Elementi di elettricità e di magnetismo

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1 Emilio Doni Elementi di elettricità e di magnetismo spiegati con le leggi classiche ed esposti per l uso dei licei Edizioni ETS

2 Emilio Doni Dipartimento di Fisica dell Università di Pisa, largo B. Pontecorvo 3, Pisa e NEST, Istituto di Nanoscienze CNR e Scuola Normale Superiore, piazza San Silvestro 12, Pisa Copyright 2013 EMILIO DONI ISBN

3 Indice Per cominciare xvii Contenuti xviii Criteri xx Riconoscimenti xxii Campi: elettricità (senza dipendenza dal tempo) 1 1 Prologo 3 2 Strumenti Cos è un campo Quale campo per i fenomeni elettrici La carica e le sorgenti di un campo Il campo elettrico Una analogia: il campo gravitazionale Operazioni Grandezze fisiche e matematica per descriverle Curve e superfici nello spazio Operazioni possibili per un campo scalare Ancora su curve e superfici nello spazio Operazioni per i campi vettoriali Operazioni per un campo vettoriale su una curva Operazioni per un campo vettoriale su una superficie Sono state definite operazioni lineari Il flusso del campo elettrico Questioni di metodo Un esempio La legge del flusso del campo elettrico La permittività del vuoto iii

4 iv INDICE 5 Primo intermezzo sulle unità di misura 27 6 Distribuzioni di carica e campo elettrico Campo elettrico dovuto a carica puntiforme Significato dei criteri di invarianza Criteri di invarianza nel caso di carica puntiforme Soluzione dell equazione del flusso del campo elettrico Una osservazione sulle dimensioni dello spazio L equazione del flusso del campo elettrico è lineare Campo elettrico di un filo rettilineo carico Criteri di invarianza Conseguenze dei criteri di invarianza Soluzione dell equazione del flusso del campo elettrico Campo elettrico di una superficie piana carica Criteri di invarianza per una superficie piana carica e conseguenze Soluzione dell equazione del flusso del campo elettrico Campo elettrico di una sfera uniformemente carica Un problema di meccanica Campo elettrico di una superficie sferica uniformemente carica Campo elettrico di altre distribuzioni di carica Il campo elettrico di un condensatore La circuitazione del campo elettrico La legge della circuitazione del campo elettrico Il potenziale del campo elettrico Definizione del potenziale del campo elettrico Alcune proprietà del potenziale del campo elettrico Dal potenziale del campo elettrico alla meccanica Lavoro della forza prodotta dal campo elettrico Affermazioni equivalenti Energia di un portatore di carica in campo elettrico Potenziale e movimenti di un corpo carico Regioni dello spazio equipotenziali Il potenziale di alcuni campi elettrici Il potenziale di un campo elettrico uniforme Il potenziale di un condensatore Potenziale del campo elettrico di carica puntiforme Calcolo di una somma un po complicata Potenziale del campo elettrico di un filo carico Calcolo di un altra somma un po complicata Potenziale del campo elettrico di una sfera carica Calcolo di ancora un altra somma un po complicata È possibile che il potenziale faccia un salto?

5 INDICE v 8.5 Ricavare il potenziale è un operazione lineare Una applicazione Ancora su problemi di meccanica Dal potenziale al campo elettrico Quando il potenziale è uniforme Qual è la direzione del campo elettrico? Dove il potenziale ha un massimo o un minimo All interno di una superficie chiusa equipotenziale Grande, piccolo Differenti punti di vista Collegare i punti di vista Energia e dissipazione Materiali conduttori e materiali isolanti Conduttori All interno di un conduttore Cariche libere all interno di un conduttore? E quando il conduttore non è all equilibrio? Superficie di un conduttore Campo elettrico di una superficie conduttrice piana carica Correnti Densità di corrente Il flusso della densità di corrente Flusso della densità di corrente su una superficie chiusa La carica si conserva Densità di corrente stazionaria Una proprietà dei campi vettoriali con flusso nullo Corrente stazionaria E in condizioni non stazionarie? Conduttori che si dividono in più rami Corrente e campo elettrico Cos è la conduttività? Cosa capita all interno di un conduttore Conduttività e quantità medie Cosa ostacola il moto degli elettroni liberi? Circuiti Pile, batterie, accumulatori Un circuito elementare Campo elettrico dentro una barretta conduttrice Resistenza di una barretta di conduttore

