ESERCITAZIONE N. 2 (22 ottobre 2007) Verifica con il metodo di Hardy Cross di un sistema con più serbatoi e impianto di pompaggio

Transcript

1 ESERCITAZIONE N. 2 (22 ottobre 2007) Verifica con il metodo di Hardy Cross di un sistema con più serbatoi e impianto di pompaggio È dato un centro abitato di 4000 abitanti, servito da un acquedotto il cui sistema di approvvigionamento, adduzione e stoccaggio è schematizzato nella figura allegata. Il pozzo, di tipo artesiano, ha una profondità di 120 m, con la quota del piano campagna a 100 m s.l.m.. Esso è caratterizzato da un livello statico di 5,00 m dal piano campagna e da un livello dinamico di 11,00 m dal piano campagna con un emungimento di 30 l/s. La pompa sommersa, con una profondità di installazione di 20,00 m dal piano campagna, è una KSB tipo UPA /4 (vedi documentazione allegata). La sorgente ha una quota del pelo libero pari a 200 m s.l.m. ed una portata massima disponibile pari a 10 l/s. Tutte le condotte sono realizzate in acciaio senza saldatura semplicemente bituminato ed hanno le seguenti dimensioni: tronco 1-3: DN 100 mm, lunghezza = m; tronco 2-3: DN 125 mm, lunghezza = 3000 m; tronco 3-4: DN 150 mm, lunghezza = 300 m. Il serbatoio di carico della rete di distribuzione (alimentata a gravità) ha una capacità di 600 m 3 ed una quota di scarico di troppo pieno pari a 135 m s.l.m.. Sono richiesti: il calcolo delle portate con cui il pozzo e la sorgente contribuiscono all alimentazione dell acquedotto; la verifica delle condizioni di funzionamento della pompa; la verifica dell idoneità dello spessore delle condotte sia in condizioni di esercizio normale, sia nell ipotesi che, per errore, la pompa sia fatta funzionare con saracinesca all ingresso del serbatoio chiusa; il calcolo dei costi annui d esercizio per energia elettrica, (costo mensile per impegno di potenza: 4,15 per kw; costo per consumo: 0,105 per kwh). 1

2 Risoluzione La determinazione delle portate del sistema di approvvigionamento, un problema di verifica, è risolvibile attraverso l applicazione del metodo numerico di Hardy-Cross, previa introduzione di due tronchi fittizi. Come indicato nella figura successiva, si introducono i tronchi fittizi 4-1 e 1-2, individuando due maglie chiuse per le quali si fissa arbitrariamente come positivo il verso antiorario. Al fine di individuare delle portate di primo tentativo non troppo dissimili da quelle reali, così da contenere il numero di iterazioni, si ipotizza la coincidenza dei nodi 3 e 4 e si studiano indipendentemente, determinandone la portata, i due sotto-sistemi costituiti il primo dalla sorgente collegata al serbatoio, il secondo dalla pompa collegata anch essa al serbatoio. Partendo dal primo sistema, sorgente-serbatoio, si considera la condotta 1-3 come una lunga condotta e si determina la portata attraverso la seguente espressione: H 1 H 3 4 = J 1-3 L 1-3 (1) H il carico totale (H 1 riferito alla sorgente, H 3 4 riferito al serbatoio) J 1-3 la cadente lungo il tronco 1-3 L 1-3 la lunghezza della condotta 1-3 Esplicitando nella (1) la cadente J 1-3 con l espressione monomia valida per l acciaio senza saldatura semplicemente bituminato ( J = 0, q 1,82 / D 4,71 ) si ricava direttamente il valore della portata di primo tentativo per il tronco 1-3: q 1-3 = 7 l/s il diametro interno D pari a 0,1071 m. Il valore di portata è ammissibile in quanto inferiore al valore massimo pari a 10 l/s. 2

