MODULO: Medie. Francesco Bologna Enrico Rogora. CASIO Università di Roma Luglio Avellino

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1 MODULO: Francesco Bologna Enrico CASIO Università di Roma Luglio Avellino (CASIO UniRoma) Luglio / 25

2 A(x 1,..., x n ) = 1 n (x x n ) Senza Calcolatrice Lanciare 12 volte un dado, raccogliere i risultati, calcolare la media. Con Calcolatrice Salvare in List 1 60 numeri interi casuali prodotti con Int(1,6,60). Implementare direttamente la definizione di media con il comando Sum List 1/Dim List 1. Verificare che coincide con Mean List 1 (CASIO UniRoma) Luglio / 25

3 Senza Calcolatrice G(x 1,..., x n ) = n x 1 x n Usare i dati dell esercizio precedente per calcolare la media. Con Calcolatrice Implementare direttamente la definizione di media con il comando (Prod List 1)ˆ (1/Dim List 1). (CASIO UniRoma) Luglio / 25

4 Senza Calcolatrice n H(x 1,..., x n ) = 1 x x n Usare i dati dell esercizio precedente per calcolare la media. Con Calcolatrice Implementare direttamente la definizione di media con il comando (1/(Sum (1/List 1)/Dim(List 1)). (CASIO UniRoma) Luglio / 25

5 Le medie (CASIO UniRoma) Luglio / 25

6 Relazioni H G A Una macchina percorre con velocità media v 1 un tratto di strada di lunghezza pari a s 1 in un tempo t. Nello stesso tempo t percorre un successivo tratto di strada di lunghezza pari a s 2 con velocità media v 2. Qual è la velocità media v sull intero tragitto di lunghezza s 1 + s 2, percorso nel tempo 2t? Soluzione: la media delle due velocità. Una macchina percorre con velocità media v 1 un tratto di strada di lunghezza pari a s in un tempo t 1. Percorre un successivo tratto di strada della stessa lunghezza s in un tempo t 2 con velocità media v 2. Qual è la velocità media v nell intervallo di tempo t 1 + t 2, sul tragitto di lunghezza 2s? Soluzione: la media delle due velocità. (CASIO UniRoma) Luglio / 25

7 Quando usare la media A geometric mean is often used when comparing different items finding a single figure of merit for these items when each item has multiple properties that have different numeric ranges. For example, the geometric mean can give a meaningful average to compare two companies which are each rated at 0 to 5 for their environmental sustainability, and are rated at 0 to 100 for their financial viability. If an arithmetic mean were used instead of a geometric mean, the financial viability is given more weight because its numeric range is larger so a small percentage change in the financial rating (e.g. going from 80 to 90) makes a much larger difference in the arithmetic mean than a large percentage change in environmental sustainability (e.g. going from 2 to 5). The use of a geometric mean normalizes the ranges being averaged, so that no range dominates the weighting, and a given percentage change in any of the properties has the same effect on the geometric mean. So, a 20% change in environmental sustainability from 4 to 4.8 has the same effect on the geometric mean as a 20% change in financial viability from 60 to 72. [Tratto da wikipedia, ma ci sono esempi migliori] (CASIO UniRoma) Luglio / 25

8 e media La media e la media sono legate attraverso il logaritmo e la funzione esponenziale. G(x 1,..., x n ) = e A(log e(x 1 ),...,log e (x n ) ) (CASIO UniRoma) Luglio / 25

9 b tra due grandezze a < c definite tramite proporzioni (1) b a c b = a a (6) b a c b = c b (2) b a c b = a b (7) c a b a = c a (3) b a c b = a c (8) c a c b = c a (4) b a c b = c a (9) c a b a = b a (5) b a c b = b a (10) c a c b = b a (1) media ; (2) media ; (3) media ; (4) media contro; (CASIO UniRoma) Luglio / 25

10 aritmetico Dati due numeri a 0, b 0 possiamo considerare la loro media a 1 = A(a 0, b 0 ) e la loro media b 1 = H(a 0, b 0 ). Iteriamo la costruzione, considerando le due successioni a i = A(a i 1, b i 1 ), b i = H(a i 1, b i 1 ). Si può dimostrare che: 1 le due successioni convergono allo stesso limite, che si dice la media aritmetico dei due numeri; 2 la media aritmetico coincide con la media. Su queste proprietà si basa l algoritmo babilonese per il calcolo della radice quadrata di un numero. (CASIO UniRoma) Luglio / 25

11 aritmetico Dati due numeri a 0, b 0 possiamo considerare la loro media a 1 = A(a 0, b 0 ) e la loro media b 1 = G(a 0, b 0 ). Iteriamo la costruzione, considerando le due successioni. a i = A(a i 1, b i 1 ), b i = G(a i 1, b i 1 ). Si può dimostrare che: 1 le due successioni convergono allo stesso limite, che si dice la media aritmetico (agm) dei due numeri; 2 agm(x, y) = π 4 K ( x+y x y x+y ), dove K(k) = π/2 0 l integrale ellittico completo del primo tipo. dθ 1 k 2 sin 2 θ è Su queste proprietà si basano diversi algoritmi efficienti per il calcolo di π, delle funzioni trascendenti elementari e per la valutazione numerica degli integrali ellittici. (CASIO UniRoma) Luglio / 25

