercises T (m, n, p) = 1 + m 2 ( n 3 ( p 4 ( ) ) ) + 1 = O(m n p) c 2006 Marco Bernardo 16/18

17 Question 7.c: complexity/correctness exercises Question 7.c: complexity/correctness exercises Prove that the following algorithm computes max(x, y) (6 points): int compute_max(int x, int y) { int z; } if (x >= y) z = x; else z = y; return(z); Dimostrare che il seguente algoritmo calcola max(x, y) (6 punti): int compute_max(int x, int y) { int z; } if (x >= y) z = x; else z = y; return(z); c 2006 Marco Bernardo 17/18

18 Question 7.c: complexity/correctness exercises postcondition: z = max(x, y) ((x y) = (z = max(x, y)) z,x ) ((x y) = (x = max(x, y))) true ((x < y) = (z = max(x, y)) z,y ) ((x < y) = (y = max(x, y))) true true true true c 2006 Marco Bernardo 18/18