3 Passando al secondo sistema, pompa-serbatoio, di nuovo è valida l ipotesi di lunga condotta. Innanzitutto si costruisce la caratteristica esterna ( H T, q), inserendo dei valori arbitrari di portata q 2-3 nella formula della prevalenza totale: H T = H G + J 2-3 L 2-3 (2) H T la prevalenza totale H G la prevalenza geometrica J 2-3 la cadente lungo il tronco 2-3 (diametro interno del tronco 2-3 = 0,1317 m) L 2-3 la lunghezza della condotta 2-3 Si osserva che la prevalenza geometrica è anch essa funzione della portata q 2-3 attraverso la variazione del livello dinamico, pertanto l espressione esplicita del termine H G è la seguente: H G = (H 3 4 H) + h d = H 3 4 [H (h s + (h d * h s ) / q d * q 2-3 )] (3) H la quota del piano campagna del pozzo h s l abbassamento statico del pozzo h d l abbassamento dinamico del pozzo (falda artesiana: h d * = a q d * + h s ) q d * la portata corrispondente all abbassamento h d * Di seguito è rappresentata graficamente l espressione (2); ad essa è sovrapposta la caratteristica interna della pompa, fornita dalla documentazione allegata: l intersezione delle due curve individua il punto di funzionamento. Pertanto la portata di primo tentativo q 2-3 per il tronco 2-3 è pari a 11 l/s, con una prevalenza totale fornita dalla pompa di 59 m prevalenza [m] caratteristica esterna caratteristica interna ,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 portate [m 3 /s] 3

4 Stimate le portate di calcolo di primo tentativo q 1-3 = 7 l/s e q 2-3 = 11 l/s, per la continuità al nodo 3 la portata q 3-4 risulta pari a 18 l/s. A partire da questa configurazione di portate, introdotti i tronchi fittizi 4-1 e 1-2, si procede a risolvere la rete iterativamente col metodo di Hardy-Cross. Di seguito sono riportate le iterazioni necessarie per giungere ad uno sbilanciamento minore di 0,50 m in entrambe le maglie. 2 1 iterazione maglia tronco q [l/s] delta H delta S maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S ,704 (1) 16823,050 (4) ,687 (7) 2760,877 (10) ,620 (2) 163,848 (5) ,704 (8) 16823,050 (11) ,000 (3) 0,000 (6) ,200 (9) 0,000 (12) tot 1, ,898 tot 0, ,927 - (delta H / delta S) -0,078 - (delta H / delta S) -0,009 2 iterazione maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S 1-3 6,931 (13) 63, , ,991 (15) 16, , ,922 (14) 1, , ,931-63, , ,000-65,000 0, ,000 48,198 (16) 0,000 tot 0, ,908 tot 1, ,600 - (delta H / delta S) -0,010 - (delta H / delta S) -0,067 3 iterazione maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S maglia n. tronco q [l/s] delta H delta S 1-3 6,989 64, , ,924 16, , ,912 1, , ,989-64, , ,000-65,000 0, ,000 48,185 (17) 0,000 tot 1, ,336 tot 0, ,277 - (delta H / delta S) -0,066 - (delta H / delta S) -0,007 (1) = J 1-3 L 1-3 = 0, (0,007) 1,82 / (0,1071) 4, = J 3-4 L 3-4 = 0, (0,018) 1,82 / (0,1603) 4, α H (3) = H 4 H 1 = = -65 m i = ri qi (4) = 0, ,82 (0,007) 0,82 / (0,1071) 4, α 1 (5) = 0, ,82 (0,018) 0,82 / (0,1603) 4, S = α r (6) i i qi il termine delta S è sempre nullo per i tronchi fittizi = J 2-3 L 2-3 = 0, (0,011) 1,82 / (0,1317) 4, k Li (8) = J 3-1 L 3-1 = 0, (-1) (0,007) 1,82 / (0,1071) 4, ri = β (9) = H 1 H 2 = 200 (95 (11-5) / ) D (10) = 0, ,82 (0,011) 0,82 / (0,1317) 4,71 i 3000 (11) = 0, ,82 (0,007) 0,82 / (0,1071) 4, (12) = (6) q = H (13) = 7 + (-0,078) (-0,009) (14) = 18 + (-0,078) i (15) = 11 + (-0,009) (16) = H 1 H 2 = 200 (95 (11-5) / 30 10, (*) ) (*) la prevalenza è funzione della portata, perciò dovrebbe cambiare nel corso delle iterazioni cambiando la portata; tuttavia, in questo caso le variazioni di portata sono talmente piccole che non si riesce a valutare la corrispondente variazione di prevalenza dalla caratteristica interna della pompa. (17) = H 1 H 2 = 200 (95 (11-5) / 30 10, (*) ) S i Si osserva che nel passare da un iterazione a quella successiva, gli sbilanciamenti di entrambe le maglie oscillano, benché la loro somma algebrica diminuisca lievemente ad ogni passaggio. Nonostante le oscillazioni dello sbilanciamento nelle prime iterazioni siano, in generale, giustificabili per via delle approssimazioni con le quali secondo il metodo di Hardy-Cross si calcola la, in questo particolare caso tali imprecisioni sono probabilmente amplificate dall errore introdotto nella lettura delle coordinate del punto di funzionamento della pompa. A 4