6 vi INDICE La legge di Ohm Resistenza di un conduttore di forma qualunque Circuiti resistivi in corrente continua Direzioni in un conduttore Potenza dissipata in un conduttore Qualche esempio Polarizzazione Mezzi polari, mezzi non polari Mezzi, polari o non polari, in campo elettrico Dipolo elettrico Momento di dipolo elettrico Campo elettrico prodotto da un dipolo elettrico E il potenziale? Un dipolo in campo elettrico Energia potenziale di un dipolo in campo elettrico Campo di polarizzazione Media sulla polarizzazione microscopica Equazioni del campo nei mezzi polarizzabili Come trattare la carica microscopica Carica microscopica e flusso del campo di polarizzazione Il campo di spostamento elettrico L equazione del flusso del campo di spostamento elettrico Collegamento tra il campo elettrico e il campo di spostamento elettrico La suscettività elettrica La costante dielettrica Come risolvere l equazione del flusso del campo di spostamento elettrico Carica puntiforme all interno di un mezzo omogeneo Insidie e precauzioni Campi attraverso il bordo di un mezzo materiale Un po di definizioni e di simboli La componente normale del campo di spostamento elettrico non fa salti La componente normale del campo elettrico può far salti La componente tangenziale del campo elettrico non fa salti La componente tangenziale del campo di spostamento elettrico può far salti Equazione del flusso del campo di spostamento elettrico e salti del campo Oltre i criteri di precauzione Condensatore con materiale nello spazio tra le facce Epilogo provvisorio 219

7 INDICE vii Campi: magnetismo (senza dipendenza dal tempo) Un nuovo prologo Il campo di induzione magnetica La carica c entra con i fenomeni magnetici? Il campo di induzione magnetica e la sua sorgente Un commento sul metodo La forza sulla carica in moto La forza di Lorentz Determinare il campo di induzione magnetica Moto di un corpo carico in presenza di campo di induzione magnetica L energia non varia per effetto del campo Traiettoria di un corpo carico libero in presenza del campo Forza di Lorentz e correnti Una osservazione importante Forza di Lorentz su un tratto di filo rettilineo percorso da corrente stazionaria Dipolo magnetico Circuito in campo di induzione magnetica Il momento di dipolo magnetico Dipolo elettrico e dipolo magnetico: analogie e differenze Lavoro delle forze agenti su un circuito in campo di induzione magnetica Energia potenziale di un dipolo magnetico in campo di induzione magnetica Quale forza compie lavoro? Il flusso del campo di induzione magnetica Leggi per il campo di induzione magnetica La legge del flusso del campo di induzione magnetica Dipoli e monopoli Circuitazione del campo di induzione magnetica Campo di induzione magnetica e sue sorgenti Circuitazione del campo di induzione magnetica e correnti stazionarie La permeabilità magnetica del vuoto Corrispondenze e diversità Dalle calamite ai fili percorsi da corrente 275

8 viii INDICE 24 Effetti magnetici con correnti rettilinee Soluzione delle equazioni del campo di induzione magnetica Uso dei criteri di invarianza È ovunque nullo il componente radiale del campo di induzione magnetica Anche il componente assiale del campo di induzione magnetica è ovunque nullo Il componente trasversale del campo di induzione magnetica L invarianza per riflessione Non tutto si riflette allo stesso modo Riflessioni e inversione Quantità vettoriali che si riflettono allo stesso modo Come si riflette il campo di induzione magnetica Vettori assiali e vettori polari Il ruolo dell inversione Riflessione di vettori polari o di vettori assiali Uso dei criteri di invarianza con la riflessione Forze tra fili rettilinei percorsi da corrente Direzioni e versi Campo di induzione magnetica e forza agente tra i fili La forza agente tra i fili e le esperienze di Ampère Soluzioni delle equazioni del campo di induzione magnetica Campo di induzione magnetica dovuto a corrente su una superficie cilindrica Criteri di invarianza per la corrente su una superficie cilindrica I componenti del campo di induzione magnetica Le equazioni del campo di induzione magnetica sono lineari Il solenoide Il campo di induzione magnetica generato da un solenoide Campo di induzione magnetica dovuto a corrente su un piano Calcolo del campo di induzione magnetica Campo di induzione magnetica e campo elettrico con sorgenti di forma simile Le equazioni dei campi e le loro soluzioni Campo di induzione magnetica generato da un dipolo magnetico Il campo dovuto a un breve tratto rettilineo di corrente Calcolo di una somma abbastanza complicata Calcolo del campo di induzione magnetica generato da un dipolo magnetico I campi generati da un dipolo magnetico e da un dipolo elettrico. 360

