I paradossi della democrazia

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1 Stage di Orientamento 2015 Matematica Attiva Dipartimento di Matematica F. Casorati, Università degli Studi di Pavia I paradossi della democrazia Mirko Maracci Dipartimento di Matematica, Università di Pavia

2 I paradossi della democrazia Il laboratorio si propone di investigare, utilizzando strumenti di matematica di base, le caratteristiche di alcuni sistemi elettorali e procedure di decisione collettiva al fine di mettere in evidenza le criticità di ciascuno di essi.

3 Cos è un sistema elettorale? L insieme delle norme che regolano l'elezione dei rappresentanti in un'assemblea l indizione, l elettorato attivo e passivo, le modalità tecnico-operative di esercizio del voto, la presentazione delle candidature, la campagna elettorale, il procedimento elettorale nelle altre sue fasi fino allo scrutinio con interpretazione e conteggio dei voti espressi, la formula di attribuzione dei seggi in base ai voti ottenuti da ciascun candidato o partito, le contestazioni, la sostituzione degli eletti. L'insieme delle norme che determinano l attribuzione dei seggi a una lista all interno di una assemblea in base alle preferenze espresse degli elettori durante le elezioni

4 quali caratteristiche deve avere un buon sistema elettorale? due (opposte?) esigenze: Garantire la Governabilità: possibilità di governare durevolmente, senza frequenti crisi politiche Garantire la Rappresentatività: riflettere in maniera meno distorta possibile le scelte dell elettorato Art. 67. Ogni membro del Parlamento rappresenta la Nazione ed esercita le sue funzioni senza vincolo di mandato.

5 Garantire la rappresentatività Quale sistema elettorale riflette in maniera meno distorta le scelte dell elettorato? Si cerca di rispondere a queste esigenze chiedendo che il numero dei seggi assegnati ad un partito sia proporzionale al numero dei voti che esso ha ricevuto. Di quali dati abbiamo bisogno?

6 Sistema proporzionale (con quota Hare) Proprietà di maggioranza: Criticità 1. Se un partito X ottiene almeno la metà dei voti dovrebbe ottenere almeno la metà dei seggi. 2. Se un partito X NON ottiene almeno la metà dei voti NON dovrebbe ottenere la metà dei seggi. Proprietà di super-additività: Se X1 e X2 decidono di unirsi, allora a parità di voti (cioè se V(X1 U X2) = V(X1)+V(X2)), deve essere S(X1 U X2) S(X1)+S(X2). Proprietà di monotonia rispetto ai seggi: A parità di numero di votanti V e di preferenze V(X1), V(X2),., V(Xn) attribuite, se il numero dei seggi S aumenta allora nessun partito può perdere seggi.

7 Sistema proporzionale puro Si stabilisce un quoziente elettorale: il costo di un seggio in termini di voti. Si vede quante volte tale quoziente entra nel totale dei voti che una lista ha preso in una circoscrizione. I seggi non assegnati con le parti intere del quoziente si assegnano in base ai resti. Quoziente Hare (o Naturale): per calcolare il costo di un seggio si divide il totale dei voti validi V per il numero dei seggi da assegnare nella circoscrizione, S.

8 Sistema proporzionale puro Si stabilisce un quoziente elettorale: il costo di un seggio in termini di voti. Si vede quante volte tale quoziente entra nel totale dei voti che una lista ha preso in una circoscrizione. I seggi non assegnati con le parti intere del quoziente Ma quanto si assegnano costa in base ai resti. realmente un seggio? Proporzionale puro con quota Droop Quoziente Hare (o Naturale): per calcolare il costo di un seggio si divide il totale dei voti validi V per il numero dei seggi da assegnare nella circoscrizione, S.

9 Sistemi proporzionali corretti Si dividono i voti totali di ciascuna lista di candidati in un collegio per una serie di coefficienti lunga fino al numero di seggi da assegnare nel collegio Si assegnano i seggi alle liste in base ai risultati in ordine decrescente, fino ad esaurimento dei seggi da assegnare. Metodo D'Hondt: si dividono i totali di voti delle liste per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... fino al numero di seggi da assegnare nel collegio. Stage di Orientamento Matematica Attiva

10 Sistema d'hondt - criticità Proprietà di maggioranza: 1. Se un partito X ottiene almeno la metà dei voti dovrebbe ottenere almeno la metà dei seggi. 2. Se un partito X NON ottiene almeno la metà dei voti NON dovrebbe ottenere la metà dei seggi. Proprietà di super-additività: Se X1 e X2 decidono di unirsi, allora a parità di voti (cioè se V(X1 U X2) = V(X1)+V(X2)), deve essere S(X1 U X2) S(X1)+S(X2). Proprietà di monotonia rispetto ai seggi: A parità di numero di votanti V e di preferenze V(X1), V(X2),., V(Xn) attribuite, se il numero dei seggi S aumenta allora nessun partito può perdere seggi.