5 seguito di queste considerazioni, si ritiene accettabile la precisione di calcolo ottenuta con la terza iterazione: q 1-3 = 7 l/s q 2-3 = 10,9 l/s q 3-4 = 17,9 l/s Osservando l andamento della curva dei rendimenti della pompa, si verifica che alla portata q 2-3 corrisponde un rendimento pari al 74%, circa prossimo al valore massimo. Dalla curva dell NPSH, sempre in corrispondenza di q 2-3, si ricava un valore pari a 5,5 m che soddisfa ampiamente la seguente disuguaglianza: p atm / γ - p v / γ -NPSH (4) -12,82 m 4,63 m l innalzamento della pompa rispetto al pelo libero del pozzo p atm la pressione atmosferica assoluta p v la tensione di vapore assoluta dell acqua (p v /γ = 0,2 m a temperatura ambiente) γ il peso specifico dell acqua La pompa, quindi, funziona senza alcun rischio di cavitazione. Al fine di verificare l idoneità dello spessore delle condotte, si osserva che nell intero sistema la sezione più sfavorita, per effetto delle sollecitazioni, è quella immediatamente a valle della pompa. La verifica di tale sezione viene condotta in riferimento a due situazioni di funzionamento dell impianto: 1. funzionamento in condizioni di esercizio normale 2. funzionamento in condizioni di esercizio eccezionale, quando la pompa viene fatta funzionare con la saracinesca all ingresso del serbatoio chiusa. In caso di esercizio normale, la portata sollevata dalla pompa è pari a 10,9 l/s, con una prevalenza di circa 59 m, pertanto la pompa posizionata ad una quota di 80 m, la pressione della sezione immediatamente a valle della pompa è pari a: P = z d + H T - z p (5) = 71,82 m z d la quota del livello dinamico corrispondente alla portata sollevata H T la prevalenza fornita dalla pompa alla portata sollevata z p la quota di installazione della pompa In caso di esercizio eccezionale, potrebbe accadere che la pompa alimenti la sorgente. In realtà, ciò non accade in quanto, pur considerando in prima ipotesi la prevalenza massima della pompa (81 m, corrispondente ad una portata nulla), la pompa non è in grado di sollevare l acqua alla quota del pelo libero della sorgente: ( )m < 200m Ciò significa che si instaura un flusso d acqua dalla sorgente al pozzo. Pertanto interviene la valvola di non ritorno posizionata a valle della pompa. La sua chiusura disconnette il sistema in due parti indipendenti: in quella a valle della pompa la distribuzione delle pressioni dipende dalla sorgente, nell altra dalla pompa. La sezione in corrispondenza della valvola di non ritorno è soggetta a due 5

6 diverse pressioni. Si assuma che la valvola sia posizionata in superficie a quota 100 m s.l.m.. La pressione imposta dalla pompa è data dalla seguente relazione: P = z s + H T z v (6) z s la quota del livello statico = 95 m H T la prevalenza fornita dalla pompa per portata nulla = 81 m z v la quota di installazione della valvola di non ritorno = 100 m da cui P = 76 m Mentre la pressione imposta dalla sorgente, considerando la situazione a regime di portata nulla, risulta: P = H 1 z v = 100m Le pressioni risultanti in tutte le situazioni analizzate sono inferiori a quella massima di esercizio ammissibile, fornita dalla documentazione allegata, pari a 124 kg f /cm 2 (circa 124 bar), quindi la verifica è soddisfatta. Infine, per la valutazione dei costi annui di esercizio, è necessario considerare il contributo di due voci distinte: il costo annuo per potenza impegnata ed il costo annuo per potenza consumata. Essendo il costo per kw impegnato pari a 4,15 al mese e la potenza nominale della pompa, leggermente maggiorata, pari a 15 kw(dalla documentazione allegata), il costo annuo ammonta a 747. Calcolata, invece, la potenza assorbita dal motore (P = H T q 2-3 γ/η), pari a 8,5 kw, ipotizzando un funzionamento annuo dell impianto di 15 ore al giorno, il costo per consumo annuo ammonta a Sommando i due costi sopra calcolati, risulta che il costo totale annuo di esercizio è pari a

7 DOCUMENTAZIONE TECNICA: 7

8 8

9 9