9 INDICE ix 26 Secondo intermezzo sulle unità di misura Unità di misura della corrente Quanto vale la permeabilità magnetica del vuoto? Unità di misura della carica Quanto vale la permittività elettrica del vuoto? Unità di misura per grandezze elettriche Unità di misura del potenziale Unità di misura del campo elettrico Unità di misura di resistenza e capacità Unità di misura del campo di polarizzazione e del campo di spostamento elettrico Unità di misura per grandezze magnetiche Unità di misura del campo di induzione magnetica Unità di misura del flusso del campo di induzione magnetica Unità di misura del campo B/µ Unità di misura del rapporto tra il flusso del campo di induzione magnetica e la corrente Fenomeni magnetici nei mezzi materiali Correnti microscopiche Un elettrone nella sua orbita Dipoli magnetici microscopici La meccanica di Newton vale ancora per gli elettroni legati? All origine delle proprietà magnetiche della materia Momento di dipolo magnetico orbitale e di spin Campo di magnetizzazione Proprietà magnetiche dei materiali Materiali paramagnetici Diamagnetismo Materiali in un campo di induzione magnetica e materiali in un campo elettrico Materiali ferromagnetici Magneti permanenti Magneti quanto permanenti? Ma il ferro è davvero ferromagnetico? Attrazione e repulsione tra magneti Equazioni del campo nei mezzi materiali Correnti microscopiche Corrente microscopica media Correnti microscopiche medie che determinano il campo di induzione magnetica Il campo magnetico Campo magnetico, campo elettrico

10 x INDICE 28.3 Attraverso il bordo di un mezzo materiale Componenti dei campi La componente normale del campo di induzione magnetica non fa salti Invece la componente normale del campo magnetico può fare salti La componente tangenziale del campo magnetico non fa salti La componente tangenziale del campo di induzione magnetica può fare salti Conclusioni e avvertenze Come dipende la magnetizzazione dal campo di induzione magnetica e dal campo magnetico? Magnetizzazione e campo di induzione magnetica in materiali diamagnetici o paramagnetici Anche il campo di induzione magnetica e il campo magnetico sono proporzionali La suscettività magnetica Magnetizzazione, campo di induzione magnetica e campo magnetico in materiali ferromagnetici Solenoidi riempiti di materiale magnetizzabile Un altro epilogo provvisorio 433 Campi riunificati: elettromagnetismo Punto di arrivo, punto di partenza Da dove nascono le forze? All origine microscopica delle forze Forze macroscopiche La forza peso I legami E i magneti? Un ordine tra le interazioni Forze nei nuclei L interazione forte L interazione debole Perché tante interazioni fondamentali? Il tempo e la circuitazione del campo di induzione magnetica Quando un condensatore si scarica Collegare le facce del condensatore Il condensatore durante la scarica Quanto dura la scarica?

11 INDICE xi Altre quantità che variano Circuitazione del campo di induzione magnetica e condensatore che si scarica La catastrofe della circuitazione del campo di induzione magnetica Come rimediare alla catastrofe della circuitazione del campo di induzione magnetica La nuova legge della circuitazione del campo di induzione magnetica Un dubbio da chiarire e la legge del flusso del campo elettrico Una novità importante Il tempo e la circuitazione del campo elettrico Un risultato poco chiaro Ma cosa fa aumentare l energia? La nuova legge della circuitazione del campo elettrico Durante la variazione del campo di induzione magnetica Un campo elettrico che aggiusta tutto La nuova legge della circuitazione del campo elettrico e la legge del flusso del campo di induzione magnetica Altre novità Le equazioni di Maxwell Le equazioni del campo elettromagnetico Che tipo di campo è il campo elettromagnetico? Qualche indizio rivelatore Prima di risolvere le equazioni di Maxwell Campi, sorgenti, curve e superfici Quanto è lungo l intervallo di tempo t? Le equazioni di Maxwell sono lineari Una soluzione delle equazioni di Maxwell Quando il campo elettrico varia lentamente Solenoide con corrente che varia nel tempo Il campo di induzione magnetica quando la corrente non varia velocemente Il campo elettrico quando la corrente non varia velocemente Il campo elettrico dovuto alla corrente trasversale Il campo elettrico dovuto alla corrente assiale Il componente assiale del campo E (r, t) Problemi Dove si chiude la corrente del solenoide? Può fare salti il campo elettrico dovuto alla corrente assiale? Come il campo del solenoide varia nel tempo Campi e correnti

12 xii INDICE Il campo elettrico varia abbastanza lentamente? Se ci sono altre sorgenti Forza, lavoro, potenziale Non c è più il potenziale del campo elettrico Il lavoro della forza dovuta al campo elettrico Quando si può ancora definire il potenziale? Potenziali del campo elettromagnetico Un numero per ogni curva chiusa Un campo vettoriale ausiliario Un campo con circuitazione nulla Potenziale scalare, potenziale vettore La forza elettromotrice Le esperienze di Faraday Corrente indotta Un circuito semplice Perplessità Campo elettrico interno al conduttore Campo elettrico e densità di corrente Corrente indotta in un circuito qualunque Forza elettromotrice indotta Il segno nella legge dell induzione Un principio generale Autoinduzione Induttanza Cosa determina l induttanza di un circuito L induttanza di una bobina Interruttori Corrente dopo la chiusura dell interruttore E quando si apre l interruttore? Flusso concatenato, flusso tagliato Circuiti in movimento con il campo di induzione magnetica costante Nomenclatura Cos è il flusso del campo di induzione magnetica tagliato? Calcolo del flusso del campo di induzione magnetica tagliato Forza elettromotrice nel circuito in movimento Forza sui portatori di carica in un circuito in movimento Nel circuito in movimento si genera una corrente Anche nel circuito in movimento c è forza elettromotrice Circuiti in movimento quando anche il campo di induzione magnetica varia