11 Dagli esempi allo studio delle proprietà dei sistemi elettorali in generale

12 Sistemi elettorali: desiderata Requisito di simmetria: Il numero dei seggi assegnati a ciascun partito non dipende dall ordine di presentazione. Requisito di monotonia rispetto ai voti: A parità del numero dei votanti V, se un partito X aumenta i suoi voti, allora il numero dei suoi seggi S(X) non può scendere. Requisito di monotonia rispetto ai seggi: A parità di numero di votanti V e di preferenze V(X1), V(X2),., V(Xn) attribuite, se il numero dei seggi S aumenta allora nessun partito può perdere seggi. Requisito di unanimità Se un solo partito ottiene tutti i voti validi allora a quel partito spettano tutti i seggi

13 Sistemi elettorali: desiderata Requisito di maggioranza: Se un partito X ottiene almeno la metà dei voti dovrebbe ottenere almeno la metà dei seggi e il viceversa. Requisito di superadditività: Se X1 e X2 decidono di unirsi, allora a parità di voti (cioè se V(X1 U X2) = V(X1)+V(X2)), deve essere S(X1 U X2) S(X1)+S(X2). Requisito di consistenza: Se X1 ed X2 ricevono S(X1) ed S(X2) seggi, allora per qualsiasi altra votazione in cui X1 ed X2 ottengono lo stesso numero di voti e complessivamente un numero S(X1)+S(X2) di seggi, i seggi attribuiti ad X1 ed X2 devono essere sempre S(X1) ed S(X2).

14 Sistemi elettorali: desiderata Requisito dell Hare minimum: Requisito dell Hare maximum: Requisito del Droop minimum:

15 Altri desiderata? Queste relazioni sono tutte indipendenti tra loro? Esiste un sistema elettorale che le soddisfi tutte?

16 Decisioni collettive: scegliere tra Eleggere diverse alternative un candidato in un collegio uninominale Il sindaco di una città, il presidente di una provincia/regione, il presidente degli USA/della repubblica francese Il rappresentante di classe Scegliere la sede delle prossima olimpiadi Esaminare/approvare diversi emendamenti a una legge Promulgare una legge invece (o prima) di un altra Decidere come passare la serata (?)

17 Decisioni collettive: scegliere tra Eleggere diverse alternative un candidato in un collegio uninominale Il sindaco di una città, il presidente di una provincia/regione, Un assemblea (una collettività) il presidente degli USA/della repubblica francese deve assumere una decisione sulla Il rappresentante base di classe delle preferenze individuali Scegliere la sede delle prossima dei olimpiadi suoi membri Esaminare/approvare diversi emendamenti a una legge Promulgare una legge invece (o prima) di un altra Decidere come passare la serata (?)

18 Condorcet vs Borda Assegniamo a ogni candidato: n punti per ogni volta che è indicato come 1 n-1 punti per ogni volta che è indicato come 2 1 punto ogni volta che è indicato per ultimo Vince chi totalizza più punti.

19 Eliminazioni successive Si effettuano votazioni successive, ed a ciascuna iterazione viene eliminato il candidato che ha riportato il minore numero di voti. Vince chi resta.

20 Decisioni collettive Un insieme finito A di alternative a1, a2,,ak Un insieme finito C di decisori (elettori, consiglieri, commissari, ) Le preferenze di ogni decisore, cioè una sequenza ordinata di elementi di A per ogni decisore. Complessivamente un insieme di sequenze ordinate di elementi di A Siamo alla ricerca di un sistema che fornisca un unica graduatoria un unica sequenza ordinate di elementi di A che rifletta le preferenze di ogni decisori

21 Decisioni collettive - desiderata Completezza. Il sistema deve fornire una graduatoria collettiva per ogni insieme di graduatorie individuali Sovranità popolare. Per ogni coppia di alternative a e b, deve poter succedere (in base alle graduatorie individuali) che nella graduatoria collettiva l alternativa a sia preferita a b. Correlazione positiva. Se in base a certe graduatorie individuali nella graduatoria collettiva l alternativa a è preferita a b, allora se una o più tra queste graduatorie viene modificata in favore di a, nella graduatoria collettiva l alternativa a è ancora preferita a b. Indipendenza delle alternative irrilevanti. Se uno o più individui cambiano la propria graduatoria senza modificare le relazioni tra le alternative a e b, allora anche nella graduatoria collettiva le relazioni tra le alternative a e b non viene modificata.

22 Altre desiderata? Queste relazioni sono tutte indipendenti tra loro? Esiste un sistema di decisione collettiva che le soddisfi tutte?

23 Decisioni collettive - desiderata Completezza. Il sistema deve fornire una graduatoria collettiva per ogni insieme di graduatorie individuali Sovranità popolare. Per ogni coppia di alternative a e b, deve poter succedere (in base alle graduatorie Assenza individuali) dittatori. che Non nella esiste graduatoria un individuo tale collettiva l alternativa a sia preferita che, qualsiasi a b. siano le preferenze espresse Correlazione positiva. Se in base dagli a certe altri graduatorie individui, la individuali preferenza nella collettiva graduatoria collettiva l alternativa coincida a è sempre preferita con a b, la allora sua. se una o più tra queste graduatorie viene modificata in favore di a, nella graduatoria collettiva l alternativa a è ancora preferita a b. Indipendenza delle alternative irrilevanti. Se uno o più individui cambiano la propria graduatoria senza modificare le relazioni tra le alternative a e b, allora anche nella graduatoria collettiva le relazioni tra le alternative a e b non viene modificata.

24 Riferimenti Palladino D. (1993) Sistemi elettorali: leggi proporzionali pure. Nuova Secondaria X, 6, pp Palladino D. (1993) Sistemi elettorali: leggi proporzionali corrette. Nuova Secondaria X, 8, pp Palladino D. (1993). Sistemi di scelte sociali: il teorema di Arrow. Nuova Secondaria XI, 3, pp Rudi Matematici (2010). I sistemi elettorali: il conteggio dei voti. Le Scienze Blog. Rudi Matematici (2010). I sistemi elettorali: la reppresentanza per collegi. Le Scienze Blog.