12 aritmetico e calcolo di π I [1][STO][ALPHA][tan][EXE] [0][STO][ALPHA][)][EXE] [1][STO][ALPHA][X,Theta,T][EXE] [1][/][SHIFT][x^2][2][Right][STO][ALPHA][log][EXE] ***** [ALPHA][)][+][1][STO][ALPHA][)][EXE] [(][ALPHA][X,Theta,T][+][ALPHA][log][)][/][2] [STO][ALPHA][sin][EXE] [SHIFT][x^2][ALPHA][X,Theta,T][*][ALPHA][log][Right][STO] [ALPHA][cos][EXE] [(][ALPHA][X,Theta,T][-][ALPHA][log][)][/][2][STO] [ALPHA][ln][EXE] [ALPHA][sin][STO][ALPHA][X,Theta,T][EXE] [ALPHA][cos][STO][ALPHA][log][EXE] (CASIO UniRoma) Luglio / 25

13 aritmetico e calcolo di π II [ALPHA][tan][-][2][^][ALPHA][)][+][1][Right][*][ALPHA] [ln][^][2][right][sto][alpha][tan][exe] [4][ALPHA][log][^][2][Right][/][ALPHA][tan][EXE] [4][ALPHA][X,Theta,T][^][2][Right][/][ALPHA][tan][EXE] ++++ Ripeti da ***** (CASIO UniRoma) Luglio / 25

14 armonico Dati due numeri a 0, b 0 possiamo considerare la loro media a 1 = H(a 0, b 0 ) e la loro media b 1 = G(a 0, b 0 ). Iteriamo la costruzione, considerando le due successioni. a i = H(a i 1, b i 1 ), b i = G(a i 1, b i 1 ). Si può dimostrare che le due successioni convergono allo stesso limite, che si dice la media armonico (hgm) dei due numeri. min(x, y) H(x, y) hgm(x, y) G(x, y) = ham(x, ya) agm(x, y) A(x, y) max(x, y) (CASIO UniRoma) Luglio / 25

15 di potenza (di Hölder o di Minkovski) M p (x 1,..., x n ) = ( 1 n n i=1 x p i ) 1 p p, min; p = 1: media, p 0: media, p = 1: media, p +, max. di potenza di Lehmer (CASIO UniRoma) Luglio / 25

16 di potenza di a, b, c di potenza di Lehmer (CASIO UniRoma) Luglio / 25

17 di Lehmer L p (x 1,..., x n ) = n i=1 x p i n i=1 x p 1 i La media contro è media di Lhemer per p = 2. di potenza di Lehmer (CASIO UniRoma) Luglio / 25

18 Confronto Lehmer-Potenza di due numeri a e c di potenza di Lehmer (CASIO UniRoma) Luglio / 25

19 potenza e di Lehmer C(x 1,..., x n ) [min(x 1,..., x n ), max(x 1,..., x n )] C(t x 1,..., t x n ) = t C(x 1,..., x n ) (t > 0). Corollario della prima: C(x,..., x) = x. di Kolmogorov (CASIO UniRoma) Luglio / 25

20 di Kolmogorov Sia f una funzione continua e iniettiva da un intervallo I della retta reale in R. Definiamo, con Kolmogorv, f -media di x 1,..., x n I M f (x 1,..., x n ) = f 1 ( f (x1 ) + + f (x n ) n f media f media x 1/x log x x p di potenza ). di Kolmogorov (CASIO UniRoma) Luglio / 25

21 di Kolmogorv Se x = M f (x 1,..., x b ), M(x,..., x) = M f (x 1,..., x b ) Una f -media è omogenea se e solo se è una media di potenza o la media. di Kolmogorov (CASIO UniRoma) Luglio / 25

22 Scopo di una media è spesso quello di semplificare un problema sostituendo a tante osservazioni numeriche un singolo numero. Quando è possibile descrivere un problema con una funzione f (detta richiesta di invarianza), la corrispondente media x è definita ponendo f (x 1,..., x n ) = f (x,..., x). La media di può essere esterna all intervallo [min, max]. (CASIO UniRoma) Luglio / 25

23 Applicazione di Semplici casi geometrici: determinare il quadrato equivalente a un rettangolo, dove per equivalente si intende: stesso perimetro (media dei lati); stessa area (media dei lati); stessa diagonale (media quadratica dei lati). Altre applicazioni: velocità per mantenere il tempo di viaggio costante e il consumo di carburante. (CASIO UniRoma) Luglio / 25

24 Distanza minima da un insieme di numeri d 1 (x; x 1,..., x n ) = (x x 1 ) (x x n ) 2. Il minimo è la media. d 2 (x; x 1,..., x n ) = x x x x n. Il minimo è la mediana. (CASIO UniRoma) Luglio / 25

25 A = n i=1 w i x i n i=1 w i G = ( n i=1 x w i i ) 1/ n i=1 w i ( n i=1 M p,w (x) = w i x p i n i=1 w i ) 1 p H = n i=1 w i n w i i=1 x i M f = f 1 ( w1 f (x 1 )+ +w nf (x n) L p,w (x) = w 1 + +w n ) n k=1 w i x p k n k=1 w i x p 1 k (CASIO UniRoma) Luglio / 25