13 INDICE xiii 39.4 Una conclusione, una osservazione e un dubbio Una applicazione ferroviaria Corrente alternata Circuito ruotante Forza elettromotrice nel circuito ruotante Campo ruotante E la corrente? Tensione alternata Caratteristiche della tensione alternata Questioni di fase Circuiti in corrente alternata Circuito con resistenze soltanto Circuito con resistenza e induttanza E se manca l induttanza, oppure la resistenza? Circuito con resistenza, induttanza e capacità Pulsazione di risonanza Circuito con la sola capacità Valori efficaci Serve la media su un periodo? Una quantità efficace Tensione efficace, corrente efficace Un osservazione di principio Energia del campo elettromagnetico Come determinare la densità di energia del campo Lavoro delle forze dovute al campo elettromagnetico Un altra espressione della densità di corrente Un altra espressione per il lavoro Ancora un altra espressione per il lavoro Il contributo inatteso Dove va l energia del campo elettromagnetico? La densità di energia Il campo S(r, t) Una porzione di spazio qualsiasi Energia in due dispositivi semplici Energia in un condensatore Energia in una bobina Campo elettromagnetico nel vuoto Il vuoto Le equazioni del campo elettromagnetico nel vuoto Un campo che varia nel tempo

14 xiv INDICE Campo elettrico e campo di induzione magnetica uniformi su ogni piano parallelo Le equazioni del flusso del campo elettrico e del campo di induzione magnetica Curve chiuse e quadratini Le equazioni della circuitazione del campo elettrico e del campo di induzione magnetica Velocità del campo elettromagnetico Onde e luce Onde elettromagnetiche Un vincolo per il campo elettromagnetico che viaggia Il nome per il campo che viaggia Onde piane monocromatiche Cosa distingue un onda piana monocromatica Legame tra campo elettrico e campo di induzione magnetica in un onda monocromatica Senza il sistema di assi cartesiani Energia di un onda piana monocromatica Il flusso d energia dovuto a un onda piana monocromatica Miscugli di onde piane monocromatiche Luce La velocità della luce Colori Al di qua e al di là della luce visibile Come si producono le onde e come si rivelano Campo elettromagnetico nei materiali Polarizzazione, magnetizzazione Tempi dei materiali, tempi dei campi La risposta del mezzo materiale Le equazioni di Maxwell in presenza di mezzi materiali Le equazioni di Maxwell dove non compaiono sorgenti L equazione del flusso del campo elettrico L equazione della circuitazione del campo di induzione magnetica Densità di corrente microscopica e magnetizzazione Densità di corrente microscopica e polarizzazione Cosa diventa l equazione della circuitazione del campo di induzione magnetica Le equazioni di Maxwell nei mezzi materiali espresse con le sole sorgenti macroscopiche Al bordo tra mezzi materiali differenti Campi con componenti normali che non fanno salti e campi con componenti normali che li fanno

15 INDICE xv Per quali campi le componenti tangenziali non fanno salti? Componenti tangenziali che fanno salti Onde elettromagnetiche nei mezzi materiali Onde in un mezzo omogeneo Frequenza o lunghezza d onda? Rifrazione Rifrazione di un onda elettromagnetica piana Indice di rifrazione e frequenza dell onda Quando un mezzo non è trasparente Epilogo? Leggere il libro della natura La misteriosa efficacia della matematica Falsificazione e riunificazione E poi? Cosa sapere già Simboli e significati Funzione Elenchi e sommatorie Funzioni con dominio composto di numeri interi Sommatoria Alcune funzioni reali di variabile reale Numeri reali La funzione esponenziale e la funzione logaritmo Le funzioni seno e coseno Normale ortogonale perpendicolare Dimensioni Misura e unità di misura Grandezze fondamentali e grandezze derivate Cosa sono le dimensioni di una grandezza Cambiare unità di misura Calcolo con i vettori Perché i vettori Cos è un vettore Modulo Versori Le operazioni fondamentali con i vettori Prodotto di un vettore per un numero reale Addizione di due vettori Comporre e scomporre vettori

16 xvi INDICE Una retta nello spazio Un piano nello spazio Un punto nello spazio Scomporre un vettore Prodotti di vettori Il prodotto scalare Il prodotto vettoriale Indice analitico 871